（江蘇版）高考數(shù)學一輪復習 專題6.2 等差數(shù)列及其求和（講）-江蘇版高三全冊數(shù)學試題

專題6.2等差數(shù)列及其求和【考綱解讀】內容要求備注ABC數(shù)列數(shù)列的概念√對知識的考查要求依次分為了解、理解、掌握三個層次（在表中分別用A、B、C表示）.了解：要求對所列知識的含義有最基本的認識，并能解決相關的簡單問題.理解：要求對所列知識有較深刻的認識，并能解決有一定綜合性的問題.掌握：要求系統(tǒng)地掌握知識的內在聯(lián)系，并能解決綜合性較強的或較為困難的問題.等差數(shù)列√等比數(shù)列√【直擊考點】題組一常識題1．－401是等差數(shù)列－5，－9，－13，…的第________項．【解析】由已知得首項a1＝－5，公差d＝－4，∴an＝－5＋(n－1)×(－4)＝－4n－1，∴－401＝－4×n－1，解得n＝100.2．在等差數(shù)列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，則a2＋a8＝________．【解析】由等差數(shù)列的性質，得a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450，∴a5＝90，∴a2＋a8＝2a3．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn＝n2＋n＋2，則其通項公式為an＝____________．【解析】當n＝1時，a1＝S1＝4，當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n＋2－(n－1)2－(n－1)－2＝2n.∵a1＝4不滿足an＝2n，∴an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4，n＝1，,2n，n≥2.))題組二常錯題4．若數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1－an＝n，則數(shù)列{an}的通項公式為an＝________．5．已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S4＝40，Sn＝210，Sn－4＝130，則n＝________．【解析】因為Sn－Sn－4＝an＋an－1＋an－2＋an－3＝80，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝40，所以4(a1＋an)＝120，所以a1＋an＝30.由Sn＝eq\f(n（a1＋an）,2)＝210，得n＝14.6．設Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和，若eq\f(S3,S6)＝eq\f(1,3)，則eq\f(S6,S12)＝________．【解析】由等差數(shù)列的求和公式可得eq\f(S3,S6)＝eq\f(3a1＋3d,6a1＋15d)＝eq\f(1,3)，可得a1＝2d且d≠0，所以eq\f(S6,S12)＝eq\f(6a1＋15d,12a1＋66d)＝eq\f(27d,90d)＝eq\f(3,10).題組三?？碱}7．已知{an}是公差為1的等差數(shù)列，Sn為{an}的前n項和．若S8＝4S4，則a10＝________．【解析】由S8＝4S4，得8a1＋eq\f(8×7,2)×1＝4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4a1＋\f(4×3,2)×1))，解得a1＝eq\f(1,2)，所以a10＝eq\f(1,2)＋(10－1)×1＝eq\f(19,2).8．已知數(shù)列{an}中，a1＝eq\f(1,2)，an－1＝an－eq\f(2,3)(n≥2)，則數(shù)列{an}的前10項和等于________．【解析】由a1＝eq\f(1,2)，an－1＝an－eq\f(2,3)(n≥2)，可知數(shù)列{an}是首項為eq\f(1,2)，公差為eq\f(2,3)的等差數(shù)列，故S10＝10×eq\f(1,2)＋eq\f(10×（10－1）,2)×eq\f(2,3)＝5＋30＝35.9．在等差數(shù)列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝25，則a2＋a8＝________．【解析】a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝25，∴a5＝5，∴a2＋a8＝2a【知識清單】考點1等差數(shù)列的定義，通項公式，基本運算等差數(shù)列的有關概念1.定義：等差數(shù)列定義：一般地，如果一個數(shù)列從第項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母表示.用遞推公式表示為或.2.等差數(shù)列的通項公式：；說明：等差數(shù)列（通?？煞Q為數(shù)列）的單調性：為遞增數(shù)列，為常數(shù)列，為遞減數(shù)列.3.等差中項的概念：定義：如果，，成等差數(shù)列，那么叫做與的等差中項,其中.，，成等差數(shù)列.4.等差數(shù)列的前和的求和公式：.5.要注意概念中的“從第2項起”．如果一個數(shù)列不是從第2項起，而是從第3項或第4項起，每一項與它前一項的差是同一個常數(shù)，那么此數(shù)列不是等差數(shù)列．6.注意區(qū)分等差數(shù)列定義中同一個常數(shù)與常數(shù)的區(qū)別．考點2等差數(shù)列的性質1.等差數(shù)列的性質：（1）在等差數(shù)列中，從第2項起，每一項是它相鄰二項的等差中項；（2）在等差數(shù)列中，相隔等距離的項組成的數(shù)列是等差數(shù)列，如：，，，，……；，，，，……；（3）在等差數(shù)列中，對任意，，，；（4）在等差數(shù)列中，若，，，且，則,特殊地，時，則，是的等差中項.（5）等差數(shù)列被均勻分段求和后，得到的數(shù)列仍是等差數(shù)列，即成等差數(shù)列.（6）兩個等差數(shù)列與的和差的數(shù)列仍為等差數(shù)列．（7）若數(shù)列是等差數(shù)列,則仍為等差數(shù)列．2．設數(shù)列是等差數(shù)列，且公差為，（Ⅰ）若項數(shù)為偶數(shù)，設共有項，則①；②；（Ⅱ）若項數(shù)為奇數(shù)，設共有項，則①(中間項)；②.3.,則,.4.如果兩個等差數(shù)列有公共項，那么由它們的公共項順次組成的新數(shù)列也是等差數(shù)列，且新等差數(shù)列的公差是兩個原等差數(shù)列公差的最小公倍數(shù)．5.若與為等差數(shù)列，且前項和分別為與，則考點3等差數(shù)列的前項和公式的綜合應用，等差數(shù)列最值1.等差數(shù)列的前n項和公式若已知首項和末項，則，或等差數(shù)列{an}的首項是，公差是，則其前項和公式為.2．等差數(shù)列的增減性：時為遞增數(shù)列，且當時前n項和有最小值．時為遞減數(shù)列，且當時前n項和有最大值．【考點深度剖析】江蘇新高考對數(shù)列知識的考查要求較高，整個高中共有8個C能級知識點，本章就占了兩個，高考中以填空題和解答題的形式進行考查，涉及到數(shù)形結合、分類討論和等價轉化的思想，著重考查學生基本概念及基本運算能力.經(jīng)常與其它章節(jié)知識結合考查，如與函數(shù)、方程、不等式、平面解析幾何知識結合考查.【重點難點突破】考點1等差數(shù)列的定義，通項公式，基本運算【題組全面展示】【1-1】已知數(shù)列，若點均在直線上，則數(shù)列的前9項和等于__________.【答案】18【1-2】已知表示數(shù)列的前項和，若對任意的滿足，且，則__________.【答案】【1-3】數(shù)列中，已知且，則前項和為，則的值為__________.【答案】【解析】試題分析：因為，所以公差，由得，所以.【1-4】在數(shù)列中，，，記是數(shù)列的前項和，則=.【答案】480【解析】∵，∴，，，……，且，，，……，∴為等差數(shù)列，且，即，，，，∴，，，……，∴.【1-5】已知為等差數(shù)列，其前項和為．若，，，則．【答案】8【解析】采用等差數(shù)列的基本量法，，，．綜合點評：前四個題是等差數(shù)列的判斷,第五個題是等差數(shù)列5個基本量問題,在判斷一個數(shù)列是否為等差數(shù)列時，應該根據(jù)已知條件靈活選用不同的方法，一般是先建立與的關系式或遞推關系式，表示出，然后驗證其是否為一個與無關的常數(shù),基本量的計算：即運用條件轉化為關于和的方程組來處理.【方法規(guī)律技巧】1．等差數(shù)列的四種判斷方法(1)定義法：對于數(shù)列，若(常數(shù))，則數(shù)列是等差數(shù)列；(2)等差中項：對于數(shù)列，若，則數(shù)列是等差數(shù)列;(3)通項公式：(為常數(shù),)?是等差數(shù)列;(4)前項和公式：(為常數(shù),)?是等差數(shù)列;(5)是等差數(shù)列?是等差數(shù)列.2．活用方程思想和化歸思想在解有關等差數(shù)列的問題時可以考慮化歸為和等基本量，通過建立方程(組)獲得解．即等差數(shù)列的通項公式及前項和公式，共涉及五個量，知其中三個就能求另外兩個,即知三求二，多利用方程組的思想，體現(xiàn)了用方程的思想解決問題,注意要弄準它們的值.運用方程的思想解等差數(shù)列是常見題型，解決此類問題需要抓住基本量、，掌握好設未知數(shù)、列出方程、解方程三個環(huán)節(jié)，常通過“設而不求，整體代入”來簡化運算．3.特殊設法:三個數(shù)成等差數(shù)列，一般設為；四個數(shù)成等差數(shù)列，一般設為.這對已知和,求數(shù)列各項,運算很方便.4．若判斷一個數(shù)列既不是等差數(shù)列又不是等比數(shù)列，只需用驗證即可．5.等差數(shù)列的前n項和公式若已知首項和末項，則，或等差數(shù)列{an}的首項是，公差是，則其前項和公式為.【新題變式探究】【變式一】已知數(shù)列為等差數(shù)列，且，，的值為__________.【答案】【解析】設等差數(shù)列，則，，所以，所以.【變式二】數(shù)列中,,,若存在實數(shù),使得數(shù)列為等差數(shù)列,則=_________.【答案】2【綜合點評】第一題是求通項公式,第二題是等差數(shù)列定義的應用,第一題利用等差數(shù)列的通項公式求法求出,從而可得的值,第二題設,利用,把換成,利用等差數(shù)列的定義,即可求出的值.考點2等差數(shù)列的性質【題組全面展示】【2-1】等差數(shù)列的前項和為，若，則的值是__________.【答案】28 【解析】由題意可知，，則，所以.【2-2】在等差數(shù)列中，已知，則=__________.【答案】20【解析】因為，所以由等差數(shù)列的性質，得，所以=.【2-3】設等差數(shù)列的前n項和為,若,則的值是__________.【答案】54【解析】由得，所以．【2-4】在等差數(shù)列中，若，則該數(shù)列的前15項的和為____________.【答案】15【2-5】設等差數(shù)列的前項和為，若，，則等于．【答案】【解析】由等差數(shù)列的性質知，．綜合點評：這些題都是等差數(shù)列的性質的應用,熟記等差數(shù)列的性質,并能靈活運用是解這一類題的關鍵,注意等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質多與其下標有關，解題需多注意觀察，發(fā)現(xiàn)其聯(lián)系，加以應用．【方法規(guī)律技巧】1.等差數(shù)列的性質是等差數(shù)列的定義、通項公式以及前n項和公式等基礎知識的推廣與變形，熟練掌握和靈活應用這些性質可以有效、方便、快捷地解決許多等差數(shù)列問題．2.等差數(shù)列的性質多與其下標有關，解題需多注意觀察，發(fā)現(xiàn)其聯(lián)系，加以應用,故應用等差數(shù)列的性質解答問題的關鍵是尋找項的序號之間的關系．3.應用等差數(shù)列的性質要注意結合其通項公式、前n項和公式．4.解綜合題的成敗在于審清題目，弄懂來龍去脈，透過給定信息的表象，抓住問題的本質，揭示問題的內在聯(lián)系和隱含條件，明確解題方向、形成解題策略.【新題變式探究】【變式一】已知是等差數(shù)列，為其前項和，若，O為坐標原點，點，點，則__________.【答案】-2014【解析】由得，，又，即，則，所以.【變式二】等差數(shù)列中的、是函數(shù)的極值點，則__________.【答案】【綜合點評】這兩個題都是等差數(shù)列的性質的應用,第一個題是與向量結合,解題的關鍵是利用等差數(shù)列的性質求得,再利用向量的數(shù)量積即可,第二個題與導數(shù)的極值,方程的根與系數(shù)關系,對數(shù)求值相結合,解題的關鍵是審清題目，弄懂來龍去脈，透過給定信息的表象，抓住問題的本質，把函數(shù)的極值轉化為等差數(shù)列的性質,從而求解.考點3等差數(shù)列的前項和公式的綜合應用，等差數(shù)列最值【題組全面展示】【3-1】已知等差數(shù)列的前項和為__________.【答案】4【解析】∵，∴，∴而，又∵，∴，∴而，∴，，∴前4項的和最大，即.【3-2】設正項等差數(shù)列的前項和為，若，則的最小值為__________.【答案】2【解析】由題意可知．，，當且僅當，即，亦即時等號成立．【3-3】若為等差數(shù)列，為其前項和，若首項，公差，則使最大的序號為__________.【答案】4【解析】因為為等差數(shù)列，，所以數(shù)列為遞減數(shù)列，且，所以前4項的和最大.【3-4】在等差數(shù)列中，，且，則的最大值是________．【答案】9【解析】在等差數(shù)列中，，得，即，，∴6≥2，即，當且僅當時取等號，∴的最大值為9.【3-5】若等差數(shù)列滿足，則當時，的前項和最大.【答案】綜合點評：這幾個題都是等差數(shù)列最值問題，解這一類題，往往結合數(shù)列的性質，以及數(shù)列的函數(shù)特征，因此審清題目，弄懂來龍去脈，透過給定信息的表象，抓住問題的本質，利用二次函數(shù)，基本不等式，解二次不等式等，從而解決問題.【方法規(guī)律技巧】求等差數(shù)列前項和的最值，常用的方法：1.利用等差數(shù)列的單調性或性質，求出其正負轉折項，便可求得和的最值．當，時，有最大值；，時，有最小值；若已知，則最值時的值（）則當，，滿足的項數(shù)使得取最大值，(2)當，時，滿足的項數(shù)使得取最小值.2.利用等差數(shù)列的前n項和：(為常數(shù),)為二次函數(shù)，通過配方或借助圖像，二次函數(shù)的性質，轉化為二次函數(shù)的最值的方法求解；有時利用數(shù)列的單調性（,遞增；，遞減）；3.利用數(shù)列中最大項和最小項的求法：求最大項的方法：設為最大項，則有；求最小項的方法：設為最小項，則有.只需將等差數(shù)列的前n項和依次看成數(shù)列，利用數(shù)列中最大項和最小項的求法即可.4.在解含絕對值的數(shù)列最值問題時,注意轉化思想的應用.【新題變式探究】【變式一】設等差數(shù)列滿足，公差，當且僅當時，數(shù)列的前項和取得最大值，求該數(shù)列首項的取值范圍__________.【答案】【變式二】在等差數(shù)列中，，公差為，前項和為，當且僅當時取最大值，則的取值范圍_________.【答案】【解析】由題意得：，所以，即【綜合點評】這兩個題都是等差數(shù)列前項和最值的應用，解題的關鍵是，利用等差數(shù)列前項和取得最值的條件，建立不等式，從而求出參數(shù)的范圍.【易錯試題常警惕】 易錯典例：在等差數(shù)列中，已知a1＝20，前n項和為，且S10＝S15，求當n取何值時，有最大值，并求出它的最大值．【錯解二】由a1＝20，S10＝S15，解得公差d＝－eq\f(5,3)，令eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(20＋（n－1）\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,3)))＞0，①,20＋n\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,3)))≤0，②))由①得n＜13，由②得n≥12，∴n＝12時，Sn有最大值S12＝130.易錯分析：錯解一中僅解不等式an＞0不能保證Sn最大，也可能an＋1＞0，應有an≥0且an＋1≤0.錯解二中僅解an＋1≤0也不能保證Sn最大，也可能an≤0，應保證an≥0才行．正確解析：解法一：∵a1＝20，S10＝S15，∴10×20＋eq\f(10×9,2)d＝15×20＋eq\f(15×14,2)d.∴d＝－eq\f(5,3).∴an＝20＋(n－1)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,3)))＝－eq\f(5,3)n＋eq\f(65,3).∴a13＝0.即當n≤12時，an＞0，n≥14時，an＜0.∴當n＝12或13時，Sn取得最大值，且最大值為S