2023年新高考數(shù)學(xué)創(chuàng)新題型05 向量（數(shù)學(xué)文化）（解析版）

2023年新高考數(shù)學(xué)創(chuàng)新題型微專題（數(shù)學(xué)文

化、新定義）專題05向量專題（數(shù)學(xué)文化）

一、單選題

1.（2022?全國?高三專題練習(xí)）2022年北京冬奧會開幕式中，當(dāng)《雪花》這個節(jié)目開始后，一片巨大的“雪

花”呈現(xiàn)在舞臺中央，十分壯觀.理論上，一片雪花的周長可以無限長，圍成雪花的曲線稱作“雪花曲線”，

又稱“科赫曲線”，是瑞典數(shù)學(xué)家科赫在1904年研究的一種分形曲線.如圖是“雪花曲線”的一種形成過程：

從一個正三角形開始，把每條邊分成三等份，然后以各邊的中間一段為底邊分別向外作正三角形，再去掉

底邊，重復(fù)進(jìn)行這一過程.已知圖①中正三角形的邊長為6,則圖③中OM?ON的值為（）

2.（2023?全國?高三專題練習(xí)）莊嚴(yán)美麗的國旗和國徽上的五角星是革命和光明的象征.正五角星是一個非

常優(yōu)美的幾何圖形，且與黃金分割有著密切的聯(lián)系，在如圖所示的正五角星中，以4,B,C,D,E為頂點

的多邊形為正五邊形,且珠=與.下列關(guān)系中正確的是（）

A.BP-TS=^^RS

2

B.CQ+TP=——TS

√5-1

C.ES-AP=^-BQ

―-,Js-I一

D.AT+BQ=^-CR

3.（2023?全國?高三專題練習(xí)）數(shù)學(xué)家歐拉于1765年在他的著作《三角形的幾何學(xué)》中首次提出定理：三角

形的外心、重心、垂心依次位于同一條直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，該直線被稱

為三角形的歐拉線，設(shè)點O,G,"分別為任意，ABC的外心、重心、垂心，則下列各式一定正確的是（）

A.OG=-OHB.OH=-GH

23

CSAO+2AHC“IBO+BH

C?AG=-------------L）.BG=------

33

4.（2021秋?山東威海.高三統(tǒng)考期中）向量旋轉(zhuǎn)具有反映點與點之間特殊對應(yīng)關(guān)系的特征，在電子信息傳導(dǎo)

方面有重要應(yīng)用.平面向量旋轉(zhuǎn)公式在中學(xué)數(shù)學(xué)中用于求旋轉(zhuǎn)相關(guān)點的軌跡方程具有明顯優(yōu)勢，已知對任

意平面向量A8=（x,y）,把AB繞其起點沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)。角得到向量AP=（XCOsθ-ysin"XSin6+ycos6）,

叫做把點8繞點A沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)夕角得到點P,已知平面內(nèi)點4（1,2）,點80-0,2+20）,點B繞點

A沿順時針方向旋轉(zhuǎn)二后得到點尸，則點尸的坐標(biāo)為（）

4

A.（1,3）B.（-3,1）C.（2,5）D.（-2,3）

5.（2022?高一課時練習(xí)）我校八角形?；沼蓛蓚€正方形疊加變形而成，喻意”方方正正做人“，又寄托南開

人”面向四面八方，胸懷博大，廣納新知，銳意進(jìn)取”之精神，如圖，在抽象自“南開校徽”的多邊形中，已知

其由一個正方形與以該正方形中心為中心逆時針旋轉(zhuǎn)45后的正方形組合而成，己知向量”，k，則向量α（）

A.2n+3kB.（2+0）〃+3%

C.（2+V^）“+（2+>^）ZD.1+>∕2j>7+2+?f2jk

6.（2022春?黑龍江黑河?高一嫩江市高級中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）下面圖1是某晶體的陰陽離子單層排列的平

面示意圖.其陰離子排列如圖2所示，圖2中圓的半徑均為1,且相鄰的圓都相切，A、8、C、O是其中

四個圓的圓心，則48?CO=（）.

圖1

7.（2022?全國?高三專題練習(xí)）偉大的法國數(shù)學(xué)家笛卡兒（DeSCarteSl596?1650）創(chuàng)立了直角坐標(biāo)系.他用平

面上的一點到兩條固定直線的距離來確定這個點的位置，用坐標(biāo)來描述空間上的點，因此直角坐標(biāo)系又被

稱為“笛卡爾系”；直角坐標(biāo)系的引入，將諸多的幾何學(xué)的問題歸結(jié)成代數(shù)形式的問題，大大降低了問題的難

度，而直角坐標(biāo)系，在平面向量中也有著重要的作用；在正三角形ABC中，。是線段BC上的點，AB=3,

BD=-I,則AB?AD=（）.

A.3B.6C.9D.12

8.（2021春?福建福州?高一?？茧A段練習(xí)）“勾3股4弦5”是勾股定理的一個特例.根據(jù)記載，西周時期的數(shù)

學(xué)家商高曾經(jīng)和周公討論過“勾3股4弦5”的問題，畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)勾股定理早了500多年，如圖，在矩形

ABCD中，一ABC滿足“勾3股4弦5"，且AB=3,E為AD上一點、,BEJ_AC.若BE=TlBA+,則幾+〃

的值為（）

AT

B-?CTD.1

9.（2022春?北京?高一北京市第二十五中學(xué)校考期中）據(jù)《九章算術(shù)》記載，商高是我國西周時期的數(shù)學(xué)家,

曾經(jīng)和周公討論過“勾3股4弦5”的問題，比畢達(dá)哥拉斯早500年.如圖，現(xiàn)有：ΛBC滿足“勾3股4弦5”,

其中AC=3,BC=4,點。是CB延長線上的一點，則4C?AO=（）

C.9D.不能確定

10.（2022?全國?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）黃金分割（Go/de”SeS?°”）是一種數(shù)學(xué)上的比例關(guān)系.黃金分割具有

嚴(yán)格的比例性、藝術(shù)性、和諧性，蘊(yùn)藏著豐富的美學(xué)價值.應(yīng)用時一般取0.618,就像圓周率在應(yīng)用時取3.14

一樣.高雅的藝術(shù)殿堂里，自然也留下了黃金數(shù)的足跡.人們還發(fā)現(xiàn)，一些名畫、雕塑、攝影作品的主題，大

多在畫面的0.618處.藝術(shù)家們認(rèn)為弦樂器的琴馬放在琴弦的0.618處，能使琴聲更加柔和甜美.黃金矩形

（Go/"e〃Rectang∕e）的長寬之比為黃金分割率，換言之，矩形的長邊為短邊1.618倍.黃金分割率和黃金矩形

能夠給畫面帶來美感，令人愉悅.在很多藝術(shù)品以及大自然中都能找到它.希臘雅典的巴特農(nóng)神廟就是一個很

好的例子，達(dá)?芬奇的《維特魯威人》符合黃金矩形.《蒙娜麗莎》中蒙娜麗莎的臉也符合黃金矩形，《最后

的晚餐》同樣也應(yīng)用了該比例布局.2000多年前，古希臘雅典學(xué)派的第三大算學(xué)家歐道克薩斯首先提出黃金

分割.所謂黃金分割，指的是把長為A的線段分為兩部分，使其中一部分對于全部之比，等于另一部分對于

該部分之比，黃金分割比為存U.6⑻其實有關(guān)“黃金分割”，我國也有記載，雖沒有古希臘的早，但它

是我國數(shù)學(xué)家獨(dú)立創(chuàng)造的.如圖，在矩形ABC。中，AC,30相交于點。，BFlAC,DHlAC,AEYBD,

CGLBD,BE=^^-BO,貝IJBF=（）

2

A.$A+2GB.^HBA+L^BG

210210

C6-1RA:5-非ncD.■BA+叵BG

21025

11.（2022秋?寧夏銀川?高三銀川一中?？茧A段練習(xí)）圓是中華民族傳統(tǒng)文化的形態(tài)象征，象征著“圓滿”和“飽

滿“，是自古以和為貴的中國人所崇拜的圖騰.如圖，AB是圓。的一條直徑，且IABl=4.C,。是圓。上

的任意兩點，IsI=2,點尸在線段CO上，則/%.PB的取值范圍是（）

A.[-1,2]B.[√3,2]C.[3,4]D.[-1,0]

12.（2023?全國?高三專題練習(xí)）下如圖是世界最高橋——貴州北盤江斜拉橋.下如圖是根據(jù)下如圖作的簡易

側(cè)視圖（為便于計算，側(cè)視圖與實物有區(qū)別）.在側(cè)視圖中，斜拉桿以，PB,PC,P。的一端尸在垂直于水

平面的塔柱上，另一端A,B,C,。與塔柱上的點。都在橋面同一側(cè)的水平直線上.已知AS=8m,BO=16m,

PO=↑2m,P8?pc=0?根據(jù)物理學(xué)知識得g（PA+P8）+g（PC+PC）=2PO,則8=（）

A.28mB.20mC.31mD.22m

13.（2022?全國.高三專題練習(xí)）我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”，后人稱為“趙

爽弦圖”,它是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形，如圖所示,若D4=〃?，OC=",

AF=^AE,則法■=()

14.（2022春?江蘇南京.高三金陵中學(xué)?？茧A段練習(xí)）2021年第十屆中國花卉博覽會興辦在即，其中，以“蝶

戀花”為造型的世紀(jì)館引人注目（如圖①），而美妙的蝴蝶輪變不僅帶來生活中的賞心悅目，也展示了極致

的數(shù)學(xué)美學(xué)世界.數(shù)學(xué)家曾借助三角函數(shù)得到了蝴蝶曲線的圖像，探究如下：如圖②，平面上有兩定點。,

A,兩動點B,Q,且IOd=IQB卜1,。4繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)到OB所形成的角記為9.設(shè)函數(shù)

l,x>0

/(0)=4?sign(S-sin56,(-%WeWl),其中，sign(x)=,O,x=O,令夕=/(。)，作。Q=。。^隨著。的

—1,?<O

變化，就得到了Q的軌跡，其形似“蝴蝶則以下4幅圖中，點。的軌跡（考慮糊蝶的朝向）最有可能為（）

,Q

[?

D.

15?（2023秋?云南?高三云南師大附中?？茧A段練習(xí)）窗花是貼在窗紙或窗戶玻璃上的剪紙，是中國古老的

漢族傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一，它歷史悠久，風(fēng)格獨(dú)特，深受國內(nèi)外人士所喜愛.如圖甲是一個正八邊形窗花隔

斷，圖乙是從窗花圖中抽象出的幾何圖形示意圖.已知正八邊形ABCD￡FG〃的邊長為2近，例是正八邊

形ABC-OEFG”邊上任意一點，則M4?M8的最大值為（）

G

M

DE

甲乙

A.30+4√2B.28+8√2C.26+16√2D.24+16√2

二、多選題

16.（2022?全國?高三專題練習(xí)）古代典籍《周易》中的“八卦”思想在我國建筑中有一定影響.如圖是受“八

卦''的啟示，設(shè)計的正八邊形的八角窗，若。是正八邊形ABCDEFG”的中心，且IABI=1,貝IJ（）

AH與CF能構(gòu)成一組基底B.ODOF=O

OA+oc=EOBD.ACCD=-

2

17.（2022春?廣東揭陽?高一?？茧A段練習(xí)）“圓暴定理”是平面幾何中關(guān)于圓的一個重要定理，它包含三個

結(jié)論，其中一個是相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等.如圖，已知圓。的

半徑為2,點P是圓。內(nèi)的定點，且Op=弦AC、BD均過前P,則下列說法正確的是（）

A.PA?PC為定值B.OA。C的取值范圍是[-2,0]

C.當(dāng)AClB。時，AB?CO為定值D.卜。，84的最大值為12

18.（2021春?江蘇常州?高一常州市北郊高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）（多選）古代中國的太極八卦圖是以同圓內(nèi)

的圓心為界，畫出相等的兩個陰陽魚，陽魚的頭部有陰眼，陰魚的頭部有個陽眼，表示萬物都在相互轉(zhuǎn)化，

互相滲透，陰中有陽，陽中有陰，陰陽相合，相生相克，蘊(yùn)含現(xiàn)代哲學(xué)中的矛盾對立統(tǒng)一規(guī)律.圖2（正八

邊形ABCDEFGH）是由圖1（八卦模型圖）抽象而得到，并建立如下平面直角坐標(biāo)系，設(shè)OA=L則下述四

個結(jié)論，正確結(jié)論是（）

TT

B.在以點。為圓心、OA為半徑的圓中，弦AB所對的弧長為了

4

C.OAOD=叵

2

D.BF=（-√2,-√2）

19.（2022?甘肅張掖?高臺縣第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）八卦是中國文化的基本哲學(xué)概念，如圖1是八卦模型

圖，其平面圖形記為圖2中的正八邊形ABCOEFG”,其中。4=1,則下列結(jié)論正確的有（）

E

A.OAOD=--

2

B.OB+OH=-y[2OE

C.AHHO=BCBO

D.向量。E在向量Afi上的投影向量為-5AB

20.（2020春?廣東東莞?高一校考階段練習(xí)）數(shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次

位于同一條直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，此直線被稱為三角形的歐拉線，該定

理則被稱為歐拉線定理.設(shè)點。、G分別是ABC的外心、重心、垂心，且M為BC的中點，則（）

A.GA+GB+GC=0B.AB+AC=2HM-4MO

C.AH=3OMD.∣OA∣=∣Oβ∣=∣OC∣

21.（2021?全國?高三專題練習(xí)）奔馳定理：已知。是.?,ABC內(nèi)的一點，BOC,^AOC,一AoB的面積分別

為S.,Sn,Sc,則SA?OA+SZJ?OB+SC?OC=0.“奔馳定理''是平面向量中一個非常優(yōu)美的結(jié)論，因為這個

定理對應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車（MerCedes%〃z）的很相似，故形象地稱其為“奔馳定理''.若。、P是銳角

ABC內(nèi)的點，A、8、C是A5C的三個內(nèi)角，且滿足PA+PB+PC=gc?,OAOB=OBoC=OCOA，

則（）

A.S4PAB:PBC?SAPCA=4:2:3

B.NA+NBOC=π

C.|OA|:|OB|:|OC|=COS^:COS5:COSC

D.tanAOA+tanBOB+tanCOC=O

三、填空題

22.（2020秋?四川成都?高一成都七中校考階段練習(xí)）早在兩千多年前，我國首部數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》中，

就提出了宛田（扇形面積）的計算方法:“以徑乘周，四而一."（直徑與弧長乘積的四分之一）.已知扇形AoB的弧

長為2%,面積為6/設(shè)IoA+OB∣=λ∣AB∣,則實數(shù)Λ等于.

23.（2022秋?四川內(nèi)江?高三四川省隆昌市第一中學(xué)?？奸_學(xué)考試）《易經(jīng)》是闡述天地世間關(guān)于萬象變化的

古老經(jīng)典，如圖所示的是《易經(jīng)》中記載的幾何圖形——八卦圖.圖中正八邊形代表八卦，中間的圓代表陰

陽太極圖，其余八塊面積相等的圖形代表八卦圖.已知正八邊形ASCDE尸G//的邊長為2,尸是正八邊形

ABCDEFGH所在平面內(nèi)的一點，則PA-PB的最小值為.

24.（2022秋?全國?高二校聯(lián)考開學(xué)考試）趙爽是我國古代數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，大約在公元222年，趙爽為

《周髀算經(jīng)》一書作序時，介紹了“勾股圓方圖”，亦稱“趙爽弦圖”（以直角三角形的斜邊為邊得到的正方形）.

類比“趙爽弦圖''，構(gòu)造如圖所示的圖形，它是由三個全等的三角形與中間的一個小等邊三角形拼成的一個大

等邊三角形，且Z）E=2AF,點M為AB的中點，點尸是/>￡尸內(nèi)（含邊界）一點,S.MP=AMD-MB,

則X的最大值為.

C

25.（2022?全國?高三專題練習(xí)）中國文化博大精深，“八卦”用深邃的哲理解釋自然、社會現(xiàn)象.如圖（1）

是八卦模型圖，將共簡化成圖⑵的正八邊形ABCOEFGH,若Aβ=l,^AC-AE=

圖⑴

26.（2022春?福建泉州?高一?？计谥校┲麛?shù)學(xué)家歐拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次

位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，此直線被稱為三角形的歐拉線，該定理

被稱為歐拉線定理.已知4?C的外心為O,重心為G,垂心為H,M為BC中點，且AB=5,AC=4,則

下列各式正確的有

①AGBC=-3?AOBC=-6

?OH=OA+Oβ+OC?AB+AC=4OM+2HM

27.（2022?全國?高三專題練習(xí)）笛卡爾坐標(biāo)系是直角坐標(biāo)系與斜角坐標(biāo)系的統(tǒng)稱，如圖，在平面斜角坐標(biāo)

系XOy中，兩坐標(biāo)軸的正半軸的夾角為60。，e∣,1分別是與X軸，）'軸正方向同向的單位向量，若向量

a=xel+ye2,則稱有序?qū)崝?shù)對（x,y）為“在該斜角坐標(biāo)系下的坐標(biāo).若向量加，〃在該斜角坐標(biāo)系下的坐標(biāo)分

別為(3,2),(2,k),當(dāng)A=時，m.n=ll.

28?（2021?湖南?校聯(lián)考二模）根據(jù)《周髀算經(jīng)》記載，公元前十一世紀(jì)，數(shù)學(xué)家商高就提出“勾三股四弦五”,

故勾股定理在中國又稱商高定理.而勾股數(shù)是指滿足勾股定理的正整數(shù)組(aBe),任意一組勾股數(shù)都可以表

a=k^m2-rt2),

示為如下的形式:-b=2kmn,其中k,m〃均為正整數(shù)，且相>〃.如圖所示，！PEF中，PEYPF,

c=k^m2+"2),

PF=12>PE,三邊對應(yīng)的勾股數(shù)中Z=I,〃=2,點M在線段EF上，且EM=m,則9.板=.

四、解答題

29.(2022春?江蘇泰州?高一校考階段練習(xí))數(shù)學(xué)中處處存在著美，機(jī)械學(xué)家萊洛發(fā)現(xiàn)的萊洛三角形就給人

以對稱的美感.萊洛三角形的畫法：先畫等邊三角形A8C,再分別以點ARC為圓心，線段AB長為半徑畫

圓弧，便得到萊洛三角形.如圖所示，已知AB=2,點P,。分別在弧AC，弧4B上，且NPBC=a,∕QCB=f.

TT

(1)若α=五時，求BP?8C的值.

ππULiULMl

⑵若α=Q夕=W時，求8P?CQ的值.

專題05向量專題（數(shù)學(xué)文化）

一、單選題

1.（2022?全國?高三專題練習(xí)）2022年北京冬奧會開幕式中，當(dāng)《雪花》這個節(jié)目開始后，一片巨大的“雪

花''呈現(xiàn)在舞臺中央，十分壯觀.理論上，一片雪花的周長可以無限長，圍成雪花的曲線稱作“雪花曲線”，

又稱“科赫曲線”，是瑞典數(shù)學(xué)家科赫在1904年研究的一種分形曲線.如圖是“雪花曲線”的一種形成過程：

從一個正三角形開始，把每條邊分成三等份，然后以各邊的中間一段為底邊分別向外作正三角形，再去掉

底邊，重復(fù)進(jìn)行這一過程.已知圖①中正三角形的邊長為6,則圖③中OM?ON的值為（）

【答案】A

【分析】在圖③中，以。為坐標(biāo)原點建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，由向量的運(yùn)算求得OMQN的坐標(biāo),

再由數(shù)量積的坐標(biāo)表示計算.

【詳解】在圖③中，以。為坐標(biāo)原點建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，

IoM=4,OM=(2cosy,2sin∣)=(2,2√3),

Q

M=r即MP=q,o),

由分形知PN//0M,所以PN=Wq）

所以O(shè)N=OM+MP+PN=(5,—),

所以。M?0N=2x5+2序友=24.

3

故選：A.

2.（2023?全國?高三專題練習(xí)）莊嚴(yán)美麗的國旗和國徽上的五角星是革命和光明的象征.正五角星是一個非

常優(yōu)美的幾何圖形，且與黃金分割有著密切的聯(lián)系，在如圖所示的正五角星中，以A,B,C,D,E為頂點

的多邊形為正五邊形，且*=空.下列關(guān)系中正確的是（

)

A.BP-TS=J^■RS

2

B.CQ+TP=^^-TS

√5-1

C.ES-AP=-^-BQ

√5-1

D.AT+BQ=^~^~CR

【答案】A

【分析】利用平面向量的概念、平面向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算的幾何意義，便可解決問題.

【詳解】解：在如圖所示的正五角星中，以A,B,C,D,E為頂點的多邊形為正五邊形，且"=避二?.

AT2

uurUlfUirUiruιrJs+]uιr

在A中，BP-TS=TE-TS=SE=—-RS,故A正確；

2

nunUlruιruιrUr?/s.?uιr

在B中，CQ+TP=PA+TP=TA=^-ST,故B錯誤；

在C中，ES-AP=RC-QC=RQ=^^■DR=^^?QB,故C錯誤;

^^CR=RS=RD-SD,

在D中，AT+BQ=SD+RD,

2

若AT+8Q=4!」CR，則So=0，不合題意，故D錯誤.

故選：A.

3.(2023?全國?高三專題練習(xí))數(shù)學(xué)家歐拉于1765年在他的著作《三角形的幾何學(xué)》中首次提出定理：三角

形的外心、重心、垂心依次位于同一條直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，該直線被稱

為三角形的歐拉線，設(shè)點QG"分別為任意.MC的外心、重心、垂心，則下列各式一定正確的是()

A.OG=-OHB.OH=-GH

23

CAO+2AHC“2BO+BH

C.AG=--------------u.BG=--------------

33

【答案】D

【分析】根據(jù)三點共線和長度關(guān)系可知AB正誤；利用向量的線性運(yùn)算可表示出AGBG,知CD正誤.

.O,G,H依次位于同一條直線匕且重心到外心的距離是重心到垂心距離的?半，.?.OG=1G",

2

13

:.0G=-OH,OH^-GH,A錯誤，B錯誤；

32

AG=AO+OG=AO+-OH=A0+-(AH-=?C錯誤；

33v>3

BG=BO+OG=BO+-OH=BO+-(BH-BO?=2B0+BH,D正確.

33、/3

故選：D.

4.(2021秋?山東威海?高三統(tǒng)考期中)向量旋轉(zhuǎn)具有反映點與點之間特殊對應(yīng)關(guān)系的特征，在電子信息傳導(dǎo)

方面有重要應(yīng)用.平面向量旋轉(zhuǎn)公式在中學(xué)數(shù)學(xué)中用于求旋轉(zhuǎn)相關(guān)點的軌跡方程具有明顯優(yōu)勢，已知對任

意平面向量A8=(x,y),把AB繞其起點沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)。角得到向量Ap=(XCos6?-ysin&xsinO+ycos9),

叫做把點B繞點A沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)，角得到點P,已知平面內(nèi)點A(l,2),點B(I-0,2+2√Σ),點B繞點

A沿順時針方向旋轉(zhuǎn)二后得到點尸，則點P的坐標(biāo)為()

4

A.(1,3)B.(-3,1)C.(2,5)D.(-2,3)

【答案】C

【分析】表示出向量AB后，根據(jù)平面向量旋轉(zhuǎn)公式可求得AP，由此可求得P點坐標(biāo).

【詳解】A(l,2),BQ-厄2+2塔,AB=(-√2,2√2),

?「點B繞點A沿順時針方向旋轉(zhuǎn)二等價于點8繞點A沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)與，

44

.?.AP=f-??∕2cos-2>∣2sin->∕2sin+2?∣2cos=(1,3),.?.P(2,5).

故選：C.

5.(2022?高一課時練習(xí))我校八角形?；沼蓛蓚€正方形疊加變形而成，喻意“方方正正做人“，又寄托南開

人”面向四面八方，胸懷博大，廣納新知，銳意進(jìn)取‘’之精神，如圖，在抽象自“南開?；铡钡亩噙呅沃?，已知

其由一個正方形與以該正方形中心為中心逆時針旋轉(zhuǎn)45后的正方形組合而成，已知向量”，k，則向量α()

A.2n+3,kB.(2+夜)〃+3%

C.(2+?/?〃+(2+kD.(1+?/?〃+(2+>∕5^)z

【答案】D

【分析】根據(jù)對稱性可得線段的長度關(guān)系以及點共線，再由向量的加法法則可求解.

【詳解】根據(jù)題意可得W=M,

由該圖形是由正方形中心為中心逆時針旋轉(zhuǎn)45后與原正方形組合而成，如圖

由對稱性可得IABl=IBCl=ICDl=|?！陓=|囤=IQFI,

∣CE∣=∣EF∣=∣FG∣=√2∣AB∣=√2∣∕j∣

由對稱性可得點反。,反。共線，點2￡3共線.

所以BQ=BC+CE+EQ=(2+0)%,QG=QF=FG=(?+41^n

所以a=8Q+QG=(2+?Z+(l+@〃

故選：D

F

9

6.（2022春?黑龍江黑河?高一嫩江市高級中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）下面圖1是某晶體的陰陽離子單層排列的平

面示意圖.其陰離子排列如圖2所示，圖2中圓的半徑均為1,且相鄰的圓都相切，A、8、C、O是其中

四個圓的圓心，則ABCD=（）.

【答案】B

【分析】如圖所示，取e；、C?為一組基底的基向量，其中IeJ=Ie21=1且e；、e2的夾角為60。，將AB和CO化

為基向量，利用平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算律可得結(jié)果.

【詳解】如圖所示，建立以q、e?為一組基底的基向量,

其中IqRe2I=I且4、％的夾角為6?！悖?/p>

/.AB=2e]+4e2,CD=4e]+2e2,

/.AB-CD=(2el+4e2)-(4el+2e2)=8e：+8e；+20e∣?e2=8+8+20xlxlx；=26.

故選：B.

7.(2022?全國?高三專題練習(xí))偉大的法國數(shù)學(xué)家笛卡兒(Descartesl596-1650)創(chuàng)立了直角坐標(biāo)系.他用平

面上的一點到兩條固定直線的距離來確定這個點的位置，用坐標(biāo)來描述空間上的點，因此直角坐標(biāo)系又被

稱為“笛卡爾系”；直角坐標(biāo)系的引入，將諸多的幾何學(xué)的問題歸結(jié)成代數(shù)形式的問題，大大降低了問題的難

度，而直角坐標(biāo)系，在平面向量中也有著重要的作用；在正三角形ABC中，。是線段BC上的點，AB=3,

BD=2,則AB?AO=().

A.3B.6C.9D.12

【答案】B

【解析】以A8、AC為一組基底，表示出AD，再根據(jù)向量的數(shù)量積的定義及運(yùn)算律計算可得；

【詳解】解：在正三角形ABC中，。是線段BC上的點，AB=3,BD=2,所以

AD=AB+-BC=AB+-(AC-AB]=-AB+-AC

33、>33

所以A5?4O=A8∕14B+2AC)=L48°+2AC?A8=1χ32+2χ3x3χ1=6

U3J33332

故選：B

A

BDC

8.（2021春?福建福州?高一校考階段練習(xí)）“勾3股4弦5”是勾股定理的一個特例.根據(jù)記載，西周時期的數(shù)

學(xué)家商高曾經(jīng)和周公討論過“勾3股4弦5”的問題，畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)勾股定理早了500多年，如圖，在矩形

ABCD'V，45C滿足“勾3股4弦5"，且4B=3,E為ADk一點、,8E_LAC.若BE=%54+2BC,則幾+〃

的值為（）

【答案】B

o

【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，進(jìn)而利用向量的坐標(biāo)表示，設(shè)BE=（α,3）,由ACBE=O可得。=彳，再Ill

BA=λBE+μAC,利用坐標(biāo)表示建立方程組求解即可.

【詳解】由題意建立如圖所示直角坐標(biāo)系

因為AB=3,BC=4,則3(0,0),A(0,3),C(4,θ),BA=(O,3),AC=(4,-3),設(shè)B^=(α,3),因為BEj_AC,

9

9fo9?一-Λ+4χ∕=0,

所以AC?8E=4α-9=0,解得a由BA=28E+/MC,得(0,3)=/1匕,3卜〃(4,-3),所以<4

4

3Λ—3∕√=3,

人”，

25

解得

9

7

所以4+〃=穆,

故選：B.

【點睛】本題主要考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算及向量垂直的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題.

9.（2022春.北京.高一北京市第二十五中學(xué)?？计谥校?jù)《九章算術(shù)》記載，商高是我國西周時期的數(shù)學(xué)家,

曾經(jīng)和周公討論過“勾3股4弦5”的問題，比畢達(dá)哥拉斯早500年.如圖，現(xiàn)有MBC滿足“勾3股4弦5”,

其中4C=3,BC=4,點。是CB延長線上的一點，則ACAD=（）

C.9D.不能確定

【答案】C

【解析】根據(jù)JRC滿足“勾3股4弦5”可得ACLCB,再利用平面向量的線性運(yùn)算以及兩個垂直向量的數(shù)

量積為0,可求得結(jié)果.

【詳解】因為AC=3,C3=4,A8=5,所以AC?+CS?=A牙，

所以ACj_C8,所以AC?CB=0,所以ACCD=O,

所以ACAO=AC?(AC+CD)=AC2+AC.8=9+0=9.

故選：C

【點睛】本題考查了勾股定理，考查了平面向量的線性運(yùn)算，考查了兩個垂直向量的數(shù)量積為0,屬于基礎(chǔ)

題.

10.（2022?全國?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）黃金分割（Go/加〃SeS?M）是一種數(shù)學(xué)上的比例關(guān)系.黃金分割具有

嚴(yán)格的比例性、藝術(shù)性、和諧性，蘊(yùn)藏著豐富的美學(xué)價值.應(yīng)用時一般取0?618,就像圓周率在應(yīng)用時取3.14

一樣.高雅的藝術(shù)殿堂里，自然也留下了黃金數(shù)的足跡.人們還發(fā)現(xiàn)，一些名畫、雕塑、攝影作品的主題，大

多在畫面的0.618處.藝術(shù)家們認(rèn)為弦樂器的琴馬放在琴弦的0.618處，能使琴聲更加柔和甜美.黃金矩形

（GHd"Rectang∕e）的長寬之比為黃金分割率，換言之，矩形的長邊為短邊1.618倍.黃金分割率和黃金矩形

能夠給畫面帶來美感，令人愉悅.在很多藝術(shù)品以及大自然中都能找到它.希臘雅典的巴特農(nóng)神廟就是一個很

好的例子，達(dá)?芬奇的《維特魯威人》符合黃金矩形.《蒙娜麗莎》中蒙娜麗莎的臉也符合黃金矩形，《最后

的晚餐》同樣也應(yīng)用了該比例布局?2000多年前，古希臘雅典學(xué)派的第三大算學(xué)家歐道克薩斯首先提出黃金

分割.所謂黃金分割，指的是把長為L的線段分為兩部分，使其中一部分對于全部之比，等于另一部分對于

該部分之比，黃金分割比為西二?a0.618.其實有關(guān)“黃金分割”，我國也有記載，雖沒有古希臘的早，但它

2

是我國數(shù)學(xué)家獨(dú)立創(chuàng)造的.如圖，在矩形ABCQ中，AC,8。相交于點。，BFlAC,DHlACfAELBD,

CGVBD,BE=^^BO,W∣JBF=(

)

A.^HBA+^^-BGB.

210210

C.^1BA+^^-BGD.

21025

【答案】D

【分析】利用平面向量的線性運(yùn)算和平面向量基本定理即可求解.

【詳解】解：BE=^^Bo,顯然BE=DG,BO=OD=^BD,

22

（石川。=昔

所以BG=2-號一BBO,

5+√5

：.BO=-^-=BG=BG,

5-√510

√5-1一√5-1

BF=BA+AF=BA+--AO=BA+—-(BO-BA)=上旦A+叵≤80,

2222

BF=^^BA+立BG,

25

故選：D.

11.（2022秋?寧夏銀川?高三銀川一中?？茧A段練習(xí)）圓是中華民族傳統(tǒng)文化的形態(tài)象征，象征著“圓滿”和“飽

滿”，是自古以和為貴的中國人所崇拜的圖騰.如圖，AB是圓。的一條直徑，且IABI=4.C,。是圓。上

的任意兩點，ICol=2,點P在線段CO上，則以j3的取值范圍是（）

)

B

?70/

-------J

A.[-1,2]B.[√3,2]C.[3,4]D.[-1,0]

【答案】D

【分析】設(shè)。為圓心，連接OP，根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律得到PA?PB=IPOi2-4,根據(jù)點尸在線段C。上，即

可求出IPol的取值范圍，即可得解.

【詳解】解：如圖，。為圓心，連接。P,

則PApB=(PO+OAMPO+OB)=PCf+POOB+POOA+OAOB=PO2+PO(OB+OA)-GA"=|PoI'Y，

因為點P在線段8上且181=2,則圓心到直線Co的距離1=亞二7=百，

所以序忸。[2,

所以瓚JIPoi24,則-1飆POFT0,

即P4P8的取值范圍是[T,3?

故選：D.

12.(2023?全國?高三專題練習(xí))下如圖是世界最高橋——貴州北盤江斜拉橋.下如圖是根據(jù)下如圖作的簡易

側(cè)視圖(為便于計算，側(cè)視圖與實物有區(qū)別).在側(cè)視圖中，斜拉桿布，PB,PC,尸￡＞的一端P在垂直于水

平面的塔柱上，另一端A,8,C,O與塔柱上的點。都在橋面同一側(cè)的水平直線上.已知AB=8m,80=16m,

P0=12m,P8?PC=0?根據(jù)物理學(xué)知識得g(PA+P8)+J(PC+")=2PO,則8=()

【答案】D

【分析】由P3?PC=0,得PBLPC,則可得PO2=O3?OC,可求得OC=9m,M,N分別為AB,8的

中點，則由己知可得。為MN的中點，再結(jié)合己知的數(shù)據(jù)可求得結(jié)果

【詳解】因為尸B?PC=0,所以PBLPC,

因為PO13C,所以aP0Csi?50P,

所以PO僚=O言C，所以PO?=OBOC,

因為BO=I6m,Po=I2m,

所以O(shè)C=9m,

設(shè)〃，N分別為AB,C。的中點，

因為g(PA+P8)+；(PC+P￡>)=2PO,

所以「M+PN=2P0,

所以。為MN的中點，

因為AB=8m,BO=16m,所以QM=20m,

所以O(shè)N=20m,

所以O(shè)V=QN—OC=20—9=llm,

所以CD=2CN=22m

故選：D

WRn

13.(2022?全國?高三專題練習(xí))我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”，后人稱為“趙

爽弦圖”,它是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形，如圖所示，若DA=/",DC=n,

AF=^AE,R∣j￡)￡=()

【答案】B

【分析】由己知可得出。E=利用平面向量的線性運(yùn)算得出VOE=再結(jié)合平面的基

本定理可得結(jié)果.

???O??A

【詳解】Df=-∕rS=-(AB-AF)=-AB--X-AE≈-AB--(ΛD+DE),

1324-6446-

所以二。E=WAB--AD,即DE=-DC+-DA=-m+-n,

93913131313

故選：B.

14.(2022春?江蘇南京?高三金陵中學(xué)?？茧A段練習(xí))2021年第十屆中國花卉博覽會興辦在即，其中，以“蝶

戀花”為造型的世紀(jì)館引人注目(如圖①)，而美妙的蝴蝶輪變不僅帶來生活中的賞心悅目，也展示了極致

的數(shù)學(xué)美學(xué)世界.數(shù)學(xué)家曾借助三角函數(shù)得到了蝴蝶曲線的圖像，探究如下：如圖②，平面上有兩定點。，

A,兩動點B,Q,∏∣OA∣=∣OB∣=1,OA繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)到OB所形成的角記為e?設(shè)函數(shù)

l,x>0

f(e)=4?sign(6)-sin56,(→rW6W%),其中，sign(x)=,O,x=O,令p=j\。),作OQ=PoB隨著。的

-l,x<O

變化，就得到了。的軌跡，其形似“蝴蝶則以下4幅圖中，點Q的軌跡(考慮糊蝶的朝向)最有可能為()

Q

【答案】B

【分析】考慮特殊值，用排除法，取。=0,±凡確定0。的的位置，排除錯誤選項得結(jié)論.

【詳解】先考慮與04共線的蝴蝶身方向，令6=0,±π,OQ=-4O8=4OA要滿足，故排除A,C；

-JT

再考慮與04垂直的方向，令。=1，OO=-OE要滿足，故排除。，

故選：B.

15.（2023秋?云南?高三云南師大附中校考階段練習(xí)）窗花是貼在窗紙或窗戶玻璃上的剪紙，是中國古老的

漢族傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一，它歷史悠久，風(fēng)格獨(dú)特，深受國內(nèi)外人士所喜愛.如圖甲是一個正八邊形窗花隔

斷，圖乙是從窗花圖中抽象出的幾何圖形示意圖.已知正八邊形48CDEFG，的邊長為2及，M是正八邊

形ABC-DEFGH邊上任意一前,則MA?M8的最大值為（）

?O.4H

甲乙

A.30+4&B.28+8√2C.26+16√2D.24+16立

【答案】D

【分析】取A8的中點。，連接MO,通過轉(zhuǎn)化得M4?MB=MO?-2，則轉(zhuǎn)化為求IMol的最大值，由圖得當(dāng)

點M與點F或點E重合時，IMOI取得最大值，計算IMOI最值即可.

【詳解】如圖，取AB的中點O,連接MO,連接BE,OE,分別過點C,點D作BE的垂線，垂足分別為U,

ΛJl

DE

22

所以M4?Λ/B=(MO+OA)?(MO+OB)=(MO+OA)■(MO-04)=MC)-OA=MO-2，

當(dāng)點M與點尸或點E重合時，IMOl取得最大值，

易得四邊形Cn〃為矩形，aBC∕,-OE/為等腰直角三角形，則〃=2y∕2,，

BI=EJ=2,則BE=4+20,BO=G.,

MO2取得最大值為BO2+BE2=(√2)2+(4+2司=26+16√2,

所以MA?M8的最大值為24+16√5,

故選：D.

二、多選題

16.(2022?全國?高三專題練習(xí))古代典籍《周易》中的“八卦”思想在我國建筑中有一定影響.如圖是受“八

圭卜''的啟示，設(shè)計的正八邊形的八角窗，若。是正八邊形ABCDE尸G”的中心，且IABI=I,則()

E

A.4”與CF能構(gòu)成一組基底B.ODOF=O

/?

C.0A+0C=410BD.ACCD=-γ

【答案】BCD

【分析】連接BG,CF,由正八邊形的性質(zhì)可知，AH//BG,CF//BG,可判斷選項A；從而可得

ZD0F=→2π=J,可判斷選項B；連結(jié)AC交于點M,可判斷選項C；先判斷出ABJ_CD,結(jié)合向

42

量的加法和數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可判斷選項D.

【詳解】連接5G,CF,由正八邊形的性質(zhì)可知，AH//BG,CF//BG,

所以A//〃CF,所以A4與C尸是共線向量，所以AH與CF不能構(gòu)成一組基底，A項錯誤；

1π

又/。OF=WX2兀=萬，所以。DLOF,所以。＞。F=0,B項正確；

由上過程可知QAJ.0C，連結(jié)AC交OB丁點M,

在直角三角形OAC中，〃為AC的中點，

則QA+OC=2OM,

又IoMl=力ACI=芻QA屋∣O8∣,

222

所以Q4+OC=0O3,C項正確；

13τr

又正八邊形的每一個內(nèi)角為：｝(8-2)X兀=可，

84

延長。C,AB,相交于點N,則NC8N=NBCN=f,

4

TT

所以NBNC=一，故