2022-2023學(xué)年湖南省郴州市博文實(shí)驗中學(xué)高二數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷含解析

2022-2023學(xué)年湖南省郴州市博文實(shí)驗中學(xué)高二數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.在兩個變量y與x的回歸模型中，分別選擇了4個不同模型，它們的相關(guān)指數(shù)如下，其中擬合效果最好的模型是（）A．模型1的相關(guān)指數(shù)為0．98

B．模型2的相關(guān)指數(shù)為0．80C．模型3的相關(guān)指數(shù)為0．50

D．模型4的相關(guān)指數(shù)為0．25參考答案：A略2.設(shè)是等差數(shù)列，若,則數(shù)列前8項的和為………(

)A.128

B.80

C.64

D.56參考答案：C3.下列函數(shù)既是奇函數(shù)，又在（0，+∞）上為增函數(shù)的是（）A．y= B．y=|x| C．y=2x﹣()xD．y=lg（x+1）參考答案：C【考點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的判斷；3E：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明．【分析】根據(jù)題意，依次分析選項中函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，綜合即可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，依次分析選項：對于A、y=為奇函數(shù)，但在區(qū)間（0，+∞）上為減函數(shù)，不符合題意；對于B、y=|x|，有f（﹣x）=|﹣x|=|x|=f（x），即f（x）為偶函數(shù)，不符合題意；對于C、y=2x﹣（）x，有f（﹣x）=2（﹣x）﹣（）（﹣x）=﹣[2x﹣（）x]=﹣f（x），即函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，在（0，+∞）上，函數(shù)y=2x為增函數(shù)，y=（）x為減函數(shù)，則函數(shù)f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，符合題意；對于D、y=lg（x+1），為非奇非偶函數(shù)，不符合題意；故選：C．4.已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的側(cè)棱與底面垂直，體積為，底面是邊長為的正三角形．若P為底面A1B1C1的中心，則PA與平面ABC所成角的大小為（）A．120° B．60° C．45° D．30°參考答案：B【考點(diǎn)】直線與平面所成的角．【分析】利用三棱柱ABC﹣A1B1C1的側(cè)棱與底面垂直和線面角的定義可知，∠APA1為PA與平面A1B1C1所成角．利用三棱錐的體積計算公式可得AA1，再利用正三角形的性質(zhì)可得A1P，在Rt△AA1P中，利用tan∠APA1=，可得結(jié)論．【解答】解：如圖所示，∵AA1⊥底面A1B1C1，∴∠APA1為PA與平面A1B1C1所成角，∵平面ABC∥平面A1B1C1，∴∠APA1為PA與平面ABC所成角．∵==．∴V三棱柱ABC﹣A1B1C1=AA1，解得AA1=．又P為底面正三角形A1B1C1的中心，∴A1P==1，在Rt△AA1P中，tan∠APA1=，∴∠APA1=60°．故選B．【點(diǎn)評】本題考查線面角，掌握正三角形的性質(zhì)、線面角的定義是解題的關(guān)鍵．5.如果點(diǎn)P在以F為焦點(diǎn)的拋物線x2＝2y上，且∠POF＝60o(O為原點(diǎn))，那么△POF的面積是(

)．A．

B．

C．

D．參考答案：C6.函數(shù)在區(qū)間上的最小值為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D略7.某初級中學(xué)共有學(xué)生2000名，各年級男、女生人數(shù)如下表：

初一年級初二年級初三年級女生373380男生377370現(xiàn)用分層抽樣的方法在全校抽取48名學(xué)生，應(yīng)在初三年級抽?。?/p>

）名？A．10

B．12

C．14D．與和的值有關(guān)參考答案：B8.在圓x2＋y2＋2x－4y＝0內(nèi)，過點(diǎn)(0,1)的最短弦所在直線的傾斜角是（

）參考答案：B9.已知函數(shù)y=f（x）和函數(shù)y=g（x）的圖象如下：則函數(shù)y=f（x）g（x）的圖象可能是

(

) A． B． C． D．參考答案：A考點(diǎn)：函數(shù)的圖象與圖象變化．專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析：可以先判斷函數(shù)y=f（x）和函數(shù)y=g（x）的奇偶性，由圖象知y=f（x）為偶函數(shù)，y=g（x）為奇函數(shù)，所以y=f（x）g（x）為奇函數(shù)，排除B．利用函數(shù)的定義域為{x|x≠0}，排除D．當(dāng)x→+∞，y=f（x）g（x）＞0，所以排除B，選A．解答： 解：由圖象可知y=f（x）為偶函數(shù)，y=g（x）為奇函數(shù)，所以y=f（x）g（x）為奇函數(shù)，排除B．因為函數(shù)y=g（x）的定義域為{x|x≠0}，所以函數(shù)y=f（x）g（x）的定義域為{x|x≠0}，排除D．當(dāng)x→+∞，f（x）＜0，g（x）＜0，所以y=f（x）g（x）＞0，所以排除B，選A．點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)圖象的識別和判斷，要充分利用函數(shù)圖象的特點(diǎn)和函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷．當(dāng)函數(shù)圖象無法直接判斷時，可以采取極限思想，讓x→+∞或x→﹣∞時，函數(shù)的取值趨向，進(jìn)行判斷．10.參考答案：B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)為等差數(shù)列的前項和，若，，則

參考答案：912.若數(shù)列{an}滿足：只要ap=aq（p，q∈N*），必有ap+1=aq+1，那么就稱數(shù)列{an}具有相紙P，已知數(shù)列{an}具有性質(zhì)P，且a1=1，a2=2，a3=3，a5=2，a6+a7+a8=21，則a2017=

．參考答案：15【考點(diǎn)】8H：數(shù)列遞推式．【分析】根據(jù)題意，由于數(shù)列{an}具有性質(zhì)P以及a2=a5=2，分析可得a3=a6=3，a4=a7，a5=a8=3，結(jié)合題意可以將a6+a7+a8=21變形為a3+a4+a5=21，計算可得a4的值，進(jìn)而分析可得a3=a6=a9=…a3n=3，a4=a7=a6=…a3n+1=15，a5=a8=…a3n+2=3，（n≥1）；分析可得a2017的值．【解答】解：根據(jù)題意，數(shù)列{an}具有性質(zhì)P，且a2=a5=2，則有a3=a6=3，a4=a7，a5=a8=3，若a6+a7+a8=21，可得a3+a4+a5=21，則a4=21﹣3﹣3=15，進(jìn)而分析可得：a3=a6=a9=…a3n=3，a4=a7=a6=…a3n+1=15，a5=a8=…a3n+2=3，（n≥1）則a2017=a3×672+1=15，故答案為：15．【點(diǎn)評】本題考查數(shù)列的表示方法，關(guān)鍵分析什么樣的數(shù)列具有性質(zhì)P，并且求出a4的值，13.若數(shù)列{an}(n∈N*)是等差數(shù)列，則有數(shù)列bn=(n∈N*)也為等差數(shù)列.類比上述性質(zhì)，相應(yīng)地：若數(shù)列{Cn}是等比數(shù)列，且Cn>0(n∈N*),則有dn=____________

(n∈N*)也是等比數(shù)列.參考答案：略14.不等式的解集是_______________．參考答案：略15.已知是首項為1的等比數(shù)列，是的前項和，且，則數(shù)列的前5項之和為

．參考答案：16.點(diǎn)P（8，1）平分雙曲線x2﹣4y2=4的一條弦，則這條弦所在的直線方程是．參考答案：2x﹣y﹣15=0【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的關(guān)系；雙曲線的簡單性質(zhì)．【分析】設(shè)弦的兩端點(diǎn)分別為A（x1，y1），B（x2，y2），由AB的中點(diǎn)是P（8，1），知x1+x2=16，y1+y2=2，利用點(diǎn)差法能求出這條弦所在的直線方程．【解答】解：設(shè)弦的兩端點(diǎn)分別為A（x1，y1），B（x2，y2），∵AB的中點(diǎn)是P（8，1），∴x1+x2=16，y1+y2=2，把A（x1，y1），B（x2，y2）代入雙曲線x2﹣4y2=4，得，∴（x1+x2）（x1﹣x2）﹣4（y1﹣y2）（y1+y2）=0，∴16（x1﹣x2）﹣8（y1﹣y2）=0，∴k==2，∴這條弦所在的直線方程是2x﹣y﹣15=0．故答案為：2x﹣y﹣15=0．17.已知數(shù)列的首項，則數(shù)列的通項公式

參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分14分）已知點(diǎn)A（2，8），B（x1，y1），C（x2，y2）在拋物線上，△ABC的重心與此拋物線的焦點(diǎn)F重合（如圖）（1）寫出該拋物線的方程和焦點(diǎn)F的坐標(biāo)；

（2）求線段BC中點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（3）求BC所在直線的方程.參考答案：（1）由點(diǎn)A（2，8）在拋物線上，有，解得p=16.所以拋物線方程為，焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為（8，0）.------4分（2）如圖，由于F（8，0）是△ABC的重心，M是BC的中點(diǎn)，所以F是線段AM的定比分點(diǎn)，且，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為，則，(也可由向量求得)解得，所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為（11，－4）．

------9分（3）由于線段BC的中點(diǎn)M不在x軸上，所以BC所在的直線不垂直于x軸.設(shè)BC所在直線的方程為：由消x得，所以，由（2）的結(jié)論得，解得因此BC所在直線的方程為：

------14分19.某校高三有甲、乙兩個班，在某次數(shù)學(xué)測試中，每班各抽取5份試卷，所抽取的平均得分相等（測試滿分為100分），成績統(tǒng)計用莖葉圖表示如下：甲

乙9884892109

6（1）求；（2）學(xué)校從甲班的5份試卷中任取兩份作進(jìn)一步分析，在抽取的兩份樣品中，求至多有一份得分在之間的概率.參考答案：20.如圖，海中小島A周圍40海里內(nèi)有暗礁，一船正在向南航行，在B處測得小島A在船的南偏東30°，航行30海里后，在C處測得小島在船的南偏東45°，如果此船不改變航向，繼續(xù)向南航行，問有無觸礁的危險?參考答案：解:在△ABC中,BC=30,∠B=30°,∠C=135°,所以∠A=15°.．．．．．．．．．．．．．2分

由正弦定理知

即

所以

．．．．．．．．．．７分于是，A到BC邊所在直線的距離為：

(海里)，．．．．．．．．．．．．．10分

由于它大于40海里，所以船繼續(xù)向南航行沒有觸礁的危險.．．．．．．．．．．

．．．11分答：此船不改變航向，繼續(xù)向南航行，無觸礁的危險.．．．．．．．．．．

．．．12分略21.在銳角三角形ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且acosC，bcosB，ccosA成等差數(shù)列．（1）求角B的大小；（2）求2sin2A+cos（A﹣C）的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】等差數(shù)列的性質(zhì)；三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值．【分析】（1）利用正弦定理、等差數(shù)列的定義和性質(zhì)以及誘導(dǎo)公式可得，由此求得角B的大小．（2）三角函數(shù)的恒等變換把要求的式子化為，根據(jù)角A的范圍，求出的范圍．【解答】解、（1）∵2bcosB=acosC+ccosA，∴2sinBcosB=sinAcosC+cosAsinC．∴2sinBcosB=sin（A+C），又∵A+C=π﹣B0＜B＜π，∴，即

．（2）由（1）得：，，△ABC為銳角三角形，則，∴．=．∵，∴，即2sin2A+cos（A﹣C）．22.設(shè)P，Q為圓周上的兩動點(diǎn)，且滿足與圓內(nèi)一定點(diǎn)，使，求過P和Q的兩條切線的交點(diǎn)M的軌跡.參考答案：解法一：連接PQ，OM，由圓的切線性質(zhì)知，且PQ與OM交點(diǎn)E為PQ的中點(diǎn).設(shè)，則，.從而得到E點(diǎn)的坐標(biāo)為.由于，所以。