人教版六年級上冊《分數(shù)乘法(例6、例7)》參考教案及人教版平面向量的數(shù)量積及平面向量的應(yīng)用

《分數(shù)乘法》參考教案教學(xué)內(nèi)容：人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材六年級上冊第8～9頁例6、例7及相關(guān)練習(xí)。教學(xué)目標：1．使學(xué)生通過觀察、猜測、推理、驗證等數(shù)學(xué)活動理解整數(shù)乘法運算定律對于分數(shù)乘法同樣適用，并能應(yīng)用運算定律進行一些簡便計算。2．在計算過程中，培養(yǎng)學(xué)生細心觀察、根據(jù)具體情況靈活應(yīng)用所學(xué)知識解決問題的能力。3．培養(yǎng)學(xué)生探索數(shù)學(xué)問題的興趣，使其在自主探究、合作交流中體驗成功的喜悅。教學(xué)重點：培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用運算定律進行一些簡便計算的能力。教學(xué)難點：培養(yǎng)學(xué)生細心觀察、根據(jù)具體情況靈活應(yīng)用所學(xué)知識的能力。教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)導(dǎo)入（一）激疑引入1．教師在黑板上出示兩個算式：21×3

3×21。同學(xué)們，這兩個算式相等嗎？（學(xué)生顯然能得出相等，教師用等號連接）21×3=3×21。2．看到這個等式，你想起了什么知識？（乘法交換律）3．用字母可以表示為：。這里的字母你覺得可以表示哪些數(shù)呢？4．和可以表示分數(shù),這只是你們的猜測。下面請你獨立思考，舉例驗證這個猜測。5.交流反饋：整數(shù)乘法交換律在分數(shù)乘法中同樣適用，此時你還想到了哪些定律呢？（二）點明課題師：今天我們就來學(xué)習(xí)和研究整數(shù)乘法運算定律推廣到分數(shù)。二、探究新知(一)合作學(xué)習(xí)，展開驗證1．剛才同學(xué)們還想到了乘法結(jié)合律和乘法分配律，那么這里的字母也可以表示分數(shù)嗎？下面請同桌合作，舉例驗證。2．同桌合作，舉例驗證。合作要求：（1）舉例說明①請同桌各寫出一個算式并計算出結(jié)果，如或；②同桌交換，計算出利用運算定律后的結(jié)果，如或。③對照兩者的結(jié)果是否相等。（2）能否舉出一個不相等的例子？（3）得出結(jié)論。3．全班交流反饋，請幾個小組來交流驗證過程。4．小結(jié)：整數(shù)乘法交換律、結(jié)合律和分配律對于分數(shù)乘法同樣適用。(二)實踐新知，應(yīng)用提高1．我們花了那么多時間和精力為了得出這一個結(jié)論，應(yīng)該怎樣應(yīng)用呢？2．獨立嘗試。（1）出示：

（2）思考：選擇什么運算定律才能使計算簡便？（3）計算3.小組交流。四人小組合作交流，討論：（1）計算中運用了什么運算定律？（2）這樣計算，為什么能使計算簡便？4.全班反饋第一題：

=×5×（應(yīng)用了乘法交換律，可約分）

=3×

=第二題：

=×12+×12（應(yīng)用了乘法分配律，可約分）

=10+3

=135.小結(jié)：應(yīng)用乘法運算定律，能使一些分數(shù)混合運算變得簡便。三、練習(xí)鞏固1．請獨立完成教材第9頁的“做一做”。（1）××3

87×選擇合適的運算定律，使計算簡便。第3小題，思考87與的分母之間有什么聯(lián)系，怎樣做可以進行約分呢？（2）奶牛場每頭奶牛平均日產(chǎn)牛奶t，42頭奶牛100天可產(chǎn)奶多少噸？每頭奶牛每天產(chǎn)奶t，那么42頭奶牛每天產(chǎn)奶t。求這些奶牛100天產(chǎn)奶的數(shù)量，可以列出的算式為：。2．出示：

（1）請同學(xué)們仔細觀察這兩題，動筆前先思考怎樣算比較簡便？學(xué)生獨立計算。（2）第一題用乘法分配律進行簡便計算大家都沒有異議；第二題到底如何？兩種方法都試試看，比較得出結(jié)論，其實用乘法分配律并不簡單。（3）第二題的數(shù)怎么改一下用乘法分配律就比較簡單了呢？（4）做了這兩題，你有什么體會？3.開放練習(xí)：在□中填上適當(dāng)?shù)臄?shù)，使計算簡便。

×15×□

×+×□

（+□）×□

四、課堂小結(jié)通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你掌握了哪些知識？你是怎樣獲得這些知識的？你還有哪些疑問？五、隨堂作業(yè)獨立完成教材第12頁練習(xí)二的第12、13、14題。平面向量的數(shù)量積及平面向量的應(yīng)用【知識梳理】1．平面向量的數(shù)量積平面向量數(shù)量積的定義已知兩個非零向量a和b，它們的夾角為θ，把數(shù)量|a||b|cosθ叫做a和b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a·b.即a·b＝|a||b|cosθ，規(guī)定0·a＝0.2．向量數(shù)量積的運算律(1)a·b＝b·a；(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.3．平面向量數(shù)量積的有關(guān)結(jié)論已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，結(jié)論幾何表示坐標表示模|a|＝eq\r(a·a)|a|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))夾角cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)cosθ＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))·\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)))a⊥b的充要條件a·b＝0x1x2＋y1y2＝0【問題思考】1．若a·b＝a·c，則b＝c嗎？為什么？提示：不一定．a(chǎn)＝0時不成立，另外a≠0時，由數(shù)量積概念可知b與c不能確定．2．等式(a·b)c＝a(b·c)成立嗎？為什么？提示：(a·b)c＝a(b·c)不一定成立．(a·b)c是c方向上的向量，而a(b·c)是a方向上的向量，當(dāng)a與c不共線時它們必不相等．3．|a·b|與|a|·|b|的大小之間有什么關(guān)系？提示：|a·b|≤|a|·|b|.因為a·b＝|a||b|cosθ，所以|a·b|＝|a||b||cosθ|≤|a|·|b|.【基礎(chǔ)自測】1．若非零向量a，b滿足|a|＝|b|，(2a＋b)·b＝0，則a與bA．30°B．60°C．120°D．150°解析：選C∵(2a＋b)·b＝0，∴2a·b＋b2＝0，∴2|a||b|cosθ＋|b|2＝0.又∵|a|＝|b|，∴2cosθ＋1＝0，即cosθ＝－eq\f(1,2).又θ∈[0，π]，∴θ＝eq\f(2π,3)，即a與b的夾角為120°.2．已知向量a＝(1，－1)，b＝(2，x)，若a·b＝1，則x＝()A．－1B．－eq\f(1,2)C.eq\f(1,2)D．1解析：選D∵a＝(1，－1)，b＝(2，x)，a·b＝1，∴2－x＝1，即x＝1.3．設(shè)向量a，b滿足|a|＝|b|＝1，a·b＝－eq\f(1,2)，則|a＋2b|＝()A.eq\r(2)B.eq\r(3)C.eq\r(5)D.eq\r(7)解析：選B|a＋2b|＝eq\r(a＋2b2)＝eq\r(|a|2＋4a·b＋4|b|2)＝eq\r(1＋4×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＋4)＝eq\r(3).4．已知兩個單位向量a，b的夾角為60°，c＝ta＋(1－t)b.若b·c＝0，則t＝________.解析：因為向量a，b為單位向量，所以b2＝1，又向量a，b的夾角為60°，所以a·b＝eq\f(1,2)，由b·c＝0，得b·[ta＋(1－t)b]＝0，即ta·b＋(1－t)b2＝0，所以eq\f(1,2)t＋(1－t)＝0，所以t＝2.5．已知正方形ABCD的邊長為2，E為CD的中點，則·＝________.解析：選向量的基底為，，則＝－，＝＋eq\f(1,2)，那么·＝·(－)＝2.【考點分析】【考點一】平面向量數(shù)量積的概念及運算[例1](1)已知點A(－1,1)、B(1,2)、C(－2，－1)、D(3,4)，則向量在方向上的投影為()A.eq\f(3\r(2),2)B.eq\f(3\r(15),2)C．－eq\f(3\r(2),2)D．－eq\f(3\r(15),2)(2)如圖，在矩形ABCD中，AB＝eq\r(2)，BC＝2，點E為BC的中點，點F在邊CD上，若·＝eq\r(2)，則·的值是________．[解](1)∵A(－1,1)，B(1，2)，C(－2，－1)，D(3,4)，∴＝(2,1)，＝(5,5)，因此cos〈，〉＝＝eq\f(3\r(10),10)，∴向量在方向上的投影為||·cos〈，〉＝eq\r(5)×eq\f(3\r(10),10)＝eq\f(3\r(2),2).(2)以A為坐標原點，AB，AD所在的直線分別為x，y軸建立直角坐標系，則B(eq\r(2)，0)，E(eq\r(2)，1)，D(0,2)，C(eq\r(2)，2)．設(shè)F(x，2)(0≤x≤eq\r(2))，由·＝eq\r(2)?eq\r(2)x＝eq\r(2)?x＝1，所以F(1,2)，·＝(eq\r(2)，1)·(1－eq\r(2)，2)＝eq\r(2).【互動探究】在本例(2)中，若四邊形ABCD是邊長為1的正方形，點E是AB上的動點，求·的值及·的最大值．解：以A點為原點，AB邊所在直線為x軸建立平面直角坐標系，如圖所示，則正方形各頂點坐標分別為A(0,0)、B(1,0)、C(1,1)、D(0,1)，設(shè)E(a，0)，0≤a≤1.·＝(a，－1)·(0，－1)＝a×0＋(－1)×(－1)＝1.·＝(a，－1)·(1,0)＝a＋(－1)×0＝a≤1，故·的最大值為1.【方法規(guī)律】平面向量數(shù)量積的類型及求法(1)平面向量數(shù)量積有兩種計算公式：一是夾角公式a·b＝|a||b|cosθ；二是坐標公式a·b＝x1x2＋y1y2.(2)求復(fù)雜的平面向量數(shù)量積的運算時，可先利用平面向量數(shù)量積的運算律或相關(guān)公式進行化簡．變式：1．若向量a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)，滿足條件(8a－b)·c＝30，則x解析：∵a＝(1,1)，b＝(2,5)，∴8a－b又c＝(3，x)，∴(8a－b)·c＝18＋3x＝30，∴x2．若e1，e2是夾角為eq\f(2π,3)的兩個單位向量，a＝e1－2e2，b＝ke1＋e2，若a·b＝0，則實數(shù)k的值為________．解析：∵e1，e2的模為1，且其夾角θ＝eq\f(2π,3).∴a·b＝(e1－2e2)·(ke1＋e2)＝keeq\o\al(2,1)＋e1·e2－2ke1·e2－2eeq\o\al(2,2)＝k＋(1－2k)coseq\f(2π,3)－2＝2k－eq\f(5,2).又∵a·b＝0，∴2k－eq\f(5,2)＝0，即k＝eq\f(5,4).【考點二】平面向量的夾角與模的問題1．平面向量的夾角與模的問題是高考中的?？純?nèi)容，題型多為選擇題、填空題，難度適中，屬中檔題．2．高考對平面向量的夾角與模的考查常有以下幾個命題角度：(1)求兩向量的夾角；(2)兩向量垂直的應(yīng)用；(3)已知數(shù)量積求模；(4)知模求模．[例2](1)若非零向量a，b滿足|a|＝3|b|＝|a＋2b|，則a與b夾角的余弦值為________．(2)已知向量與的夾角為120°，且||＝3，||＝2.若＝λ＋，且⊥，則實數(shù)λ的值為________．(3)在平行四邊形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E為CD的中點．若·＝1,則AB的長為________．[解](1)由|a|＝|a＋2b|，兩邊平方，得|a|2＝|a＋2b|2＝|a|2＋4|b|2＋4a·b，所以a·b＝－|b|2又|a|＝3|b|，所以cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝－eq\f(|b|2,3|b|2)＝－eq\f(1,3).(2)∵⊥，∴·＝0，∴(λ＋)·＝0，即(λ＋)·(－)＝λ·－λ2＋2－·＝0.∵向量與的夾角為120°，||＝3，||＝2，∴(λ－1)||||·cos120°－9λ＋4＝0，解得λ＝eq\f(7,12).(3)法一：由題意可知，＝＋，＝－eq\f(1,2)＋.因為·＝1，所以(＋)·＝1，即2＋eq\f(1,2)·－eq\f(1,2)2＝1.因為||＝1，∠BAD＝60°，所以||＝eq\f(1,2)，即AB的長為eq\f(1,2).法二：以A為原點，AB為x軸建立如圖所示的直角坐標系，過D作DM⊥AB于點M.由AD＝1，∠BAD＝60°，可知AM＝eq\f(1,2)，DM＝eq\f(\r(3),2).設(shè)|AB|＝m(m>0)，則B(m,0)，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m＋\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(3),2))).因為E是CD的中點，所以Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,2)＋\f(1,2)，\f(\r(3),2))).所以＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,2)m，\f(\r(3),2)))，＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m＋\f(1,2)，\f(\r(3),2))).由·＝1，可得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m＋\f(1,2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,2)m))＋eq\f(3,4)＝1，即2m2－m＝0，所以m＝0(舍去)或eq\f(1,2).故AB的長為eq\f(1,2).[答案](1)－eq\f(1,3)(2)5(3)eq\f(1,2)【方法規(guī)律】平面向量的夾角與模問題的常見類型及解題策略(1)求兩向量的夾角．cosθ＝eq\f(a·b,|a|·|b|)，要注意θ∈[0，π]．(2)兩向量垂直的應(yīng)用．兩非零向量垂直的充要條件是：a⊥b?a·b＝0?|a－b|＝|a＋b|.(3)求向量的模．利用數(shù)量積求解長度問題的處理方法有：①a2＝a·a＝|a|2或|a|＝eq\r(a·a).②|a±b|＝eq\r(a±b2)＝eq\r(a2±2a·b＋b2).③若a＝(x，y)，則|a|＝eq\r(x2＋y2).變式：1．若a＝(1,2)，b＝(1，－1)，則2a＋b與a－bA．－eq\f(π,4)B.eq\f(π,6)C.eq\f(π,4)D.eq\f(3π,4)解析：選C2a＋ba－b＝(1,2)－(1，－1)＝(0,3)，(2a＋b)·(a－b)＝9，|2a＋b|＝3eq\r(2)，|a－b|＝3.設(shè)所求兩向量夾角為α，則cosα＝eq\f(9,3\r(2)×3)＝eq\f(\r(2),2)，又α∈[0，π]，故α＝eq\f(π,4).2．已知a與b為兩個不共線的單位向量，k為實數(shù)，若向量a＋b與向量ka－b垂直，則k＝________.解析：∵a與b是不共線的單位向量，∴|a|＝|b|＝1.又ka－b與a＋b垂直，∴(a＋b)·(ka－b)＝0，即ka2＋ka·b－a·b－b2＝0.∴k－1＋ka·b－a·b＝0，即k－1＋kcosθ－cosθ＝0(θ為a與b的夾角)．∴(k－1)(1＋cosθ)＝0，又a與b不共線，∴cosθ≠－1，∴k＝1.3．已知平面向量α，β，|α|＝1，β＝(2,0)，α⊥(α－2β)，則|2α＋β|的值為________．解析：∵β＝(2,0)，∴|β|＝2，又α⊥(α－2β)，∴α·(α－2β)＝α2－2α·β＝1－2α·β＝0.∴α·β＝eq\f(1,2).∴(2α＋β)2＝4α2＋β2＋4α·β＝4＋4＋2＝10.∴|2α＋β|＝eq\r(10).【考點三】平面向量數(shù)量積的應(yīng)用[例3]已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，0<β<α<π.(1)若|a－b|＝eq\r(2)，求證：a⊥b；(2)設(shè)c＝(0,1)，若a＋b＝c，求α，β的值．[解](1)證明：由題意得|a－b|2＝2，即(a－b)2＝a2－2a·b＋b2又因為a2＝b2＝|a|2＝|b|2＝1，所以2－2a·b＝2，即a·b＝0，故a⊥b(2)因為a＋b＝(cosα＋cosβ，sinα＋sinβ)＝(0,1)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(cosα＋cosβ＝0，,sinα＋sinβ＝1，))由此得，cosα＝cos(π－β)，由0<β<π，得0<π－β<π，又0<α<π，故α＝π－β.代入sinα＋sinβ＝1，得sinα＝sinβ＝eq\f(1,2)，而α>β，所以α＝eq\f(5π,6)，β＝eq\f(π,6).【方法規(guī)律】平面向量與三角函數(shù)的綜合問題的命題形式與解題思路(1)題目條件給出向量的坐標中含有三角函數(shù)的形式，運用向量共線或垂直或等式成立等，得到三角函數(shù)的關(guān)系式，然后求解．(2)給出用三角函數(shù)表示的向量坐標，要求的是向量的模或者其他向量的表達形式，解題思路是經(jīng)過向量的運算，利用三角函數(shù)在定義域內(nèi)的有界性，求得值域等.變式：設(shè)向量a＝(4cosα，sinα)，b＝(sinβ，4cosβ)，c＝(cosβ，－4sinβ)．(1)若a與b－2c垂直，求tan(α＋β(2)若tanαtanβ＝16，求證：a∥b.解：(1)由a與b－2c垂直，得a·(b－2c)＝a·b－2a即4sin(α＋β)－8cos(α＋β)＝0，tan(α＋β)＝2.(2)證明：由tanαtanβ＝16，得sinαsinβ＝16cosαcosβ，即4cosα·4cosβ－sinαsinβ＝0，所以a∥b.小結(jié)】1個條件——兩個非零向量垂直的充要條件兩個非零向量垂直的充要條件為：a⊥b?a·b＝0.2個結(jié)論——與向量夾角有關(guān)的兩個結(jié)論(1)若a·b>0，則a與b的夾角為銳角或0°；(2)若a·b<0，則a與b的夾角為鈍角或180°.4個注意點——向量運算中應(yīng)注意的四個問題(1)在求△ABC的三邊所對應(yīng)向量的夾角時，要注意是三角形的內(nèi)角還是外角．如在等邊△ABC中，與的夾角應(yīng)為120°而不是60°.(2)在平面向量數(shù)量積的運算中，不能從a·b＝0推出a＝0或b＝0成立．實際上由a·b＝0可推出以下四種結(jié)論：①a＝0，b＝0；②a＝0，b≠0；③a≠0，b＝0；④a≠0，b≠0，但a⊥b.(3)實數(shù)運算滿足消去律：若bc＝ca，c≠0，則有b＝a.在向量數(shù)量積的運算中，若a·b＝a·c(a≠0)，則不一定得到b＝c.(4)實數(shù)運算滿足乘法結(jié)合律，但平面向量數(shù)量積的運算不滿足乘法結(jié)合律，即(a·b)·c不一定等于a·(b·c)，這是由于(a·b)·c表示一個與c共線的向量，而a·(b·c)表示一個與a共線的向量，而c與a不一定共線．【鞏固練習(xí)】1．若向量a，b滿足|a|＝|b|＝2，a與b的夾角為60°，則|a＋b|等于()A．2eq\r(2＋\r(3))B．2eq\r(3)C．4D．12解析：選B|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2|a||b|cos60°＝4＋4＋2×2×2×eq\f(1,2)＝12，|a＋b|＝2eq\r(3).2．平面向量a與b的夾角為60°，且a＝(2,0)，|b|＝1，則|a－b|＝()A.eq\f(\r(3),2)B.eq\r(3)C．3D．4解析：選C|a－b|2＝|a|2＋|b|2－2|a|·|b|·cos60°＝4＋1－2×2×1×eq\f(1,2)＝3.3．在四邊形ABCD中，＝(1,2)，＝(－4,2)，則該四邊形的面積為()A.eq\r(5)B．2eq\r(5)C．5D．10解析：選C依題意得，·＝1×(－4)＋2×2＝0.所以⊥，所以四邊形ABCD的面積為eq\f(1,2)||·||＝eq\f(1,2)×eq\r(5)×eq\r(20)＝5.4.如圖，在△ABC中，AD⊥AB，＝eq\r(3)，||＝1，則·＝()A．2eq\r(3)B.eq\f(\r(3),2)C．－eq\f(\r(3),2)D.eq\r(3)解析：選D建系如圖．設(shè)B(xB,0)，D(0,1)，C(xC，yC)，＝(xC－xB，yC)，＝(－xB,1)，∵＝eq\r(3)，∴xC－xB＝－eq\r(3)xB?xC＝(1－eq\r(3))xB，yC＝eq\r(3)，＝((1－eq\r(3))xB，eq\r(3))，＝(0，1)，·＝eq\r(3).5．已知a，b，c均為單位向量，且|a＋b|＝1，則(a－b)·c的取值范圍是()A．[0,1]；B．[－1,1]；C．[－eq\r(3)，eq\r(3)]；D．[0，eq\r(3)]解析：選C由a、b為單位向量和|a＋b|＝1的幾何意義，可知|a－b|＝eq\r(3)，設(shè)a－b與c的夾角為θ，所以(a－b)·c＝|a－b||c|cosθ∈[－eq\r(3)，eq\r(3)]．6．已知△ABC為等邊三角形，AB＝2.設(shè)點P，Q滿足＝λ，＝(1－λ)，λ∈R，若·＝－eq\f(3,2)，則λ＝()A.eq\f(1,2)；B.eq\f(1±\r(2),2)；C.eq\f(1±\r(10),2)；D.eq\f(－3±2\r(2),2)解析：選A以點A為坐標原點，AB所在直線為x軸建立平面直角坐標系，則B(2,0)，C(1，eq\r(3))，由＝λ，得P(2λ，0)，由＝(1－λ)，得Q(1－λ，eq\r(3)(1－λ))，所以·＝(－λ－1，eq\r(3)(1－λ))·(2λ－1，－eq\r(3))＝－(λ＋1)·(2λ－1)－eq\r(3)×eq\r(3)(1－λ)＝－eq\f(3,2)，解得λ＝eq\f(1,2).7．單位圓上三點A，B，C滿足＋＋＝0，則向量，的夾角為________．解析：∵A，B，C為單位圓上三點，∴||＝||＝||＝1，又＋＋＝0，∴＝＋，∴2＝(＋)2＝2＋2＋2·，可得cos〈，〉＝－eq\f(1,2)，∴向量，的夾角為120°.8.如圖所示，在平行四邊形ABCD中，AP⊥BD，垂足為P,且AP＝3，則·＝________.解析