第三章 不可壓縮無(wú)粘流體平面勢(shì)流

第3章理想不可壓縮流體平面位流3．1理想不可壓縮流體平面位流的基本方程3．2幾種簡(jiǎn)單的二維位流3．2．1直勻流3．2．2點(diǎn)源3．2．3偶極子3．2．4點(diǎn)渦3．3一些簡(jiǎn)單的流動(dòng)迭加舉例3．3．1直勻流加點(diǎn)源3．3．2直勻流加偶極子3．3．3直勻流加偶極子加點(diǎn)渦本章基本要求掌握平面不可壓位流中位函數(shù)與流函數(shù)的性質(zhì)與關(guān)系；掌握平面不可壓位流的基本方程即拉普拉斯方程的特點(diǎn)、疊加原理和邊界條件；掌握四種基本而重要的位流流動(dòng)即：直勻流，點(diǎn)源（點(diǎn)匯）、偶極子和點(diǎn)渦的表達(dá)；重點(diǎn)掌握直勻流與偶極子和點(diǎn)渦的疊加；掌握儒可夫斯基升力定律；

3.1、理想不可壓縮流體平面位流的基本方程

對(duì)于理想不可壓縮流體，流動(dòng)的基本方程是連續(xù)方程和歐拉運(yùn)動(dòng)方程組。在第二章中已給出這些方程的推導(dǎo)過(guò)程，本章應(yīng)該討論怎樣求解這些方程。但是，要想得到這些偏微分方程的解，并非易事。因?yàn)閷?shí)際飛行器的外形都比較復(fù)雜，要在滿足這些復(fù)雜邊界條件下求得基本方程的解，困難是相當(dāng)大的。為了簡(jiǎn)化求解問(wèn)題，本章首先介紹流體力學(xué)中一類簡(jiǎn)單的流動(dòng)問(wèn)題，理想不可壓縮流體的無(wú)旋流動(dòng)。這是早期流體力學(xué)發(fā)展的一種理想化近似模型，比求解真實(shí)粘性流動(dòng)問(wèn)題要容易的多。在粘性作用可忽略的區(qū)域，這種理想模型的解還是有相當(dāng)?shù)目尚懦潭取?/p>

1、不可壓縮理想流體無(wú)旋流動(dòng)的基本方程初始條件和邊界條件為在t=t0時(shí)刻，在物體的邊界上在無(wú)窮遠(yuǎn)處

如果沒(méi)有無(wú)旋流條件進(jìn)一步簡(jiǎn)化上述方程，求解起來(lái)也是很困難的。這是因?yàn)榉匠讨械膶?duì)流項(xiàng)是非線性的，而且方程中的速度V和壓強(qiáng)p相互偶合影響，需要一并求出。但是，對(duì)于無(wú)旋流動(dòng)，問(wèn)題的復(fù)雜性可進(jìn)一步簡(jiǎn)化，特別是可將速度和壓力分開(kāi)求解。這是因?yàn)?，?duì)于無(wú)旋運(yùn)動(dòng)情況，流場(chǎng)的速度旋度為零，即存在速度勢(shì)函數(shù)（位函數(shù)）為如果將上式代入不可壓縮流體的連續(xù)方程中，得到3.1、平面不可壓位流的基本方程

由此可見(jiàn)，利用無(wú)旋流動(dòng)和連續(xù)條件所得到的這個(gè)方程是大家熟知的二階線性偏微分方程，拉普拉斯方程，這是一個(gè)純運(yùn)動(dòng)學(xué)方程。如果對(duì)這個(gè)方程賦予適定的定解條件，就可以單獨(dú)解出速度位函數(shù)，繼而求出速度值。與壓強(qiáng)p沒(méi)有進(jìn)行偶合求解，那么如何確定壓強(qiáng)呢？在這種情況下，可將速度值作為已知量代入運(yùn)動(dòng)方程中，解出p值。實(shí)際求解并不是直接代入運(yùn)動(dòng)方程中，而是利用Bernoulli(或Lagrange)積分得到。對(duì)于理想不可壓縮流體，在質(zhì)量力有勢(shì)條件下，對(duì)于無(wú)旋流動(dòng)，運(yùn)動(dòng)方程的積分形式為對(duì)于定常流動(dòng)，質(zhì)量力只有重力，得到如果忽略質(zhì)量力（在空氣動(dòng)力學(xué)中經(jīng)常不考慮重力的作用）由此說(shuō)明，只要把速度勢(shì)函數(shù)解出，壓強(qiáng)p可直接由Bernoulli方程得到。在這種情況下整個(gè)求解步驟概括為：3.1、平面不可壓位流的基本方程（1）根據(jù)純運(yùn)動(dòng)學(xué)方程求出速度勢(shì)函數(shù)和速度分量；（2）由Bernoulli方程確定流場(chǎng)中各點(diǎn)的壓強(qiáng)。這使得速度和壓強(qiáng)的求解過(guò)程分開(kāi)進(jìn)行，從而大大簡(jiǎn)化了問(wèn)題的復(fù)雜性。綜合起來(lái)，對(duì)于理想不可壓縮流體無(wú)旋流動(dòng)，控制方程及其初邊界條件為初始條件邊界條件為固壁面條件

自由面條件

無(wú)窮遠(yuǎn)處在流體力學(xué)中的邊界條件多數(shù)屬于第二類邊界條件，即在邊界上給定速度勢(shì)函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)。3.1、平面不可壓位流的基本方程2、速度勢(shì)函數(shù)的性質(zhì)（1）速度勢(shì)函數(shù)沿著某一方向的偏導(dǎo)數(shù)等該方向的速度分量，速度勢(shì)函數(shù)沿著流線方向增加。由此可得出，速度勢(shì)函數(shù)允許相差任意常數(shù)，而不影響流體的運(yùn)動(dòng)。（2）速度勢(shì)函數(shù)滿足拉普拉斯方程，是調(diào)和函數(shù)。滿足解的線性迭加原理。如果速度勢(shì)函數(shù)滿足拉普拉斯方程，則它們的線性組合也滿足拉普拉斯方程。（3）速度勢(shì)函數(shù)相等的點(diǎn)連成的線稱為等勢(shì)線，速度方向垂直于等勢(shì)線。3.1、平面不可壓位流的基本方程（4）連接任意兩點(diǎn)的速度曲線等于該兩點(diǎn)的速度勢(shì)函數(shù)之差。速度線積分與路徑無(wú)關(guān)，僅決定于兩點(diǎn)的位置。如果是封閉曲線，速度環(huán)量為零。3、流函數(shù)及其性質(zhì)根據(jù)高等數(shù)學(xué)中，格林公式可知（平面問(wèn)題的線積分與面積分的關(guān)系）如果令3.1、平面不可壓位流的基本方程由此可見(jiàn)，下列線積分與路徑無(wú)關(guān)存在的充分必要條件是這是不可壓縮流體平面流動(dòng)的連續(xù)方程。這樣，下列微分一定是某個(gè)函數(shù)的全微分，即這個(gè)函數(shù)稱為流函數(shù)。由此可見(jiàn)，對(duì)于不可壓縮流體的平面流動(dòng)，無(wú)論是理想流體還是粘性流體，無(wú)論是有渦流動(dòng)還是無(wú)渦流動(dòng)，均存在流函數(shù)。流函數(shù)的概念是1781年Lagrange首先引進(jìn)的。流函數(shù)具有下列性質(zhì)（1）流函數(shù)值可以差任意常數(shù)而不影響流動(dòng)。（2）流函數(shù)值相等的點(diǎn)的連線是流線。即等流函數(shù)線的切線方向與速度矢量方向重合。3.1、平面不可壓位流的基本方程在流函數(shù)相等的線上，有上式即為平面流動(dòng)的流線方程。（3）流函數(shù)在某一方向的偏導(dǎo)數(shù)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度方向的速度分量。根據(jù)流函數(shù)這一性質(zhì)，如果沿著流線取s，反時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度取n方向，則有（流函數(shù)增值方向沿速度方向反時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度方向）（4）理想不可壓縮流體平面勢(shì)流，流函數(shù)滿足拉普拉斯方程。即3.1、平面不可壓位流的基本方程（5）任意兩條流線之間的流函數(shù)之差等于通過(guò)此兩條流線之間的單寬流量q。4、平面勢(shì)流流函數(shù)與速度勢(shì)函數(shù)之間的關(guān)系及其流網(wǎng)的概念（1）理想不可壓縮流體，平面勢(shì)流流函數(shù)和速度勢(shì)函數(shù)均滿足拉普拉斯方程，且滿足柯西-黎曼條件。（2）過(guò)同一點(diǎn)的等速度勢(shì)函數(shù)線與等流函數(shù)線正交（等勢(shì)線與流線正交）。等流函數(shù)線是流線，有3.1、平面不可壓位流的基本方程另一方面，過(guò)該點(diǎn)的等勢(shì)函數(shù)線方程為在同一點(diǎn)處，流線與等勢(shì)線的斜率乘積為說(shuō)明流線與等勢(shì)線在同一點(diǎn)正交。（3）流網(wǎng)及其特征在理想不可壓縮流體定常平面勢(shì)流中，每一點(diǎn)均存在速度勢(shì)函數(shù)和流函數(shù)值。這樣在流場(chǎng)中，存在兩族曲線，一族為流線，另一族為等勢(shì)線，且彼此相互正交。把由這種正交曲線構(gòu)成的網(wǎng)格叫做流網(wǎng)。在流網(wǎng)中，每一個(gè)網(wǎng)格的邊長(zhǎng)之比等于勢(shì)函數(shù)和流函數(shù)的增值之比。如果網(wǎng)格正方形。3.1、平面不可壓位流的基本方程3.1、平面不可壓位流的基本方程流網(wǎng)不僅可以顯示流速的分布情況，也可以反映速度的大小。如流線密的地方流速大，流線稀疏的地方流速小。如果相鄰流線之間的流函數(shù)差為常數(shù)，等于單寬流量增量。即表示流速與網(wǎng)格間距成反比，因此流線的疏密程度反映了速度的大小。5、理想不可壓縮流體平面定常無(wú)旋流動(dòng)數(shù)學(xué)問(wèn)題的提法對(duì)于理想不可壓縮平面定常無(wú)旋流動(dòng)問(wèn)題的數(shù)學(xué)提法共有三種。設(shè)給定一平面物體C，無(wú)窮遠(yuǎn)為直均流，在繞流物體不脫體的情況下，求這個(gè)繞流問(wèn)題。（1）以速度勢(shì)函數(shù)為未知函數(shù)的提法（2）以流函數(shù)為未知函數(shù)的提法（3）以復(fù)位勢(shì)w(z)為未知函數(shù)提法需要求解滿足一定定解條件的在C外區(qū)域內(nèi)的解析函數(shù)。3.1、平面不可壓位流的基本方程3.2、幾種簡(jiǎn)單的二維位流1、直勻流直勻流是一種速度不變的最簡(jiǎn)單的平行流動(dòng)。其流速為位函數(shù)為常用平行于x軸的直勻流，從左面遠(yuǎn)方流來(lái)，流速為。相應(yīng)的流函數(shù)和勢(shì)函數(shù)為

；3.2、幾種簡(jiǎn)單的二維位流2、點(diǎn)源源可以有正負(fù)。正源是從流場(chǎng)上某一點(diǎn)有一定的流量向四面八方流開(kāi)去的一種流動(dòng)。負(fù)源（又名匯）是一種與正源流向相反的向心流動(dòng)。如果把源放在坐標(biāo)原點(diǎn)上，那末這流動(dòng)便只有υr，而沒(méi)有。設(shè)半徑為r處的流速是υr，那末這個(gè)源的總流量是流量是常數(shù)，故流速υr與半徑成反比。3.2、幾種簡(jiǎn)單的二維位流流函數(shù)的表達(dá)式是或位函數(shù)從的式子積分得到在極坐標(biāo)系中，速度分量與流函數(shù)和勢(shì)函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)關(guān)系式為3.2、幾種簡(jiǎn)單的二維位流

如果源的位置不在坐標(biāo)原點(diǎn)，而在A（ξ,η）處3.2、幾種簡(jiǎn)單的二維位流

3、偶極子等強(qiáng)度的一個(gè)源和一個(gè)匯，放在x軸線上，源放在（-h，0）處，匯放在（0，0）處。從源出來(lái)的流量都進(jìn)入?yún)R。3.2、幾種簡(jiǎn)單的二維位流

應(yīng)用疊加原理，位函數(shù)和流函數(shù)如下其中表示流場(chǎng)點(diǎn)P分別與源和匯連線與x軸之間的夾角。

3.2、幾種簡(jiǎn)單的二維位流

現(xiàn)在我們考慮一種極限情況，當(dāng)h→0，但同時(shí)Q增大，使保持不變的極限情況。這時(shí)位函數(shù)變成等位線是一些圓心在x軸上的圓，且都過(guò)原點(diǎn)。流函數(shù)的式子，取h→0而Qh/2π=M保持不變的極限結(jié)果，是3.2、幾種簡(jiǎn)單的二維位流

3.2、幾種簡(jiǎn)單的二維位流

流線也是一些圓，圓心都在y軸上，且都過(guò)源點(diǎn)O。兩個(gè)分速的表達(dá)式是:合速度為3.2、幾種簡(jiǎn)單的二維位流

要注意，偶極子是源匯無(wú)限靠近的極限情況，它是有軸線方向的，原來(lái)的源和匯放在哪條直線上，那條直線就是它的軸線。前面表示的偶極子是以x軸為軸線的，其正向?yàn)檩S線上的流線方向，前面的偶極子是指向負(fù)x方向的。如果偶極子軸線和x軸成θ角，正向指向第三象限，則勢(shì)函數(shù)為

相應(yīng)的流函數(shù)為這個(gè)偶極子的正向指向第三象限。3.2、幾種簡(jiǎn)單的二維位流

如果偶極子位于（ξ，η），軸線和x軸成θ角，正向指向第三象限，則勢(shì)函數(shù)和流函數(shù)分別為

3.2、幾種簡(jiǎn)單的二維位流

4、點(diǎn)渦點(diǎn)渦是位于原點(diǎn)的一個(gè)點(diǎn)渦的流動(dòng)，流線是一些同心圓。流速只有，而沒(méi)有。

式中的是個(gè)常數(shù)，稱為點(diǎn)渦的強(qiáng)度，反時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎?。分速和離中心點(diǎn)的距離r成反比，指向是反時(shí)針?lè)较虻?。其位函?shù)和流函數(shù)分別為（等勢(shì)線是射線，流線是圓）

3.2、幾種簡(jiǎn)單的二維位流

如果點(diǎn)渦的位置不在原點(diǎn)，而在（ξ，η），則點(diǎn)渦的位函數(shù)和流函數(shù)分別是沿任意形狀的圍線計(jì)算環(huán)量，值都是，只要這個(gè)圍線把點(diǎn)渦包圍在內(nèi)，但不包含點(diǎn)渦在內(nèi)的圍線，其環(huán)量等于零。3.2、幾種簡(jiǎn)單的二維位流點(diǎn)渦是實(shí)際旋渦的一種數(shù)學(xué)近似。點(diǎn)渦的速度在半徑r→0時(shí)將使Vθ→∞勢(shì)必使壓強(qiáng)p→－∞，這是不現(xiàn)實(shí)的，這時(shí)粘性必然要起作用，因此實(shí)際的旋渦存在一個(gè)渦核，核內(nèi)流體Vθ與半徑成正比為有旋流，核外為無(wú)旋流。實(shí)際渦核尺寸與粘性和渦強(qiáng)弱有關(guān)，一般不大，故數(shù)學(xué)上抽象為一個(gè)點(diǎn)，形成點(diǎn)渦模型。3.3、一些簡(jiǎn)單的迭加舉例1、直勻流加點(diǎn)源在一個(gè)平行于x軸由左向右流去的直勻流里，加一個(gè)強(qiáng)度為Q的源。

把坐標(biāo)原點(diǎn)放在源所在的地方，迭加得到的位函數(shù)是兩個(gè)分速是在x軸線上有一個(gè)合速為零的點(diǎn)，即駐點(diǎn)A。

3.3、一些簡(jiǎn)單的迭加舉例

令即得駐點(diǎn)xA坐標(biāo)為3.3、一些簡(jiǎn)單的迭加舉例流動(dòng)的流函數(shù)是對(duì)于零流線是一條通過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的水平線。對(duì)于的流線方程為得到解為說(shuō)明是通過(guò)駐點(diǎn)的一條水平流線。對(duì)于非水平流線，半徑r3.3、一些簡(jiǎn)單的迭加舉例

如對(duì)于相應(yīng)的半徑r為全部流線譜中，經(jīng)過(guò)駐點(diǎn)A的流線BAB′是一條特殊的流線，。它像一道圍墻一樣，把流場(chǎng)劃分成為兩部分。外面的是直勻流繞此圍墻的流動(dòng)，里面的是源流在此圍墻限制之內(nèi)的流動(dòng)。

我們可以把外部流動(dòng)看作是在直勻流中放了一個(gè)BAB′那樣形狀的物體所造成的流動(dòng)。不過(guò)這個(gè)物體后面是不封口的，稱半無(wú)限體。這個(gè)半無(wú)限體在+x無(wú)限遠(yuǎn)處，其寬度（y向尺寸）趨向一個(gè)漸近值D為3.3、一些簡(jiǎn)單的迭加舉例

通常將壓強(qiáng)表為無(wú)量綱的壓強(qiáng)系數(shù)，其定義是當(dāng)?shù)仂o壓減去來(lái)流靜壓再除以來(lái)流的動(dòng)壓頭。不可壓無(wú)粘流時(shí)沿這個(gè)半無(wú)限體的外表面，壓強(qiáng)系數(shù)是

3.3、一些簡(jiǎn)單的迭加舉例

首先，A點(diǎn)是駐點(diǎn)，這一點(diǎn)的Cp一定等于+1。從駐點(diǎn)往后，Cp迅速下降，在距A不很遠(yuǎn)的地方，Cp降到零，該點(diǎn)流速已達(dá)遠(yuǎn)前方的來(lái)流速度。此后氣流繼沿物面加速，走了一段之后，流速達(dá)最大值，Cp達(dá)最小值。這一點(diǎn)稱最大速度點(diǎn)，或最低壓強(qiáng)點(diǎn)，過(guò)了最大速度點(diǎn)之后，氣流開(kāi)始減速，到無(wú)限遠(yuǎn)的右方，流速減到和遠(yuǎn)前方來(lái)流一樣大。這是大多鈍頭物體低速流動(dòng)的特點(diǎn)。頭部附近形成一個(gè)低速高壓區(qū)，隨后速度迅速上升，壓強(qiáng)急劇下降。3.3、一些簡(jiǎn)單的迭加舉例2、直勻流加偶極子（無(wú)環(huán)量的圓柱繞流）只有當(dāng)正源和負(fù)源的總強(qiáng)度等于零時(shí)，物形才是封閉的。設(shè)直勻流平行于x軸，由左向右流。再把一個(gè)軸線指向負(fù)x的偶極子放在坐標(biāo)原點(diǎn)處。這時(shí)，流動(dòng)的位函數(shù)是流動(dòng)是直勻流流過(guò)一個(gè)圓。圓的半徑可以從駐點(diǎn)A的坐標(biāo)定出來(lái)。令得到

3.3、一些簡(jiǎn)單的迭加舉例a就是圓半徑。這樣位函數(shù)可以寫成為流函數(shù)方程為ψ=0是一條特殊的流線。容易證明，該流線通過(guò)駐點(diǎn)的x軸線；另外還有是半徑為a的圓。兩個(gè)速度分量為3.3、一些簡(jiǎn)單的迭加舉例

在圓周上，r=a，速度分量為相應(yīng)的壓強(qiáng)系數(shù)為3.3、一些簡(jiǎn)單的迭加舉例

在圓周前后駐點(diǎn)，θ=0°，θ=π，壓強(qiáng)系數(shù)等于1.0。從前駐點(diǎn)往后流，在θ=150°處流速加快到和來(lái)流的流速一樣大了。以后繼續(xù)加速，在θ=π/2處達(dá)最大速度，其值二倍于來(lái)流的速度，Cp是（–3.0）。過(guò)了最大速度點(diǎn)以后，氣流減速，在θ=0°處降為零，這一點(diǎn)稱為后駐點(diǎn)。這個(gè)流動(dòng)不僅上下是對(duì)稱的，而且左右也是對(duì)稱的，物面上的壓強(qiáng)分布也是對(duì)稱的，結(jié)果哪個(gè)方向的合力也沒(méi)有。不過(guò)實(shí)際流動(dòng)左右是不對(duì)稱的，由于實(shí)際流體是有粘性的緣故，氣流過(guò)了最大速度點(diǎn)以后，不可能始終貼著物體流下去，不可能進(jìn)行完全的減速，結(jié)果水平方向是有一個(gè)阻力的。（達(dá)朗培爾疑題） 達(dá)朗培爾（D’Alembert）18世紀(jì)法國(guó)著名數(shù)學(xué)家，他提出，在理想不可壓流中，任何一個(gè)封閉物體的繞流，其阻力都是零。這個(gè)結(jié)論不符合事實(shí)。這個(gè)矛盾多少耽誤了一點(diǎn)流體力學(xué)的發(fā)展，那時(shí)人們以為用無(wú)粘的位流去處理實(shí)際流動(dòng)是沒(méi)有什么價(jià)值的。3.3、一些簡(jiǎn)單的迭加舉例

3、直勻流加偶極子加點(diǎn)渦（有環(huán)量的圓柱繞流）在直勻流加偶極子的流動(dòng)之上，再在圓心處加一個(gè)強(qiáng)度為（–）的點(diǎn)渦（順時(shí)針轉(zhuǎn)為負(fù)）。這時(shí)的流函數(shù)和位函數(shù)為3.3、一些簡(jiǎn)單的迭加舉例在極坐標(biāo)下，兩個(gè)分速度為r=a仍是一條流線。在這個(gè)圓上Vr=0，圓周速度為

駐點(diǎn)現(xiàn)在不在其位置可以從

3.3、一些簡(jiǎn)單的迭加舉例

定出來(lái)在第三和第四象限內(nèi)，前后駐點(diǎn)對(duì)y軸是對(duì)稱的。這個(gè)角度離開(kāi)π和0°的多少?zèng)Q定于環(huán)量對(duì)速度乘半徑a之比值；比值越大，駐點(diǎn)越往下移?，F(xiàn)在的流動(dòng)圖畫，左右仍是對(duì)稱的，但上下不對(duì)稱了。于是計(jì)算y向合力時(shí)結(jié)果就不等于零。

這個(gè)y向合力，可以按伯努利公式以速度來(lái)表示圓柱面上的壓強(qiáng)，直接計(jì)算y向的壓力，最后經(jīng)積分去求得。另一種方法是，用動(dòng)量定理來(lái)計(jì)算。以原點(diǎn)為中心，畫一個(gè)半徑為r1很大的控制面S，整個(gè)的控制面還包括圓的表面S1以及連接S和S1的兩條割線。不過(guò)這兩條割線上的壓力和動(dòng)量進(jìn)出都對(duì)消了，不必管它。受力情況左右對(duì)稱，不會(huì)有X合力。我們只計(jì)算Y方向合力就行了。徹體力略去不計(jì)；流動(dòng)是定常的。

3.3、一些簡(jiǎn)單的迭加舉例

動(dòng)量積分方程變?yōu)樵趓1的大圓上3.3、一些簡(jiǎn)單的迭加舉例

在上述表達(dá)式中，奇函數(shù)積分為零，只有偶