（江蘇專用）高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 考前三個月 解答題滾動練3 理-人教版高三數(shù)學(xué)試題

解答題滾動練31．(2017·鎮(zhèn)江期末)已知向量m＝(cosα，－1)，n＝(2，sinα)，其中α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，且m⊥n.(1)求cos2α的值；(2)若sin(α－β)＝eq\f(\r(10),10)，且β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，求角β的大?。夥椒ㄒ?1)由m⊥n，得2cosα－sinα＝0，所以sinα＝2cosα，代入cos2α＋sin2α＝1，得5cos2α＝1，且α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，則cosα＝eq\f(\r(5),5)，sinα＝eq\f(2\r(5),5)，則cos2α＝2cos2α－1＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),5)))2－1＝－eq\f(3,5).(2)由α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，得α－β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2))).又sin(α－β)＝eq\f(\r(10),10)，則cos(α－β)＝eq\f(3\r(10),10).則sinβ＝sin[α－(α－β)]＝sinαcos(α－β)－cosαsin(α－β)＝eq\f(2\r(5),5)×eq\f(3\r(10),10)－eq\f(\r(5),5)×eq\f(\r(10),10)＝eq\f(\r(2),2).因為β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以β＝eq\f(π,4).方法二(1)由m⊥n，得2cosα－sinα＝0，tanα＝2，故cos2α＝cos2α－sin2α＝eq\f(cos2α－sin2α,cos2α＋sin2α)＝eq\f(1－tan2α,1＋tan2α)＝eq\f(1－4,1＋4)＝－eq\f(3,5).(2)由(1)知，2cosα－sinα＝0，且cos2α＋sin2α＝1，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，則sinα＝eq\f(2\r(5),5)，cosα＝eq\f(\r(5),5)，以下同方法一(2)．2．如圖，在四棱錐P－ABCD中，AB⊥平面PAD，DC∥AB，DC＝2AB，E為棱PA上一點．(1)設(shè)O為AC與BD的交點，若PE＝2AE，求證：OE∥平面PBC；(2)若DE⊥AP，求證：PB⊥DE.證明(1)在△AOB與△COD中，因為DC∥AB，DC＝2AB，所以eq\f(AO,CO)＝eq\f(AB,CD)＝eq\f(1,2)，又因為PE＝2AE，所以在△APC中，有eq\f(AO,CO)＝eq\f(AE,PE)＝eq\f(1,2)，則OE∥PC.又因為OE?平面PBC，PC?平面PBC，所以O(shè)E∥平面PBC.(2)因為AB⊥平面PAD，DE?平面PAD，所以AB⊥DE.又因為AP⊥DE，AB?平面PAB，AP?平面PAB，AP∩AB＝A，所以DE⊥平面PAB，又PB?平面PAB，所以DE⊥PB.3．已知某食品廠需要定期購買食品配料，該廠每天需要食品配料200千克，配料的價格為1.8元/千克，每次購買配料需支付運費236元．每次購買來的配料還需支付保管費用，其標(biāo)準(zhǔn)如下：7天以內(nèi)(含7天)，無論重量多少，均按10元/天支付；超出7天以外的天數(shù)，根據(jù)實際剩余配料的重量，以每天0.03元/千克支付．(1)當(dāng)9天購買一次配料時，求該廠用于配料的保管費用P是多少元？(2)設(shè)該廠x天購買一次配料，求該廠在這x天中用于配料的總費用y(元)關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求該廠多少天購買一次配料才能使平均每天支付的費用最少？解(1)當(dāng)9天購買一次時，該廠用于配料的保管費用P＝70＋0.03×200×(1＋2)＝88(元)．(2)①當(dāng)0<x≤7時，y＝360x＋10x＋236＝370x＋236，②當(dāng)x>7時，y＝360x＋236＋70＋6[(x－7)＋(x－8)＋…＋2＋1]＝3x2＋321x＋432∴y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(370x＋236，0<x≤7，,3x2＋321x＋432，x＞7.))∴設(shè)該廠x天購買一次配料平均每天支付的費用為f(x)元．f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(370x＋236,x)，0<x≤7，,\f(3x2＋321x＋432,x)，x＞7.))當(dāng)0<x≤7時，f(x)＝370＋eq\f(236,x)，當(dāng)且僅當(dāng)x＝7時f(x)有最小值eq\f(2826,7)≈404(元)，當(dāng)x＞7時，f(x)＝eq\f(3x2＋321x＋432,x)＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(144,x)))＋321≥393，當(dāng)且僅當(dāng)x＝12時取等號．∵393<404，∴當(dāng)x＝12時f(x)有最小值393元．4．已知函數(shù)f(x)＝2lnx－x2＋ax(a∈R)．(1)當(dāng)a＝2時，求f(x)的圖象在x＝1處的切線方程；(2)若函數(shù)g(x)＝f(x)－ax＋m在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，e))上有兩個零點，求實數(shù)m的取值范圍；(3)若函數(shù)f(x)的圖象與x軸有兩個不同的交點A(x1,0)，B(x2,0)，且0＜x1＜x2，求證：f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)))＜0(其中f′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù))．(1)解當(dāng)a＝2時，f(x)＝2lnx－x2＋2x，f′(x)＝eq\f(2,x)－2x＋2，切點坐標(biāo)為(1,1)，切線的斜率k＝f′(1)＝2，則切線方程為y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.(2)解g(x)＝2lnx－x2＋m，則g′(x)＝eq\f(2,x)－2x＝eq\f(－2x＋1x－1,x)，∵x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，e))，故g′(x)＝0時，x＝1.當(dāng)eq\f(1,e)＜x＜1時，g′(x)＞0；當(dāng)1＜x＜e時，g′(x)＜0.故g(x)在x＝1處取得極大值g(1)＝m－1.又geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)))＝m－2－eq\f(1,e2)，g(e)＝m＋2－e2，g(e)－geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)))＝4－e2＋eq\f(1,e2)＜0，則g(e)＜geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)))，所以g(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，e))上的最小值為g(e)．g(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，e))上有兩個零點的條件是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(g1＝m－1＞0，,g\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)))＝m－2－\f(1,e2)≤0，))解得1＜m≤2＋eq\f(1,e2，)所以實數(shù)m的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(1，2＋\f(1,e2))).(3)證明因為f(x)的圖象與x軸交于兩個不同的點A(x1,0)，B(x2,0)，所以方程2lnx－x2＋ax＝0的兩個根為x1，x2，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2lnx1－x\o\al(2,1)＋ax1＝0，,2lnx2－x\o\al(2,2)＋ax2＝0，))兩式相減得a＝(x1＋x2)－eq\f(2lnx1－lnx2,x1－x2)，又f(x)＝2lnx－x2＋ax，f′(x)＝eq\f(2,x)－2x＋a，則f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)))＝eq\f(4,x1＋x2)－(x1＋x2)＋a＝eq\f(4,x1＋x2)－eq\f(2lnx1－lnx2,x1－x2).下證eq\f(4,x1＋x2)－eq\f(2lnx1－lnx2,x1－x2)＜0，即證明eq\f(2x2－x1,x1＋x2)＋lneq\f(x1,x2)＜0，令t＝eq\f(x1,x2).因為0＜x1＜x2，所以0＜t＜1，即證明u(t)＝eq\f(21－t,t＋1)＋lnt＜0在0＜t＜1上恒成立．因為u′(t)＝eq\f(－2t＋1－21－t,t＋12)＋eq\f(1,t)＝eq\f(1,t)－eq\f(4,t＋12