（江蘇專用）高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第十章 解析幾何初步 第58課 圓與圓的位置關(guān)系 文-人教版高三全冊(cè)數(shù)學(xué)試題

第58課圓與圓的位置關(guān)系(本課時(shí)對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第頁(yè))自主學(xué)習(xí)回歸教材1.(必修2P104例2改編)以點(diǎn)(2，-2)為圓心，且與圓x2+y2+2x-4y+1=0相外切的圓的方程是.【答案】(x-2)2+(y+2)2=9【解析】因?yàn)閳Ax2+y2+2x-4y+1=0的圓心是(-1，2)，半徑為2，所以所求圓的半徑為-2=3，所以所求圓的方程是(x-2)2+(y+2)2=9.2.(必修2P117復(fù)習(xí)題14改編)圓x2+y2+x-2y-20=0與圓x2+y2=25的公共弦所在直線的方程為.【答案】x-2y+5=0【解析】由兩圓求得交點(diǎn)坐標(biāo)，然后再求公共弦所在直線的方程；或由兩圓的方程直接相減即得公共弦所在直線的方程.3.(必修2P107例2改編)過(guò)點(diǎn)A(0，6)且與圓C：x2+y2+10x+10y=0切于原點(diǎn)的圓的方程為.【答案】(x-3)2+(y-3)2=18【解析】所求圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)和A(0，6)，且圓心應(yīng)在已知圓的圓心與原點(diǎn)的連線上，根據(jù)這三個(gè)條件可確定圓的方程.4.(必修2P110習(xí)題2改編)若圓C1：x2+y2=1與圓C2：x2+y2-6x-8y+m=0外切，則實(shí)數(shù)m的值為.【答案】9【解析】依題意可得C1(0，0)，C2(3，4)，則C1C2==5.又r1=1，r2=，由r1+r2=+1=5，解得m=9.5.(必修2P100習(xí)題9改編)已知圓C1：x2+y2=4與圓C2：x2+y2-4x+4y+4=0關(guān)于直線l對(duì)稱，那么直線l的方程為.【答案】y=x-2【解析】由題意知l垂直平分線段C1C2，且C1(0，0)，C2(2，-2)，則直線l的方程為y=x-2.1.圓與圓的位置關(guān)系(圓O1，圓O2的半徑分別為r1，r2，d=O1O2)相離外切相交內(nèi)切內(nèi)含圖形量化幾何觀點(diǎn)d>r1+r2d=r1+r2|r2-r1|<d<|r1+r2|d=|r1-r2|d<|r1-r2|方程觀點(diǎn)Δ<0Δ=0Δ>0Δ=0Δ<02.圓系及圓系的方程(1)當(dāng)直線l：ax+by+c=0與圓C：x2+y2+Dx+Ey+F=0相交時(shí)，經(jīng)過(guò)直線l與圓C交點(diǎn)的圓系的方程可以設(shè)為x2+y2+Dx+Ey+F+λ(ax+by+c)=0，λ為待定參數(shù).(2)經(jīng)過(guò)圓C1：f1(x，y)=0與圓C2：f2(x，y)=0交點(diǎn)的圓的方程為f1(x，y)+tf2(x，y)=0(t≠-1).(3)已知圓C1：f1(x，y)=0與圓C2：f2(x，y)=0有公共點(diǎn)(二次項(xiàng)系數(shù)相同)，那么方程f1(x，y)-f2(x，y)=0表示經(jīng)過(guò)它們交點(diǎn)的直線；如果兩圓有兩個(gè)交點(diǎn)，那么方程f1(x，y)-f2(x，y)=0表示公共弦所在直線；如果兩圓外切，那么方程f1(x，y)-f2(x，y)=0表示公切線方程.3.圓C1：f1(x，y)=0與圓C2：f2(x，y)=0外離時(shí)，其中，C1(a，b)，C2(m，n)，半徑分別為r1，r2，則外公切線長(zhǎng)為，內(nèi)公切線長(zhǎng)為.【要點(diǎn)導(dǎo)學(xué)】要點(diǎn)導(dǎo)學(xué)各個(gè)擊破兩圓位置關(guān)系的判定例1已知圓C1：x2+y2-2kx+k2-1=0和圓C2：x2+y2-2(k+1)y+k2+2k=0，當(dāng)它們的圓心距最小時(shí)，判斷兩圓的位置關(guān)系.【思維引導(dǎo)】計(jì)算出兩圓圓心距關(guān)于參數(shù)k的表達(dá)式，求出最小值，再判斷兩圓半徑和及差與圓心距的大小關(guān)系.【解答】將兩圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，得圓C1：(x-k)2+y2=1，圓C2：x2+(y-k-1)2=1.圓心距d=C1C2==.顯然當(dāng)k=-時(shí)，兩圓圓心距最短且dmin=，又兩圓半徑之和為2，半徑之差為0.因?yàn)?<<2，所以兩圓相交.【精要點(diǎn)評(píng)】圓與圓的位置關(guān)系有五種，判斷依據(jù)是圓心距與兩圓半徑的和及差的大小關(guān)系.變式(2014·江蘇模擬)已知圓C1：x2+y2-2mx+4y+m2-5=0，圓C2：x2+y2+2x-2my+m2-3=0，求m為何值時(shí)：(1)圓C1與圓C2外切；(2)圓C1與圓C2內(nèi)含.【解答】將兩圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，得圓C1：(x-m)2+(y+2)2=9，圓C2：(x+1)2+(y-m)2=4.(1)因?yàn)閳AC1與圓C2外切，則有=3+2，所以m2+3m-10=0，解得m=2或-5.所以當(dāng)m=-5或m=2時(shí)，圓C1與圓C2外切.(2)因?yàn)閳AC1與圓C2內(nèi)含，則有<3-2，所以m2+3m+2<0，解得-2<m<-1.所以當(dāng)-2<m<-1時(shí)，圓C1與圓C2內(nèi)含.兩相交圓的公共弦問(wèn)題例2已知圓C：x2+y2-10x-10y=0與圓M：x2+y2+6x+2y-40=0相交于A，B兩點(diǎn).(1)求圓C與圓M的公共弦所在直線的方程；(2)求AB的長(zhǎng).【解答】(1)直線AB的方程為x2+y2-10x-10y-(x2+y2+6x+2y-40)=0，即4x+3y-10=0.(2)因?yàn)镃(5，5)，所以圓心C到直線AB的距離為d==5，圓C的半徑r=5，所以AB=2=10.變式已知圓C1：x2+y2-6x-6=0，圓C2：x2+y2-4y-6=0.(1)試判斷兩圓的位置關(guān)系；(2)求公共弦所在直線的方程.【解答】(1)因?yàn)閳AC1的圓心為(3，0)，半徑為r1=，圓C2的圓心為(0，2)，半徑為r2=，又因?yàn)镃1C2=，所以|r1-r2|<C1C2<r1+r2，所以圓C1與圓C2相交.(2)圓C1與圓C2的方程相減可得公共弦所在的直線方程為3x-2y=0.利用圓與圓的位置關(guān)系求參數(shù)例3(2015·南通、揚(yáng)州、淮安、連云港二調(diào))在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C1：(x+1)2+(y-6)2=25，圓C2：(x-17)2+(y-30)2=r2.若圓C2上存在一點(diǎn)P，使得過(guò)點(diǎn)P可作一條射線與圓C1依次交于點(diǎn)A，B，且滿足PA=2AB，則半徑r的取值范圍是.【思維引導(dǎo)】本題雖然圓C2的圓心可以確定，但是由于半徑r變化，所以圓C1和圓C2的位置關(guān)系是動(dòng)態(tài)的，為保證圓C2上存在一點(diǎn)P使得PA=2AB，這里弦長(zhǎng)AB的變化引起線段PA的變化，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化利用PC1的取值范圍(點(diǎn)C1為定點(diǎn))求半徑r的取值范圍就容易多了.【答案】[5，55](例3)【解析】在圓C1中，易得0<AB≤10.因?yàn)閳AC2上存在一點(diǎn)P，使得PA=2AB，所以圓C2上存在一點(diǎn)P，使得0<PA≤20.因?yàn)閳AC1的半徑為5，進(jìn)而可得圓C2上存在一點(diǎn)P，使得5<PC1≤25，這表明點(diǎn)P在圓C1外部且圓C2與圓C3：(x+1)2+(y-6)2=252有公共點(diǎn)(如圖所示)，所以只需|25-r|≤C2C3≤25+r，即|25-r|≤30≤25+r，解得5≤r≤55.【精要點(diǎn)評(píng)】本題的兩個(gè)特色：(1)動(dòng)靜結(jié)合，化動(dòng)為靜：得到線段PA的范圍之后，難點(diǎn)在于點(diǎn)P與點(diǎn)A均為動(dòng)點(diǎn)，為走出兩動(dòng)困境，所以將問(wèn)題轉(zhuǎn)化通過(guò)PC1(一動(dòng)一靜)的范圍求解；(2)化相等為不等，實(shí)現(xiàn)質(zhì)的突變：題目的條件“圓C2上存在一點(diǎn)P，使得PA=2AB”為相等關(guān)系，通過(guò)多次轉(zhuǎn)化后得到一個(gè)關(guān)于半徑r的不等式，這既是本題亮點(diǎn)，也是難點(diǎn)，同時(shí)也符合現(xiàn)在高考“重在考查學(xué)生思維能力”的基本理念.變式(2015·徐州、連云港、宿遷三檢)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C：(x-a)2+(y-a+2)2=1，點(diǎn)A(0，2)，若圓C上存在點(diǎn)M，滿足MA2+MO2=10，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.【答案】[0，3]【解析】設(shè)點(diǎn)M(x，y)，由題意得點(diǎn)A(0，2)，O(0，0)及MA2+MO2=10，即x2+(y-2)2+x2+y2=10，整理得x2+(y-1)2=4，即點(diǎn)M在圓E：x2+(y-1)2=4上.若圓C上存在點(diǎn)M滿足MA2+MO2=10也就等價(jià)于圓E與圓C有公共點(diǎn)，所以|2-1|≤CE≤2+1，即|2-1|≤≤2+1，整理得1≤2a2-6a+9≤9，解得0≤a≤3，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是[0，3].【精要點(diǎn)評(píng)】本題若將題目條件“圓C上存在點(diǎn)M滿足MA2+MO2=10”改成“圓C上存在點(diǎn)M滿足MA+MO=10”或改成“圓C上存在點(diǎn)M滿足|MA-MO|=1”，考生多數(shù)能想到應(yīng)該先求出點(diǎn)M滿足的曲線方程再求解，而對(duì)于本題的條件“MA2+MO2=10”多數(shù)考生是不知道或不敢走求點(diǎn)M滿足的曲線方程的這條路，最終導(dǎo)致思路中斷而失分，這也就提醒考生在復(fù)習(xí)備考的過(guò)程中要加大創(chuàng)新思維能力的訓(xùn)練，如此才能提升數(shù)學(xué)思維層次，打破解題瓶頸.1.圓(x+2)2+y2=4與圓(x-2)2+(y-1)2=9的位置關(guān)系為.【答案】相交【解析】由題知兩圓的圓心距d=，且1<<5，所以兩圓相交.2.圓x2+y2-4=0與圓x2+y2-4x+4y-12=0的公共弦的長(zhǎng)為.【答案】2【解析】?jī)蓤A的方程相減得y=x+2，即為公共弦所在直線的方程.圓x2+y2-4=0的圓心到直線x-y+2=0的距離為d==，所以兩圓的公共弦長(zhǎng)為2=2=2.3.(2014·江蘇模擬)若圓x2+y2=1與圓(x+4)2+(y-a)2=25相切，則常數(shù)a的值是.【答案】0或2或-2【解析】由題意得16+a2=16或16+a2=36，解得a=0或a=±2.4.圓x2+y2+4x-4y+7=0與圓x2+y2-4x+10y+13=0的公切線的條數(shù)是.【答案】4【解析】易知圓x2+y2+4x-4y+7=0與圓x2+y2-4x+10y+13=0外離，所以兩圓的公切線有4條.5.已知?jiǎng)訄Ax2+y2-2mx-4my+6m-2=0恒過(guò)定點(diǎn)，那么定點(diǎn)的坐標(biāo)是.【答案】(1，1)，【解析】動(dòng)圓方程轉(zhuǎn)化為(x2+y2-2)+(-2x-4y+6)m=0，令x2+y2-2=0，且-2x-4y+6=0，解得或趁熱打鐵，事半功倍.請(qǐng)老師布置同學(xué)們完成《配套檢測(cè)與評(píng)估》中的練習(xí)第115~116頁(yè).【檢測(cè)與評(píng)估】第58課圓與圓的位置關(guān)系一、填空題1.圓x2+y2=36與圓x2+y2-8x-6y=0的公共弦所在的直線的方程為.2.已知圓C1：(x+1)2+(y-1)2=1，圓C2與圓C1關(guān)于直線x-y-1=0對(duì)稱，那么圓C2的方程為.3.(2014·江蘇模擬)圓C1：(x+2)2+(y-2)2=1與圓C2：(x-2)2+(y-5)2=16的位置關(guān)系是.4.圓x2+y2=5與圓x2+y2+2x-3=0的交點(diǎn)坐標(biāo)是.5.若圓x2+y2=m與圓x2+y2+6x-8y-11=0始終有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.6.經(jīng)過(guò)圓4x2+4y2+3x+y-8=0與圓3x2+3y2-2x+4y-10=0的交點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的圓的方程是.7.當(dāng)且僅當(dāng)m≤r≤n時(shí)，兩圓x2+y2=49與x2+y2-6x-8y+25-r2=0(r>0)有公共點(diǎn)，則n-m的值為.8.(2014·陜西卷)若圓C的半徑為1，其圓心與點(diǎn)(1，0)關(guān)于直線y=x對(duì)稱，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.二、解答題9.求經(jīng)過(guò)兩圓x2+y2+6x-4=0和x2+y2+6y-28=0的交點(diǎn)，且圓心在直線x-y-4=0上的圓的方程.10.當(dāng)實(shí)數(shù)k為何值時(shí)，圓C1：x2+y2+4x-6y+12=0和圓C2：x2+y2-2x-14y+k=0分別相交、相切、相離、內(nèi)含?11.求經(jīng)過(guò)圓x2+y2=58與直線6x+8y-3=0的交點(diǎn)，且分別滿足下列條件的圓的方程：(1)面積最小的圓；(2)圓被直線x+y-1=0截得的弦長(zhǎng)為3.三、選做題(不要求解題過(guò)程，直接給出最終結(jié)果)12.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C1：(x+3)2+(y-1)2=4和圓C2：(x-4)2+(y-5)2=4.(1)若直線l過(guò)點(diǎn)A(4，0)，且被圓C1截得的弦長(zhǎng)為2，求直線l的方程；(2)設(shè)點(diǎn)P為平面上的點(diǎn)，滿足：存在過(guò)點(diǎn)P的無(wú)窮多對(duì)互相垂直的直線l1和l2，它們分別與圓C1和圓C2相交，且直線l1被圓C1截得的弦長(zhǎng)與直線l2被圓C2截得的弦長(zhǎng)相等，試求所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo).【檢測(cè)與評(píng)估答案】第58課圓與圓的位置關(guān)系1.4x+3y-18=0【解析】易判斷兩圓相交，所以公共弦所在的直線的方程為x2+y2-8x-6y-(x2+y2-36)=0，即4x+3y-18=0.2.(x-2)2+(y+2)2=1【解析】設(shè)圓C2的圓心為(a，b)，則依題意有解得又圓C2的半徑等于圓C1的半徑，故圓C2的方程為(x-2)2+(y+2)2=1.3.外切【解析】圓心距為=5=1+4，所以兩圓外切.4.(-1，2)和(-1，-2)【解析】由解得或所以交點(diǎn)坐標(biāo)是(-1，2)和(-1，-2).5.(1，121)【解析】顯然m>0，圓x2+y2=m的圓心坐標(biāo)為(0，0)，半徑為.圓x2+y2+6x-8y-11=0化為(x+3)2+(y-4)2=36，圓心為(-3，4)，半徑為6.因?yàn)閮蓤A相交，所以=5∈(|6-|，6+)，即1<<11，即1<m<121.6.8x2+8y2+23x-11y=0【解析】設(shè)所求圓的方程為4x2+4y2+3x+y-8+t(3x2+3y2-2x+4y-10)=0，因?yàn)樗髨A經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，所以-8-10t=0，于是t=-，故所求圓的方程是8x2+8y2+23x-11y=0.7.10【解析】整理x2+y2-6x-8y+25-r2=0，得(x-3)2+(y-4)2=r2，所以題設(shè)中的兩個(gè)圓一個(gè)是以(0，0)為圓心、7為半徑，另一個(gè)是以(3，4)為圓心、r為半徑，要使兩圓有公共點(diǎn)，需2≤r≤12，進(jìn)而可知m=2，n=12，所以n-m=10.8.x2+(y-1)2=1【解析】由圓C的圓心與點(diǎn)(1，0)關(guān)于直線y=x對(duì)稱，得圓C的圓心為(0，1).又因?yàn)閳AC的半徑為1，所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2+(y-1)2=1.9.設(shè)所求圓的方程為x2+y2+6y-28+λ(x2+y2+6x-4)=0，即(1+λ)x2+(1+λ)y2+6λx+6y-28-4λ=0，則所求圓的圓心為.因?yàn)閳A心在直線x-y-4=0上，所以-+-4=0，解得λ=-，故所求圓的方程為x2+y2-x+7y-32=0.10.將兩圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，C1：(x+2)2+(y-3)2=1，C2：(x-1)2+(y-7)2=50-k.圓C1的圓心為C1(-2，3)，半徑r1=1；圓C2的圓心為C2(1，7)，半徑r2=(k<50)，從而C1C2==5，當(dāng)1+=5，即k=34時(shí)，兩圓外切；當(dāng)|-1|=5，即=6，k=14時(shí)，兩圓內(nèi)切；當(dāng)14<k<34時(shí)