2022-2023學年湖南省張家界市慈利城東中學高二數(shù)學理測試題含解析

2022-2023學年湖南省張家界市慈利城東中學高二數(shù)學理測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.在正四棱柱中，頂點到對角線和到平面的距離分別為和，則下列命題中正確的是（

）A．若側棱的長小于底面的邊長，則的取值范圍為B．若側棱的長小于底面的邊長，則的取值范圍為C．若側棱的長大于底面的邊長，則的取值范圍為D．若側棱的長大于底面的邊長，則的取值范圍為參考答案：C2.某產品的廣告費用x與銷售額y的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表廣告費用x（萬元）4235銷售額y（萬元）49263954根據(jù)上表可得回歸方程=x+的為9.4，據(jù)此模型預報廣告費用為6萬元時銷售額為（）A．63.6萬元 B．65.5萬元 C．67.7萬元 D．72.0萬元參考答案：B【考點】線性回歸方程．【分析】首先求出所給數(shù)據(jù)的平均數(shù)，得到樣本中心點，根據(jù)線性回歸直線過樣本中心點，求出方程中的一個系數(shù)，得到線性回歸方程，把自變量為6代入，預報出結果．【解答】解：∵=3.5，=42，∵數(shù)據(jù)的樣本中心點在線性回歸直線上，回歸方程中的為9.4，∴42=9.4×3.5+a，∴=9.1，∴線性回歸方程是y=9.4x+9.1，∴廣告費用為6萬元時銷售額為9.4×6+9.1=65.5，故選：B．3.如圖，設梯形ABCD所在平面與矩形AEBF所在平面相交于AB，若，，，則下列二面角的平面角大小為定值的是(

)A.

B.

C.

D.參考答案：D4.化極坐標方程ρ2cosθ﹣ρ=0為直角坐標方程為（）A．x2+y2=0或y=1 B．x=1 C．x2+y2=0或x=1 D．y=1參考答案：C【考點】點的極坐標和直角坐標的互化．【分析】利用直角坐標與極坐標間的關系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，進行代換即得．【解答】解：∵ρ2cosθ﹣ρ=0，∴ρcosθ﹣1=0或ρ=0，∵，∴x2+y2=0或x=1，故選C．5.已知復數(shù)若為實數(shù)，則實數(shù)m的值為（

）A.

B.

C.

D.

參考答案：D略6.下列四個數(shù)中，哪一個是數(shù)列{}中的一項

（

）

A．380

B．39

C．35

D．

23參考答案：A略7.已知命題，其中正確的是

（

）A． B．C．

D．參考答案：C8.

是橢圓的兩個焦點，為橢圓上一點，且∠，則Δ的面積為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C

解析：

9.某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的表面積是（）A．2+ B．4+ C．2+2 D．5參考答案：C【考點】由三視圖求面積、體積．【分析】根據(jù)三視圖可判斷直觀圖為：OA⊥面ABC，AC=AB，E為BC中點，EA=2，EA=EB=1，OA=1，：BC⊥面AEO，AC=，OE=判斷幾何體的各個面的特點，計算邊長，求解面積．【解答】解：根據(jù)三視圖可判斷直觀圖為：OA⊥面ABC，AC=AB，E為BC中點，EA=2，EC=EB=1，OA=1，∴可得AE⊥BC，BC⊥OA，運用直線平面的垂直得出：BC⊥面AEO，AC=，OE=∴S△ABC=2×2=2，S△OAC=S△OAB=×1=．S△BCO=2×=．故該三棱錐的表面積是2，故選：C．【點評】本題考查了空間幾何體的三視圖的運用，空間想象能力，計算能力，關鍵是恢復直觀圖，得出幾何體的性質．10.對于大于1的自然數(shù)的三次冪可用奇數(shù)進行以下方式的“分裂”：，，，…，仿此，若的“分裂數(shù)”中有一個是61，則的值是（

）

A.6

B.7

C.8

D.9參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.用一個與球心距離為1的平面去截球，所得的截面面積為π，則該球的體積為

．參考答案：略12.若命題“”是假命題，則實數(shù)的取值范圍是

.參考答案：13.給出下列五個命題：

①

在三角形ABC中，若則;②

若數(shù)列的前n項和則數(shù)列從第二項起成等差數(shù)列；③

已知是等差數(shù)列的前項和，若則;

④

已知等差數(shù)列的前項和為，若則；⑤

若是等比數(shù)列，且，則＝－1；其中正確命題的序號為：_

__參考答案：1,2,3略14.與雙曲線有共同的漸近線，并且過點A(6,8)的雙曲線的標準方程為__________．參考答案：略15.如圖所示，是邊長為3的正三角形，若在每一邊的兩個三等分點中，各隨機選取一點連成三角形，下列命題正確的是（寫出所有正確命題的編號）：

①依此方法可能連成的三角形一共有8個；②這些可能連成的三角形中，恰有3個是直角三角形；③這些可能連成的三角形中，恰有2個是銳角三角形；④這些可能連成的三角形中，恰有2個是鈍角三角形.參考答案：①③略16.雙曲線的漸近線方程是

．參考答案：根據(jù)雙曲線的漸近線公式得到

17.直線與拋物線所圍成的圖形面積是

.

參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知點P(x，y)在圓x2＋(y－1)2＝1上運動．(1)求的最大值與最小值；(2)求2x＋y的最大值與最小值參考答案：(1)設＝k，則k表示點P(x，y)與點(2,1)連線的斜率．當直線y－1＝k(x－2)與圓相切時，k取得最大值與最小值．由＝1，解得k＝±，∴的最大值為，最小值為－.(2)設2x＋y＝m，則m表示直線2x＋y＝m在y軸上的截距．當該直線與圓相切時，m取得最大值與最小值．由＝1，解得m＝1±，∴2x＋y的最大值為1＋，最小值為1－.

19.已知數(shù)列{an}的前n項的和，{bn}是等差數(shù)列，且.（Ⅰ）求數(shù)列{bn}的通項公式；（Ⅱ）令.求數(shù)列{cn}的前n項和Tn.參考答案：（Ⅰ）（Ⅱ）【分析】（Ⅰ）先求出，再由得到通項公式，求出，再由，進而可得出結果；（Ⅱ）由（Ⅰ）得到，再由錯位相減法，即可求出結果.【詳解】（Ⅰ），時，，也符合此式，所以.又，，可得，，所以（Ⅱ），所以，所以，錯位相減得，所以【點睛】本題主要考查求數(shù)列的通項公式，以及數(shù)列的求和，熟記等差數(shù)列的通項公式，以及錯位相減法求數(shù)列的和即可，屬于?？碱}型.20.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，平面PAD⊥底面ABCD，PD⊥AD，PD=AD，E為棱PC的中點（I）證明：平面PBC⊥平面PCD；（II）求直線DE與平面PAC所成角的正弦值；（III）若F為AD的中點，在棱PB上是否存在點M，使得FM⊥BD？若存在，求的值，若不存在，說明理由。參考答案：（Ⅰ）見解析（II）（III）存在，=【分析】（I）由面面垂直的性質定理得PD⊥底面ABCD，從而可得BC⊥平面PCD，然后可證得面面垂直；（II）以為軸建立空間直角坐標系，寫出各點坐標，求出平面的法向量和直線的方向向量，平面的法向量和直線的方向向量的余弦的絕對值等于直線與平面所成角的正弦；（III）設=λ（0≤λ≤1），由求得即可．【詳解】（I）∵平面PAD⊥底面ABCD，又PD⊥AD，∴PD⊥底面ABCD∴PD⊥BC又∵底面ABCD為正方形，BC⊥CD∴BC⊥平面PCD∴平面PBC⊥平面PCD，（II）由（I）知，PD⊥底面ABCD，AD⊥CD如圖以點D為原點建立空間直角坐標系不妨設PD=AD=2，可得D（0，0，0），A（2，0，0，），C（0，2，0），P（0，0，2），由E為棱PC的中點，得E（0，1，1），向量=（-2，2，0），=（2，0，-2），設=(x,y,z)為平面PAC的法向量，則，即不妨令x=1,可得=（1，1，1）為平面PAC的一個法向量設直線DE與平面PAC所成角為θ所以sinθ==所以，直線DE與平面PAC所成角的正弦值為（III）向量=（-2，-2，2），=（2，2，0），=（1，2，0）由點M在棱PB上，設=λ（0≤λ≤1）故=+=（1-2λ，2-2λ，2λ）由FM⊥DB，得·=0因此（1-2λ）×2+（2-2λ）×2=0解得λ=，所以=【點睛】本題考查面面垂直的判定與性質，考查直線與平面所成的角，考查立體幾何中的存在性問題．解題時要注意線面間的位置關系的證明需用相應的判定定理和性質定理去證明，用求空間的角（異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角等）一般用空間向量法求解，這就要求先建立空間直角坐標系．21.（本題滿分12分）已知的展開式中所有項的二項式系數(shù)之和為，(1)求展開式的所有有理項（指數(shù)為整數(shù)）．(2)求展開式中項的系數(shù)．參考答案：（1）

∴

3分(r=0,1,…，10)

∵Z，∴，6

6分有理項為，

8分

（2）∵，∴項的系數(shù)為

12分（其它方法也可）22.已知焦點在x軸上，中心在坐標原點的橢圓C的離心率為，且過點（，1）．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）直線l分別切橢圓C與圓M：x2+y2=R2（其中3＜R＜5）于A、B兩點，求|AB|的最大值．參考答案：【考點】橢圓的標準方程；直線與圓錐曲線的綜合問題．【分析】（Ⅰ）設出橢圓的方程，根據(jù)離心率及橢圓過點（，1）求出待定系數(shù)，即得橢圓的方程．（Ⅱ）用斜截式設出直線的方程，代入橢圓的方程，化為關于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關系，化簡|AB|的解析式并利用基本不等式求出其最大值．【解答】解：（Ⅰ）設橢圓的方程為，則，a，∴，∵橢圓過點，∴，解得a2=25，b2=9，故橢圓C的方程為（Ⅱ）設A（x1，y1），B（x2，y2）分別為直線l與橢圓和圓的切點，直線AB的方程為y=kx+m，因為A既在橢圓上，又在直線AB上，從而有，消去y得：（25k2+9）x2+50kmx+25