2023-2024學(xué)年高一上數(shù)學(xué)《函數(shù)的概念與性質(zhì)》測試卷及答案解析

2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)《函數(shù)的概念與性質(zhì)》

選擇題(共8小題)

γ3+ι*>n

L(2021秋?福州期末)已知函數(shù)f(χ)=*'U為偶函數(shù)，則2"b=()

ax3+b,x<0

A.3B.?C.二D..J.

222

2.(2022春?馬尾區(qū)校級月考)已知函數(shù)/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，/(x)=∕(x+4),

且/(-1)=-1,則/(2020)4/(2021)=()

A.-1B.0C.1D.2

3.（2021秋?福清市期中）已知暴函數(shù)f6）=（1112-111+1）*公汁2在（0,+∞）上單調(diào)遞

減，則m的值為（）

A.0B.IC.0或1D.-1

4.（2020秋?福州期末）函數(shù)f（χ）=lgχ+√TW的定義域為（）

A.[1,+∞)B.(1,+∞)C.(0,1]D.(0,1)

5.（2018春?倉山區(qū)校級期末）汽車的“燃油效率”是指汽車每消耗1升汽油行駛的里程.如

圖描述了甲、乙、丙三輛汽車在不同速度下燃油效率情況，下列敘述中正確的是（）

燃油效率（?"Z）

B.以相同速度行駛相同路程，三輛車中，甲車消耗汽油最多

C.甲車以80千米甲、時的速度行駛1小時,消耗10升汽油

D.某城市機動車最高限速80千米/小時，相同條件下，在該市用丙車比用乙車更省油

6.（2020秋?福州期中）下面各組函數(shù)中表示同一個函數(shù)的是（）

A.f（X）=x,g（x）=（Λ∕X）2

B.fCx)=IXg(x)

第1頁（共21頁）

C.f(x)=————,g(x)=X+1

x-l

D.f(x)=」-XL[1,x≥0,

S(x)=l-1,x<O.

X

7.(2021秋?福州期中)下列函數(shù)表示同一個函數(shù)的是()

A.s=350f,與w=350d

2

B.f(x)=x,與g(χ)??-

X

C.f(x)=1,與g(X)=X0

X(x>0)

D.y=?x?f

-X(x<0)

8.(2021秋?福清市期中)使式子log,、I、山一有意義的X的取值范圍是()

°(2XT)2-χ

A.(2,+∞)B.(?,2)

c?「8,2)D,(?,1)∪(1,2)

二.多選題(共4小題)

(多選)9.(2022春?福州期中)已知函數(shù)/(x)是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x20時，/(X)

-X2-2x,則()

A./(x)的最小值為-1

B./(x)在(-2,0)上單調(diào)遞減

C./(x)>0的解集為(-8,-2)U(2,+∞)

D.存在實數(shù)X滿足/(x+2)+/'(-χ)=0

(多選)10.(2020秋?晉安區(qū)校級月考)下列四個命題：其中不正確命題的是()

A.函數(shù)/(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，在(-8,0］上單調(diào)遞增，則/(χ)在R上

是增函數(shù)

B.若函數(shù)/(x)=αf+6x+2與X軸沒有交點，則Z>2-8α<0且α>0

C.當(dāng)4>6>c時，則有bc>αc成立

D.y=l+x和y=J(ι+χ)2不表示同一個函數(shù)

(多選)11.(2021秋?倉山區(qū)校級期中)對任意兩個實數(shù)α,b,定義，

aab

min{a,b)=?',若/(x)=2-x2,g(x)=X2-2,下列關(guān)于函數(shù)F(X)=

b,a>b

第2頁(共21頁)

min{f(x),g(X)}的說法正確的是()

A.函數(shù)F(x)是偶函數(shù)

B.方程F(x)=O有兩個解

C.函數(shù)尸(x)有4個單調(diào)區(qū)間

D.函數(shù)F(X)有最大值為0,最小值-2

(多選)12.(2021秋?福清市期中)已知函數(shù)則函數(shù)具有下列性質(zhì)()

x+1

A.函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于點(-1,-1)對稱

B.函數(shù)/(x)在(-1,+8)上單調(diào)遞增

C.函數(shù)/(x)的圖象過原點

D.函數(shù)/(x)的值域為{y［y≠-1}

三.填空題(共4小題)

13.(2021秋?福州期末)寫出一個同時具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù)/(x)=.

①/(x)在R上單調(diào)遞增；

f(x1)f(x2)

?=∕(0);

f(xi+x2)

③/(O)>1.

14.(2020春?福州期末)已知偶函數(shù)y=∕(x)(x∈R)在區(qū)間［7,0］上單調(diào)遞增，且滿足

/(1-χ)+/-(!+?)=0-給出下列判斷：

(1)f(5)=0：

(2)/(x)在口,2］上是減函數(shù)；

(3)函數(shù)y=/(x)沒有最小值；

(4)函數(shù)/(x)在x=0處取得最大值；

(5)/(x)的圖象關(guān)于直線x=l對稱.

其中正確的序號是.

15.(2021秋?倉山區(qū)校級期中)函數(shù)fCt)=X(2-∣x∣)的單調(diào)增區(qū)間為.

16.(2021秋?鼓樓區(qū)校級期中)已知函數(shù)/(x)為偶函數(shù)，且當(dāng)x>0時，f(χ)=χ2j,

X

則/(-1)=.

四.解答題(共5小題)

第3頁(共21頁)

17.(2020秋?鼓樓區(qū)校級期中)已知函數(shù)/(x)=2X-2,且/(2)=2.

X2

(1)求實數(shù)。的值；

(2)判斷該函數(shù)的奇偶性；

(3)判斷函數(shù)/(x)在(1,+8)上的單調(diào)性，并證明.

18.(2018秋?鼓樓區(qū)校級期中)已知/(x)=j+a—是定義在［-1,1］上的奇函數(shù).

(1)求/(x)的解析式：

(2)判斷并證明/(x)的單調(diào)性；

(3)解不等式：/(x)-/(l-χ)<0.

19.(2021秋?青海期中)已知/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時x<0時，/(x)=x2+2x

-1.

(1)求/(x)解析式；

(2)畫出函數(shù)圖像，并寫出單調(diào)區(qū)間.(無需證明)

2j.

20.(2021秋?福州期末)已知函數(shù)/秋)=xa(α∈R),且［⑴=5.

X

(1)求。的值；

(2)判斷/(x)在區(qū)間(0,2)上的單調(diào)性，并用單調(diào)性的定義證明你的判斷.

21.(2021秋?福州期末)已知函數(shù)/(x)是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x?0,/(x)=2x+3.

(1)求/(x)的解析式：

(2)解不等式/(2x)——(x).

第4頁(共21頁)

2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)《函數(shù)的概念與性質(zhì)》

參考答案與試題解析

一.選擇題(共8小題)

τ?+]V2>∩

I.(2021秋?福州期末)已知函數(shù)f(χ)={'為偶函數(shù)，則2。+6=()

ax3+b,X<0

A.3B.3C.-ΛD.-J.

222

【考點】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)與判斷.

【專題】整體思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運算.

【分析】由已知結(jié)合偶函數(shù)定義可得/(-1)=∕?(1),/(-2)=/(2),代入可求α,b,

進而可求.

Y?+]T>n

【解答】解：因為f(χ)=為偶函數(shù)，

ax3+b,x<0

所以/(-1)=/(1),/(-2)=/(2),

所以-a+b=2,9=-Sa+b,

VOlκ>n

解得，。=-1,6=1,此時/(χ)=JX-XkU為偶函數(shù)，滿足題意，

-χ3+l,x<0

Λ

則2+?=Σ+I=Λ

22

故選：B.

【點評】本題主要考查了偶函數(shù)定義的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

2.(2022春?馬尾區(qū)校級月考)已知函數(shù)/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，/(x)=∕(x+4),

且/(-1)=-1,則/(2020)4/(2021)=()

A.-IB.0C.1D.2

【考點】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)與判斷.

【專題】轉(zhuǎn)化思想：轉(zhuǎn)化法：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運算.

【分析】根據(jù)條件判斷函數(shù)的周期是4,再利用函數(shù)的奇偶性和周期性進行轉(zhuǎn)化求解即可.

【解答】解：?.>(x)=f(x+4),

.?.∕(x)是周期為4的周期函數(shù)，

則/(2020)+f(2021)=/(2020+0)+f(2020+1)=/(0)4/(1),

第5頁(共21頁)

：函數(shù)/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，.?.∕(0)=0,

由/(-1)=-1,得/(1)=1,

則一(2020)+f(2021)=f(O)4/<1)=0+1=1，

故選：C.

【點評】本題主要考查函數(shù)值的計算，利用函數(shù)的奇偶性和周期性進行轉(zhuǎn)化是解決本題

的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題.

3.(2021秋?福清市期中)已知暴函數(shù)f(χ)=(m2-m+l)Xin241lr?在(O,+∞)上單調(diào)遞

減，則m的值為()

A.OB.1C.O或1D.-1

【考點】幕函數(shù)的概念、解析式、定義域、值域.

【專題】函數(shù)思想；定義法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；數(shù)學(xué)抽象.

【分析】根據(jù)幕函數(shù)的定義與性質(zhì)，列方程和不等式求出加的值.

πι+

【解答】解：哥函數(shù)f(χ)=(1∏2-m+l)χM2在(0,+8)上單調(diào)遞減,

2

所以，m-In+1=1

m2+m-2≤O

‘m=0或m=1

解得

-2<m<1

即m=0.

故選:A.

【點評】本題考查了幕函數(shù)的定義與性質(zhì)的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題.

4.(2020秋?福州期末)函數(shù)f(x)=lgx+VI-X的定義域為()

A.[1,+∞)B.(1,+8)C.(0,1]D.(0,1)

【考點】函數(shù)的定義域及其求法.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；定義法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；數(shù)學(xué)抽象.

【分析】根據(jù)函數(shù)成立的條件建立不等式關(guān)系進行求解即可.

【解答】解：要使函數(shù)有意義，則[χ>°,

[l-χ≥O

得[x>°,得OVXW1,

Iχ≤l

即函數(shù)的定義域為(0,1],

第6頁(共21頁)

故選：C.

【點評】本題主要考查函數(shù)定義域的求解，結(jié)合函數(shù)成立的條件建立不等式關(guān)系是解決

本題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題.

5.（2018春?倉山區(qū)校級期末）汽車的“燃油效率”是指汽車每消耗1升汽油行駛的里程.如

圖描述了甲、乙、丙三輛汽車在不同速度下燃油效率情況，下列敘述中正確的是（）

燃油效率（EtZ）

------1------1--------->

04080速度3?/〃）

A.消耗1升汽油，乙車最多可行駛5千米

B.以相同速度行駛相同路程，三輛車中，甲車消耗汽油最多

C.甲車以80千米/小時的速度行駛1小時,消耗10升汽油

D.某城市機動車最高限速80千米/小時，相同條件下，在該市用丙車比用乙車更省油

【考點】函數(shù)的概念及其構(gòu)成要素.

【專題】圖表型；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)形結(jié)合法.

【分析】過橫軸上某一點做縱軸的平行線，這條線和三條折線的交點的意思是相同速度

下的三個車的不同的燃油效率，過縱軸上某一點做橫軸的平行線，這條線和三條折線的

交點的意思是相同燃油效率下的三個車的不同的速度，利用這一點就可以很快解決問題.

涉及到將圖形語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言的能力和簡單的邏輯推理能力.

【解答】解：對于A,由圖象可知當(dāng)速度大于4Qkm∕h時，乙車的燃油效率大于5k>n∕L,

當(dāng)速度大于40km∕h時，消耗1升汽油，乙車的行駛距離大于5km,故A錯誤；

對于B,由圖象可知當(dāng)速度相同時，甲車的燃油效率最高，即當(dāng)速度相同時，消耗1升

汽油，甲車的行駛路程最遠(yuǎn)，.?.以相同速度行駛相同路程，三輛車中，甲車消耗汽油最

少，故8錯誤；

對于C,由圖象可知當(dāng)速度為80hn∕h時，甲車的燃油效率為Iokm/L,即甲車行駛IQhn

時，耗油1升，故行駛1小時，路程為SOkm,燃油為8升，故C錯誤：

對于D,由圖象可知當(dāng)速度小于80hn∕ΛBj,丙車的燃油效率大于乙車的燃油效率，，

用丙車比用乙車更省油，故D正確；

第7頁（共21頁）

故選：D.

【點評】本題目對考查學(xué)生對圖表的認(rèn)知和解讀能力很到位，也能體現(xiàn)學(xué)生對函數(shù)圖象

數(shù)據(jù)的處理能力和培養(yǎng)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，也考查學(xué)生將圖形語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言的能力.

6.(2020秋?福州期中)下面各組函數(shù)中表示同一個函數(shù)的是()

A.f(x)=x,g(X)=(V^)2

B.f(x)=IX|，g(X)

2_1

C.f(X)=————,g(x)=x+l

x-1

【考點】判斷兩個函數(shù)是否為同一函數(shù).

【專題】對應(yīng)思想；定義法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運算.

【分析】分別判斷兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)法則是否相同.

【解答】解：4g(%)的定義域為［0,+8),兩個函數(shù)的定義域不相同，不是相同函數(shù).

B.g(x)=∣x∣,兩個函數(shù)的定義域，對應(yīng)法則相同是同一函數(shù).

C.f(x)=x+?,(x≠l),兩個函數(shù)的定義域不相同，不是同一函數(shù).

D./(x)的定義域為{x∣xW0},兩個函數(shù)的定義域不相同，不是同一函數(shù).

故選：B.

【點評】本題主要考查同一函數(shù)的判斷，結(jié)合函數(shù)的定義域和對應(yīng)法則是否相同是解決

本題的關(guān)鍵.

7.(2021秋?福州期中)下列函數(shù)表示同一個函數(shù)的是()

A.s=350t,與w-350d

2

B.f(X)=x,與g(χ)=-^—

X

C.f(x)=1,與g(?)=x0

CIt._fX(χ>0)

D.∣x∣>與y—4,

-χ(x<0)

【考點】判斷兩個函數(shù)是否為同一函數(shù).

【專題】函數(shù)思想；定義法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；邏輯推理.

【分析】根據(jù)兩個函數(shù)的定義域相同，對應(yīng)關(guān)系也相同，判斷它們是同一函數(shù)即可.

【解答】解：4s=350∕與w=350d的定義域，對應(yīng)關(guān)系都分別相同，為同一函數(shù)：

第8頁(共21頁)

2

B：f(x)=x(x∈R)與g(x)=JL-=χ(χ≠0)的定義域不同，不是同一函數(shù)；

X

Czf(x)=1(x∈R)與g(x)=X0=I(x≠0)的定義域不同，不是同一函數(shù)；

。：產(chǎn)網(wǎng)=r'x>°與尸］χ(χ>°)的定義域不同，不是同一函數(shù).

-X,x<0I-X(X<0)

故選：A.

【點評】本題考查了判斷兩個函數(shù)是否為同一函數(shù)的問題，是基礎(chǔ)題目.

8.(2021秋?福清市期中)使式子log,、」、二-有意義的X的取值范圍是()

(2XT)2~X

A.(2,+8)B.(?,2)

C.(-8,2)D.(?,1)∪(1,2)

【考點】函數(shù)的定義域及其求法.

【專題】函數(shù)思想；轉(zhuǎn)化法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運算.

【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的定義得到關(guān)于X的不等式組，解出即可.

,2χ-l>0

【解答】解：由題意得：，2χ-l≠l-

2-χ>0

解得：l?<χV2且xWl,

2

故選：D.

【點評】本題考查了對數(shù)函數(shù)的定義，考查函數(shù)的定義域問題，是基礎(chǔ)題.

二.多選題(共4小題)

(多選)9.(2022春?福州期中)已知函數(shù)/(x)是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)時，/G)

-X2-2x,則()

A./(x)的最小值為-1

B.f(x)在(-2,0)上單調(diào)遞減

C.f(x)>0的解集為(-8,-2)U(2,+8)

D.存在實數(shù)X滿足/(x+2)4/(-X)=0

【考點】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)與判斷.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運算.

【分析】由偶函數(shù)的定義可得f(x)的解析式，由二次函數(shù)的最值求法和單調(diào)性的判斷、

第9頁(共21頁)

二次不等式的解法和/(O)=/(2)=/(-2)=0,可得結(jié)論.

【解答】解：函數(shù)/(x)是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x20時，/(x)=χ2-2X=(χ-l)

2-1

X2-2X,X≥0

可得/(X)=.

X2+2X,x<0

可得x>0時，/(x)在X=I時取得最小值-1,由偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，可得/

(x)在R上取得最小值-1,故N正確；

/(x)在(-8,-D遞減，在(-1,0)遞增，故B錯誤；

fχ>Q(χ<Q

由］；或］,,解得x>2或x<-2,故C正確;

,x12x〉0X2+2X>0

由/(0)=0,f(-2)=/(2)=0,即存在實數(shù)X滿足/(x+2)4/(-X)=0,故。正

確;

故選：ACD.

【點評】本題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的性質(zhì)和運用，考查轉(zhuǎn)化思想、運算能力，屬

于中檔題.

(多選)10.(2020秋?晉安區(qū)校級月考)下列四個命題：其中不正確命題的是()

A.函數(shù)/(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，在(-8,0］上單調(diào)遞增，則/(x)在R上

是增函數(shù)

B.若函數(shù)/(x)=OX2+fox+2與X軸沒有交點，則∕>2-8α<0且“>0

C.當(dāng)4>6>c時，則有6c>ac成立

D.y=l+x和yW(］+χ)2不表示同一個函數(shù)

【考點】函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間；命題的真假判斷與應(yīng)用.

【專題】對應(yīng)思想；轉(zhuǎn)化法；簡易邏輯：邏輯推理.

【分析】根據(jù)條件分別進行判斷即可.

【解答】解：4如圖滿足條件，但/G)在R上不是增函數(shù)，故力錯誤，

第10頁(共21頁)

B.當(dāng)α=0,?=OH'J-,f(x)=2與X軸沒有交點，

當(dāng)α≠0時，若/(x)與X軸沒有交點，則A=b2-8α<0時，則則序-8α<0且α>0不

一定成立，故B錯誤，

C.當(dāng)C=O時，6c>αc不成立，故C錯誤，

zλy=V(l+x)2=∣l+x>兩個函數(shù)的對應(yīng)法則不相同，不是同一函數(shù)，故。正確，

故選：ABC.

【點評】本題主要考查命題的真假判斷，根據(jù)條件分別進行判斷，利用特殊值法是解決

本題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題.

(多選)11.(2021秋?倉山區(qū)校級期中)對任意兩個實數(shù)。，h,定義，

aab

min{a,b}=I',若/(x)=2-x2,g(x)=x2-2,下列關(guān)于函數(shù)F(x)=

b,a>b

min{f(x),g(x)}的說法正確的是()

A.函數(shù)尸(x)是偶函數(shù)

B.方程F(X)=0有兩個解

C.函數(shù)/(X)有4個單調(diào)區(qū)間

D.函數(shù)尸(x)有最大值為0,最小值-2

【考點】分段函數(shù)的應(yīng)用.

【專題】函數(shù)思想；數(shù)形結(jié)合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；邏輯推理.

【分析】求出F(X)的解析式，作出函數(shù)F(X)的圖象，由圖象依次分析判斷四個選項

即可.

2-χ2,x4-&或

【解答】解：由題意可得，F(xiàn)G)=J

X2-2,-√2<X?Λ∕2

作出函數(shù)FG)的圖象如圖所示，

第11頁(共21頁)

由圖象可得，

則該函數(shù)圖象關(guān)于J，軸對稱，所以尸(X)為偶函數(shù)，故選項/正確；

有兩個零點，則方程尸(x)=O有兩個解，故選項B正確；

函數(shù)F(X)有4個單調(diào)區(qū)間，故選項C正確；

當(dāng)x=士√5時，函數(shù)F(X)取得最大值0,無最小值，故選項。錯誤.

故選：ABC.

【點評】本題考查了函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用，新定義問題的應(yīng)用，解決此類問題，關(guān)鍵是

讀懂題意，理解新定義的本質(zhì)，把新情境下的概念、法則、運算化歸到常規(guī)的數(shù)學(xué)背景

中，運用相關(guān)的數(shù)學(xué)公式、定理、性質(zhì)進行解答即可，屬于中檔題.

(多選)12.(2021秋?福清市期中)已知函數(shù)f則函數(shù)具有下列性質(zhì)()

A.函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于點(-1,-1)對稱

B.函數(shù)/(x)在(-1,+8)上單調(diào)遞增

C.函數(shù)/(x)的圖象過原點

D.函數(shù)/(x)的值域為b4v≠z-1}

【考點】函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)與判斷；函數(shù)的值域.

【專題】函數(shù)思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運算.

【分析】計算/(-l+x)+/-(-1-x>的值，可判斷/；由分式函數(shù)的單調(diào)性可判斷以

計算/(0)=0,可判斷C；由分式的分母不為0,可判斷O.

【解答】解：函數(shù)f(χ)=—=-1+——>/(-l+x)+/■(-1-x)=-1+?-1+—

可得/(x)的圖象關(guān)于點(-I,-1)對稱，故/正確;

由f(x)=-1+」」在(-1,+∞)遞減，故B錯誤:

x+1

由/(O)=0,可得/(x)的圖象經(jīng)過原點，故C正確;

第12頁(共21頁)

由/(x)=-l+?J-,可得/(x)的值域為R［yW-l},故。正確.

x+1

故選：ACD.

【點評】本題考查函數(shù)的單調(diào)性和對稱性的判斷，以及函數(shù)的值域的求法，考查轉(zhuǎn)化思

想和運算能力、推理能力，屬于中檔題.

≡.填空題(共4小題)

13.(2021秋?福州期末)寫出一個同時具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù)/(x)=2口(答案

不唯一).

①f(x)在R上單調(diào)遞增；

f(x1+x2)

(3)∕^(0)>1.

【考點】函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)與判斷.

【專題】函數(shù)思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；邏輯推理.

【分析】結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)分析可得答案.

【解答】解：根據(jù)題意，分析可得/(x)為指數(shù)型函數(shù)，且底數(shù)

故要求函數(shù)可以為/(x)=2jr+l,

故答案為：2、+1(答案不唯一).

【點評】本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性，指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

14.(2020春?福州期末)已知偶函數(shù)N=f(x)(XeR)在區(qū)間［7,0］上單調(diào)遞增，且滿足

/(1-χ)tf(i+χ)=0，給出下列判斷：

(1)/(5)=0；

(2)/(x)在［1,2］上是減函數(shù)；

(3)函數(shù)夕=/'(X)沒有最小值;

(4)函數(shù)/(x)在X=O處取得最大值；

(5)f(x)的圖象關(guān)于直線x=l對稱.

其中正確的序號是①⑵④.

【考點】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)與判斷.

【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.

【分析】分別利用函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性和周期性進行推理和判斷，由/(1-X)4/(I+x)

第13頁(共21頁)

=O得到f(l+x)=-/(1-x)=-/(x-1),得到函數(shù)的周期為4.f(x+2)=-f(?),

【解答】解：

(1)由/(1-X)tf(l+x)=0

得到f(l+x)=-/(I-x)="/(x-1),

設(shè)∕=x-1.x=t+?,'.f(/+2)=-/(/),f(/+4)=/(/)

所以/(4+x)=f(x),所以函數(shù)的周期是4.

當(dāng)x=0時，/(1)4/⑴=0,

所以/(1)=0,

因為/(5)=/(4+1)=/(1)=0,所以①正確.

(2)因為y=/(x)(xCR)在區(qū)間［-1,0］上單調(diào)遞增，周期為4,7(x+2)=-/(x),

所以函數(shù)在區(qū)間［1,2］上單調(diào)遞減，所以②正確.

(3)函數(shù)有最小值，也有最大值，且是相反數(shù)，故③錯，

(4)Y偶函數(shù)y=∕(x)(x∈R)在區(qū)間［-1,0］上單調(diào)遞增，/(x+2)=-∕(x),

函數(shù)/(x)在x=0處取得最大值；

(5)因為y=∕(x)是偶函數(shù)，所以/(2+x)=-/(x),/(1)=0所以函數(shù)關(guān)于(1,0)

對稱.故⑤錯誤

因為偶函數(shù)y=/(χ)(χeR)在區(qū)間［-1，0］上單調(diào)遞增，則在［0,1］上單調(diào)遞減，且周

期為4,所以y=∕'(x)在x=0處取得最大值，在X=-1時取得/(-1)=0.所以④正

確，⑤錯誤.

故答案為：①②④

【點評】本題主要考查函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性和周期性的綜合應(yīng)用，要求熟練掌握相應(yīng)

的性質(zhì).

15.(2021秋?倉山區(qū)校級期中)函數(shù)f(x)=X(2-∣x∣)的單調(diào)增區(qū)間為「1,11

第14頁(共21頁)

【考點】函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間.

【專題】分類討論；轉(zhuǎn)化法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用：邏輯推理.

【分析】討論X的取值范圍，利用一元二次函數(shù)的圖象進行求解判斷即可.

【解答】解：當(dāng)x20時，f(x)=x(2-x)=2x-X2=-(X-I)2+1,

當(dāng)x<0時，/(x)—X(2+x)-2X+X2-(X+1)2-1,

則函數(shù)/(x)對應(yīng)圖象如圖：

則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為L1,1],

【點評】本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的求解，利用分類討論思想轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)，利

用一元二次函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵，是中檔題.

16.(2021秋?鼓樓區(qū)校級期中)已知函數(shù)/(x)為偶函數(shù)，且當(dāng)x>0時，f(χ)=χ2j,

X

則/(-D=2.

【考點】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)與判斷.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運算.

【分析】由偶函數(shù)的定義和已知解析式，計算可得所求值.

【解答】解：函數(shù)/(x)為偶函數(shù)，且當(dāng)x>0時，f(χ)=χ2j,

X

則/(-1)=/■⑴=1+1=2.

故答案為：2.

【點評】本題考查函數(shù)的奇偶性的定義和運用，考查轉(zhuǎn)化思想和運算能力，屬于基礎(chǔ)題.

四.解答題(共5小題)

17.(2020秋?鼓樓區(qū)校級期中)已知函數(shù)/(x)=2x-A,且/(2)=2.

X2

(1)求實數(shù)α的值；

(2)判斷該函數(shù)的奇偶性；

第15頁(共21頁)

(3)判斷函數(shù)/(x)在(1,+8)上的單調(diào)性，并證明.

【考點】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)與判斷；函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)與判斷.

【專題】綜合題；轉(zhuǎn)化思想；演繹法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.

【分析】(1)利用/(x)=2X-3,且/(2)=1,求實數(shù)。的值；

X2

(2)利用奇偶函數(shù)的定義判斷該函數(shù)的奇偶性；

(3)判斷函數(shù)/(x)在(1,+8)上的單調(diào)性，利用定義進行證明.

【解答】解：(1)V/(x)=2χ-曳，且/(2)=旦，

X2

Λ4-包=2，

22

."=-1；(2分)

(2)由(1)得函數(shù)f(χ)=2x+工，定義域為｛小#0｝關(guān)于原點對稱…(3分)

X

*?*f(-x)=2(-χ)?+^^^=-2χ-工=-(2Xa)=-f(x>

-XXX

???函數(shù)f(x)=2χ+工為奇函數(shù)?…(6分)

X

(3)函數(shù)/(x)在(1,+8)上是增函數(shù)，…(7分)

任取Xl,x2∈(1,+8),不妨設(shè)Xi<X2,貝IJ

-

f(x2)^fCx1)=2X2÷^^一(2x?=2(x2x1)+(~------)=2(x2-x?)+(—--)

Z1ZX2xiZIX2Xlxlx2

八、

λ1(x9-χ1i)(2X1X9-1)Z

=(X2-X1)(2--)=-?-----------―…(10分)

Z?×lx2xlx2

Vχi,X2∈(I，+o°),BX?<X2?φ?X2-Xl>0,2J∏X2一1>0，XIX2>0

?/(X2)-/(XI)>0,即/(X2)>/(XI)>

：.f(x)在(1,+8)上是增函數(shù)…(12分)

【點評】本題考查函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題.

18.(2018秋?鼓樓區(qū)校級期中)已知/(x)-是定義在［-1,1］上的奇函數(shù).

χ2+bx+l

(1)求/(x)的解析式；

(2)判斷并證明/(x)的單調(diào)性：

(3)解不等式：/(x)-/(Ir)<0.

【考點】函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)與判斷；函數(shù)奇偶性的性質(zhì)與判斷.

第16頁(共21頁)

【專題】綜合題；函數(shù)思想；轉(zhuǎn)化法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.

【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)/（-X）=-/?），列出方程求出。、6的值，代入解析

式；

（2）先判斷出函數(shù)是減函數(shù)，再利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明：取值，作差，變形，定號

下結(jié)論.

（3）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可得到關(guān)于X的不等式組，解得即可.

【解答】解：（1）V/（x）=?Ra_是定義在［-1,1］上的奇函數(shù)，

x2+bx+l

（O）=0,即..°+、-=0,.?.α=0.

0+0+1

.?.6=0,

：.f（X）二——.

x2+l

（2）函數(shù)/（x）在［-1,1］上為增函數(shù).

證明如下，

任取-1≤xι<X2≤1,

?*?X?-X2<0,-I<xi%2≤1,

1-XlX2>0?

x

、ιXQ

/(?i)八2)

z?+1x2÷l

(XI-X2)(I-X1乂2)

<0,

(x∣+l)(×2÷1)

/./（XI）＜f（X2）＞

：.f（X）為［-1,1］上的增函數(shù).

(3)V/(x)-/(1-χ)<0,

即/(x)</(1-x),

x《1

?丁-14l-χ41

x<l-χ

解得o≤x<X

2

第17頁（共21頁）

.?.解集為：｛x∣0WXV上｝

2

【點評】本題考查奇函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，以及函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，解題的關(guān)鍵是

掌握函數(shù)單調(diào)性的定義證明步驟：取值，作差，變形，定號下結(jié)論.

19.(2021秋?青海期中)己知/G)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時x<0時，/(x)=x2+2x

-1.

(1)求/(x)解析式；

(2)畫出函數(shù)圖像，并寫出單調(diào)區(qū)間.(無需證明)

【考點】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)與判斷；函數(shù)的圖象與圖象的變換.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運算.

【分析】(1)由奇函數(shù)的定義和性質(zhì)，結(jié)合己知/(x)的解析式，可得所求解析式；

(2)由分段函數(shù)的圖象畫法可得/(x)的圖象，由圖象可得/(x)的單調(diào)區(qū)間.

【解答】解：(1)/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，可得/(0)=0,

當(dāng)XVO時，f(x)=X2+2X-1,

當(dāng)x>0時，-XV0,/(-x)=X2-2x-I=-/(x),

可得x>0時，f(x)=-X2+2X+↑,

X2+2X^1,x<0

所以f(X)=<0,X