《分層隨機(jī)抽樣》教學(xué)設(shè)計(jì)、導(dǎo)學(xué)案、同步練習(xí)

《9.1.2分層隨機(jī)抽樣》教學(xué)設(shè)計(jì)【教材分析】本節(jié)《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)教科書-必修二（人教A版）第九章《9.1.2分層抽樣》，本節(jié)的主要內(nèi)容在本章的結(jié)構(gòu)上，通過大背景的“串聯(lián)”，從大背景中不斷提出新問題，從而通過問題鏈進(jìn)行探究學(xué)習(xí)，合理選擇抽樣方法的必要性并掌握分層抽樣方法。從而發(fā)展學(xué)生的直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。【教學(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng)】課程目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)A.理解分層抽樣的基本思想和適用情形.B.掌握分層抽樣的實(shí)施步驟.C.了解二種抽樣方法的區(qū)別和聯(lián)系．1.數(shù)學(xué)建模：結(jié)合實(shí)際問題情景，理解分層抽樣的必要性和重要性；2.邏輯推理：學(xué)會(huì)用分層抽樣的方法從總體中抽取樣本；3.直觀想象：對(duì)簡單隨機(jī)抽樣、分層抽樣方法進(jìn)行比較，揭示其相互關(guān)系．4.數(shù)學(xué)運(yùn)算：總體平均數(shù)的估計(jì)方法【教學(xué)重點(diǎn)】：理解分層抽樣的基本思想和適用情形.．【教學(xué)難點(diǎn)】：掌握分層抽樣的實(shí)施步驟，會(huì)計(jì)算總體平均數(shù)．【教學(xué)過程】教學(xué)過程教學(xué)設(shè)計(jì)意圖一、溫故知新1、簡單隨機(jī)抽樣的概念:設(shè)一個(gè)總體含有有限個(gè)個(gè)體，并記其個(gè)體數(shù)為N．如果通過逐個(gè)抽取的方法從中抽取一個(gè)樣本，且每次抽取時(shí)各個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)相等，就稱這樣的抽樣為簡單隨機(jī)抽樣.2、簡單隨機(jī)抽樣的特點(diǎn):①總體個(gè)數(shù)有限；②逐個(gè)進(jìn)行抽取；③機(jī)會(huì)均等抽樣.3、簡單隨機(jī)抽樣的常用方法：①抽簽法；②隨機(jī)數(shù)表法.抽樣調(diào)查最核心的問題是樣本的代表性，簡單隨機(jī)抽樣是使總體中每一個(gè)個(gè)體都有相等的機(jī)會(huì)被抽中，但因?yàn)槌闃拥碾S機(jī)性，有可能會(huì)出現(xiàn)比較“極端”的樣本，二、問題探究例如,在對(duì)樹人中學(xué)高一年級(jí)學(xué)生身高的調(diào)查中,可能出現(xiàn)樣本中50個(gè)個(gè)體大部分來自高個(gè)子或矮個(gè)子的情形,這種“極端”樣本的平均數(shù)會(huì)大幅度地偏離總體平均數(shù),從而使得估計(jì)出現(xiàn)較大的誤差.能否利用總體中的一些額外信息對(duì)抽樣方法進(jìn)行改進(jìn)呢？在對(duì)樹人中學(xué)高一年級(jí)學(xué)生身高的調(diào)查中，采取簡單隨機(jī)抽樣的方式抽取了50名學(xué)生。1.抽樣調(diào)查最核心的問題是什么？2.會(huì)不會(huì)出現(xiàn)樣本中50個(gè)個(gè)體大部分來自高個(gè)子或矮個(gè)子的情形？3.為什么會(huì)出現(xiàn)這種“極端樣本”？4.如何避免這種“極端樣本”？樣本代表性;會(huì);抽樣結(jié)果的隨機(jī)性個(gè)體差異較大;分組抽樣，減少組內(nèi)差距在樹人中學(xué)高一年級(jí)的712名學(xué)生中，男生有326名、女生有386名。樣本量在男生、女生中應(yīng)如何分配？假設(shè)某地區(qū)有高中生2400人，初中生10900人，小學(xué)生11000人，此地教育部門為了了解本地區(qū)中小學(xué)的近視情況及其形成原因，要從本地區(qū)的小學(xué)生中抽取1%的學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，你認(rèn)為應(yīng)當(dāng)怎樣抽取樣本？8060806040200你認(rèn)為哪些因素影響學(xué)生視力？抽樣要考慮哪些因素？分層抽樣每一層抽取的樣本數(shù)=一般地，按一個(gè)或多個(gè)變量把總體劃分成若干個(gè)子總體，每個(gè)個(gè)體屬于且僅屬于一個(gè)子總體，在每個(gè)子總體中獨(dú)立地進(jìn)行簡單隨機(jī)抽樣，再把所有子總體中抽取的樣本合在一起作為總樣本，這樣的抽樣方法稱為分層隨機(jī)抽樣（stratifiedrandomsampling），每一個(gè)子總體稱為層.在分層隨機(jī)抽樣中，如果每層樣本量都與層的大小成比例，那么稱這種樣本量的分配方式為比例分配.×總樣本量做一做1.下列問題中，最適合用分層抽樣抽取樣本的是()A．從10名同學(xué)中抽取3人參加座談會(huì)B．某社區(qū)有500個(gè)家庭，其中高收入的家庭125個(gè)，中等收入的家庭280個(gè)，低收入的家庭95個(gè)，為了了解生活購買力的某項(xiàng)指標(biāo)，要從中抽取一個(gè)容量為100的樣本C．從1000名工人中，抽取100名調(diào)查上班途中所用時(shí)間D．從生產(chǎn)流水線上，抽取樣本檢查產(chǎn)品質(zhì)量【解析】A中總體個(gè)體無明顯差異且個(gè)數(shù)較少，適合用簡單隨機(jī)抽樣；C和D中總體個(gè)體無明顯差異且個(gè)數(shù)較多，適合用系統(tǒng)抽樣；B中總體個(gè)體差異明顯，適合用分層抽樣．【答案】B2．某公司生產(chǎn)三種型號(hào)的轎車，產(chǎn)量分別是1200輛，6000輛和2000輛，為檢驗(yàn)該公司的產(chǎn)品質(zhì)量，現(xiàn)用分層抽樣的方法抽取46輛進(jìn)行檢驗(yàn)，這三種型號(hào)的轎車依次應(yīng)抽取________輛、________輛、________輛.【解析】三種型號(hào)的轎車共9200輛，抽取樣本為46輛，則按eq\f(46,9200)＝eq\f(1,200)的比例抽樣，所以依次應(yīng)抽取1200×eq\f(1,200)＝6(輛)，6000×eq\f(1,200)＝30(輛)，2000×eq\f(1,200)＝10(輛)．【答案】630101.分層抽樣的步驟2.分層抽樣的特點(diǎn)有哪些？【提示】(1)分層抽樣適用于已知總體是由差異明顯的幾部分組成的；(2)分成的各層互不交叉；(3)各層抽取的比例都等于樣本容量在總體中的比例，即eq\f(n,N)，其中n為樣本容量，N為總體容量．3.計(jì)算各層所抽取個(gè)體的個(gè)數(shù)時(shí)，若Ni·eq\f(n,N)的值不是整數(shù)怎么辦？【提示】為獲取各層的入樣數(shù)目，需先正確計(jì)算出抽樣比eq\f(n,N)，若Ni·eq\f(n,N)的值不是整數(shù)，可四舍五入取整，也可先將該層等可能地剔除多余的個(gè)體．探究3分層抽樣公平嗎？【提示】分層抽樣中，每個(gè)個(gè)體被抽到的可能性是相同的，與層數(shù)、分層無關(guān)．如果總體的個(gè)數(shù)為N，樣本容量為n，Ni為第i層的個(gè)體數(shù)，則第i層抽取的個(gè)體數(shù)ni＝n·eq\f(Ni,N)，每個(gè)個(gè)體被抽到的可能性是eq\f(ni,Ni)＝eq\f(1,Ni)·n·eq\f(Ni,N)＝eq\f(n,N).4.簡單隨機(jī)抽樣、分層抽樣的各自特點(diǎn)及適用范圍有什么異同？【提示】簡單隨機(jī)抽樣是最基本的抽樣方法，應(yīng)用于系統(tǒng)抽樣和分層抽樣中．簡單隨機(jī)抽樣所得樣本的代表性與個(gè)體編號(hào)無關(guān)．分層抽樣應(yīng)用最廣泛，它充分利用總體信息，得到的樣本比前兩種抽樣方法都具有代表性．分層隨機(jī)抽樣的平均數(shù)兩種抽樣方法的特點(diǎn)及其適用范圍如下表：類別簡單隨機(jī)抽樣分層抽樣各自特點(diǎn)從總體中逐個(gè)抽取將總體分成幾層，分層進(jìn)行抽取相互聯(lián)系在各層抽樣時(shí)采用簡單隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)抽樣適用范圍總體中的個(gè)體數(shù)較少總體由存在明顯差異的幾部分組成１.在簡單隨機(jī)抽樣中如何估計(jì)總體平均數(shù)？２.那么在分層隨機(jī)抽樣中如何估計(jì)總體平均數(shù)呢？是否也可以直接用樣本平均數(shù)進(jìn)行估計(jì)？（1）在分層隨機(jī)抽樣中，如果層數(shù)分為2層，第1層和第2層包含的個(gè)體數(shù)分別為M和N，抽取的樣本量分別為m和n．我們用X1，X2，…，XM表示第1層各個(gè)個(gè)體的變量值，用x1，x2，…，xm表示第1層樣本的各個(gè)個(gè)體的變量值；用Y1，Y2，…，YN表示第2層各個(gè)個(gè)體的變量值，用y1，y2，…，yn表示第2層樣本的各個(gè)個(gè)體的變量值，則：分層隨機(jī)抽樣中的總體平均數(shù)與樣本平均數(shù)第1層的總體平均數(shù)和樣本平均數(shù)為:第2層的總體平均數(shù)和樣本平均數(shù)為:總體平均數(shù)和樣本平均數(shù)為:由于用第一層的樣本平均數(shù)可以估計(jì)第１層的總體平均數(shù)，第二層的樣本平均數(shù)可以估計(jì)第2層的總體平均數(shù),因此我們可以用估計(jì)總體平均數(shù)對(duì)各層樣本平均數(shù)加權(quán)（層權(quán)）求和;分層隨機(jī)抽樣如何估計(jì)總體平均數(shù)在比例分配的分層隨機(jī)中抽樣中例1.在樹人中學(xué)高一年級(jí)的712名學(xué)生，男生有326名、女生有386名，分別抽取的男生23名男生、27名女生樣本數(shù)據(jù)如下173.0174.0166.0172.0170.0165.0165.0168.0164.0173.0172.0173.0175.0168.0170.0172.0176.0175.0168.0173.0167.0170.0175.0163.0164.0161.0157.0162.0165.0168.0155.0164.0162.5154.0154.0164.0149.0159.0161.0170.0171.0155.0148.0172.0162.5158.0155.5157.0163.0172.0樣本女生平均身高=160.6,樣本男生平均身高=170.6高一年級(jí)有男生490人，女生510人，張華按照男生女生進(jìn)行分層，得到男生女生平均身高分別為170.2cm和160.8cm。（1）如果張華在各層中按比例分配樣本，總樣本量為100.那么男生、女生中分別抽取了多少名？在這種情況下，請(qǐng)估計(jì)高一年級(jí)全體學(xué)生的平均身高。（2）如果張華從男生、女生中抽取的樣本量分別為30和70，那么在這種情況下，如何估計(jì)高一全體學(xué)生的平均身高。小明用比例分配的分層抽樣方法，從高一年級(jí)的學(xué)生中抽取了十個(gè)樣本量為50的樣本，計(jì)算出樣本平均數(shù)。與相同樣本量的簡單隨機(jī)抽樣的結(jié)果比較。序號(hào)12345678910簡單隨機(jī)抽樣165.2162.8164.4164.4165.6164.8165.3164.3165.7165.0分層隨機(jī)抽樣165.8165.1164.3164.3166.4164.6165.2164.9166.1165.1由生活中的問題出發(fā)，提出問題，讓學(xué)生感受到采用分層抽樣的必要性。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、直觀想象和邏輯推理的核心素養(yǎng)。通過具體問題，讓學(xué)生感受分層抽樣的概念及方法，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理的核心素養(yǎng)。通過實(shí)例分析，讓學(xué)生掌握分層抽樣的基本步驟，并熟悉的應(yīng)用能力，提升推理論證能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模及邏輯推理的核心素養(yǎng)。三、達(dá)標(biāo)檢測(cè)1．下列實(shí)驗(yàn)中最適合用分層抽樣法抽樣的是()A．從一箱3000個(gè)零件中抽取5個(gè)入樣B．從一箱3000個(gè)零件中抽取600個(gè)入樣C．從一箱30個(gè)零件中抽取5個(gè)入樣D．從甲廠生產(chǎn)的100個(gè)零件和乙廠生產(chǎn)的200個(gè)零件中抽取6個(gè)入樣【答案】D【解析】D中總體有明顯差異，故用分層抽樣．2．一批燈泡400只，其中20W、40W、60W的數(shù)目之比是4∶3∶1，現(xiàn)用分層抽樣的方法產(chǎn)生一個(gè)容量為40的樣本，三種燈泡依次抽取的個(gè)數(shù)為()A．20,15,5B．4,3,1C．16,12,4D．8,6,2【答案】A【解析】三種燈泡依次抽取的個(gè)數(shù)為40×eq\f(4,8)＝20,40×eq\f(3,8)＝15,40×eq\f(1,8)＝5.3．某單位有職工100人，不到35歲的有45人，35歲到49歲的有25人，剩下的為50歲以上(包括50歲)的人，用分層抽樣的方法從中抽20人，各年齡段分別抽取的人數(shù)為()A．7,5,8B．9,5,6C．7,5,9D．8,5,7【答案】B【解析】由于樣本容量與總體個(gè)體數(shù)之比為eq\f(20,100)＝eq\f(1,5)，故各年齡段抽取的人數(shù)依次為45×eq\f(1,5)＝9(人)，25×eq\f(1,5)＝5(人)，20－9－5＝6(人)．4．某企業(yè)三月中旬生產(chǎn)A，B，C三種產(chǎn)品共3000件，根據(jù)分層抽樣的結(jié)果，企業(yè)統(tǒng)計(jì)員制作了如下的統(tǒng)計(jì)表格：產(chǎn)品類型ABC產(chǎn)品數(shù)量(件)1300樣本容量130由于不小心，表格中A，C兩種產(chǎn)品的有關(guān)數(shù)據(jù)已被污染看不清楚了，統(tǒng)計(jì)員只記得A產(chǎn)品的樣本容量比C產(chǎn)品的樣本容量多10，根據(jù)以上信息，可得C產(chǎn)品的數(shù)量是________件．【解析】抽樣比為130∶1300＝1∶10，即每10個(gè)產(chǎn)品中抽取1個(gè)個(gè)體，又A產(chǎn)品的樣本容量比C產(chǎn)品的樣本容量多10，故C產(chǎn)品的數(shù)量是[(3000－1300)－100]×eq\f(1,2)＝800(件)．【答案】8005．某市化工廠三個(gè)車間共有工人1000名，各車間男、女工人數(shù)如下表：第一車間第二車間第三車間女工173100y男工177xz已知在全廠工人中隨機(jī)抽取1名，抽到第二車間男工的可能性是0.15.(1)求x的值；(2)現(xiàn)用分層抽樣的方法在全廠抽取50名工人，問應(yīng)在第三車間抽取多少名？【解】(1)由eq\f(x,1000)＝0.15，得x＝150.(2)∵第一車間的工人數(shù)是173＋177＝350，第二車間的工人數(shù)是100＋150＝250，∴第三車間的工人數(shù)是1000－350－250＝400.設(shè)應(yīng)從第三車間抽取m名工人，則由eq\f(m,400)＝eq\f(50,1000)，得m＝20.∴應(yīng)在第三車間抽取20名工人．通過練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識(shí)，通過學(xué)生解決問題，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。四、小結(jié)1、分層抽樣是當(dāng)總體由差異明顯的幾部分組成時(shí)采用的抽樣方法，進(jìn)行分層抽樣時(shí)應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：（1）分層抽樣中分多少層、如何分層要視具體情況而定，總的原則是，層內(nèi)樣本的差異要小，面層之間的樣本差異要大，且互不重疊。（2）為了保證每個(gè)個(gè)體等可能入樣，所有層應(yīng)采用同一抽樣比等可能抽樣。（3）在每層抽樣時(shí)，應(yīng)采用簡單隨機(jī)抽樣的方法進(jìn)行抽樣。2、分層抽樣的優(yōu)點(diǎn)是：使樣本具有較強(qiáng)的代表性，并且抽樣過程中可綜合選用各種抽樣方法，因此分層抽樣是一種實(shí)用、操作性強(qiáng)、應(yīng)用比較廣泛的抽樣方法。3、分層隨機(jī)抽樣中如何用樣本估計(jì)總體平均值。；五、課時(shí)練通過總結(jié)，讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固本節(jié)所學(xué)內(nèi)容，提高概括能力?！窘虒W(xué)反思】本節(jié)的主要內(nèi)容在本章的結(jié)構(gòu)上，通過大背景的“串聯(lián)”，從大背景中不斷提出新問題，從而通過問題鏈進(jìn)行探究學(xué)習(xí)，合理選擇抽樣方法的必要性并掌握分層抽樣方法。從而發(fā)展學(xué)生的直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。教學(xué)中要注重學(xué)生的主體地位，調(diào)動(dòng)學(xué)生積極性，使數(shù)學(xué)教學(xué)成為數(shù)學(xué)活動(dòng)的教學(xué)?！?.1.2分層隨機(jī)抽樣》導(dǎo)學(xué)案【學(xué)習(xí)目標(biāo)】A.理解分層抽樣的基本思想和適用情形.B.掌握分層抽樣的實(shí)施步驟，會(huì)計(jì)算總體平均數(shù)．C.了解二種抽樣方法的區(qū)別和聯(lián)系．【教學(xué)重點(diǎn)】：理解分層抽樣的基本思想和適用情形.【教學(xué)難點(diǎn)】：掌握分層抽樣的實(shí)施步驟，會(huì)計(jì)算總體平均數(shù)．【知識(shí)梳理】1、簡單隨機(jī)抽樣的概念:設(shè)一個(gè)總體含有有限個(gè)個(gè)體，并記其個(gè)體數(shù)為N．如果通過逐個(gè)抽取的方法從中抽取一個(gè)樣本，且每次抽取時(shí)各個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)相等，就稱這樣的抽樣為簡單隨機(jī)抽樣.2、簡單隨機(jī)抽樣的特點(diǎn):①總體個(gè)數(shù)有限；②逐個(gè)進(jìn)行抽取；③機(jī)會(huì)均等抽樣.3、簡單隨機(jī)抽樣的常用方法：①抽簽法；②隨機(jī)數(shù)表法.抽樣調(diào)查最核心的問題是樣本的代表性，簡單隨機(jī)抽樣是使總體中每一個(gè)個(gè)體都有相等的機(jī)會(huì)被抽中，但因?yàn)槌闃拥碾S機(jī)性，有可能會(huì)出現(xiàn)比較“極端”的樣本，【學(xué)習(xí)過程】一、情境與問題問題1,在對(duì)樹人中學(xué)高一年級(jí)學(xué)生身高的調(diào)查中,可能出現(xiàn)樣本中50個(gè)個(gè)體大部分來自高個(gè)子或矮個(gè)子的情形,這種“極端”樣本的平均數(shù)會(huì)大幅度地偏離總體平均數(shù),從而使得估計(jì)出現(xiàn)較大的誤差.能否利用總體中的一些額外信息對(duì)抽樣方法進(jìn)行改進(jìn)呢？在對(duì)樹人中學(xué)高一年級(jí)學(xué)生身高的調(diào)查中，采取簡單隨機(jī)抽樣的方式抽取了50名學(xué)生。1.抽樣調(diào)查最核心的問題是什么？2.會(huì)不會(huì)出現(xiàn)樣本中50個(gè)個(gè)體大部分來自高個(gè)子或矮個(gè)子的情形？3.為什么會(huì)出現(xiàn)這種“極端樣本”？4.如何避免這種“極端樣本”？樣本代表性;會(huì);抽樣結(jié)果的隨機(jī)性個(gè)體差異較大;分組抽樣，減少組內(nèi)差距在樹人中學(xué)高一年級(jí)的712名學(xué)生中，男生有326名、女生有386名。樣本量在男生、女生中應(yīng)如何分配？假設(shè)某地區(qū)有高中生2400人，初中生10900人，小學(xué)生11000人，此地教育部門為了了解本地區(qū)中小學(xué)的近視情況及其形成原因，要從本地區(qū)的小學(xué)生中抽取1%的學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，你認(rèn)為應(yīng)當(dāng)怎樣抽取樣本？8060806040200近視率%小學(xué)初中高中你認(rèn)為哪些因素影響學(xué)生視力？抽樣要考慮哪些因素？分層抽樣每一層抽取的樣本數(shù)=一般地，按一個(gè)或多個(gè)變量把總體劃分成若干個(gè)子總體，每個(gè)個(gè)體屬于且僅屬于一個(gè)子總體，在每個(gè)子總體中獨(dú)立地進(jìn)行簡單隨機(jī)抽樣，再把所有子總體中抽取的樣本合在一起作為總樣本，這樣的抽樣方法稱為分層隨機(jī)抽樣（stratifiedrandomsampling），每一個(gè)子總體稱為層.在分層隨機(jī)抽樣中，如果每層樣本量都與層的大小成比例，那么稱這種樣本量的分配方式為比例分配.×總樣本量做一做1.下列問題中，最適合用分層抽樣抽取樣本的是()A．從10名同學(xué)中抽取3人參加座談會(huì)B．某社區(qū)有500個(gè)家庭，其中高收入的家庭125個(gè)，中等收入的家庭280個(gè)，低收入的家庭95個(gè)，為了了解生活購買力的某項(xiàng)指標(biāo)，要從中抽取一個(gè)容量為100的樣本C．從1000名工人中，抽取100名調(diào)查上班途中所用時(shí)間D．從生產(chǎn)流水線上，抽取樣本檢查產(chǎn)品質(zhì)量2．某公司生產(chǎn)三種型號(hào)的轎車，產(chǎn)量分別是1200輛，6000輛和2000輛，為檢驗(yàn)該公司的產(chǎn)品質(zhì)量，現(xiàn)用分層抽樣的方法抽取46輛進(jìn)行檢驗(yàn)，這三種型號(hào)的轎車依次應(yīng)抽取________輛、________輛、________輛.1.分層抽樣的步驟2.分層抽樣的特點(diǎn)有哪些？3.計(jì)算各層所抽取個(gè)體的個(gè)數(shù)時(shí)，若Ni·eq\f(n,N)的值不是整數(shù)怎么辦？探究3分層抽樣公平嗎？4.簡單隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣的各自特點(diǎn)及適用范圍有什么異同？兩種抽樣方法的特點(diǎn)及其適用范圍如下表：兩種抽樣方法的特點(diǎn)及其適用范圍如下表：類別簡單隨機(jī)抽樣分層抽樣各自特點(diǎn)從總體中逐個(gè)抽取將總體分成幾層，分層進(jìn)行抽取相互聯(lián)系在各層抽樣時(shí)采用簡單隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)抽樣適用范圍總體中的個(gè)體數(shù)較少總體由存在明顯差異的幾部分組成總體信息，得到的樣本比前兩種抽樣方法都具有代表性．分層隨機(jī)抽樣的平均數(shù)問題探究１.在簡單隨機(jī)抽樣中如何估計(jì)總體平均數(shù)？２.那么在分層隨機(jī)抽樣中如何估計(jì)總體平均數(shù)呢？是否也可以直接用樣本平均數(shù)進(jìn)行估計(jì)？（1）在分層隨機(jī)抽樣中，如果層數(shù)分為2層，第1層和第2層包含的個(gè)體數(shù)分別為M和N，抽取的樣本量分別為m和n．我們用X1，X2，…，XM表示第1層各個(gè)個(gè)體的變量值，用x1，x2，…，xm表示第1層樣本的各個(gè)個(gè)體的變量值；用Y1，Y2，…，YN表示第2層各個(gè)個(gè)體的變量值，用y1，y2，…，yn表示第2層樣本的各個(gè)個(gè)體的變量值，則：分層隨機(jī)抽樣中的總體平均數(shù)與樣本平均數(shù)第1層的總體平均數(shù)和樣本平均數(shù)為:第2層的總體平均數(shù)和樣本平均數(shù)為:總體平均數(shù)和樣本平均數(shù)為:由于用第一層的樣本平均數(shù)可以估計(jì)第１層的總體平均數(shù)，第二層的樣本平均數(shù)可以估計(jì)第2層的總體平均數(shù),因此我們可以用估計(jì)總體平均數(shù)對(duì)各層樣本平均數(shù)加權(quán)（層權(quán)）求和;分層隨機(jī)抽樣如何估計(jì)總體平均數(shù)在比例分配的分層隨機(jī)中抽樣中例1.在樹人中學(xué)高一年級(jí)的712名學(xué)生，男生有326名、女生有386名，分別抽取的男生23名男生、27名女生樣本數(shù)據(jù)如下173.0174.0166.0172.0170.0165.0165.0168.0164.0173.0172.0173.0175.0168.0170.0172.0176.0175.0168.0173.0167.0170.0175.0163.0164.0161.0157.0162.0165.0168.0155.0164.0162.5154.0154.0164.0149.0159.0161.0170.0171.0155.0148.0172.0162.5158.0155.5157.0163.0172.0樣本女生平均身高=160.6,樣本男生平均身高=170.6高一年級(jí)有男生490人，女生510人，張華按照男生女生進(jìn)行分層，得到男生女生平均身高分別為170.2cm和160.8cm。（1）如果張華在各層中按比例分配樣本，總樣本量為100.那么男生、女生中分別抽取了多少名？在這種情況下，請(qǐng)估計(jì)高一年級(jí)全體學(xué)生的平均身高。（2）如果張華從男生、女生中抽取的樣本量分別為30和70，那么在這種情況下，如何估計(jì)高一全體學(xué)生的平均身高。【達(dá)標(biāo)檢測(cè)】1．下列實(shí)驗(yàn)中最適合用分層抽樣法抽樣的是()A．從一箱3000個(gè)零件中抽取5個(gè)入樣B．從一箱3000個(gè)零件中抽取600個(gè)入樣C．從一箱30個(gè)零件中抽取5個(gè)入樣D．從甲廠生產(chǎn)的100個(gè)零件和乙廠生產(chǎn)的200個(gè)零件中抽取6個(gè)入樣2．一批燈泡400只，其中20W、40W、60W的數(shù)目之比是4∶3∶1，現(xiàn)用分層抽樣的方法產(chǎn)生一個(gè)容量為40的樣本，三種燈泡依次抽取的個(gè)數(shù)為()A．20,15,5B．4,3,1C．16,12,4D．8,6,23．某單位有職工100人，不到35歲的有45人，35歲到49歲的有25人，剩下的為50歲以上(包括50歲)的人，用分層抽樣的方法從中抽20人，各年齡段分別抽取的人數(shù)為()A．7,5,8B．9,5,6C．7,5,9D．8,5,74．某企業(yè)三月中旬生產(chǎn)A，B，C三種產(chǎn)品共3000件，根據(jù)分層抽樣的結(jié)果，企業(yè)統(tǒng)計(jì)員制作了如下的統(tǒng)計(jì)表格：產(chǎn)品類型ABC產(chǎn)品數(shù)量(件)1300樣本容量130由于不小心，表格中A，C兩種產(chǎn)品的有關(guān)數(shù)據(jù)已被污染看不清楚了，統(tǒng)計(jì)員只記得A產(chǎn)品的樣本容量比C產(chǎn)品的樣本容量多10，根據(jù)以上信息，可得C產(chǎn)品的數(shù)量是________件．5．某市化工廠三個(gè)車間共有工人1000名，各車間男、女工人數(shù)如下表：第一車間第二車間第三車間女工173100y男工177xz已知在全廠工人中隨機(jī)抽取1名，抽到第二車間男工的可能性是0.15.(1)求x的值；(2)現(xiàn)用分層抽樣的方法在全廠抽取50名工人，問應(yīng)在第三車間抽取多少名？【課堂小結(jié)】1、分層抽樣是當(dāng)總體由差異明顯的幾部分組成時(shí)采用的抽樣方法，進(jìn)行分層抽樣時(shí)應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：（1）分層抽樣中分多少層、如何分層要視具體情況而定，總的原則是，層內(nèi)樣本的差異要小，面層之間的樣本差異要大，且互不重疊。（2）為了保證每個(gè)個(gè)體等可能入樣，所有層應(yīng)采用同一抽樣比等可能抽樣。（3）在每層抽樣時(shí)，應(yīng)采用簡單隨機(jī)抽樣的方法進(jìn)行抽樣。2、分層抽樣的優(yōu)點(diǎn)是：使樣本具有較強(qiáng)的代表性，并且抽樣過程中可綜合選用各種抽樣方法，因此分層抽樣是一種實(shí)用、操作性強(qiáng)、應(yīng)用比較廣泛的抽樣方法。3、分層隨機(jī)抽樣中如何用樣本估計(jì)總體平均值。；參考答案：知識(shí)梳理學(xué)習(xí)過程1.【解析】A中總體個(gè)體無明顯差異且個(gè)數(shù)較少，適合用簡單隨機(jī)抽樣；C和D中總體個(gè)體無明顯差異且個(gè)數(shù)較多，適合用系統(tǒng)抽樣；B中總體個(gè)體差異明顯，適合用分層抽樣．【答案】B2．【解析】三種型號(hào)的轎車共9200輛，抽取樣本為46輛，則按eq\f(46,9200)＝eq\f(1,200)的比例抽樣，所以依次應(yīng)抽取1200×eq\f(1,200)＝6(輛)，6000×eq\f(1,200)＝30(輛)，2000×eq\f(1,200)＝10(輛)．【答案】630102.【提示】(1)分層抽樣適用于已知總體是由差異明顯的幾部分組成的；(2)分成的各層互不交叉；(3)各層抽取的比例都等于樣本容量在總體中的比例，即eq\f(n,N)，其中n為樣本容量，N為總體容量．3.【提示】為獲取各層的入樣數(shù)目，需先正確計(jì)算出抽樣比eq\f(n,N)，若Ni·eq\f(n,N)的值不是整數(shù)，可四舍五入取整，也可先將該層等可能地剔除多余的個(gè)體．探究3【提示】分層抽樣中，每個(gè)個(gè)體被抽到的可能性是相同的，與層數(shù)、分層無關(guān)．如果總體的個(gè)數(shù)為N，樣本容量為n，Ni為第i層的個(gè)體數(shù)，則第i層抽取的個(gè)體數(shù)ni＝n·eq\f(Ni,N)，每個(gè)個(gè)體被抽到的可能性是eq\f(ni,Ni)＝eq\f(1,Ni)·n·eq\f(Ni,N)＝eq\f(n,N).4.【提示】簡單隨機(jī)抽樣是最基本的抽樣方法，應(yīng)用于系統(tǒng)抽樣和分層抽樣中．簡單隨機(jī)抽樣所得樣本的代表性與個(gè)體編號(hào)無關(guān)．系統(tǒng)抽樣容易實(shí)施，可節(jié)約抽樣成本．系統(tǒng)抽樣所得樣本的代表性與個(gè)體編號(hào)有關(guān)，如果個(gè)體隨編號(hào)呈現(xiàn)某種特征，所得樣本代表性很差．分層抽樣應(yīng)用最廣泛，它充分利用問題探究１.在簡單隨機(jī)抽樣中如何估計(jì)總體平均數(shù)？２.那么在分層隨機(jī)抽樣中如何估計(jì)總體平均數(shù)呢？是否也可以直接用樣本平均數(shù)進(jìn)行估計(jì)？例1.樣本女生平均身高=160.6,樣本男生平均身高=170.6高一年級(jí)有男生490人，女生510人，張華按照男生女生進(jìn)行分層，得到男生女生平均身高分別為170.2cm和160.8cm。（1）如果張華在各層中按比例分配樣本，總樣本量為100.那么男生、女生中分別抽取了多少名？在這種情況下，請(qǐng)估計(jì)高一年級(jí)全體學(xué)生的平均身高。（2）如果張華從男生、女生中抽取的樣本量分別為30和70，那么在這種情況下，如何估計(jì)高一全體學(xué)生的平均身高。小明用比例分配的分層抽樣方法，從高一年級(jí)的學(xué)生中抽取了十個(gè)樣本量為50的樣本，計(jì)算出樣本平均數(shù)。與相同樣本量的簡單隨機(jī)抽樣的結(jié)果比較。序號(hào)12345678910簡單隨機(jī)抽樣165.2162.8164.4164.4165.6164.8165.3164.3165.7165.0分層隨機(jī)抽樣165.8165.1164.3164.3166.4164.6165.2164.9166.1165.1達(dá)標(biāo)檢測(cè)1．【答案】D【解析】D中總體有明顯差異，故用分層抽樣．2．【答案】A【解析】三種燈泡依次抽取的個(gè)數(shù)為40×eq\f(4,8)＝20,40×eq\f(3,8)＝15,40×eq\f(1,8)＝5.3．【答案】B【解析】由于樣本容量與總體個(gè)體數(shù)之比為eq\f(20,100)＝eq\f(1,5)，故各年齡段抽取的人數(shù)依次為45×eq\f(1,5)＝9(人)，25×eq\f(1,5)＝5(人)，20－9－5＝6(人)．4．【解析】抽樣比為130∶1300＝1∶10，即每10個(gè)產(chǎn)品中抽取1個(gè)個(gè)體，又A產(chǎn)品的樣本容量比C產(chǎn)品的樣本容量多10，故C產(chǎn)品的數(shù)量是[(3000－1300)－100]×eq\f(1,2)＝800(件)．【答案】8005．【解】(1)由eq\f(x,1000)＝0.15，得x＝150.(2)∵第一車間的工人數(shù)是173＋177＝350，第二車間的工人數(shù)是100＋150＝250，∴第三車間的工人數(shù)是1000－350－250＝400.設(shè)應(yīng)從第三車間抽取m名工人，則由eq\f(m,400)＝eq\f(50,1000)，得m＝20.∴應(yīng)在第三車間抽取20名工人．《9.1.2分層隨機(jī)抽樣》同步練習(xí)一、選擇題1．分層隨機(jī)抽樣又稱類型抽樣，即將相似的個(gè)體歸入一類（層），然后每類抽取若干個(gè)個(gè)體構(gòu)成樣本，所以分層隨機(jī)抽樣為保證每個(gè)個(gè)體等可能抽樣，必須進(jìn)行（）A．每層等可能抽樣 B．每層可以不等可能抽樣C．所有層按同一抽樣比等可能抽樣 D．所有層抽取的個(gè)體數(shù)量相同2．某工廠生產(chǎn)甲、乙、丙、丁四種不同型號(hào)的產(chǎn)品，產(chǎn)量分別為、、、件，為檢驗(yàn)產(chǎn)品的質(zhì)量，現(xiàn)用分層抽樣的方法從以上所有的產(chǎn)品中抽取件進(jìn)行檢驗(yàn)，則應(yīng)從丁種型號(hào)的產(chǎn)品中抽?。ǎ┘?A． B． C． D．3．某單位有職工100人，不到35歲的有45人，35歲到49歲的有25人，剩下的為50歲以上（包括50歲）的人，用分層隨機(jī)抽樣的方法從中抽取20人，各年齡段分別抽取的人數(shù)為（）A．7，5，8 B．9，5，6 C．6，5，9 D．8，5，74．已知某地區(qū)中小學(xué)生人數(shù)和近視情況分別如圖1和如圖2所示，為了了解該地區(qū)中小學(xué)生的近視形成原因，用分層抽樣的方法抽取的學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，則樣本容量和抽取的高中生近視人數(shù)分別為（）A．， B．， C．， D．，5．（多選題）我校有高一學(xué)生850人，高二學(xué)生900人，高三學(xué)生1200人，學(xué)校團(tuán)委欲用分層抽樣的方法抽取30名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，則下列判斷錯(cuò)誤的是（）A．高一學(xué)生被抽到的概率最大B．高二學(xué)生被抽到的概率最大C．高三學(xué)生被抽到的概率最大D．每名學(xué)生被抽到的概率相等6．（多選題）某單位有老年人28人?中年人54人?青年人81人,為了調(diào)查他們的身體狀況,從中抽取一個(gè)容量為36的樣本,則不適合抽取樣本的方法是()A．隨機(jī)數(shù)表法 B．抽簽法C．簡單隨機(jī)抽樣 D．先從老年人中剔除1人,再用分層抽樣二、填空題7．某公司在甲、乙、丙、丁四個(gè)地區(qū)分別有150個(gè)、120個(gè)、180個(gè)、150個(gè)銷售點(diǎn).公司為了調(diào)查產(chǎn)品銷售的情況，需從這600個(gè)銷售點(diǎn)中抽取一個(gè)容量為100的樣本，記這項(xiàng)調(diào)查為①；在丙地區(qū)有10個(gè)特大型銷售點(diǎn)，要從中抽取7個(gè)銷售點(diǎn)調(diào)查其銷售收入和售后服務(wù)等情況，記這項(xiàng)調(diào)查為②，則完成①②這兩項(xiàng)調(diào)查宜采用的抽樣方法分別為_____.8．防疫站對(duì)學(xué)生進(jìn)行身體健康調(diào)查，采用分層抽樣法抽取，泗縣一中高三有學(xué)生1600人，抽取一個(gè)容量為200的樣本，已知女生比男生少抽10人，則該校的女生人數(shù)應(yīng)該有．9．某高中在校學(xué)生2000人為了響應(yīng)“陽光體育運(yùn)動(dòng)”號(hào)召，學(xué)校舉行了跑步和登山比賽活動(dòng)每人都參加而且只參與了其中一項(xiàng)比賽，各年級(jí)參與比賽人數(shù)情況如表：高一年級(jí)高二年級(jí)高三年級(jí)跑步abc登山xyz其中a：b：：3：5，全校參與登山的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的，為了了解學(xué)生對(duì)本次活動(dòng)的滿意程度，現(xiàn)用分層抽樣方式從中抽取一個(gè)100個(gè)人的樣本進(jìn)行調(diào)查，則高二年級(jí)參與跑步的學(xué)生中應(yīng)抽取人10．小玲家的魚塘里養(yǎng)了2500條鰱魚，按經(jīng)驗(yàn)，鰱魚的成活率約為80%.現(xiàn)準(zhǔn)備打撈出售，為了估計(jì)魚塘中鰱魚的總質(zhì)量，從魚塘中捕撈了3次進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到的數(shù)據(jù)如下表：那么，魚塘中鰱魚的總質(zhì)量約是______kg.三、解答題11．舉例說明簡單隨機(jī)抽樣和分層隨機(jī)抽樣兩種抽樣方法中，無論使用哪種抽樣方法，總體中的每個(gè)個(gè)體被抽到的概率都相等.12．某單位2000名職工，老年、中年、青年分布在管理、技術(shù)開發(fā)、營銷、生產(chǎn)各部門中，如下表所示：人數(shù)管理技術(shù)開發(fā)營銷生產(chǎn)共計(jì)老年40404080200中年80120160240600青年401602807201200小計(jì)16032048010402000（1）若要抽取40人調(diào)查身體狀況，則應(yīng)怎樣抽樣？（2）若要開一個(gè)25人的討論單位發(fā)展與薪金調(diào)整方面的座談會(huì)，則應(yīng)怎樣抽選出席人？《9.1.2分層隨機(jī)抽樣》同步練習(xí)答案解析一、選擇題1．分層隨機(jī)抽樣又稱類型抽樣，即將相似的個(gè)體歸入一類（層），然后每類抽取若干個(gè)個(gè)體構(gòu)成樣本，所以分層隨機(jī)抽樣為保證每個(gè)個(gè)體等可能抽樣，必須進(jìn)行（）A．每層等可能抽樣 B．每層可以不等可能抽樣C．所有層按同一抽樣比等可能抽樣 D．所有層抽取的個(gè)體數(shù)量相同【答案】C【解析】保證每個(gè)個(gè)體等可能入樣是三種基本抽樣方式的共同特征，為了保證這一點(diǎn)，分層隨機(jī)抽樣時(shí)必須在所有層都按同一抽樣比等可能抽取.故選：2．某工廠生產(chǎn)甲、乙、丙、丁四種不同型號(hào)的產(chǎn)品，產(chǎn)量分別為、、、件，為檢驗(yàn)產(chǎn)品的質(zhì)量，現(xiàn)用分層抽樣的方法從以上所有的產(chǎn)品中抽取件進(jìn)行檢驗(yàn)，則應(yīng)從丁種型號(hào)的產(chǎn)品中抽取（）件.A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)應(yīng)從丁種型號(hào)的產(chǎn)品中抽取件，由分層抽樣的基本性質(zhì)可得，解得.故選：A.3．某單位有職工100人，不到35歲的有45人，35歲到49歲的有25人，剩下的為50歲以上（包括50歲）的人，用分層隨機(jī)抽樣的方法從中抽取20人，各年齡段分別抽取的人數(shù)為（）A．7，5，8 B．9，5，6 C．6，5，9 D．8，5，7【答案】B【解析】由于樣本量與總體個(gè)體數(shù)之比為，故各年齡段抽取的人數(shù)依次為，，.故選：4．已知某地區(qū)中小學(xué)生人數(shù)和近視情況分別如圖1和如圖2所示，為了了解該地區(qū)中小學(xué)生的近視形成原因，用分層抽樣的方法抽取的學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，則樣本容量和抽取的高中生近視人數(shù)分別為（）A．， B．， C．， D．，【答案】B【解析】由題意知，樣本容量為，其中高中生人數(shù)為，高中生的近視人數(shù)為，故選B.5．（多選題）我校有高一學(xué)生850人，高二學(xué)生900人，高三學(xué)生1200人，學(xué)校團(tuán)委欲用分層抽樣的方法抽取30名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，則下列判斷錯(cuò)誤的是（）A．高一學(xué)生被抽到的概率最大B．高二學(xué)生被抽到的概率最大C．高三學(xué)生被抽到的概率最大D．每名學(xué)生被抽到的概率相等【答案】ABC【解析】由抽樣的定義知，無論哪種抽樣，樣本被抽到的概率都相同，故每名學(xué)生被抽到的概率相等，故選ABC．6．（多選題）某單位有老年人28人?中年人54人?青年人81人,為了調(diào)查他們的身體狀況,從中抽取一個(gè)容量為36的樣本,則不適合抽取樣本的方法是()A．隨機(jī)數(shù)表法 B．抽簽法C．簡單隨機(jī)抽樣 D．先從老年人中剔除1人,再用分層抽樣【答案】ABC【解析】因?yàn)榭傮w是由差異明顯的三部分組成,所以考慮用分層抽樣.因?yàn)榭側(cè)藬?shù)為,樣本容量為36,由于按抽樣,無法得到整數(shù)解,因此考慮先剔除1人,將抽樣比變?yōu)?若從老年人中隨機(jī)地剔除1人,則老年人應(yīng)抽取(人),中年人應(yīng)抽取(人),青年人應(yīng)抽取(人),從而組成容量為36的樣本.二、填空題7．某公司在甲、乙、丙、丁四個(gè)地區(qū)分別有150個(gè)、120個(gè)、180個(gè)、150個(gè)銷售點(diǎn).公司為