江蘇省揚州市高郵市2023-2024學年高一年級上冊12月月考試題 數(shù)學 含解析

2023-2024學年第一學期高一年級12月學情調研測試

數(shù)學試題

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的.

1,設集合人斤1<“<5},集合'={°24,6},則McN的子集個數(shù)為（）

A.3B.4C.7D.8

2.函數(shù)/（x）為定義在卜1,2。+1］上的偶函數(shù)，則實數(shù)。等于（）

A.-1B.1C.0D.無法確定

，貝

3.設。=logs?！?，人—2tc=log23,1]()

A.c>b>aB.c>a>bC.a>c>bD.b>c>a

9

4.設lg3=a,lg5=6,則lg^=()

aa

A.-B.2a+2b—2C.2a-2bD.

bl-b

丫

5.函數(shù)2x+1+1的大致圖象為（）

'）10Y-10-x

6.若函數(shù)y=x2—2x—3的定義域為［―1/］,值域為［-4,0］,則實數(shù)/的取值范圍為（）

A.1</<3B.1</<3C.-l</<3D.-1</<3

7.已知曲線^=logfl(x-2)+l(a>0且awl)過定點(5,。，若加+〃=5-且加>0,〃〉0,則2+,

mn

的最小值為（)

A16B.10C.8D.4

8.已知函數(shù)=--2a—1,且f(x)滿足：對任意Xy,x2G[1,4],XJx2,都有

X

(X1-X2)[Xl/(X1)-Xif(X2)]>0>則實數(shù)。的取值范圍是()

1177

A.—00—B.—,+00C.—,+00—00—

2222

二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每題給出的四個選項中，有多項

符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.下列命題是真命題的有（）

A."mx>0,》26'”的否定為“皆《0,x<e

8.“〃〉3且6〉3”是“ab>9”的充分不必要條件.

C.“Qw0”是“w0”的必要不充分條件.

D."a—6=0”的充要條件是“-=r\

b

10.已知函數(shù)/（》）=1。8“%圖象經過點（27,3）,則下列結論正確的有（）

A./（X）在（0,+。）上為增函數(shù)

B./（x）為偶函數(shù)

若x>L則/(x)〉0

X]+x〉/(匹)+/(々)

D.若占>%>0，則/2

22

II.下列說法正確的是（）

A.x+，的最小值是2二^的最大值是:

B.

x4-工+12

C.Vx2+2+14

一1、一的最小值是2D.2-3%——（x>0）的最大值是2—4班

VX2+2x

12.函數(shù)/（力=%（1+4區(qū)），則（

A.對任意實數(shù)。，都有/（x）的圖象關于原點對稱.

B.存在實數(shù)。，使得/（X）的圖象關于V軸對稱.

C.對任意實數(shù)a<0,關于元的方程/(X)+」-=0有3個實數(shù)根.

8a

D.若任意實數(shù)占戶2，當占，總有/(七)，貝!la?O.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.若關于x的不等式/+辦_5<。的解集為(―5,1),則不等式狽2+%—3>0的解集為.

14.已知函數(shù)/(%)=31+6的圖象不過第二象限，則實數(shù)6的取值范圍是.

15已知函數(shù)/(x)=ln(Jl+x2-x)+3,則/(lg5)+/1lgj=.

16.關于美的不等式ax+l_2jx—3x2〉0恒成立,則實數(shù)。的取值范圍是.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出必要文字說明、證明過程或演算步驟.

17.計算下列各式的值：

(1)0.125-7(—2『+兀。

log53

(2)21g2+lg25-5+log4V2.

18.已知幕函數(shù)/(x)="+/〃—5)廿+2的圖象不過原點.

(1)求函數(shù)/(X)解析式；

x>0時,g(x)=2/(x)+京,

(2)若g(x)是定義在｛x|x#0｝上的偶函數(shù),當求g(x)的解析式.

19.已知函數(shù)/(x)=/^+l是奇函數(shù).

(1)求/(x)的定義域及實數(shù)。的值；

(2)用單調性定義判定/(x)的單調性.

20.某加工廠要安裝一個可使用25年的太陽能供電設備.使用這種供電設備后，該加工廠每年額外消耗的電

a-2x(c”\

F，(OWXW45)

費。(單位：萬元)與太陽能電池板面積尤(單位：平方米)之間的函數(shù)關系為C(x)=<

翌(x〉45)

JC

(。為常數(shù)).已知太陽能電池板面積為40平方米時，每年額外消耗的電費為2.5萬元，安裝這種供電設備

的工本費為0.1X(單位：萬元)，記S(x)為該加工廠安裝這種太陽能供電設備的工本費與該加工廠25年

額外消耗的電費之和.

(1)求出C(x)、S(x)的解析式；

(2)當x為多少平方米時，S(x)取得最小值？最小值是多少萬元？

21.已知函數(shù)/(X):；.

(1)求不等式/(x)<g的解集；

(2)若函數(shù)y=[/(x)T+a{/(x)—3-1,x20的最小值為0,求實數(shù)?的值.

22.我們知道，函數(shù)/(x)圖象關于原點中心對稱的充要條件是/(x)為奇函數(shù).該命題可以推廣為：函數(shù)

/(x)的圖象關于點尸(九〃)成中心對稱的充要條件是V=/(X+加)為奇函數(shù).已知函數(shù)

/(x)=ln——(e為自然對數(shù)的底數(shù)，約為2.718)

x+1

(1)求函數(shù)/(X)的函數(shù)值為0的X的值；

(2)探求函數(shù)/(x)圖象的對稱中心；

(3)寫出/(x)的單調區(qū)間(無需過程)，求不等式/(41+/(—29—1)〉2的解集.

2023-2024學年第一學期高一年級12月學情調研測試

數(shù)學試題

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的.

1,設集合人斤1<“<5},集合'={°24,6},則McN的子集個數(shù)為（）

A.3B.4C.7D.8

【答案】D

【解析】

【分析】由交集的運算及子集的概念計算即可.

【詳解】由題意可知={0,2,4},有三個元素，

故其子集的個數(shù)為23=8個.

故選：D

2.函數(shù)/（x）為定義在［-l,2a+l］上的偶函數(shù)，則實數(shù)。等于（）

A.-1B.1C.0D.無法確定

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義域關于原點對稱即可得解.

【詳解】因為函數(shù)/（x）為定義在［-1,2a+1］上的偶函數(shù)，

所以-1+2。+1=0,解得。=0.

故選：C.

3.設。=log3（）.l,b=2—'c=log23-貝U（）

A.c>b>aB.c>a>bC.a>c>bD.b>c>a

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調性確定出。，仇c與0」的大小關系，由此可得結果.

【詳解】因為y=log2X,y=log3X在（0,+力）上單調遞增，y=2*在（-*+②）上單調遞增,

所以a=log30.1<log31—0,0<6=2§<20二1'1二bg22<log23=c,

所以。>Z)〉Q,

故選：A.

9

4.設lg3=a,lg5=b,則lg^=()

A.-B.2a+26-2C.2a-2bD.

b1-b

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)對數(shù)的運算性質進行求解即可.

ain

【詳解】叼=3974=233-2妒=2"23=2”2（娛。75）=2"2（—）=2"2+純

故選：B

5.函數(shù)/（x）=x的大致圖象為（）

['10T-10-x

【答案】B

【解析】

【分析】先分析/（X）的奇偶性，然后根據(jù)x>0時/（x）的正負判斷出正確圖象.

【詳解】因為10;l（TwO,所以xwO,所以定義域為｛x|"0｝且關于原點對稱,

2

又因為/（_》）=x+l=_/（X）,所以/（X）為奇函數(shù)，故排除CD,

10"10,iox-io-

又因為x>0時，x〉—X,10'—10-'>0，所以x>0時/（x）>0,故排除A,

故選：B.

6.若函數(shù)了=——2x—3的定義域為[—I/],值域為[-4,0],則實數(shù)/的取值范圍為(

A.1</<3B.1</<3C.-l</<3D.-1</<3

【答案】A

【解析】

【分析】確定/。)=—4,/(—1)=/(3)=0,根據(jù)值域得到參數(shù)范圍.

[詳解]y=/(x)=x2_2x_3=(x—l)2_4,/(1)=-4,/(-1)=/(3)=0,

函數(shù)/(x)的定義域為[—1/],值域為[-4,0],則實數(shù)/的取值范圍為1〈/<3.

故選：A.

7.已知曲線歹=loga(x—2)+l(a>0且awl)過定點(s/),若加+〃=s-7且加>0,n>0,則2+,

mn

的最小值為()

A.16B.10C.8D.4

【答案】C

【解析】

【分析】先由對數(shù)函數(shù)過定點，得出(S,。，再結合基本不等式得出結果.

【詳解】因為曲線y=loga(x—2)+1(a>o且awl)過定點(s,/),

所以x-2=l,x=3ns=3,，=

則加+〃=s—/=2,

11(91]/、1(9〃加八11_\9nm

所以一+—=—x—+—?(冽+〃)=—x9+—+—+l>—10+2J—x一二o8,

mn2\mn)21加〃J2(vmn,

當且僅當——二—(加>0/>0),即3〃=加=—時取等號，

mn4

故選：C

8.已知函數(shù)f(x)=x-\-----2Q—I,且/(x)滿足：對任意xl9x2￡[1,4],占w都有

(xl-x2)[xl/(xl)-x2/(x2)]>0,則實數(shù)。的取值范圍是()

I7

A.B.-,+oo—,+00

2

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)不等式判斷函數(shù)的單調性，結合二次函數(shù)的單調性進行求解即可.

【詳解】不妨設再,/e[L4],X]>x2,

由(X]—/)昌/(西)一%/(%)]>0nxj(石)一//(%)〉0=(X)〉%/(%)，

設g(x)=xf(x)=x2_(2a+l)x+a,xe[l,4],

因為當國>了2時，有再/(再)>了2/(%2),即g(xj〉g(%2),

所以函數(shù)g(x)在xe[l,4]時單調遞增，g(x)的對稱軸為x=，

所以有2"+1Wl=>a,

22

故選：A

二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每題給出的四個選項中，有多項

符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.下列命題是真命題的有()

A."Hx>0,》》/"的否定為“曾(0,x<e='.

B.“a>3且方>3”是“仍>9”的充分不必要條件.

C.“aw0”是“。3w0”的必要不充分條件.

d

D."a—b=0”的充要條件是“一=1

b

【答案】BC

【解析】

【分析】利用特稱命題的否定形式可判定A,利用充分、必要條件的定義可判定B、C、D.

【詳解】對于A項，“mx>0,xNe'”的否定為“Hx>0，x<e，"，故A錯誤；

對于B項，由“a>3且6>3”可推出“仍>9”成立，滿足充分性，

而“ab>9"不能推出”。>3且6>3”不滿足必要性，故B正確；

對于C項，由“awO”不能得到“abwO”，因為6是否為零不確定，即不滿足充分性，

而由"abwO"可得"awO"且"6/0",滿足必要性，故C正確；

d

對于D項，由“a—3=0”可得。=6,但不能推出“一=1”，因為6是否為零不確定，故D錯誤.

b

故選：BC

10.已知函數(shù)/(x)=log。x圖象經過點(27,3),則下列結論正確的有(

A./(x)在(0,+8)上為增函數(shù)

B./(x)為偶函數(shù)

C.若x>l,則/(%)>0

DTxr〉。，則詈］〉/、)；/(%)

【答案】ACD

【解析】

【分析】根據(jù)/(27)=3先求解出。的值，由此可判斷A；根據(jù)定義域可判斷奇偶性即可判斷B；根據(jù)單調

性分析/(x),/(l)的大小關系可判斷C；根據(jù)對數(shù)運算結合對數(shù)函數(shù)單調性可判斷D.

【詳解】因為/(27)=3,所以log“27=3,所以3"=27,a=3,

對于A：因為a>l,所以/(x)在(0,+")上為增函數(shù)，故正確;

對于B：/(X)定義域為(0,+勸且不關于原點對稱，所以/(x)不為偶函數(shù)，故錯誤;

對于C：因為/(x)在(0,+”)上為增函數(shù)，所以x>l時/(x)>/⑴=log31=0,故正確;

對于D：因為/仔，上］=1083仔彳”］,正)|^^=：1083%+；1083》2=1。836^，

又西〉工2>0時，4j%—J1］/=X6-4^)>0，所以再>J'1/，

所以/［宥卜/&);/(%),故正確；

故選：ACD.

II.下列說法正確的是()

A.XH—的最小值是2B.工-的最大值是:

x4一'+12

1D.2-3x」(x>0)的最大值是2—40

C.6+2+/、的最小值是2

G+2x

【答案】BD

【解析】

【分析】A：考慮x<0的情況；B：利用換元法求解出最大值；C：考慮取等條件是否成立；D：利用基本

4

不等式求解出3x+—的最小值，則原式最大值可求.

【詳解】對于A：當x<0時，x+-=-(-x)+-^—<-2(-x)x-^—=-2,當且僅當x=—1時取等

X(-x)J'(-X)

號，故錯誤；

2Tl11

對于B：4~x+1~2~x+2X~1ex，令2'=/>0，原式等價于’1'>人

__+2t+-

110<----<—1

又因為/+lN2/fxL=2,當且僅當r=1時取等號，所以，1一2,所以最大值為:，故正確;

tVtt+z

對于c：因為4rd

當且僅當J》+2=一—時取等號,此時X無解，所以等號不成立，故C錯誤;

x2+2

對于D：當x>0時，2-3x-3=2-|3xx-=2-4^,

當且僅當3x=±即色時取等號，所以最大值為2-4道，故正確;

x3

故選：BD.

12.函數(shù)/(X)=x(l+a|x|),則()

A.對任意實數(shù)。，都有/(x)的圖象關于原點對稱.

B.存在實數(shù)。，使得/(x)的圖象關于V軸對稱.

C.對任意實數(shù)a<0,關于x的方程/(x)+[=0有3個實數(shù)根.

D.若任意實數(shù)占戶2，當占，總有/(占)。/(》2)，則a之0.

【答案】ACD

【解析】

【分析】確定/(T)=-〃x)得到A正確,B錯誤，畫出函數(shù)圖像,根據(jù)圖像確定C正確,考慮a<0,a=0,

a>0三種情況，結合圖像得到D正確，得到答案.

【詳解】對選項A：/(-x)=-x(l+?|x|)=-/W)函數(shù)定義域為R，是奇函數(shù)，正確；

對選項B：函數(shù)為奇函數(shù)且不恒為零，

故不存在實數(shù)。，使得/(x)的圖象關于y軸對稱，錯誤；

aX

對選項C：f(x)=<0/(x)+J-=o,即/(叫=一，a<0,

-ax+x,x<08a8。

畫出函數(shù)圖像，如圖所示:

根據(jù)圖像知有3個交點，正確；

對選項D：當再7/，總有/(西)//(》2)，故函數(shù)為單調函數(shù),

“、\ax1+x,x>0

/⑴二彳，

-ax+x,x<0

當a<0時，根據(jù)圖像1知不滿足條件；

當4=0時，f(X)=X,滿足條件；

綜上所述：a>Q,正確；

故選：ACD

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.若關于x的不等式一+"―5<0的解集為(-5,1),則不等式以2+》—3>0的解集為

【答案】(-°0,-

【解析】

【分析】由已知不等式解集確定參數(shù)a=4,再求出不等式4/+x—3〉0的解集即可.

【詳解】因為關于X的不等式x2+ax-5<0的解集為(-5,1),

所以X]=—5,X2=1是方程—+ax—5=0的兩個根，由韋達定理可知a=4,

所以代入不等式可得4/+》—3〉0，

解得X的取值范圍為(―8,—l)u1j+8；

故答案為：(-°0,-1)U

14.已知函數(shù)/(x)=3,i+b的圖象不過第二象限，則實數(shù)6的取值范圍是.

【答案】[-叫-；

【解析】

【分析】利用指數(shù)函數(shù)的性質與圖象計算即可.

【詳解】由已知可知：/(》)=31+6在口上單調遞增，

故若要符合題意需：/(O)=3°-1+Z><O^Z)<-1.

故答案為：[―叱一；

15.已知函數(shù)/3=山(，17^"-》)+3,則/(lg5)+/]lg[]=.

【答案】6

【解析】

【分析】先根據(jù)題意求出/(-x)+/(x)的值，然后再求/(lg5)+/1lg，的值即可.

【詳解】由/(x)=ln(Jl+x2—x)+3,xeR,

得/(-x)+/(x)=ln(Jl+%2+x)+3+ln(Jl+x2-x)+3=In(1+^:2-x2)+6=6,

所以/(lg5)+/Bg()=/(lg5)+/(—Ig5)=6.

故答案為：6.

16.關于x的不等式ax+l_2jx—3x2〉0恒成立,則實數(shù)。的取值范圍是.

【答案】(—2,+8)

【解析】

【分析】利用分類討論，分離參數(shù)計算即可.

【詳解】由題意可知》一3》2NOnxeO,J,

顯然當x=O時，原不等式恒成立，止匕時aeR,

當,原式等價于°〉些三豆Zlna〉2口

13」x\xx

易得令F^=tn2t—『+3)<a

對于函數(shù)g(/)=—『+2/—3(/20),易知g(/)<—2,

故a〉—2.

故答案為：(—2,+℃)

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出必要文字說明、證明過程或演算步驟.

17.計算下列各式的值：

(1)0.125-3+J(-2『+兀。

1O853

(2)21g2+lg25-5+log4V2.

【答案】(1)11

⑵-3

4

【解析】

【分析】(1)由指數(shù)函數(shù)的運算得出結果；

(2)由對數(shù)函數(shù)的運算得出結果.

【小問1詳解】

原式=2+8+1=11

【小問2詳解】

113

原式=21g2+21g5_3+_=2—3+—=—三

444

18.已知幕函數(shù)/(x)=(蘇+加—5)廿+2的圖象不過原點.

(1)求函數(shù)/(X)解析式;

⑵若g(x)是定義在｛x|xwo｝上的偶函數(shù)，當x>o時，g(x)=2/(x)+-^-y,求g(x)的解析式.

【答案】18./(%)=-

X

2

—+x,x>0

x

19.g(x)=<

2

----x,x<0

x

【解析】

【分析】(1)由已知得出加？+加—5=1，求解得出加的值.結合圖象不過原點，即可得出答案;

(2)代入得出尤>0時，g(x)的解析式.然后根據(jù)偶函數(shù)的性質，得出x<0的解析式.

【小問1詳解】

由題意加之+加—5=1，解得：加=2或加=一3,

故/(x)=J或/(x)=1.

X

又幕函數(shù)/(x)=(蘇+加—5)/+2的圖象不過原點，

故/(x)=1

X

【小問2詳解】

12

當x>0時，g(x)=2f(x)+——=-+x.

/\2

X/x<0,則-x>0,g(~xj-----x.

JC

2

又因為g(x)是偶函數(shù)，所以g(x)=g(-x)=----X.

X

’2

—+x,x>0

綜上,g(x)=<\

----x,x<0

、x

a

19.已知函數(shù)/卜)=5力+1是奇函數(shù).

(1)求/(X)的定義域及實數(shù)。的值；

(2)用單調性定義判定/(x)的單調性.

【答案】（1）定義域為（一”,0）U（0,+8）,0=2

（2）答案見解析

【解析】

【分析】（1）根據(jù)分母不等于零即可求出函數(shù)的定義域，根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)可得/（-X）=-/（%）,進而可

求出。；

（2）利用作差法判斷即可.

【小問1詳解】

由2*—1彳0，得尤力0,

所以/（X）的定義域為（—8,0）U（0,+8）,

ZV

因為/（x）=^J+l是奇函數(shù)，貝lJ/（—x）=—/（x），

2—1

x

即3+1=-a「a?2a

-----------1-],即-----------1-----------

2%-1）1—2、2Y-1

所以"Q-1）=_2,則—。=—2,

\-r?

所以4=2;

【小問2詳解】

VX1?X2G（0,+8）,X1＜X2,

=+1]/，—+[=/2（2；J）

I"I，（2即-1）（2J）（2X,-1）（2%2-1）

由0＜西＜%,得2工2-2為＞0，2為一1〉0，2他一1〉0，

則/（再）-/（々）＞0,即/（再）＞/（々）,

所以/（X）在（0,+。）上單調遞減，

同理/（X）在0）上單調遞減.

20.某加工廠要安裝一個可使用25年的太陽能供電設備.使用這種供電設備后，該加工廠每年額外消耗的電

a-2x小

------,（0<x<45）

20l7

費。（單位：萬元）與太陽能電池板面積x（單位：平方米）之間的函數(shù)關系為C（x）=＜

明…）

X

(。為常數(shù)).已知太陽能電池板面積為40平方米時，每年額外消耗的電費為2.5萬元，安裝這種供電設備

的工本費為0.1X(單位：萬元)，記S(x)為該加工廠安裝這種太陽能供電設備的工本費與該加工廠25年

額外消耗的電費之和.

(1)求出C(x)、S(x)的解析式；

(2)當x為多少平方米時，S(x)取得最小值？最小值是多少萬元？

130-2x,.325

口1，(。6斗5)^-2.4x,(0<x<45

【答案】⑴C(x)=-S(x)=，

”(x〉45)'^^+0.1x,(x>45)

、x

(2)當x為150平方米時，S(x)取得最小值，最小值是30萬元.

【解析】

【分析】⑴根據(jù)條件先求解出。的值，然后C(x)可知，再根據(jù)S(x)=25C(x)+0.1x表示出S(x)；

(2)分類討論S(x)的最小值：當0WxW45時，根據(jù)一次函數(shù)的單調性求解出最小值，當x>45時，利

用基本不等式求解出最小值，最后S(x)的最小值以及x的值可確定.

【小問1詳解】

根據(jù)尤=50時,C(x)=2.5,

當0WxV45,C(x)=-所以^-------=2.5,解得a=130.

v72020

130-2x,,

-—，(—)

所以0(x)=L,

—,(x>45)

因為S(x)=25C(x)+0.1x,

4,5

--2.4x,(O<x<4

2

所以S(x)=-

^^+0.1x,(x>45)

【小問2詳解】

當0WxV45,S(x)單調遞減，所以S(x)mm=5(45)=54.5,

當x>45,S(x)=+O.lx>2欄X(o.lx)=27225=30.

xvx

2250

當且僅當一上=0.5即X=150時等號成立，故s(x)mm=30,

X

綜上所述，5(x)mm=30,止匕時x=150,

故當x為150平方米時，S(x)取得最小值，最小值是30萬元.

21.已知函數(shù)/(x)二；.

(1)求不等式/(x)<g的解集；

(2)若函數(shù)y=[/⑴丁+a?[/(1)-3一%],x20的最小值為0,求實數(shù)〃的值.

【答案】(1)(-1,1)

(2)a——2

【解析】

【分析】(1)將問題轉化為關于3*的不等式，然后通過換元法令/=3"以及一元二次不等式的解法求解出

解集；

(2)先化簡函數(shù)，然后通過換元法令/=3、-3-“將函數(shù)轉變?yōu)殛P于/的二次函數(shù)，通過對稱軸結合單調性

求解出。的值.

【小問1詳解】

/(x)<|<?<|^3(3x)--10-3T+3<0，

令t=3,，則3/-10/+3<0,得:</<3,

即3T<3￡<3，所以

所以原不等式的解集為(-1,1).

【小問2詳解】

「，/用「,/、o-x-l「3*+3-阡3*-3一、32X+3-2X+23*-

了=[/卜)」+a-y(x)-3'J=---+a--