2023-2024學年上海市浦東區(qū)高二年級上冊期末考數(shù)學試卷含答案

2023-2024學年上海市浦東區(qū)高二年級上學期

期末區(qū)統(tǒng)考數(shù)學試卷

2024.1

一、填空題（本大題共有12小題，滿分54分）考生應在答題紙相應編號的空格內直接填寫

結果，1-6題每個空格填對得4分，7-12題每個空格填對得5分，否則一律得0分.

l.A,B,C三點不在同一直線上，則經(jīng)過這三個點的平面有個.

2.現(xiàn)行國際比賽標準的乒乓球直徑是40毫米，在忽略材料厚度和制造誤差的情況下，則乒

乓球的表面積大約為平方毫米。（數(shù)值近似到0.01）

3.以下論述描述正確的是.（請?zhí)顚憣蛱枺?/p>

①隨機現(xiàn)象是不可重復的；

②所及現(xiàn)象出現(xiàn)某一結果的可能性大小都是不可測的；

③概率就是描述隨機現(xiàn)象中某寫結果出現(xiàn)的可能性大小。

4.甲乙兩人下棋，甲獲勝的概率為0.4,甲不輸?shù)母怕蕿?.9,則甲乙兩人下成和棋的概率是

5.從裝有標號為1,2,3的三個球的袋子中依次取兩個球（第一次取出的球不再放回），觀察記

錄兩個球標號（依次）的情況，則上述隨機試驗的樣本空間中的基本事件數(shù)量是.

6.已知正方體ABC?！狝4GR，點尸為線段與。上的點，則滿足平面5?！?gt;1片的

點P的個數(shù)為.

7.若用與球心距離為3的平面截球體所得的圓面半徑為4,則球的體積為.

8.中國17歲射擊運動員黃雨婷在2023年杭州亞運會上以頑強作風和精湛技藝為中國代表團

摘得三枚金牌，展現(xiàn)了奮發(fā)向上、勇攀高峰的精神面貌。以下是她在女子10米氣步槍個人

項目決賽最后淘汰賽階段14次射擊取得的成績（單位：環(huán)）

1234567891011121314

10.310.310.410.410.810.810.510.410.710.510.710.710.310.6

則該組數(shù)據(jù)的方差是.（近似到0.001）

9.在正方體八個頂點中任取兩點，則這兩個點所確定的直線與正方體的每個面都相交的概率

是.

10.把1,2,3,4,5,6,7,8,9,10分別寫在10張一樣的卡片上，并隨機抽取1張。設A：出現(xiàn)偶數(shù),

B：出現(xiàn)3的倍數(shù)。若“A,B兩個事件至少有一個發(fā)生”的對立事件是C,則事件C對應的

子集是.

11.兩個籃球運動員甲和乙罰球時命中的概率分別是0.7和0.6,兩人各投一次，假設事件“甲

命中”與“乙命中”是獨立的，則至少一人命中的概率是.

12.如圖，在正四棱柱ABCD—A4CQ中，A4=245及￡6,//分別是棱

441，5片,?！?。。1的中點，直線/過點G

①存在唯一的直線/與直線3E和直線AH都相交

②存在唯一的直線I與直線3E和直線AH所成的角都是60

③存在唯一的直線/與直線3E和直線都垂直

以上三個命題中，所有真命題的序號是.

二、選擇題（本大題共有4題，滿分12分）每題有且只有一個正確選項.考生應在答題紙

的相應位置，將代表正確選項的小方格涂黑.

13.某校有學生1800人，為了解學生的作業(yè)負擔，學校向學生家長隨機抽取了1000人進行

調查，其中70%的家長回答他們孩子每天睡眠時間大致在6-7小時，28%的家長回答他們孩

子回家做作業(yè)的時間一般在3-4小時，下列說明正確的是（）.

A.總體是1000B.個體是每一名學生

C.樣本是1000名學生D.樣本容量是1000

14.下列命題中，為假命題的是（）

A.過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行

B.垂直于同一個平面的兩條直線平行

C.a力是空間兩條直線，若貝Ua//Z?

D.若直線/垂直于平面a內的兩條相交直線，則直線/垂直于平面a

15.某同學將觀察學校柚子樹生長習性作為自主研究課題，他觀察了校園內6株柚子樹成熟

結果個數(shù)（兩位數(shù)）并用莖葉圖（如右圖所示）做了記錄，則這6株柚子樹成熟結果個數(shù)的

中位數(shù)為（）

A.21B.21.5C.22D.22.5

168

2122

31

16.如圖，圓錐形容器的高為3厘米，圓錐內水面的高4為1厘米，若將圓錐容器倒置，水

面高為外，下列選項描述正確的是（)

A.4的值等于1B./gG(1,2)C.4的值等于2D.%e(2,3)

三、解答題（本大題滿分52分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應編號的

規(guī)定區(qū)域內寫出必要的步驟

17.（本題滿分10分，第1小題6分，第2小題4分）

如圖，已知圓柱的底面半徑為2,母線長為3

（1）求該圓柱的體積和表面積

（2）直角三角形繞qO旋轉一周，求所得圓錐的側面積

18.（本題滿分10分，第1小題6分，第2小題4分）

（1）骰子是每一面上分別標注123,4,5,6個圓點且質地均勻的小正方體，常被用來做等可

能性試驗，習慣上總是觀察朝上的面和點數(shù)，請寫出下列隨機試驗的樣本空間；

①單次擲一顆骰子，觀察點數(shù)；

②先后擲兩顆骰子，觀察點數(shù)之和為7且第二次點數(shù)大于第一次點數(shù)的可能結果；

（2）擲一顆骰子，用A,8分別表示事件“結果是偶數(shù)”與事件“結果不小于3”。請驗證這

兩個隨機事件是否獨立，并請說明理由。

19.（本題滿分10分，第1小題5分，第2小題5分）

如圖，已知正方形OBDC的邊長為1,平面三角形ABC是等邊三角形

（1）求異面直線AC與所成的角的大小

（2）在線段AC上是否存在一點E,使得研）與平面BCD所成的角大小為30?若存在,

求出CE的長度，若不存在，說明理由。

20.（本題滿分10分，第1小題5分，第2小題5分）

如圖，在長方體ABC。—4耳GA中，DC=4,AD=DD[=2

（1）求二面角G-BD-C的正切值

（2）設三棱錐。-BCD]的體積為V,是否存在體積為“V（九為正整數(shù)），且十二條棱

長均相等的直四棱柱，使得它的所有棱長和為24,若存在，求出該直四棱柱底面菱形的內

角的大??；若不存在，請說明理由。

AB

21.（本題滿分12分，第1小題3分，第2小題4分，第3小題5分）

2023年11月5日至11月10日在國家會展中心舉辦中國國際進口博覽會。期間，為保障

展會的順利進行，有A,B兩家外賣公司負責為部分工作者送餐。兩公司某天各自隨機抽取

30名送餐員工，統(tǒng)計A公司送餐員工送餐數(shù)，得到如圖頻率分布直方圖；統(tǒng)計兩公司

[40,60）樣本送餐數(shù)，得到如圖送餐數(shù)分布莖葉圖，已知兩公司[40,60）樣本送餐數(shù)平均

值相同。

A公司B公司

777433222423444m

7555335

（1）求冽的值

（2）求的值

（3）為宣傳道路交通安全法，并遵循按勞分配原則，A公司決定員工送餐20份后，每多

送1份餐對其進行一次獎勵，并制定了兩種不同獎勵方案：

方案一：獎勵現(xiàn)金紅包2元。

方案二：答兩道交通安全題，答對2題獎勵5元，答對1題獎勵2元，答對0題獎勵1

元。員工每一道題答題相互獨立且每題答對概率為p（0<0<1與該員工交通安全重視程

度相關）

求下表中必的值（用P表示）；從員工收益角度出發(fā)，如何選擇方案較優(yōu)？并說明理由。

附：方案二綜合收益E滿足公式￡=（Ip[+2P2+50）〃,〃為該員工被獎勵次數(shù)o

方案二獎勵1元2元5元

概率

PlP3

2023-2024學年上海市浦東區(qū)高二年級上學期

期末區(qū)統(tǒng)考數(shù)學試卷

2024.1

一、填空題（本大題共有12小題，滿分54分）考生應在答題紙相應編號的空格內直接填寫

結果，1-6題每個空格填對得4分，7-12題每個空格填對得5分，否則一律得0分.

LA,8,C三點不在同一直線上，則經(jīng)過這三個點的平面有個.

【答案】1

【解析】不在同一條直線上的三點確定一個平面.

2.現(xiàn)行國際比賽標準的乒乓球直徑是40毫米，在忽略材料厚度和制造誤差的情況下，則乒

乓球的表面積大約為平方毫米.（數(shù)值近似到0.01）

【答案】20106.19

【解析】由題意知4不（40）2=6400TT?20106.19.

3.以下論述描述正確的是.（請?zhí)顚憣蛱枺?/p>

①隨機現(xiàn)象是不可重復的；

②所及現(xiàn)象出現(xiàn)某一結果的可能性大小都是不可測的；

③概率就是描述隨機現(xiàn)象中某寫結果出現(xiàn)的可能性大小.

【答案】③

【解析】由定義即可知.

4.甲乙兩人下棋，甲獲勝的概率為0.4,甲不輸?shù)母怕蕿?.9,則甲乙兩人下成和棋的概率是

【答案】0.5

【解析】甲乙兩人下成和棋的概率是0.9—04=0.5.

5.從裝有標號為1,2,3的三個球的袋子中依次取兩個球（第一次取出的球不再放回），觀

察記錄兩個球標號（依次）的情況，則上述隨機試驗的樣本空間中的基本事件數(shù)量是.

【答案】6

［解析】上述隨機試驗的樣本空間中的基本事件數(shù)量是3x2=6.

6.已知正方體ABC。—A4G。，點尸為線段用。1上的點，則滿足平面3。。1片的

點P的個數(shù)為.

【答案】1

【解析】當尸為耳2中點時成立.

7.若用與球心距離為3的平面截球體所得的圓面半徑為4,則球的體積為.

500萬

【答案】

3

【解析】由題意知球的半徑為戶彳=5,則球的體積為子x53=2箸.

8.中國17歲射擊運動員黃雨婷在2023年杭州亞運會上以頑強作風和精湛技藝為中國代表團

摘得三枚金牌，展現(xiàn)了奮發(fā)向上、勇攀高峰的精神面貌.以下是她在女子10米氣步槍個人項

目決賽最后淘汰賽階段14次射擊取得的成績(單位：環(huán))

1234567891011121314

10.310.310.410.410.810.810.510.410.710.510.710.710.310.6

則該組數(shù)據(jù)的方差是.(近似到0.001)

【答案】0.032

rtoj+r-1?10.3+10.3+10.4++10.6737

【解析】由題意知平均數(shù)為--------------------------=——

1470

9.在正方體八個頂點中任取兩點，則這兩個點所確定的直線與正方體的每個面都相交的概率

是.

【答案】-

7

【解析】體對角線和每個面都相交，故答案是

7

10.把1,2,3,4,5,6,7,8,9,10分別寫在10張一樣的卡片上，并隨機抽取1張.設

A：出現(xiàn)偶數(shù)，B：出現(xiàn)3的倍數(shù).若“A,8兩個事件至少有一個發(fā)生”的對立事件是C,則

事件C對應的子集是.

【答案】0,{1},{5},{7},{1,5},{1,7},{5,7},{1,5,7}

【解析】由題意知4={2,4,6,8,10},5={3,6,9},45={2,3,4,6,8,9,10},

C={1,5,7},則事件C對應的子集是0,{1},{5},{7},{1,5},{1,7},{5,7},{1,5,7).

11.兩個籃球運動員甲和乙罰球時命中的概率分別是0.7和0.6,兩人各投一次，假設事件“甲

命中”與“乙命中”是獨立的，則至少一人命中的概率是.

【答案】0.88

【解析】則至少一人命中的概率是1—(1—0.7)0—0.6)=0.88.

12.如圖，在正四棱柱ABCD—AAG。中，=24氏后,”6//分別是棱

"石男,。。［,。。］的中點，直線/過點G.

①存在唯一的直線/與直線5E和直線都相交；

②存在唯一的直線/與直線3E和直線AH所成的角都是60；

③存在唯一的直線/與直線3E和直線AH都垂直;

以上三個命題中，所有真命題的序號是.

【答案】①③

【解析】對于①，因為是異面直線，且G不在經(jīng)過直線3E和直線AH且互相平行的兩個

平面上，所以過G，有且僅有一條之間與兩條直線相交;

對于②，直線5E和直線所成角為60,其補角為120,—<60=也，故應該

22

是三條直線;

對于③，異面直線的公垂線有且只有一條，過點G作與公垂線平行的直線即可；

故選①③.

二、選擇題（本大題共有4題，滿分12分）每題有且只有一個正確選項.考生應在答題紙

的相應位置，將代表正確選項的小方格涂黑.

13.某校有學生1800人，為了解學生的作業(yè)負擔，學校向學生家長隨機抽取了1000人進行

調查，其中70%的家長回答他們孩子每天睡眠時間大致在6-7小時，28%的家長回答他們孩

子回家做作業(yè)的時間一般在3-4小時，下列說明正確的是（）.

A.總體是1000B.個體是每一名學生

C.樣本是1000名學生D.樣本容量是1000

【答案】D

【解析】總體是1800學生每天睡眠時間和作業(yè)時間，個體是每一名學生每天睡眠時間和作

業(yè)時間，樣本是1000名學生每天睡眠時間和作業(yè)時間，樣本容量是1000,故選D.

14.下列命題中，為假命題的是（）

A.過直線外一點有且只有一條直線與己知直線平行

B.垂直于同一個平面的兩條直線平行

C.a/是空間兩條直線，若。_1_6且Z?_Lc,則a//Z?

D.若直線/垂直于平面a內的兩條相交直線，則直線/垂直于平面a

【答案】c

【解析】。力還可以是異面直線，不一定平行，故選C.

15.某同學將觀察學校柚子樹生長習性作為自主研究課題，他觀察了校園內6株柚子樹成熟

結果個數(shù)（兩位數(shù)）并用莖葉圖（如右圖所示）做了記錄，則這6株柚子樹成熟結果個數(shù)的

中位數(shù)為（）

A.21B.21.5C.22D.22.5

168

2122

31

【答案】B

【解析】這6株柚子樹成熟結果個數(shù)的中位數(shù)為2三1±+22=21.5,故選B

2

16.如圖，圓錐形容器的高為3厘米，圓錐內水面的高4為1厘米，若將圓錐容器倒置，水

面高為外，下列選項描述正確的是（）

A.4的值等于1B./gG(1,2)C.4的值等于2D.用￡（2,3）

【答案】D

4

【解析】設圓錐形容器的底面積為S,則未倒置前液面的面積為一S,

9

11419

則水的體積為一Sx3——x-Sx2^—S,

33927

設倒置后液面面積為S',則上=[&],，5'=淬=五,

S{hjh29

1v/y319

則水的體積為3s九=^=^s'

解得飽=初3笈2.67,

故選D.

三、解答題（本大題滿分52分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應編號的

規(guī)定區(qū)域內寫出必要的步驟

17.（本題滿分10分，第1小題6分，第2小題4分）

如圖，已知圓柱的底面半徑為2,母線長為3.

（1）求該圓柱的體積和表面積；

（2）直角三角形904繞O］。旋轉一周，求所得圓錐的側面積.

1，!、?

【答案】（1）體積為12〃，表面積為20?；（2）25兀

【解析】（1）體積為了x2?x3=12?,表面積為2萬x22+2萬x2x3=2。萬.

（2）所得圓錐的側面積為〃x2x萬丁=2而〃.

18.（本題滿分10分，第1小題6分，第2小題4分）

（1）骰子是每一面上分別標注1,2,3,4,5,6個圓點且質地均勻的小正方體，常被用來

做等可能性試驗，習慣上總是觀察朝上的面和點數(shù)，請寫出下列隨機試驗的樣本空間；

①單次擲一顆骰子，觀察點數(shù)；

②先后擲兩顆骰子，觀察點數(shù)之和為7且第二次點數(shù)大于第一次點數(shù)的可能結果；

（2）擲一顆骰子，用A,8分別表示事件”結果是偶數(shù)”與事件“結果不小于3”.請驗證這

兩個隨機事件是否獨立，并請說明理由.

【答案】（1）見解析；（2）相互獨立

【解析】⑴①{1,2,3,4,5,6}；②{（1,6）,（2,5）,（3,4）}.

（2）A={2,4,6},B={3,4,5,6},A|B={4,6},

i21

P（A）=a，P（3）=g，P（A=B）=P（A）P（B）,

則事件A,3是相互獨立的.

19.（本題滿分10分，第1小題5分，第2小題5分）

如圖，已知正方形。皮）。的邊長為1,40,平面05DC,三角形ABC是等邊三角形.

（1）求異面直線AC與3。所成的角的大小；

（2）在線段AC上是否存在一點E,使得研＞與平面BCD所成的角大小為30?若存在,

求出CE的長度，若不存在，說明理由.

A

【答案】（1）45；（2）1

【解析】（1）因為OBDC為正方形，則班>//OC,

則異面直線AC與3。所成的角即為AC與0C所成的角ZACO,

因為三角形ABC是等邊三角形，則BC=AB=AC=0,r.AO=1,

An

AO±平面OBDC,AO±OC,tanZACO=—=1,ZACO=45.

OC

（2）作跖//AO交OC于點產，連接

人0，平面0班）。，.?.砂，平面06。。，

則ED與平面8。所成的角大小為ZEDF,

X

設CF=x,則EF=x,DF=J+?，,tan30=—=—=,=>x=—,

3DF71772

則CE=日產1#=幾=1.

20.（本題滿分10分，第1小題5分，第2小題5分）

如圖，在長方體A3C。—4耳。］。］中，DC=4,AD=D\=2.

（1）求二面角G—5。—。的正切值；

（2）設三棱錐。-BCR的體積為V,是否存在體積為八V（九為正整數(shù)），且十二條棱

長均相等的直四棱柱，使得它的所有棱長和為24,若存在，求出該直四棱柱底面菱形的內

角的大??；若不存在，請說明理由.

G

【答案】(1)—;(2)-；

22

【解析】(1)過G作GGL3。交5。于G,連接CG,

ABCD-ABCR為正方體，則CC]±平面ABCD,

又3G在底面ABCD的投影為CG,:.CG±BD,

且CG=4*

V42+225

CCi2_亞

則二面角C「BD—C的正切值tanZCGQ=

CG-

5

(2)三棱錐D-BCR的體積為

1118

=X

^D-BCDi^DX-BCD~\BCD^D]=—X—x2x4x2=—,

因為十二條棱長均相等的直四棱柱，使得它的所有棱長和為24,則每條棱的長度為2,

設菱形的一個角為夕，貝”底面積為2x2xsin6=4sine,

Q

則直四棱柱的體積為2x4sine=8sin6=—〃nsin6=〃，

3

TT

n為正整數(shù)，.二〃=1,=>sin8=1=>。=一，

2

jr

則存在，且菱形的內角為一.

2

21.（本題滿分12分，第1小題3分，第2小題4分，第3小題5分）

2023年11月5日至11月10日在國家會展中心舉辦中國國際進口博覽會.期間，為保障展

會的順利進行，有A,B兩家外賣公司負責為部分工作者送餐.兩公司某天各自隨機抽取30

名送餐員工，統(tǒng)計A公司送餐員工送餐數(shù)，得到如圖頻率分布直方圖；統(tǒng)計兩公司

［4