2023年山西省晉城市高考數(shù)學一模試卷及答案解析

2023年山西省晉城市高考數(shù)學一模試卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的。

1.(5分)已知集合A=Lφ2-4χ-12<0},B={x∣2-χ>l},則AGB=()

A.{x?-2<x<↑}B.{x?-6<x<l}C.{x∣l<x<2}D.{Λ∣1<X<6}

2.（5分）已知復數(shù)z=α+i（α6R）,若z2=3+4i,則復數(shù)2在復平面內(nèi)對應的點位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

（分）函數(shù)〃）鬻干的部分圖象大致為（

3.5X=)

y

∕Λ

A.

y

r?

?J

B.

y

C.

y

D.

∣m的（

4.(5分)"sin(a—5)=是"sin(2α—5))

??O

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

5.（5分）某數(shù)學興趣小組的學生為了了解會議用水的飲用情況，對某單位的某次會議所用

礦泉水飲用情況進行調(diào)查，會議前每人發(fā)一瓶500/77/的礦泉水，會議后了解到所發(fā)的礦

1

泉水飲用情況主要有四種：A.全部喝完；B.喝剩約3C.喝剩約一半；D.其他情況.該

數(shù)學興趣小組的學生將收集到的數(shù)據(jù)進行整理，并繪制成所示的兩幅不完整的統(tǒng)計圖.

會議中礦泉水飲用情況的條形統(tǒng)計圖會議中礦泉水飲用情況的扇形統(tǒng)計圖

根據(jù)圖中信息，本次調(diào)查中會議所發(fā)礦泉水全部喝完的人數(shù)是（）

A.40B.30C.22D.14

6.（5分）在四棱錐尸-ABCD中，PAmABCD,四邊形ABCD是正方形，PA^AB,PH=

2HC,E,尸分別是棱CD,雨的中點，則異面直線與EF所成角的余弦值是（）

1√3√62√2

A.-B.—C.—D.-----

3333

7.（5分）當光線入射玻璃時，表現(xiàn)有反射、吸收和透射三種性質(zhì).光線透過玻璃的性質(zhì)，

稱為“透射”，以透光率表示.已知某玻璃的透光率為90%（即光線強度減弱10%）.若

光線強度要減弱到原來的去以下，則至少要通過這樣的玻璃的數(shù)量是（）（參考數(shù)據(jù)：

?2≈0.30,?3≈0.477）

A.30塊B.31塊C.32塊D.33塊

8.（5分）已知函數(shù)f（x）=2sinx?cosx?+y∕3cos2x,貝IJ（）

A.f（x）的最小正周期是π

B./（x）的圖象關(guān)于直線X=對稱

C.f（x）在［0,2用上有4個極值點

D./（Λ）在［嚕，竽］上單調(diào)遞減

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合

題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。

（多選）9.（5分）已知點A（1,-2）,B（2,0）,C（3,-3）,D（-1,-6）,貝∣J（）

A.ABHADB,?AB?=?AC?

C.ACVBDD.cosCAB,BD)=0

（多選）10.（5分）已知α>0,b>0,且α+26=l,則（)

1,112,八

A.ab<QB.2a+b<2C.~+~≥9D.loga?>0

（多選）11.（5分）數(shù)學中有許多形狀優(yōu)美、寓意獨特的幾何體，如圖1所示的禮品包裝

盒就是其中之一.該禮品包裝盒可以看成是一個十面體，其中上、下底面為全等的正方

形，所有的側(cè)面是全等的等腰三角形，將長方體ABCD-AiBiODi的上底面AiBiCiDi

繞著其中心旋轉(zhuǎn)45°得到如圖2所示的十面體ABCr>-EfGH.已知A8=AO=2,AE=√7,

貝!］（）

A.十面體ABCf）-EFGH的上、下底面之間的距離是四+1

B.十面體A8C￡）-EFG，的表面積是+8

一√2÷1

C.十面體ABCD-EFGH外接球球心到平面ABE的距離是-----

2

D.十面體48CZ）-EFGH外接球的表面積是（11+2√Σ）Tr

（多選）12.（5分）已知函數(shù)f（x）,g（%）的定義域均為R,且/（尤）-g（2-x）=-5,

gCO+f（x+2）=3,若/（x）的圖象關(guān)于直線x=l對稱，且/（3）=-3,則（）

A.g⑴=6

B.g（X）的圖象關(guān)于點（0,4）對稱

C.g（x）是周期函數(shù)，且最小正周期為8

D.∑蹌1g（?）=90

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。把答案填在答題卡中的橫線上。

13.（5分）已知拋物線C：/=2Py（P>0）的焦點為凡點4在拋物線C上，若點A到X

軸的距離是IA尸I-2,則p=.

14.（5分）寫出一個同時滿足下列條件①②的雙曲線的標準方程：.

①焦點在X軸上；②離心率為2.

15.（5分）某班派甲、乙等五人參加跳高、跳遠、50米短跑這三個項目，要求每人只參加

一個項目，且每個項目都要有人參加，則甲、乙參加同一個項目的概率是.

16.（5分）已知/（X）是定義在（-8,0）U（0,+8）上的奇函數(shù)，fG）是/（χ）

的導函數(shù)，當x>0時，xf'(x)+2f(x)>0,若/(2)=0,則不等式內(nèi)(X)>0的

解集是.

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(10分)公差不為O的等差數(shù)列｛“"｝的前"項和為5",且滿足“3=10,02,44,47成等

比數(shù)列.

(1)求｛“"｝的前"項和S”；

7

(2)記h∏=S+6,求數(shù)列｛加｝的前n項和Tn.

18.(12分)某商場在周年慶舉行了一場抽獎活動，抽獎箱中所有乒乓球都是質(zhì)地均勻，大

小與顏色相同的，且每個小球上標有I,2,3,4,5,6這6個數(shù)字中的一個，每個號都

有若干個乒乓球.顧客有放回地從抽獎箱中抽取小球，用X表示取出的小球上的數(shù)字，

當x25時，該顧客積分為3分，當3Wx<5時，該顧客積分為2分，當x<3時，該顧

客積分為1分.以下是用電腦模擬的抽獎，得到的30組數(shù)據(jù)如下：

13I1633412

4125312631

6121225345

(1)以此樣本數(shù)據(jù)來估計顧客的抽獎情況，分別估計某顧客抽獎一次，積分為3分和2

分的概率；

(2)某顧客從上述30個樣本數(shù)據(jù)中隨機抽取2個，若該顧客總積分是幾分，商場就讓

利幾折(如該顧客積分為3+3=6,商場就給該顧客的所有購物打10-6=4折)，記該顧

客最后購物打X折，求X的分布列和數(shù)學期望.

A.TT

19.(12分)在aABC中，角4,2,C所對的邊分別為a,b,c,若cosA+cos-=0,且TW=IDB,

AE=AEC.

(1)求4的大??；

(2)若α=7,DE=2√7,求AABC的面積.

20.(12分)如圖，在正三棱柱ABC-AiBiCi中，AA?^AB,D,E分別是棱BC,的中

點.

(1)證明：平面ACiDL平面AIC￡

(2)求平面ACE與平面AlCE所成銳二面角的余弦值.

X2y2√2

2,?⑴分)已知橢圓C/+瓦=…>2。)的離心率是三，點M(0,2)在橢圓C

上.

(1)求橢圓C的標準方程.

(2)已知P(0,1),直線/：y=kx+m(?≠0)與橢圓C交于A、8兩點，若直線AP、

BP的斜率之和為0,試問△/?B的面積是否存在最大值？若存在，求出該最大值；若不

存在，請說明理由.

22.(12分)已知函數(shù)/(x)=/-3∕+oT的圖象在X=I處的切線方程為y=(e-2)x+b.

(1)求4,b的值；

(2)若關(guān)于X的不等式/(x)>相對于任意x6[l,+8)恒成立，求整數(shù)"的最大值.(參

考數(shù)據(jù)：∕nlθ≈2.3)

2023年山西省晉城市高考數(shù)學一模試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的。

1.（5分）已知集合A={x∣f-4尤-12<0},B={x?2-x>↑},則4∩8=（）

A.{x?-2<x<l}B.{x∣-6<x<l}C.{x∣l<x<2}D.{Λ∣1<X<6}

【解答】解：VA={X∣Λ2-4X-12<0}={Λ∣-2<Λ<6},B={x∣2-x>1}=UlXV1},

ΛA∩B={x∣-2<x<6}∩{x∣x<1}={x∣-2<x<1},

故選：A.

2.（5分）已知復數(shù)z=α+i（αeR）,若z2=3+4i,則復數(shù)2在復平面內(nèi)對應的點位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【解答】解：由題意可得,（α+i）2=3+4i,即"2"i=3+4i,

又α∈R,因此=3,解得α=2,

則z=2+i,

所以2=2-i在復平面內(nèi)對應的點（2,-1）位于第四象限.

故選：D.

y

×∕?λθX

C.

以

D.

【解答】解：因為XeR，/(-X)==-/(%),所以f(χ)為奇函數(shù)，得了(χ)的

圖象關(guān)于原點對稱，

當OVXV鄂寸，f(x)>0,排除A。，

TC

當一<r<^7T時，f(X)<0,排除C

故選：B.

4.(5分)“sin("e=爭是"sin(2α-≡)=/”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【解答】解：sin(2]—著)=sin(2α-?+^)=cos(2a—?)=1—2sin2(^a—

當sizι(α—芻二亭時，

sin(2a—^)=1—2×(?)2=?,

當Sin(2a—看)=3時，

1—2si∏2(α—號)=解得Sin(a—電=±等，

故Sin(a-?)=紗是“sin(2a-^)=界的充分不必要條件.

??b?

故選：A.

5.(5分)某數(shù)學興趣小組的學生為了了解會議用水的飲用情況，對某單位的某次會議所用

礦泉水飲用情況進行調(diào)查，會議前每人發(fā)一瓶500ml的礦泉水，會議后了解到所發(fā)的礦

1

泉水飲用情況主要有四種：A.全部喝完；B.喝剩約1C.喝剩約一半；D.其他情況.該

數(shù)學興趣小組的學生將收集到的數(shù)據(jù)進行整理，并繪制成所示的兩幅不完整的統(tǒng)計圖.

會議中礦泉水飲用情況的條形統(tǒng)計圖會議中礦泉水飲用情況的扇形統(tǒng)計圖

根據(jù)圖中信息，本次調(diào)查中會議所發(fā)礦泉水全部喝完的人數(shù)是（）

A.40B.30C.22D.14

140

【解答】解：由兩幅統(tǒng)計圖可得喝剩約一的人有40人，所以該會議共有一=100人，

30.4

所以喝剩約一半的有100×0.3=30人，而其他情況共有8人，

所以本次調(diào)查中會議所發(fā)礦泉水全部喝完的人數(shù)是100-40-30-8=22人.

故選：C.

6.（5分）在四棱錐尸-ABC。中，%_L平面ABC￡>,四邊形ABC。是正方形，PA=AB,PH=

2HC,E,尸分別是棱CZ）,用的中點，則異面直線與EF所成角的余弦值是（）

1√3√62√2

A.-B.—C.—D.-----

3333

【解答】解：法一：如圖，分別取PB.PH的中點M,N,連接MRCM,MN,則M/

//AB,KMF=^AB,

又CE//AB,且CE=38,IJliJCE//MF,J≡LCE=MF,

則四邊形CEFM是平行四邊形，則CMf/EF、

CM=EF.因為M,N分別是尸8、PH的中點，所以MN〃BH,則/CMN是異面直線BH

與EF所成的角（或其補角）.

設(shè)A8=6,RTΛEFAΦ,EF2=AE2+AF2=AD2+DE2+AF2=62+32+32=54,則GW=EF=

3√6,

RrZ?PBA中，∕,B2≈B42+ΛB2=36+36=72,PM=∣Pβ≈3√2,

RT∕?PCAΦ,PC2=PAλ+AC1=36+36+36=3×36,ΛPC=6√3,CN=2PN=4?

√2

△P8C中，由于PC2=PB2+BC2,.?.∕PBC=90°,則cos//PN=

卮

MN=y∕PM2+PN2-2PM-PNcos?MPN=√6,

6+54—48

故cosZCMN=

2×3∕6×?[6

法二：在四棱錐尸-ABCZ)中，∕?"L平面A8CD,四邊形ABCZ)是正方形,

以點A為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，

令Λ4=AB=6,而E,尸分別是棱C。、∕?的中點，

貝∣J8(6,0,0),C(6,6,0),P(0,0,6),E(3,6,0),F(0,0,3),

由誦=2HC,得：PH=^PC=(4,4,-4),則H(4,4,2),BH=(-2,4,2),

FE=(3,6,-3).

I前由12_1

所以異面直線BH與EF所成角的余弦值為ICOS<BH,EF>\=

?BH??FE?2√6×3√6—3

7.(5分)當光線入射玻璃時，表現(xiàn)有反射、吸收和透射三種性質(zhì).光線透過玻璃的性質(zhì)，

稱為“透射”，以透光率表示.已知某玻璃的透光率為90%(即光線強度減弱10%).若

光線強度要減弱到原來的:?以下，則至少要通過這樣的玻璃的數(shù)量是(M參考數(shù)據(jù):

25

?2≈0.30,?3≈0.477)

A.30塊B.31塊C.32塊D.33塊

【解答】解：設(shè)原來的光線強度為α(α>0),則要想通過〃塊這樣的玻璃之后的光線強

度減弱到原來的:?以下,

111

即aX(90%)"V表α,即0.9"V失，即30.9"Vg表,

乙口乙。乙。

p∏>-2lg5__2(lTg2)~-2+2×0.30

r7l≈30.4,

N>項二1-2lg3-l?2×0.477-l

故至少要通過31塊這樣的玻璃，才能使光線強度減弱到原來的士以下,

故選：B.

8.(5分)已知函數(shù)/(%)=2si九%∣cos%∣+J5COS2X,則()

A.f(?)的最小正周期是π

B./(x)的圖象關(guān)于直線X=患對稱

C.f(X)在［0,2用上有4個極值點

D./(Λ)在［喑，竽］上單調(diào)遞減

【解答】解：函數(shù)f(%)=2sinx?cosx?÷√3cos2x,

對于選項A,/(x+7r)=2sin(x+Tr)ICOS(X÷ττ)∣+√3cos2(x+τr)=-2sinx?cosx?+

√3cos2x≠/(%),

由函數(shù)周期的定義可知，π不是/(X)的周期，故A錯誤；

對于選項B,因為/(n)=√3,而/(一系)=0，

顯然函數(shù)/(x)圖象上的點(兀，百)關(guān)于直線X=金的對稱點(-猾，通)不在/(x)的圖

象上，

所以7(x)的圖象不關(guān)于直線X=今對稱，故8錯誤；

_-JT3JL_

對于選項C,當0≤%≤V或q-≤X≤2〃時，CoSIe0,所以/(x)=sin2x+y∕3cos2x=

TT

2sin(2x+可),

,,τrπ4πl(wèi)0ππ13π7一7ττ

此時l二≤2x+-≤工-或二一≤2x÷-≤——.當l2尢+π?=亍或2%+πq=尸，

3333333乙DL

即X=今或X=符時，函數(shù)取得最值，因此/(X)在X=今或X=爭取極值，

TC3TT--TT2τcττ

當5<xV-^-時,cosx<0,∕(x)=-sin2x+√3cos2x=-2sin(2x—可)，此時不<2x——

8π

<一,

3

當2%T=竽或2%T=苧，即％=；竽或%=晉時，函數(shù)/⑴取得最值，因此/(x)

在％=或％=^^取極值，

TCTCILTC4JL__τrτrττ

當石≤%≤］時，—≤2%÷—≤—,函數(shù)f(x)=2sin(2x+W)在［豆，引上單調(diào)遞減，

?X∣NlNI??

,π117Γ2ππ3πτr士τrIITT,、，、

當；≤X≤■時，—≤2%--≤—,函數(shù)f(%)=-2sin(2x-W)在后,V］上單倜

∕∣_LN∣??LΛ

遞增，

所以X=5是函數(shù)“X)的一個極小值點，

綜上所述，函數(shù)/(x)在［0,2π］上的極值點至少有5個，故C錯誤；

對于選項D,因為f(x+2π)=2sin(x+2π)?cos(x+2π)∣+√3cos2(x+2τr)=/(%),

則由函數(shù)周期的定義可知，2π是函數(shù)/(x)的一個周期，

,1?<ττΓ<τr>jr,tτr

當≤X≤工"時，-≤X-2π≤-f又因為函數(shù)/O)=2sin(2x+/)在段，芻上單

調(diào)遞減，

因此函數(shù)f(x)在生芻上單調(diào)遞減，所以/⑺在［等，爭上單調(diào)遞減，故。正確.

故選：D.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合

題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。

(多選)9.(5分)已知點4(1,-2),B(2,0),C(3,-3),D(-1,-6),則()

A.ABHADB.?AB?=?AC?

C.ACIBDD.cos(.AB,BD)=0

【解答】解：根據(jù)題意，依次分析選項：

對于A,AD=(-2,-4),AB=(1,2),有AO=-2AB,則6〃40,A正確；

對于B,AB=(1,2),AC=(2,-1),則∣∕?=b?=遍，B正確；

對于C,AC=(2,-1),BD=(-3,-6),則命?f∏)=-6+6=0,則品_LBkC正

確;

對于力，∕1?=（1,2）,訪=（-3,-6）,則訪=-3AB,而與幾反向，則CoS（AB,

Bb）=-I,D錯誤；

故選：ABC.

（多選）10.（5分）已知α>0,b>0,且α+2b=l,則（）

1112

A.ab<oB.2a+bC.一+—≥9D.log∕>0

θZab

【解答］解：Vα>0,b>0,且〃+2b=l,由基本不等式可得4+2/?=122我冠，

.?ab≤?,當且僅當〃=b=?θ?,等號成立，故A錯誤；

12122,h2Q

-+-=（-+-）Qa=2b）=5+—+5r≥5+4=9,

ababQb

當且僅當α=6=拊，等號成立，故C正確；

對于8,取。=匕=寺，貝∣j2α+8=l*,故B錯誤；

對于。，Va=-2?+l>0,ΛO<?<i,

:26=1-40,Λ0<a<l,

1

故。正確.

.".logab>loga2>logal=0,

故選：CD.

（多選）11.（5分）數(shù)學中有許多形狀優(yōu)美、寓意獨特的幾何體，如圖1所示的禮品包裝

盒就是其中之一.該禮品包裝盒可以看成是一個十面體，其中上、下底面為全等的正方

形，所有的側(cè)面是全等的等腰三角形，將長方體ABCD-AiBiCiDi的上底面AIBICIDI

繞著其中心旋轉(zhuǎn)45°得到如圖2所示的十面體ABCD-EFGH.已知AB=AO=2,AE=√7,

B.十面體ABCD-EFGH的表面積是8√6+8

√2+l

C.十面體ABCD-EFGH外接球球心到平面ABE的距離是一y-

D.十面體ABCD-EFG”外接球的表面積是(11+2√Σ)π

【解答】解：如圖，補全長方體ABCD-AIBICIDI,

由題中數(shù)據(jù)可知AlE2=1+(√∑-1)2=4-√Σ,則A4ι=J7-(4-2√2)=√2+1,

故A正確；

因為AB=2,AE=√7,所以4A8E的面積5=尹2乂夕=1=逐，則十面體ABCD-

EFGH的表面積S=+8,故B正確；

因為十面體ABCD-EFGH由長方體ABCD-AIBICIDI的上底面繞著其中心旋轉(zhuǎn)45°得

到，

所以長方體A8CO-481C1。，的外接球就是十面體ABCZ)-EFGH的外接球，

設(shè)十面體ABCD-EFGH外接球的半徑為R,則RA2,則十面體ABCD-EFGH外接球的

表面積是4πR2=(ll+2√2)π,故D正確；

因為AE=BE=√7,AB=I,所以SinZBAE=與?=竽，所以/=(源恙麗＞=賽

則十面體ABCD-EFGH外接球球心到平面ABE的距離是Ju苧&—舞=迎警且故

C錯誤，

故選：ABD.

(多選)12.(5分)已知函數(shù)/(x),g(x)的定義域均為R,且f(尤)-g(2-x)=-5,

g(x)+f(x+2)=3,若/(X)的圖象關(guān)于直線x=l對稱，且/(3)=-3,則()

A.g(1)=6

B.g(X)的圖象關(guān)于點(0,4)對稱

C.g(X)是周期函數(shù)，且最小正周期為8

D.∑當g(k)=90

【解答】解：令X=1,則g(1)+/-(3)=3,又/(3)=-3,故g(1)=3,故A正確；

因為/(x)-g(2-χ)=-5,

則/(x+2)-g[2-(x+2)J=-5,即/(x+2)-g(-χ)=-5,①

又g(x)+f(x+2)=3,②

由②-①得：g(X)+g(-x)=8,

則g(x)的圖像關(guān)于點(0,4)對稱，且g(0)=4,故B正確；

f(x)的圖像關(guān)于直線x=l對稱，

則/(x)=∕(2-χ),

貝∣J∕(2-χ)-g(2-x)=-5,

則f(2+x)-g(2+x)=-5,又g(x)+f(x+2)=3,

兩式相減得g(2+x)=8-g(x),

故g(x+4)=g(x),

故g(X)最小正周期為4,故C錯誤；

g(x)最小正周期為4,且圖像關(guān)于點(0,4)對稱，

g(0)=g(4)=4,g(1)=6,

因為g(2+x)=8-g(x),

故g(2)=8-g(0)=4,g(3)=8-g(1)=2,

所以Σ蹌Ig(k)=5X(6+4+2+4)+6+4=90,故。正確.

故選：ABD.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。把答案填在答題卡中的橫線上。

13.(5分)已知拋物線C：∕=2py(p>0)的焦點為F,點A在拋物線C上，若點A到X

軸的距離是IAFl-2,則D=4.

【解答】解：；點A到X軸的距離是IAfl-2,

P

Λ∣=∣Afl-(HFl-2),

解得夕=4,

故答案為：4.

14.(5分)寫出一個同時滿足下列條件①②的雙曲線的標準方程：一嚓=i_.

①焦點在X軸上；②離心率為2.

【解答】解：已知雙曲線的焦點在X軸上，且離心率為2,

22

不妨設(shè)雙曲線方程為X我比y=1,

.y∕a2+b2

貝rιIJ-----------=2,

a

B∣J?2=302,

設(shè)a2=↑

則滿足題意的雙曲線的標準方程為/-1=1,

故答案為：/一券=1.

15.(5分)某班派甲、乙等五人參加跳高、跳遠、50米短跑這三個項目，要求每人只參加

6

一個項目，且每個項目都要有人參加，則甲、乙參加同一個項目的概率是_弘_.

【解答】解：將甲、乙等五人參加跳高、跳遠、50米短跑這三個項目，每人只參加一個

項目，且每個項目都要有人參加,

可將這五人分為3組，每組人數(shù)分別為2、2、1或3、1、1,

則不同的安排方法種數(shù)為(士亨+仁)“=150種；

人2

若甲、乙安排在同一個項目，分以下兩種情況討論：

①甲、乙所安排的項目只有?2人參與，此時，不同的安排方法種數(shù)為或?qū)?18；

②甲、乙所安排的項目有3人參與，此時，不同的安排方法種數(shù)為程朋=18.

綜上所述，甲、乙參加同一個項目的概率是P=圈=盤.

故答案為：?.

16.(5分)已知/(x)是定義在(-8,0)U(o,+∞)上的奇函數(shù)，/(X)是f(χ)

的導函數(shù)，當x>0時，xf'(X)+2fCx)>0,若/(2)=0,則不等式臼(x)>0的

解集是(-2,O)U(2,+8).

【解答】解：令G(X)=Λ2∕(X),

G,(x)=2xf(x)+XL∕(X)=x[2f(X)+xf,(%)],

因為x>0時，xf(x)+2f(%)>0,

所以當x>0時，G,(X)>0,G(x)單調(diào)遞增，

因為/(x)是定義在(-8,0)U(0,+∞)上的奇函數(shù),

所以在(-8,0)U(0,÷o°)±,/(-x)=-fCx),

所以G(-x)-xif(-x)=-x1f(X)—~G(X),

所以G(x)是奇函數(shù)，

所以當x<0時，G(X)單調(diào)遞增，

因為/(2)=0,

所以G(2)=4/(2)=0,

又G(x)為奇函數(shù)，

所以G(-2)=0,

作出G(x)的大致圖像如下：

所以在(-8,-2)±,G(x)<0,

在(-2,0)上，G(x)>0,

在(0,2)上，G(X)<0,

在(2,+∞)上，G(X)>0,

所以不等式，XY(X)>0的解集為(-2,O)U(2,+8).

故答案為：(-2,0)U(21+8).

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(10分)公差不為0的等差數(shù)列｛“"｝的前"項和為S”,且滿足43=10,02,44,47成等

比數(shù)列.

(1)求｛〃”｝的前〃項和S"；

(2)記從=W磊，求數(shù)列｛加｝的前"項和7λ?

【解答】解：(1)由題意，設(shè)等差數(shù)列伍”｝的公差為d(d≠0),

貝IJOI=Cl3-d—10-J,Q4=Q3+d=10+d,

Q7=Q3+4d=10+4d,

.：(12,04,47成等比數(shù)列,

：.aj=aιaι,即(10+d)2=(IO-J)(10+4J),

化簡整理，得/-2d=0,

解得"=O(舍去)，或d=2,

則m="3-2d=10-2X2=6,

.".Sn-6n+1)?2-n1+5n.

7??11

(2)由(1)?可得bn=A>.=-O--------=7=2?(--------------),

S〃+6∏2+5n+6(n-+2)(nL÷3)n+2n+3

則7)∕=?1+?2+?+?Π

111111

=2?(---)+2?(---)+?+2?(----------------)

3445九+2∏+3

IlllII

=2?(———+———+'H----?-?-----r?)

3445∏+2n+3

11

=2?(--——)

3n+3

2幾

—3(n+3),

18.(12分)某商場在周年慶舉行了一場抽獎活動，抽獎箱中所有乒乓球都是質(zhì)地均勻，大

小與顏色相同的，且每個小球上標有1,2,3,4,5,6這6個數(shù)字中的一個，每個號都

有若干個乒乓球.顧客有放回地從抽獎箱中抽取小球，用X表示取出的小球上的數(shù)字，

當x25時，該顧客積分為3分，當3≤x<5時，該顧客積分為2分，當x<3時，該顧

客積分為1分.以下是用電腦模擬的抽獎，得到的30組數(shù)據(jù)如下：

1311633412

4125312631

6121225345

（1）以此樣本數(shù)據(jù)來估計顧客的抽獎情況，分別估計某顧客抽獎一次，積分為3分和2

分的概率；

（2）某顧客從上述30個樣本數(shù)據(jù)中隨機抽取2個，若該顧客總積分是幾分，商場就讓

利幾折（如該顧客積分為3+3=6,商場就給該顧客的所有購物打10-6=4折），記該顧

客最后購物打X折，求X的分布列和數(shù)學期望.

【解答】解：（1）由題意可知某顧客抽獎一次，積分為3分的頻率是卷=2，

則估計某顧客抽獎一次，積分為3分的概率為g,

93

又某顧客抽獎一次，積分為2分的頻率是菰=—,

3010

則估計某顧客抽獎一次，積分為2分的概率為:?;

10

(2)由題意可知X的可能取值為4,5,6,7,8,

又P(X=8)=/=葛，P(χ=7)=娶=葛，P(X=6)=單辭5_42

=145,

c30c30do

P(X=5)=等=提，P(X=4)=3=/，

c30c30

則X的分布列為：

X87654

P2_942181

292914514529

故E(X)=8×焉÷7×亮+6×+5X÷4×焉=6.6.

且=WB,

19.(12分)在AABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若COSA+cos-=0,G

2

AE=4EC.

(1)求A的大??；

(2)若α=7,DE=2√7,求aABC的面積.

AAA

【解答】解：(1)若CoSA+cos-=O,則2cos?-+cos——1=0,

222

,.A1A?

解得cos-=一或IScos-=—1(舍)，

222

由A為三角形內(nèi)角可得A=冬；

(2)Z?A8C中，由余弦定理可得，7?=力2+￠2_2bccos多①,

TTTT?/-4/1

△AOE中，AD=2DB,AE=AEC,則IAol=等，IA￡]=拳

由余弦定理得(2√7)2=(?2+(y)2-2×y×?×(-∣)(D,

①②聯(lián)立整理得，50c2-27?2+15fec=0,

即(10c÷9?)(5C-3b)=0,

因為∕7>O,c>0,

所以C=當，代入到①可得6=5,c=3,

Pl1J/XABC的面積S=??csinA=Jx5x3x卓=????.

ZZZzr

20.（12分）如圖，在正三棱柱ABC-AiBiCi中，AAi=AB,D,E分別是棱BC,BBl的中

點.

（1）證明：平面ACj。，平面4CE.

（2）求平面ACE與平面AICE所成銳二面角的余弦值.

【解答】(1)證明：設(shè)O,Oi分別是AC,4。的中點，連接。。1,OB,OiBi,貝IJool

/∕AA?,?.'Z?ABC是等邊三角形，Λ0B±AC,

又根據(jù)題意可得：平面ACCI4_L平面ABC,且交線為AC,又OBu平面ABC,.,.OBL

ACCIAI,又0。IU平面ACClAI,Λ0B100∣.

又根據(jù)正三棱柱的性質(zhì)可知：AAll.平面ABC,二OOi，平面ABC,AC,OBu平面ABC,

ΛOOιl.AC,00i10B,

以。為原點，建立空間直角坐標系，如圖所示，

設(shè)AB=AC=BC=AAi=2,

則θ(?,?,0),4(0,-1,0),4(0,-1,2),C(0,1,0),

C1(0,1,2),E(√L0,1),

.?.AD=(^-,|,O),/IC1=(0,2,2),A^E=(√3,1,-1),A；C=(0,2,-2),

設(shè)平面ACI￡),平面AlCE的法向量分別為?n=(%，y,z)fn=(a,b,c),

所以依弓即腎+弱=d取y=l,K∣Jm=(-√3.1,-1),

(ZCI?m=0，(2y+2z=0,

同理可得￡=(0,L1),

所以藍?薪=(一百，1,-l)?(0,1,1)=O+1-1=0,故/11，所以平面AClZ)J_

平面AICE.

(2)設(shè)平面ACE的法向量分別為k=y1,z1),AC=(0,2,O),AE=(√3,1,1),

'4??fc=√3x1+y1+z1=0j取XL值則1=(6，0,-3),

則

AC?k=2y1=O

設(shè)平面ACE與平面4CE所成的銳二面角為。，貝k。Se=IJ?∣=學,

∣n∣?∣fc∣&2西4

故平面ACE與平面4CE所成銳二面角的余弦值為亨.

=1(4心。)的離心率是?’點M。2)在橢圓C

21.

上.

(1)求橢圓C的標準方程.

(2)已知P(0,1),直線/：y=kx+m(?≠0)與橢圓C交于A、B兩點，若直線AP、

8尸的斜率之和為0,試問△%8的面積是否存在最大值？若存在，求出該最大值；若不

存在，請說明理由.

rc_72

a~~2a=2Λ∕2

【解答】解：(1)由已知可得《±-1,解得b-2

b2^1

c=2

Va2=h2+c2

X2y2

故橢圓C的標準方程為工十一=1；

84

(2)設(shè)點4(xι,yi)、B(x2,”)，

5之;：8,可得(2正+1)/+4爪+248=0,

聯(lián)立

由A=16?2"P.4(2?2+1)(2W2-8)>0,可得w2<8?2+4,

2

-4km2m-8

Xx1÷X2=2，%ι%2=2'