2023年中考數(shù)學(xué)拔高訓(xùn)練-解直角三角形

2023年中考數(shù)學(xué)專項(xiàng)拔高訓(xùn)練—解直角三角形

一、綜合題

1.如圖，在斜坡PA的坡頂平臺處有一座信號塔BC,在坡頂A處測得該塔的塔頂B的仰角

為76°,在坡底的點(diǎn)P處測得塔頂B的仰角為45°,已知斜坡長PA=26m,坡度為1:2.4,點(diǎn)

A與點(diǎn)C在同一水平面上，且AC//PQ,BCLAC.請解答以下問題：

(I)求坡頂A到地面PQ的距離；

(2)求信號塔BC的高度.(結(jié)果精確到Im,參考數(shù)據(jù):sin76o≈0.97,cos76°≈0.24,

tan76o≈4.00)

2.某體育看臺側(cè)面的示意圖如圖所示，觀眾區(qū)AC的坡度i為1:2,頂端C離水平地

面AB的高度為IOm,從頂棚的。處看E處的仰角α=1830',豎直的立桿上

C、D兩點(diǎn)間的距離為4m,E處到觀眾區(qū)底端A處的水平距離AF為3機(jī).

(1)觀眾區(qū)的水平寬度AB

(2)頂棚的E處離地面的高度EF.(sin1830'≈0.32,3O,≈O.33,結(jié)果

精確到0.1m)

3.如圖，AB是。。的直徑，C是ΘO上一點(diǎn)，D是AC的中點(diǎn)，E為OD延長線上一點(diǎn)，

且NCAE=2NC,AC與BD交于點(diǎn)H,與OE交于點(diǎn)F.

(1)求證：AE是。O的切線；

3

(2)若DH=9,SinC=j,求直徑AB的長.

4.圖1是一臺實(shí)物投影儀，圖2是它的示意圖，折線B-A-O表示固定支架，AO垂直

水平桌面OE于點(diǎn)。，點(diǎn)8為旋轉(zhuǎn)點(diǎn)，BC可轉(zhuǎn)動,當(dāng)BC繞點(diǎn)、B順時針旋轉(zhuǎn)

時，投影探頭CD始終垂直于水平桌面OE,經(jīng)測量：Ao=6.8Cm,CD=8cm,

①填空：N??O=▲。;

②求投影探頭的端點(diǎn)D到桌面OE的距離.

(2)如圖3,將(1)中的BC向下旋轉(zhuǎn)，當(dāng)投影探頭的端點(diǎn)D到桌面OE的距離為

6cm時，求ZABC的大小.（參考數(shù)據(jù)：sin70°≈0.94,cos20°≈0.94

sin36.8≈0.60,cos53.2°≈0.60）

5.圖1是太陽能熱水器裝置的示意圖，利用玻璃吸熱管可以把太陽能轉(zhuǎn)化為熱能，玻璃吸熱

管與太陽光線垂直時，吸收太陽能的效果最好，假設(shè)某用戶要求根據(jù)本地區(qū)冬至正午時刻太陽

光線與地面水平線的夾角（θ）確定玻璃吸熱管的傾斜角（太陽光線與玻璃吸熱管垂直），請完

成以下計算：

如圖2,AB±BC,垂足為點(diǎn)B,EAlAB,垂足為點(diǎn)A,CD/7AB,CD=IoCm,

DE=120cm,FG±DE,垂足為點(diǎn)G.

（參考數(shù)據(jù):sin37°50'≈0.61,cos37o50,≈0.79,tan37o50,≈0.78）

（2）若FG=30cm,Zθ=60o,求CF的長.

6.如圖1是一種紙巾盒，由盒身和圓弧蓋組成，通過圓弧蓋的旋轉(zhuǎn)來開關(guān)紙巾盒.如圖2是

其側(cè)面簡化示意圖，已知矩形ABCD的長AB=16cm,寬Ao=I2cm,圓弧蓋板側(cè)面

DC所在圓的圓心O是矩形ABCD的中心，繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)開關(guān)（所有結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一

位）.參考數(shù)據(jù)：tan36.87o≈0.75,tan53.06o≈1.33,萬取3.14.

(1)求OC所在。的半徑長及DC所對的圓心角度數(shù)；

(2)如圖3,當(dāng)圓弧蓋板側(cè)面DC從起始位置OC繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)90°時，求OC在

這個旋轉(zhuǎn)過程中掃過的的面積.

7.如圖，AB是O的直徑，弦CDlAB與點(diǎn)E,點(diǎn)P在.。上，

2

(2)若BC=3,SinC=I,求CD的長.

8.如圖，小明為了測量小河對岸大樹BC的高度，他在點(diǎn)A測得大樹頂端B的仰角為45°,

沿斜坡走13米到達(dá)斜坡上點(diǎn)D,在此處測得樹頂端點(diǎn)B的仰角為31°,且斜坡AF的坡度為

1：2.4.

(1)求小明從點(diǎn)A到點(diǎn)D的過程中，他上升的高度；

(2)大樹BC的高度約為多少米？(參考數(shù)據(jù)：sin31o=0.52,cos31o=0.86,

tan31o≈0.60)

9.超速行駛是引發(fā)交通事故的主要原因。上周末，小明和三位同學(xué)嘗試用自己所學(xué)的知識檢

測車速，如圖。AO是一條東西方向的路，觀測點(diǎn)設(shè)在到這條路距離為120米的點(diǎn)P處。這

時，一輛小轎車由西向東勻速行使，測得此車從A處行駛到B處所用的時間為5秒且

ZAPO=60o,NBPO=45°.

(1)求A、B之間的路程：

(2)請判斷此車是否超過了這條路每小時65千米的限制速度?請說明理由.(參考數(shù)據(jù):

√2≈1?414,√3≈1.73).

10.如圖，在邊長為6的正方形ABCD中，點(diǎn)P是邊AD上一動點(diǎn)，連接BP,將

ABP沿族翻折，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E,連接DE,CE.

BCBM

圖1圖2圖3

(1)如圖1,當(dāng)ZABP=30°時，直接寫出ZDEC的度數(shù)為;

(2)如圖2,當(dāng)AP=2時，求證：DELEC;

6

(3)如圖3,點(diǎn)M是邊BC上一動點(diǎn)，當(dāng)NABP=37.5°時，求EM+~BM的最

2

小值.

11.如圖，已知A8是。。的直徑，AC是弦(不是直徑)，OOLAC垂足為G交。O于。，E

為。。上一點(diǎn)(異于A、6),連接交AC于點(diǎn)尸，過點(diǎn)E的直線交區(qū)4、CA的延長線分別

于點(diǎn)P、M,S.ME=MF.

(1)求證：PE是。。的切線.

(2)若。E=2,EF=S,求A。的長.

(3)若PE=66,SinZP=?,求AE的長.

12.如圖，在RtaABC中，ZABC=90。，/BAC角平分線交BC于0,以O(shè)B為半徑

作。0.

(1)判定直線AC是否是。0的切線，并說明理由；

1Ap

(2)連接AO交。0于點(diǎn)E,其延長線交。0于點(diǎn)D,tan∠Z)=-,求益的值；

(3)在(2)的條件下，設(shè)0的半徑為3,求AC的長

13.如圖①，在aABC中，ZACB=90o,ZB=30o,AC=I,D為AB的中點(diǎn)，EF為^ACD

的中位線，四邊形EFGH為^ACD的內(nèi)接矩形(矩形的四個頂點(diǎn)均在△ACD的邊上).

(2)將矩形EFGH沿AB向右平移，F(xiàn)落在BC上時停止移動.在平移過程中，當(dāng)矩形與

△CBD重疊部分的面積為旦時，求矩形平移的距離；

16

(3)如圖③，將②中矩形平移停止時所得的矩形記為矩形EiBGIHj將矩形EEGiHl繞

Gl點(diǎn)按順時針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)Hl落在CD上時停止轉(zhuǎn)動，旋轉(zhuǎn)后的矩形記為矩形E2F2G1H2,設(shè)

旋轉(zhuǎn)角為α,求cosa的值.

14.已知：ZAOC=ZBOC=60°,過平面內(nèi)一點(diǎn)P分別向Q4、OB、OC畫垂

線，垂足分別為D、E、F.

①

BB

②③

(1)(問題引入)

如圖①，當(dāng)點(diǎn)P在射線OC上時，求證：OD=OE.

(2)(類比探究)

如圖②，當(dāng)點(diǎn)P在ZAOC內(nèi)部，點(diǎn)E在射線OB上時，求證：OD+OE=OF.

(3)當(dāng)點(diǎn)P在ZAOC內(nèi)部，點(diǎn)E在射線OB的反向延長線上時，在圖③中畫出

示意圖，并直接寫出線段OD、OE、OF之間的數(shù)量關(guān)系.

(4)(知識拓展)

如圖④，AB.CD,EF是OO的三條弦，都經(jīng)過圓內(nèi)一點(diǎn)P,且

NFPD=/BPD=60°.判斷PA+PD+PE與PB+PC+PF的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)

論.

15.如圖所示，在矩形ABCD中，將矩形ABCD沿EF折疊，使點(diǎn)D落在AB邊上的點(diǎn)G

處，點(diǎn)C落在點(diǎn)H處，GH交BC于點(diǎn)K.連接DG交EF于點(diǎn)O,DG=2EF.

ED

(1)求證DE?DA=DO?DG；

(2)探索AB與BC的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

(3)連接BH,SinNBFH=1，EF=,而，求GB的長.

16.矩形ABCD中，AB=6cm,BC=8cm,設(shè)運(yùn)動時間為t(單位：s).

(I)(I)如圖1,若動點(diǎn)P從矩形ABCD的頂點(diǎn)A出發(fā)，沿A→B→C勻速運(yùn)動到點(diǎn)C,

圖2是點(diǎn)P運(yùn)動時，ΔAPC的面積S(Cm2)隨時間t(秒)變化的函數(shù)圖象.

①點(diǎn)P的運(yùn)動速度是CnVS,m+n=;

②若PC=2PB,求t的值；

(2)如圖3,若點(diǎn)P,Q,R分別從點(diǎn)A1B1C三點(diǎn)同時出發(fā)，沿矩形的邊按逆時針方向

勻速運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)C(即點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合)時，三個點(diǎn)隨之停止運(yùn)動；若點(diǎn)P運(yùn)動速

度與(1)中相同，且點(diǎn)P,Q,R的運(yùn)動速度的比為2:4:3,是否存在t,使ΔPBQ與

AQCR相似，若存在，求出所有的t的值；若不存在，請說明理由.

3

17.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系XOy中，直線1:y=-x+π與X軸、y軸分別交于點(diǎn)A和

4

1、

點(diǎn)B(0,」)，拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)B,且與直線1的另一個交點(diǎn)為C(4,n).

(1)求n的值和拋物線的解析式；

(2)點(diǎn)D在拋物線上，且點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為t(0<I<4).DE∕∕y軸交直線1于點(diǎn)E,點(diǎn)F

在直線1上，且四邊形DFEG為矩形(如圖2).若矩形DFEG的周長為p,求P與t的函數(shù)關(guān)

系式以及P的最大值；

(3)M是平面內(nèi)一點(diǎn)，將小AOB繞點(diǎn)M沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)90。后，得到△AQRI,點(diǎn)

A、0、B的對應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)AI、OivBi.若AAQ∣B∣的兩個頂點(diǎn)恰好落在拋物線上，請直接

寫出點(diǎn)Al的橫坐標(biāo).

答案解析部分

1.【答案】（1）解：如圖，過點(diǎn)A作AH±PQ,垂足為H,

Y斜坡AP的坡度為1：2.4,

?_A__H_____1____5

''~PH~2A~n'

設(shè)AH=5k,則PH=12k,

2222

在Rt?AHP中，由勾股定理，得AP=yjAH+PH=y∣(5k)+(Uk)=13k

Λ13k=26,

解得k=2.

ΛAH=10(m).

答：坡頂A到地面PQ的距離為IOm；

(2)解：如圖，延長BC交PQ于點(diǎn)D,

由題意可知四邊形AHDC是矩形，

ΛCD=AH=IOm,AC=DH.

VZBPD=45o,ZBDP=90°,

ΛPD=BD.

VPH=12×2=24(m),

設(shè)BC=X,貝IJx+10=24+DH.

ΛAC=DH=(x.14)m.

BCχ

在Rt△ABC中，tanZBAC=tan76?---即一:——≈4.00,

ACx-14

解得x≈19(m).

答：信號塔Be的高度約為19m.

2.【答案】(1)解：觀眾區(qū)AC的坡度i為1:2,頂端C離水平地面AB的高度

為IOm,

ΛAB=2BC=20(m),

答：觀眾區(qū)的水平寬度AB為20m

(2)解：如圖，作LE戶于M,DN：LEF于N,則四邊形MEBC、

MCDN為矩形，

：.MFBC=?0,MN=CD=4,DN=MC=BF=23

EN

在Rt^END中，tanZEDN=---,

DN

則EN^DN-tanZEDN≈7.59,

.?.EF^EN+MN+MF-7.59+4+10≈21.6(∕n),

答：頂棚的E處售地面的高度EF約為216〃

3.【答案】(1)證明：連接OC,

???D是AC的中點(diǎn)，

.?ZAOD=ZCOD

VOA=OC,

ΛOE±AC,EPZAFE=90o,

ΛZE÷ZEAF=90o

VZAOE=2ZACD,ZCAE=2ZACD,

.?ZCAE=ZAOE

/.ZE+ZAOE=90o,

.??ZEAO=90o

JAE是Θ0的切線

(2)解：YNACD=NB

VOD=OB,

ΛZB=ZODB,

???ZODB=ZACD,

.?.SinAACD=SinNODB=—=—=-

DH95

27

/.HF=-

5

由勾股定理得：DF=y

?.?ZACD=ZFDH,ZDFH=ZCFD

.?.ΔDFH~ΔCFD

DFFH

~CF~~DF

史X史

.?,er?-?2-7?

T

設(shè)OA=OD=X,

VAF2+OF2=OA2

解得:X=10

ΛOA=10

.?.直徑AB的長為20.

4.【答案】(1)解：①160。

②如圖，過A作AF±BC于F,

B___F_______c

貝IJAF=ABsinZABE=30sin70o≈28.2(cm),

.".投影探頭的端點(diǎn)D到桌面OE的距離為：AF+OA-CD=28.2+6.8-8=27(cm).

(2)解：如圖，過點(diǎn)DElOE于點(diǎn)H,過點(diǎn)B作BMlCD,與DC延長線相交于點(diǎn)M,過A

作AF_LBM于點(diǎn)F,

貝!∣NMBA=70°,AF=28.2cm,DH=6cm,BC=30Cm,CD=8cm,

ΛCM=AF+AO-DH-CD=28.2+6.8-6-8=21（cm）,

sinZMBC==—=0.6,

BC35

ΛZMBC=36.80,

.,.ZABC=ZABM-ZMBC=33.20.

5.【答案】（1）83.2

(2)解：如圖，延長ED、BC交于點(diǎn)K,

由（1）知/e=/3=NK=60。,

CD10

在Rt?CDK中

tanAK

30

GF60

在Rt?KGF中KF=

SinNK耳

60105。_50√3

貝IJCF=KF-KC=

√3-√3耳二^3^^

6.【答案】(1)解：如圖，連接AC,BD相交于點(diǎn)O,為矩形ABCD的中心，

VAS=16,AD=12,ZBAD90°,

?,?BD=?∣AB2+AD1=√256+144=20,

.?.θθ半徑長為：OD=-BD^-×20=10.0cm

22

?.?tanZADB=—=—≈1.33,

AD12

ΛZADB≈53.06°,

.?.NDOC=2ZAZ>3=2x53.06°≈106.1°;

(2)解：如圖，

?DC掃過的的面積：??=S扇形皿，=強(qiáng)誓≈201.0(cm2

JoU

7.【答案】(1)證明：?.?NC=N尸,Nl=NC.

/.Zl=ZP.

.?.CBHPD

2

(2)解：CD_LAB,BC=3,sinC=-.

BE2BE2

在Rt-CEB中，SinC=-=-,貝IJ—=-.

￡)CJJJ

??.BE=2.

又，：BC=3,CDVAB

.?.RtCEB中，DE=EC=?∣BC?-BE?=N學(xué)一爰=#),

.,.CD=DE+EC=2后

8.【答案】(1)解：作DHLAE于H,如圖所示：在Rt?ADH中，

..DH_1

?AW^^24，

Λ5AH=12DH,

VAH2+DH2=AD2,

.?.DH=5,

ΛAH=12.

答：小明從點(diǎn)A到點(diǎn)D的過程中，他上升的高度為5米.

(2)解：延長BD交AE于點(diǎn)G,設(shè)BC=xm,

由題意得,NG=31。,

.「口一DH?5_25

??QJti一?一

tanG0.603

VAH=2.4,DH=12,

2561

ΛGA=GH+AH=—+12=—,

33

一?BC

在Rt?BGC中，tanG=——，

.?CG=-^≈-^~=-x

tanG0.603

在Rt?BAC中，ZBAC=45o,

ΛAC=BC=X.

VGC-AC=AG,

561

??一x-X=—

33

解得：x=30.5.

答：大樹的高度約為30.5米.

9.【答案】（1）在Rt△APO中,ZAPO=60v,PO=120米.

ΛAO=√3PO≈120√3米，

在Rt?BPO中，ZBPO=45o,BO=PO=120米，

/.AB=AO-BO=120√3米-120米≈87.6米.

（2）年速為牛=17.52（米/秒）

限速約為65^0°=18.06（米/秒）

360（）

V17.52<18.06

此車沒有超過這條路每小時65千米的限制速度。

（或?qū)?7.52米/秒化成63.07千米小時，63.07千米/小時<65千米/小時，沒有超速）

10.【答案】（1）150°

（2）證明：過E作MN垂直AD于M,垂直BC于N,

圖2

???,ABP沿BP翻折

.?.∕PEB=90°,

ΛZMPB=ZBEN,ZPEM=ZEBN

Λ?PME^>?ENB,

.PEME

''~BE~~BN'

又AP=2,BE=AB=6,

.PEMEl

''~BE~~BN~3"

設(shè)ME=X,貝IJBN=3x,EN=6-x,

BE2=BN2+EN2,

即62=(3x)^+(6-x)^,

解得X=S,

6,24188

ΛME=-,貝INE=—,BN=—,PM=-

5555

812

ΛDM=6-2--=—,

55

DMEM

：.------=——，又/DME=/ENC=90°,

ENCN

Λ?DMES∕?ENC,

ΛZMDE=ZNEC,ZMED=ZNCE,

又/DME=90。，

ΛZMED+ZNEC=90,

ΛZDEC=90o,

ΛDELEC;

(3)解：以NCBG=45。在BC下方作射線BG,然后過M向BG作垂線，可得到ABGM為等

腰直角三角形，

萬

.'.-BM=MG,

2

萬

/.EM+-BM的最小值即為EM+MG的最小值，

2

B

過E作EQ垂直BG于Q點(diǎn)，則EM+-BM的最小值即為EQ的長，

2

,.?ZABp=37.5°

/.ZPBE=37,5o

ΛZEBC=I5°,

又∕CBG=45°,

ΛZEBQ=60o,

在直角三角形EBQ中，NEBQ=60。

，NBEQ=30。，

ΛEQ=COSNBEQ×BE=3√3

?EM+—BM的最小值為3√3

2

11.【答案】（1）證明：連接OE,.φOD±AC,

??.ZDGF=90o,JZD+ZDFG=ZD+ZAFE=90°,

ΛZDFG=ZAFE,

VME=MF,：?ZMEF=ZMFE,

VOE=OD,

ΛZD=ZOED,

???NOED+NMEF=90。

ΛOE±PE,

???PE是OO的切線

(2)解：'PD,AC,.?CD=AD,:?ZFAD=ZAED,?βZADFZEDA,

ADDF,八八

???△DFA~△DAE,：—=——,ΛAD2=DF?DE=2×10=20,

DEAD

ΛAD=2√5

,/OE1

(3)解：設(shè)OE=X,VsinZP=—=-

OP3

ΛOP=3x,

.?.x2÷(6√2)2=(3x)2,

解得：x=3,

過E作EH垂直AB于H,

EHEH1

SinNP=-=-產(chǎn)=二,

PE6√23,

ΛEH=2√2,

VOH2+EH2=OE2,

ΛOH=1,ΛAH=2,

VAE2=HE2+AH2,

ΛAE=2G.

12.【答案】(1)解：AC是。O的切線

理由：NAJBC=90°,

OB±AB,

作OF'_LAC于尸，

AO是ZBAC的角平分線，

..OF=OB,

???AC是。O的切線

(2)解：連接BE

DE是。O的直徑，

ZDBE=90°,即N2+N3=90°.

Zl+Z2=90o,

N1=N3.OB=OD,

.?.N3=NDNl=Zn

又ZBAE=ZDAB（同角）

ΔABESΛ4ββ

AE_BE

=tanZZ）=-.

~AB~~BD2

(3)解：設(shè)FC=n,OC=ITL在RtMBC和RtAOFC中，由三角函數(shù)定義有：

tan∕C=四="，sinNC=這="

BCFCACOC

4_3

—，

3+mn72..100〃口生100

何：<C解之何i:〃=—>?,?AC=4+幾=---,即0πAC的長為----

4=3777

、4+〃m

13.【答案】（1）解：如圖①，在小ABC中，?.?NACB=90°,NB=30°,AC=I,,AB=2,又

?.?D是AB的中點(diǎn),/.AD=!,CD=?AB=I,

又?.?EF是小ACD的中位線，,EF=DF=?,

在aACD中，AD=CD,ZA=60o,ΛZADC=60o,

在aFGD中，GF=DF?sin60°=2,二矩形EFGH的面積S=EF?GF=LX迫=B;

4248

（2）解：如圖②，設(shè)矩形移動的距離為X,則0<x≤；;當(dāng)矩形與4CBD重疊部分為三角

11G"1

時

形

O<S-X->舍)?

--X-一-4

42-4-

16

當(dāng)矩形與ACBD重疊部分為直角梯形時,貝IJ；<x≤;

,重疊部分的面積S=

G11√3√333

------X-------X—×-------=--------Λx≡-,即矩形移動的距離為-時，矩形與△CBD重疊部分

424416OO

的面積是立

16

(3)解：如圖③，作H2QlAB于Q,設(shè)DQ=m,貝IJH2Q=國，又。Gl=；

HG=1.在RtZkH2QG1中，(1,解之得m=二1±巫(負(fù)的

21m+-

I416

舍去),

-1+√131

CGl-----------------1----3+√13

??cosα=164

HG?8

2

14.【答案】(1)證明：：ZAOC=N5。C,PE±OB,PDLOA,

ΛZOEP=ZODP=90°.

VOC=OC,

：.i.OEP^ODP.

：.OD=OE

(2)證明：過點(diǎn)F作FNLOB,FMlOA,垂足分別為N、M,FM與

PE交于點(diǎn)Q.

ZAOC=ZSOC=60°,PElOB,PDlOA

則.PFQ為等邊三角形，

FQ、PQ邊上的高相等，即FG=PH

在矩形EGFN、矩形DPHM中，

有NE=FG,MD=PH,

：.EN=MD.

,OD+OE=OM+ON.

?；NFMO=90。,Nfw=60。，

.?.OM=OF-CosNFOM=-OF,

2

同理，ON=gθF,

：.OM+ON=OF,

.?.OD+OE=OF

(3)解：結(jié)論：OD-OE=OF.

作FNLOB于點(diǎn)N,FMLOA于點(diǎn)M,射線FM與PE的交點(diǎn)為Q,作

PHlFQ于點(diǎn)H,FGlPQ于點(diǎn)G,

同(1)可證NE=FG=P"=MD,ON=OM=gθF

：.OF=OM+ON=OD-MD+NE-OE=OD-OE

(4)解：數(shù)量關(guān)系：PA+PD+PE=PB+PC+PF.

理由如下：

過點(diǎn)。作OM_LAB,ONlEF,OQLCD,垂足分別為M、N、Q.

D

由垂徑定理可得AM^BM.

：.PB-PA=(PM+MB)-(MA-PM)^2PM.

同理PF-PE=IPN,PD-PC=2PQ,

由I類比探究I得PM+PN=PQ,

Λ2PM+2PN=2PQ,

ΛPB-PA+PF-PE^PD-PC.

：.PA+PD+PE=PB+PC+PF.

15.【答案】(1)解：：四邊形ABCD是矩形，

/.ZDAG=90°,

由折疊性質(zhì)得：DGLEF,

ΛZDAG=ZEOD=90°,

?：ZGDA=ZEDO,

Λ?ADGSZXODE,

.DADG

''~DO~~DE'

ΛDE?DA=DO?DG;

(2)解：BC=2AB,理由如下：

過點(diǎn)E作ENj_BC于N,

D

由折疊性質(zhì)得：DG_LEF,

.?.ZEOG=ZENF=ZDAG=90°,

.?.ZOEN+ZDEO=90o,ZDEO+ZEDO=90°,

.*.ZOEN=ZEDO,即ZNEF=ZEDO,

Λ?DGA^?EFN,

.DADG.

??---------------—Z,

ENEF

VZAEN=ZA=ZB=90°,

???四邊形ABNE是矩形，

ΛEN=AB,

ΛAD=2EN,

ΛAD=2AB,

ΛBC=2AB;

(3)解：連接EG,如圖2,

VAE∕/BF,GE〃HF,

ΛZAEG=ZBFH,

VsinZBFH=sinZAEG=-,

5

設(shè)AG=3k,AE=4k,GE=ED=5k,

VDG=2EF,EF=,

2

ΛDG=3√iθ,

在Rt_AGD中，AG?+AD-=GD2,

.?.(3k)2+(9k)2=(3√W)2,

解得：k=1或-1(舍去),

ΛAG=3,AE=4,AD=9,

由(2)知AD=2AB,

ΛAB=4.5,

.?.GB=AB-AG=4.5-3=1.5.

16.【答案】(1)①2,27;

②當(dāng)點(diǎn)P在直線AB上，

VZB=90o,PC=2PB,

.?ZPCB=30o,

ΛPB=BC?tan30o=^^(cm),

.?.PA=6-必

Cm),

3

PA4√3

-----J-------

23

1Q1?

當(dāng)點(diǎn)P在線段BC時，t=7(6+§)=W,

綜上所述，t的值為3-迪或E;

33

(2)解：,?點(diǎn)P的運(yùn)動速度為2cm∕s,且點(diǎn)P,Q,R的運(yùn)動速度的比為2：4：3,

???點(diǎn)Q的運(yùn)動速度為4cm∕s,點(diǎn)R的運(yùn)動速度為3cm∕s.

如圖3中，由題意，PB=6-2t,BQ=4t,CQ=8-4t,CR=3t,

AD

.6—2f4/

"8-4r~3t

7

解得t=g,

7

經(jīng)檢驗(yàn)，t=1是分式方程的解，且符合題意.

LXPBBQ

②當(dāng)內(nèi)=歷時，QCR相似，

CKCζs∕

.6-2r_4r

3t-8-4r'

解得t=-5+技或一5-技(舍棄)，

經(jīng)檢驗(yàn)，t=-5+質(zhì)是分式方程的解，且符合題意.

綜上所述，滿足條件的t的值為二或-5+厲.