廣西壯族自治區(qū)南寧市中和中學(xué)高二數(shù)學(xué)理上學(xué)期摸底試題含解析

廣西壯族自治區(qū)南寧市中和中學(xué)高二數(shù)學(xué)理上學(xué)期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，cos2=，則△ABC的形狀一定是（）A．正三角形 B．直角三角形C．等腰三角形 D．等腰直角三角形參考答案：B【考點】余弦定理；正弦定理．

【專題】解三角形．【分析】在△ABC中，利用二倍角的余弦與正弦定理可將已知cos2=，轉(zhuǎn)化為1+cosA=+1，整理即可判斷△ABC的形狀．【解答】解：在△ABC中，∵cos2=，∴==+∴1+cosA=+1，∴cosAsinC=sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，∴sinAcosC=0，sinA≠0，∴cosC=0，∴C為直角．故選：B．【點評】本題考查三角形的形狀判斷，著重考查二倍角的余弦與正弦定理，誘導(dǎo)公式的綜合運用，屬于中檔題．2.下列結(jié)論正確的是

()A.若,則

B.若,則C.若,則

D.若,則參考答案：D3.，若是雙元素集，則

（

）A、

B、或

C、

D、或參考答案：D4.在A（ab,a+b）在第一象限內(nèi)，則直線不經(jīng)過的象限是

（

）

A．一

B．二

C．三

D．四參考答案：C5.如圖，P是正四面體V-ABC的面VBC上一點，點P到平面ABC距離與到點V的距離相等，則動點P的軌跡是(

)A.直線 B.拋物線C.離心率為的橢圓 D.離心率為3的雙曲線參考答案：C分析：由題設(shè)條件將點P到平面ABC距離與到點V的距離相等轉(zhuǎn)化成在面VBC中點P到V的距離與到定直線BC的距離比是一個常數(shù)，依據(jù)圓錐曲線的第二定義判斷出其軌跡的形狀．詳解：∵正四面體V﹣ABC∴面VBC不垂直面ABC，過P作PD⊥面ABC于D，過D作DH⊥BC于H，連接PH，可得BC⊥面DPH，所以BC⊥PH，故∠PHD為二面角V﹣BC﹣A的平面角令其為θ則Rt△PGH中，|PD|：|PH|=sinθ（θ為V﹣BC﹣A的二面角的大小）．又點P到平面ABC距離與到點V的距離相等，即|PV|=|PD|∴|PV|：|PH|=sinθ＜1，即在平面VBC中，點P到定點V的距離與定直線BC的距離之比是一個常數(shù)sinθ，又在正四面體V﹣ABC，V﹣BC﹣A的二面角的大小θ有：sinθ=＜1，由橢圓定義知P點軌跡為橢圓在面SBC內(nèi)的一部分．故答案為：C．點睛：（1）本題主要考查二面角、橢圓的定義、軌跡方程等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．(2)解答本題的關(guān)鍵是聯(lián)想到圓錐曲線的第二定義.6.設(shè)α，β是兩個不同的平面，m是直線且m?α，“m∥β“是“α∥β”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：B【考點】2L：必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】m∥β并得不到α∥β，根據(jù)面面平行的判定定理，只有α內(nèi)的兩相交直線都平行于β，而α∥β，并且m?α，顯然能得到m∥β，這樣即可找出正確選項．【解答】解：m?α，m∥β得不到α∥β，因為α，β可能相交，只要m和α，β的交線平行即可得到m∥β；α∥β，m?α，∴m和β沒有公共點，∴m∥β，即α∥β能得到m∥β；∴“m∥β”是“α∥β”的必要不充分條件．故選B．7.設(shè)拋物線的頂點在原點，準(zhǔn)線方程為，則拋物線的方程是

A．

B．

C．

D．參考答案：B8.已知直線上的點與曲線上的點，則的最小值是A．

B．

C．

D．參考答案：B略9.數(shù)列中，若，則的值為（）A．－1 B． C．1 D．2參考答案：A略10.若過點(3,1)總可以作兩條直線和圓相切，則的取值范圍是(

)(0，2)

(1，2)

(2，+∞)

(0，1)∪(2，+∞)參考答案：D略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數(shù)f（x）=x（x+1）（x+2）…（x+100），則f'（0）=．參考答案：100!【考點】導(dǎo)數(shù)的運算．【分析】根據(jù)題意，將f（x）的變形可得f（x）=x[（x+1）（x+2）…（x+100）]，對其求導(dǎo)可得f′（x）=1?[（x+1）（x+2）…（x+100）]+x[（x+1）（x+2）…（x+100）]′，將x=0代入計算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，f（x）=x（x+1）（x+2）…（x+100）=x[（x+1）（x+2）…（x+100）]，其導(dǎo)數(shù)f′（x）=（x）′[（x+1）（x+2）…（x+100）]+x[（x+1）（x+2）…（x+100）]′=1?[（x+1）（x+2）…（x+100）]+x[（x+1）（x+2）…（x+100）]′則f′（0）=1×2×3×4×…×100+0=100??；故答案為：100!．12.設(shè)f″（x）是函數(shù)y=f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x）的導(dǎo)數(shù)，定義：若f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），且方程f″（x）=0有實數(shù)解x0，則稱點（x0，f（x0））為函數(shù)y=f（x）的對稱中心．有同學(xué)發(fā)現(xiàn)“任何一個三次函數(shù)都有對稱中心”，請你運用這一發(fā)現(xiàn)處理下列問題： 設(shè)，則=

． 參考答案：2015【考點】導(dǎo)數(shù)的運算；函數(shù)的值． 【專題】整體思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用． 【分析】求出g（x）的對稱中心，根據(jù)函數(shù)的中心對稱特點將2015的函數(shù)值兩兩組合求出． 【解答】解：g″（x）=2x﹣1，令g″（x）=0得x=，g（）=1． ∴g（x）的對稱中心為（，1）． ∴g（）+g（）=g（）+g（）=g（）+g（）=…=g（）+g（）=2， ∴=1007×2+g（）=1007×2+g（）=2014+1=2015． 故答案為2015． 【點評】本題考查了導(dǎo)數(shù)的運算，函數(shù)求值，屬于中檔題． 13.某校開設(shè)9門課程供學(xué)生選修，其中A，B，C3門課由于上課時間相同，至多選1門，若學(xué)校規(guī)定每位學(xué)生選修4門，則不同選修方案共有

種． 參考答案：75【考點】計數(shù)原理的應(yīng)用． 【專題】應(yīng)用題；排列組合． 【分析】由題意分兩類，可以從A、B、C三門選一門，再從其它6門選3門，也可以從其他六門中選4門，根據(jù)分類計數(shù)加法得到結(jié)果． 【解答】解：由題意知本題需要分類來解， 第一類，若從A、B、C三門選一門，再從其它6門選3門，有C31C63=60， 第二類，若從其他六門中選4門有C64=15， ∴根據(jù)分類計數(shù)加法得到共有60+15=75種不同的方法． 故答案為：75． 【點評】本題考查分類計數(shù)問題，考查排列組合的實際應(yīng)用，利用分類加法原理時，要注意按照同一范疇分類，分類做到不重不漏． 14.已知某圓錐體的底面半徑r=3，沿圓錐體的母線把側(cè)面展開后得到一個圓心角為的扇形，則該圓錐體的表面積是．參考答案：36π【考點】旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺）．【分析】圓錐的底面周長為側(cè)面展開圖的弧長，利用弧長公式計算展開圖的半徑即圓錐的母線長，代入公式計算得出面積．【解答】解：圓錐的底面積S底=π×32=9π，圓錐側(cè)面展開圖的弧長為2π×3=6π，∴圓錐側(cè)面展開圖的扇形半徑為=9．圓錐的側(cè)面積S側(cè)==27π．∴圓錐的表面積S=S底+S側(cè)=36π．故答案為：36π．15.橢圓的焦點為，點在橢圓上，若，則_________；的小大為__________．

參考答案：略16.拋物線y=﹣x2+2x與x軸圍成的封閉區(qū)域為M，向M內(nèi)隨機投擲一點P（x，y），則P（y＞x）=

．參考答案：【考點】CF：幾何概型．【分析】根據(jù)積分的知識可得先求y=﹣x2+2x與x軸圍成的封閉區(qū)域為M的面積，再求出S陰影，最后代入幾何概率的計算公式可求．【解答】解：令y=﹣x2+2x=0，解得x=0或x=2，∴由拋物線y=﹣x2+2x與x軸圍成的封閉區(qū)域SM=（﹣x2+2x）dx=（﹣x3+x2）|=﹣+4=，由，解得x=0或x=1，∴由拋物線y=﹣x2+2x與y=x圍成的封閉區(qū)域S陰影=（（﹣x2+2x﹣x）dx=（（﹣x2+x）dx=（﹣x3+x2）|=﹣+=，故則P（y＞x）===，故答案為：17.已知橢圓，為橢圓上的一點，為橢圓的左右兩個焦點，且滿足，則的值為

.參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.圓內(nèi)有一點，為過點且傾斜角為的弦，（1）當(dāng)＝135０時，求;（2）當(dāng)弦被點平分時，求出直線的方程;（3）設(shè)過點的弦的中點為，求點的坐標(biāo)所滿足的關(guān)系式.參考答案：（1）過點做于，連結(jié)，當(dāng)=1350時，直線的斜率為-1，故直線的方程x+y-1=0，∴OG=d=，

又∵r=,∴，∴

，

19.求滿足下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）經(jīng)過兩點；（2）過點P（﹣3，2），且與橢圓有相同的焦點．參考答案：【考點】橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【分析】（1）設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，代入點的坐標(biāo)，即可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）由橢圓，求得焦點坐標(biāo)，設(shè)所求橢圓的方程為，（a2＞5），將A（﹣3，2）代入橢圓方程，求得a2的值，即可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【解答】解：（1）設(shè)所求的橢圓方程為mx2+ny2=1，（m＞0，n＞0，m≠n），∵橢圓經(jīng)過點，∴，解得m=，n=，∴所求的橢圓方程為；（2）∵橢圓的焦點為F（±，0），∴設(shè)所求橢圓的方程為，（a2＞5），把點（﹣3，2）代入，得，整理，得a4﹣18a2+45=0，解得a2=15，或a2=3（舍）．∴所求的橢圓方程為．【點評】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單性質(zhì)，考查計算能力，屬于中檔題．20.(本題滿分12分)命題關(guān)于的不等式對一切恒成立；函數(shù)是增函數(shù)，若為真，為假，求實數(shù)的取值范圍．參考答案：解：設(shè)，由于關(guān)于的不等式對一切恒成立，所以函數(shù)的圖象開口向上且與軸沒有交點，故…3分函數(shù)是增函數(shù)，則有即

………………6分又由于為真，為假，可知一真一假．

………………8分（1）若，則此不等式組無解；

………………10分（2）若，則．綜上可知，所求實數(shù)的取值范圍為．

………………12分21.

某商場為了促銷，采用購物打折的優(yōu)惠辦法：每位顧客一次購物：①在1000元以上者按九五折優(yōu)惠；②在2000元以上者按九折優(yōu)惠；③在5000元以上者按八折優(yōu)惠。(1）寫出實際付款y（元）與購物原價款x（元）的函數(shù)關(guān)系式；(2）寫出表示優(yōu)惠付款的算法；參考答案：（1）設(shè)購物原價款數(shù)為元，實際付款為元，則實際付款方式可用分段函數(shù)表示為：(2）用條件語句表示表示為：22.（本小題