2022-2023學(xué)年天津市高一年級下冊5月月考數(shù)學(xué)模擬試題（含解析）

2022-2023學(xué)年天津市高一下冊5月月考數(shù)學(xué)模擬試題

（含解析）

一、單選題15*4=60分

1.空間中有平面&和直線。，b,若。//?,allb,則下列說法中一定錯誤的是（）

A.直線b平行于平面?B.直線6在平面a內(nèi)

C.直線b與平面a交于一點D.直線。和b共面

【正確答案】C

【分析】根據(jù)線面平行及兩直線平行得到b與平面?平行或直線b在平面a內(nèi)，根據(jù)“//,

可得直線。和b共面，從而判斷出答案.

【詳解】因為a//a,a〃b,所以b與平面a平行或直線6在平面a內(nèi)，AB正確，C錯誤;

因為a//b,所以直線4和b共面，D正確.

故選：C

2.如圖所示，AB是圓。的直徑，C是異于4,8兩點的圓周上的任意一點，以垂直于圓。

所在的平面，則8,4PAC,AABC,△P8C中，直角三角形的個數(shù)是（）

A.1B.2

C.3D.4

【正確答案】D

【分析】利用線面垂直的性質(zhì)可得直角三角形，再利用線面垂直的判定得出平面以C,

從而得到直角三角形的個數(shù).

【詳解】是。。的直徑，.?.NZCB=90。，BPBCVAC.

二△NBC為直角三角形.

又以_L。。所在平面，AC,AB,8c都在O。所在平面內(nèi)，

：.PAYAC,PALAB,PALBC,：./\PAC.△Ri8是直角三角形,

又尸4NCu平面為C,；.8C_L平面ZMC.

：PCu平面以C,：.BCLPC,...△PBC是直角三角形，

從而△以8,/\PAC,AABC,△尸8c均為直角三角形.

故選：D.

3.如圖所示，長方體/BCD-HB'C'。'中，給出以下判斷，其中正確的是（）

A.直線〃。與H3相交

B.直線力。與8C'是異面直線

C.直線6'。與。。'有公共點

D.A'BHD'C

【正確答案】D

【分析】利用異面直線的定義可以判斷出A、C,利用平行四邊形的性質(zhì)可判斷出B、D.

對于A,NC1面/6C0,/'BPI面且8不在4c上，

根據(jù)異面直線的定義得，直線/C與08是異面直線，故A選項錯誤；

對于B,?.?45//C7）',AB=CD',

四邊形ABCD'為平行四邊形，

AD'HBC',即直線與8C'平行直線，故B選項錯誤；

對于C,B'D'^面A'B'C'D',DC'H面A'B'C'D'=C",C'￡B'D'，

根據(jù)異面直線的定義得，直線3'。'與OC是異面直線，故C選項錯誤;

對于D,vBCHA!D',BC=A'D',

???四邊形5CCW為平行四邊形，

A'BIID'C,故D選項正確；

故選：D.

4.已知互不重合的直線〃？，〃，互不重合的平面&,6，7,下列命題錯誤的是（）

A.若a〃6,￡〃/,則a〃/

B.若a〃P則a_L/

C.若a〃/，加〃a,則加p

D.若a〃1ua,則"P

【正確答案】C

【分析】利用面面平行具有傳遞性的性質(zhì)，可判斷A選項；利用面面平行與垂直的性質(zhì)，

可判斷B選項；利用面面平行的性質(zhì)定理可判斷C、D選項；

【詳解】對于A選項，a〃夕，,〃了,則?！?,故A正確；

對于B選項，a〃工丫,則a_Ly,故B正確；

對于C選項，a//a,則，"B或mu/3,故C錯誤；

對于D選項，a〃尸,〃ua,根據(jù)面面平行，可證得線面平行，即〃P,故D正確.

故選：C.

5.已知直線/,平面a,滿足/ea,則下列命題一定正確的是（）.

A.存在直線加ua,使/〃加B.存在直線加ua,使加

C.存在直線加ua,使/,"?相交D,存在直線”?ua,使/,〃?所成角

為二

6

【正確答案】B

【分析】根據(jù)空間中直線與平面的位置關(guān)系，結(jié)合選項即可逐一求解.

【詳解】對于A,若直線/與a相交，則a內(nèi)的直線與/要么相交要么異面，故不存在直線

mua,使/〃加，A錯誤，

對于B,由于/ua,所以/與a相交或者平行，不論是相交還是平行,均可在a,找到與/垂直的

直線加，故B正確，

對于C,當(dāng)〃/a時，則a內(nèi)的直線要么與/平行，要么與/異面，所以不存在加ua,使/,

m相交，故C錯誤，

對于D,當(dāng)直線/_La時，此時直線/與&內(nèi)的所有直線均垂直，故不存在直線mua,使

7T

I,〃，所成角為一，故D錯誤，

6

故選：B

6.如圖，尸是正方體Z88—4與￡2面對角線4G上的動點，下列直線中，始終與直線

A.直線。〃B.直線4。C.直線力AD.直線

AC

【正確答案】D

【分析】根據(jù)異面直線得定義逐一分析判斷即可.

【詳解】對于A,連接BD,BR,設(shè)A￡cBR=Q,

由BB"/叫,當(dāng)尸點位于點。時，8尸與。A共面；

對于B,當(dāng)點p與G重合時，直線8尸與直線4c相交；

對于C,因為力且Z8=GA，所以四邊形N8G2為平行四邊形，

所以4D//BC],

當(dāng)點尸與￡重合時，6尸與力A共面;

對于D,連接ZC,

因為P任平面NBC。，Bw平面ZBCD,/。匚平面28。。，B氏AC,

所以直線BP與直線AC是異面直線.

故選：D.

7.如果直線au平面口,直線bu平面〃，且a〃/7,則。與6的位置關(guān)系為（）

A.共面B.平行C.異面D.平行或

異面

【正確答案】D

【分析】根據(jù)空間中面面、線面、線線的位置關(guān)系直接判斷即可.

【詳解】因為直線au平面a,直線bu平面夕，且a〃/，

所以直線。與b的位置關(guān)系為：平行或異面，

故選：D.

8.已知直線a_L平面a,貝!1"直線a〃平面/?”是“平面a_L平面月”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【正確答案】A

【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可.

【詳解】若"直線a〃平面月”成立，設(shè)/u/7,且〃/〃，又a,平面a,所以平面a,

又/up,所以“平面a_L平面月”成立；

若“平面a_L平面成立，且直線平面a,可推出a〃平面〃或au平面￡,

所以“直線all平面0"不一定成立.

綜上，“直線all平面/?”是“平面a，平面力”的充分不必要條件.

故選：A.

9.已知兩條不同的直線/,加及三個不同的平面下列條件中能推出。//￡的是（）

A./與a,產(chǎn)所成角相等B.a17,（3A.Y

C.ILa,mkft,I//mD./cra,mcz/3,I//m

【正確答案】C

【分析】ABD可舉出反例；C選項，可根據(jù)平行的傳遞性和垂直關(guān)系進(jìn)行證明.

【詳解】對于A,正方體Z8CD-中，設(shè)邊長為“，連接4片，則NC/片為力￡

與平面力8片4所成角,

由勾股定理得到AB,=6a,AC、=&,故sinNC/4=*=程,

同理可得Ng和ADD{A1所成角的正弦值為昱,故AC,與平面ABBH和4DR4所成角

3

大小相等,

但平面4BB4與平面ADD^不平行，故A錯誤;

B選項，平面“BCD，平面48瑪4,平面“BCD，平面工”>14,但平面與平

面不平行，故B錯誤；

對于C,由/_La,"/m得m_La,又〃?，尸，所以a//4,故C正確;

對于D,/與用可同時平行于a與夕的交線，故D錯誤.

故選：c.

10.設(shè)〃?,〃是兩條不同的直線，a,￡/是三個不同的平面，給出如下命題:

①若aJ_ac4=根,〃ua,〃_L則〃J■4；

②若aJ.y,￡1.y,則allp；

③若aJ_MJJ_根aa,則用//a；

④若a1/3,mHa,則TM_L尸.

其中正確命題的個數(shù)為（）

A.1B.2

C.3D.4

【正確答案】B

【分析】根據(jù)線面平行，線面垂直，以及面面平行和面面垂直的判定和性質(zhì)，逐個選項進(jìn)行分

析,可得答案.

【詳解】根據(jù)平面與平面垂直的性質(zhì)知①正確；

對于②中,a/可能平行,也可能相交,不正確；

對于③中，。＞1力,加_1_￡,加且。時，只可能有機(jī)//a,正確；

對于④中,機(jī)與尸的位置關(guān)系可能是加//夕或加u￡或機(jī)與戶相交,不正確.綜上,可知正

確命題的個數(shù)為2.

故選：B.

II.如圖，直三棱柱44G的體積為6,48c的面積為26,則點A到平面48c

的距離為（）

4

B

A

A.72B.73C.2D.V5

【正確答案】B

【分析】利用等體積法，由=VA-A.BC求解即可.

【詳解】由直三棱柱N8C-44G的體積為6,可得〃5c=；叱冏G"C=2，

設(shè)A到平面48c的距離為"，由””=%-，鳳'

48c?d=2,§x2百〃=2,解得d二6,

即A到平面48c的距離為G.

故選：B.

12,已知不重合的直線/,加和不重合的平面。，。,下列命題正確的是（）

A.若/〃a,HIP,則a〃夕B.若/_La,/±m(xù),則zn//a

C.若/_La,/1/?,則a〃夕D.若/ua,加ua,〃//，ml1/3,

則alip

【正確答案】C

【分析】根據(jù)空間中的線、面關(guān)系分析判斷.

【詳解】對于A：若///a,〃/,則平面a,月的位置關(guān)系有：平行、相交，故A錯誤;

對于B：若/J_a,11m,則加以的位置關(guān)系有："?//0或加ua,故B錯誤；

對于C：若/_La,11/3,根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可知：all（5,故C正確；

對于D：根據(jù)面面平行的判定定理可得：若/，加相交，則a//〃，否則不成立，故D錯誤.

故選：C.

13.如圖，正方體力BCD—44GA的棱長為2,E是棱CG的中點，則點q到平面E8O

的距離為（)

A瓜B.也

D

23T

【正確答案】D

【分析】注意到匕）_中￡=%.BDE，利用等體積法可得答案.

【詳解】VZnz-C|2R>2P1=-3-SCr|R2>zFi-DC,

112

S3=--C]￡-5C=-x1x2=1,DC=2則匕)=

C|OC2129CRF3

在BED中,由題意及圖形結(jié)合勾股定理可得BE=?！?布，BD=272>

RF?+DF2-RD21

則由余弦定理可得cos/BED=二二匕——=-

2BE-DE5

則sin/BED=J1--=偵廁S=工BE-DE?sinABED=屈.

V255BDb2

設(shè)￡到平面EBD的距離為d,則VC^BDE=^SBDE-d.

9r=w

又入匕D、-Cr[BEC-B11Drt「E，則PC-BDE=—5BDE,d—=>d=————'

{XJJ'BDE'

故選：D

14.如圖，在四棱錐S-/8C。中，S4J?平面/BCZ),四邊形Z8CD為平行四邊形，

NABC=60°且"=ZB=8C=2,￡為山的中點，則異面直線SC與?！晁傻慕堑挠?/p>

弦值為（)

C.T

【正確答案】B

【分析】分別取SB,8C,CO的中點￡G,",連接EF,FG,GH,FH,BD,AC,則可證明

NGFH為異面直線SC與。E所成的角，分別在三角形中由勾股定理求出FG,FH和GH

的長度，利用余弦定理計算得到答案.

【詳解】如圖所示：

分別取SB,BC,CD的中點F,G,H,連接EF,FG,GH,FH,BD,AC.

由N/8C=60°且Z8=8C=2可得Z6C是等邊三角形，

則EFHAB且EF=-AB,DHHAB且?！?,,故EF//DH且EF=DH,

22

所以四邊形為平行四邊形，微ED//FH，

因為FGHSC,所以NGE”為異面直線SC與。E所成的角（或其補(bǔ)角），

因為S/_L平面Z8CZ）,/。,/。＜=平面工8。。，，54_1_/。，SA1AC,

故S4c和E4D均為直角三角形,

所以/G=；sc=；Jw2+zc2=；7^=后,FH=ED=NEA、AD2=后，

GH==BD=Lx2^=也,

22

由余弦定理得cosZGFH=2；=叵,

2V5xV25

則異面直線SC與。E所成的角的余弦值為畫.

5

故選：B

15.如圖，在正方體48。。一44。。1中，點A/，N分別為NC,48的中點，下列說

A.9//平面4。。4B.MN1AB

C."N與CG所成角為45。D.MN_L平面ZC2

【正確答案】D

【分析】連接80,4D,由中位線定理以及線面平行判定判斷A；由平面力。。4

證明Z6LMN；由MN&D,CC,。。得出MN與CG所成角；由MN與CR不垂

直判斷D.

【詳解】對于A：如圖，連接8。，4。.

在正方形Z8C。中，M為ZC的中點，.?./Cc8Z)=/,即"也為3。的中點，

在48。中，〃,N分別為80,的中點，MNA.D,

又?.?W平面/Qu平面4DDi4，：.MN平面4。。，，故A正確;

對于B：Q平面力,故B正確；

對于C：???MVZQ,CC、A/N與C￡所成角為4?！?45°,故C正確:

對于D：連接A\D,B￡CD1,B[D[,v5,C=CDt=B^D1,AB}CD}=60°

?；B】C4。，；.4。與CR不垂直，即MN與CR不垂直，則A/N不垂直平面4cA,

故D錯誤；

故選：D

二、填空題5*4=20分

16.已知直線MN_L平面&于N,直線NPLMN,則NP與平面a的關(guān)系是

【正確答案】NPua

【分析】假設(shè)NP<za,然后利用已知證明假設(shè)不成立即可.

【詳解】假設(shè)NP<Xa,記由NP,MN確定的平面為￡,ac/3=NA

因為A/N_L平面a,NAua,所以腦V_LN4,

又則在平面夕內(nèi)，過點N存在兩條直線與已知直線垂直（矛盾），

所以假設(shè)不成立，故NPua.

故NPua

17.如圖，在棱長為1的正方體力BCD—Z4G2中，點/到平面距離是

【分析】利用等體積法求得A到平面力嚴(yán)。的距離.

【詳解】&B=BD=AQ=亞,4即為邊長為的等邊三角形，

設(shè)A到平面A.BD的距離為d,根據(jù)VA]-ABD=VA_AiBD,

則，x^xlxlxlxd,

3232211

解得d=3.

3

故答案為.正

3

18.如圖，在直三棱柱48C-44G中，是等邊三角形，=D,E,尸分

別是棱44-BB1,3C的中點，則異面直線。尸與GE所成角的余弦值是.

4G

B

【正確答案】—

10

【分析】通過構(gòu)造平行線將異面直線所成角轉(zhuǎn)化為相交線的夾角，解三角形即可.

【詳解】如圖，在棱CG上取一點H，使得CCi=4cH,取CG的中點G,連接BG,HF，

DH，由于G,E分別是棱cq,8片的中點，所以BE=GG,BE//CXG,

故四邊形BGgE為平行四邊形，進(jìn)而GE〃8G,

又因為尸，“分別是8C,CG的中點，所以HF〃BG,所以HF〃C]E,則切或

其補(bǔ)角是異面直線。b與GE所成的角.

設(shè)Z8=4，則C尸=2,CH=1,AD=2.

從而HF=Jc/2+c“2=逐,DH=《AC2+(AD—CHy=后，

AF=dAB?-BF：=25DF=NAF?+AD2=4，

16+5-17_V5

故cosZDF"

2x4x75-10

故異面直線DF與C】E所成角的余弦值是旦.

10

故答案為.正

10

19.已知三棱錐尸-力8。中，底面/8C是邊長為2百的正三角形，點P在底面上的射影

為底面的中心，且三棱錐尸-/6。外接球的表面積為18兀，球心在三棱錐尸-Z8C內(nèi),

則二面角P-48-C的平面角的余弦值為

【正確答案】-

3

【分析】根據(jù)給定條件，求出球半徑并確定球位置，再作出二面角P-ZB-C的平面角,

結(jié)合三棱錐的結(jié)構(gòu)特征求解作答.

【詳解】設(shè)正/8C的中心為。，有OA=OB=OC，而尸。人平面Z8C,則

PA=PB=PC,

延長CO交N8于點。，則點。為45的中點，有PD工AB，CD1AB,

即NP0C為二面角P-AB-C的平面角，

由18=2百，得。。=2。。=2,顯然三棱錐尸—48C為正三棱錐，其外接球的球心”在

線段P。上，

由三棱錐P-/3C的外接球的表面積為18兀，則該球半徑吹=述，由

2

MC2=MO2+OC2>解得M0=J，

2

PO=2V2>PD=3,所以cosNPDC=^^=,，

PD3

所以二面角P-AB-。的平面角的余弦值為L.

3

故_

3

三、解答題共20分

20.如圖，在四棱錐S-Z8C。中，底面是矩形，"，底面/8。>,SA=AD,點

M是S￡>的中點，NNLSC且交SC于點N.

（2）求證：平面SZC_L平面4W.

【正確答案】（1）證明見解析

（2）證明見解析

【分析】（1）連結(jié)8。交/C于E,連結(jié)〃￡,由三角形中位線的性質(zhì)可得ME〃S2,結(jié)合線

面平行的性質(zhì)可得S8//平面ACM；

（2）由線面垂直得線線垂直，由線線垂直證明線面垂直，從而證明面面垂直.

【小問1詳解】

連結(jié)8。交NC于E，連結(jié)ME，

因為N6C。是矩形，所以E是6。的中點，

因為M是5。的中點，所以誰是△OSB的中位線，

所以ME//S8,

又A/Eu平面/CW,S6<Z平面NCW,

所以S8//平面NC"