2023年北京各區(qū)(海淀朝陽豐臺東西城等)高三數(shù)學(xué)高考一模匯編-選填壓軸小題、創(chuàng)新題匯編含詳解

目錄

專題一選填壓物......................................12

1.1不等式.........................................................................12

1.2%數(shù)...........................................................................12

1.3救列...........................................................................13

1.4斛三角形......................................................................14

1.5立體幾何......................................................................14

專題二創(chuàng)新題.........................................16

2.1算合...........................................................................16

2.2數(shù)列...........................................................................16

2.3數(shù)表...........................................................................17

專題一選統(tǒng)壓軸

1.1不等式

1.（2023海淀一模10）劉老師沿著某公園的環(huán)形跑道（周長大于Ikm）

按逆時針方向跑步，他從起點出發(fā)，并用軟件記錄了運動軌跡，

他每跑Ikm,軟件會在運動軌跡上標(biāo)注出相應(yīng)的里程數(shù).已知劉老師

共跑了l?km,恰好回到起點，前5km的記錄數(shù)據(jù)如圖所示，

則劉老師總共跑的圈數(shù)為

A.7B.8C.9D.10

?

2.（2023西城一模10）〃名學(xué)生參加某次測試，測試由，〃道題組成，若一道題至少有士〃名學(xué)生未解出來，則稱

3

此題為難題；若一名學(xué)生至少解出了女機道題，則該生本次測試成績合格.如果這次測試至少有4〃名學(xué)生成績合

33

格，且測試中至少有4機道題為難題，那么機〃的最小值為

3

A.6B.9C.18D.27

1.2法數(shù)

1.（2023東城一模10）恩格斯曾經(jīng)把對數(shù)的發(fā)明、解析幾何的創(chuàng)始和微積分的建立稱為十七世紀(jì)數(shù)學(xué)的三大成就.

其中對數(shù)的發(fā)明曾被十八世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家拉普拉斯評價為“用縮短計算時間延長了天文學(xué)家的壽命”.已知正整數(shù)

N的70次方是一個83位數(shù)，則由下面表格中部分對數(shù)的近似值（精確到0.001）,可得N的值為

M2371113

IgM0.3010.4770.8451.0411.114

A.13B.14C.15D.162.(2023朝陽一模15)某軍區(qū)紅、藍兩方進行戰(zhàn)斗演習(xí)，假設(shè)雙方兵力(戰(zhàn)

斗單位數(shù))隨時間的變化遵循蘭徹斯特模型:

其中正實數(shù)xtl,力分別為紅、藍兩方初始兵力，/為戰(zhàn)斗時間；Mf),y(f)分別為紅、藍兩方f時刻的兵力；正實數(shù)

“為分別為紅方對藍方、藍方對紅方的戰(zhàn)斗效果系數(shù)；CoShX=U和SinhX=j?■分別為雙曲余弦函數(shù)和雙

22

曲正弦函數(shù).規(guī)定當(dāng)紅、藍兩方任何一方兵力為。時戰(zhàn)斗演習(xí)結(jié)束，另一方獲得戰(zhàn)斗演習(xí)勝利，并記戰(zhàn)斗持續(xù)時長

為T.給出下列四個結(jié)論：

①若X0>%且α=A,則x(f)>y(f)(0≤f≤T);

②若X。〉匕且α=6,則T=^ln

a

③若&L>2,則紅方獲得戰(zhàn)斗演習(xí)勝利;

%a

④區(qū)>、口，則紅方獲得戰(zhàn)斗演習(xí)勝利.

其中所有正確結(jié)論的序號是.

1.3數(shù)列

1.(2023朝陽一模10)已知項數(shù)為k(keN")的等差數(shù)列｛為｝滿足：aλ=1,^an,λ≤an

(M=2,3√??Λ).若4+%+…+"?=8'則k的最大值是

A.14B.15C.16D.17

2.(2023石景山一模15)項數(shù)為A(ZeNx≥2)的有限數(shù)列｛”“｝的各項均為不小于-1的整數(shù)，滿足

kk2M

al?2-'+a2-2-+a3?2+???+?-,?2+αt=0,其中α尸0.給出下列四個結(jié)論：

①若k=2,則/=2；

②若k=3,則滿足條件的數(shù)列｛〃,｝有4個;

③存在4=1的數(shù)列｛4｝；

④所有滿足條件的數(shù)列｛q,｝中，首項相同.

其中所有正確結(jié)論的序號是.

1.4解三角形

1.（2023豐臺一模15）三等分角是“古希臘三大幾何問題”之一，

目前尺規(guī)作圖仍不能解決這個問題.古希臘數(shù)學(xué)家Pappus

（約3OO~35O前后）借助圓弧和雙曲線給出了一種三等分角的方法：

如圖，以角的頂點C為圓心作圓交角的兩邊于AB兩點；取線段

AB的三等分點0,0；以8為焦點，AD為頂點作雙曲線”.

雙曲線”與弧Λβ的交點記為E,連接CE,ABCE=-AACB.

3

①雙曲線”的離心率為；

②若NACB=巴，∣4C∣=30,CE交AB于點P,則IOpl=.

2

1.5立體幾何

1.（2023石景山一模10）已知正方體ABCD-AgClq的棱長為2,點P為正方形AfiS所在平面內(nèi)一動點，給出

下列三個命題：

①若點P總滿足PR±DCi,則動點P的軌跡是一條直線；

②若點尸到直線BB,與到平面CnqG的距離相等，則動點P的軌跡是拋物線;

③若點P到直線DA的距離與到點C的距離之和為2，則動點P的軌跡是橢圓.

其中正確的命題個數(shù)是

A.0B.lC.2D.3

2.（2023豐臺一模10）如圖，在直三棱柱43C-A與G中，ACVBC,AC=I,BC=I,

AA=2,點。在棱AC上，點E在棱8片上，給出下列三個結(jié)論：①三棱錐E-45Z）的體積卞值為:

②Ao+03的最小值為血+石；,/:\'

；—V—Bl

③點￡＞到直線C盧的距離的最小值為亞.\；\

5、；

其中所有正確結(jié)論的個數(shù)為\

E

B

C.2D.3

3.（2023海淀一模15）在ZVlBC中，ZACB=90o,AC=BC=I,。是邊AC的中點，E是邊AB上的動點（不

與AB重合），過點E作AC的平行線交BC于點F,將所沿所折起，點3折起后的位置記為點P,得到四

棱錐P-ACEE,如圖所示.給出下列四個結(jié)論:

①AC〃平面PEF；

②APEC不可能為等腰三角形;

③存在點E,P,使得PE>_LAE：

④當(dāng)四棱錐P-ACFE的體積最大時，AZΓ=√2.

其中所有正確結(jié)論的序號是

4.（2023西城一模15）如圖，在棱長為2的正方體ABeO-A4CQ由，點M,N分冽在線段AA和δ∣C∣上.給出

下列四個結(jié)論:5

①MN的最小值為2;

②四面體的體積為；

MWBC3s

3Λ∕*1ι

③有且僅有一條直線MN與AD1垂直:

ID

④存在點M,N,使AMBN為等邊三角形.其中所有正確結(jié)論的序號是.一

5.（2023東城一模15）已知函數(shù)f（x）=4sin（與+s）O>0,0<9<兀）的部分圖像制圖1所示，AB務(wù)別

2-、

AB

最高點和最低點，過A作X軸的垂線，交X軸于A',點C為該部分圖像與X軸的交點.將繪有該圖像的紙片沿X軸

折成直二面角，如圖2所示，此時IA8∣=JnL則幾=

給出下列四個結(jié)論:

①夕』2

2

ULuIULLIA'O

②圖2中，ABAC=5;

③圖2中，過線段43的中點且與AB垂直瞪與X軸交于點C；

B

④圖2中，S是AYBC及其內(nèi)部的點構(gòu)成的集合.設(shè)集合7eS∣∣AQ∣≤2},則T表示的區(qū)域的大κ?

圖1圖2

其中所有正確結(jié)論的序號是

專題二創(chuàng)新題

2.1集合

1.(2022-2023豐臺高三下3月一模21-14分)已知集合S.={1,2,3,,2〃}(〃GN*,”N4),對于集合S,,的非空子集

A.若S,,中存在三個互不相同的元素0,b,c,使得α+b,b+c,c+α均屬于A,則稱集合A是集合S”的“期待

子集

⑴試判斷集合A={3,4,5},&={3,5,7}是否為集合S4的“期待子集，，；(直接寫出答案，不必說明理由)

(2)如果一個集合中含有三個元素X,y,Z,同時滿足①χ<y<z,②χ+y>z,③x+y+z為偶數(shù).那么稱該集合

具有性質(zhì)P.對于集合S“的非空子集A,證明：集合A是集合S”的“期待子集”的充要條件是集合A具有性質(zhì)P；

(3)若S"("N4)的任意含有m個元素的子集都是集合S,,的“期待子集”，求皿的最小值.2.(2022-2023西城高三下3

月一模21-15分)給定正整數(shù)“云2，設(shè)集合Mr={α∣c=(r∣,弓，L〃e{0,l},A=1,2,L,”}?對于集合M中

的任意元素￡=(占，Λ2,L,毛)和？=(X，L,%”記4?y=x,y∣+X2%+L+怎％.設(shè)A=M，且集合

,

A={α∕%=Qnu2，L,i=l,2,L,n}對于A中任意元素°,<r，若6工=/則稱A具有性質(zhì)

“'=k≠∕

T(n,p)■

(1)判斷集合A={(l,l,0),(1,0,1),(0,1,1)}是否具有性質(zhì)T(3,2)?說明理由；

(2)判斷是否存在具有性質(zhì)T(4,p)的集合A,并加以證明；

(3)若集合A具有性質(zhì)7(",p),證明：J+句+L+%=p(j=l,2,L.

2.2數(shù)列

3.(2022-2023海淀高三下3月一模21-15分)已知數(shù)列{%}.給出兩個性質(zhì)：

①對于{α,J中任意兩項4,%(i≥∕),在{%}中都存在一項《，使得4=4%;

②對于{4}中任意連續(xù)三項〃“，。…4,+2，均有(凡一%-為+2)(4-g-一%+2)=°.

(1)分別判斷以下兩個數(shù)列是否滿足性質(zhì)①，并說明理由：

(i)有窮數(shù)列{叫：αn=2^-'(n=l,2,3);

(ii)無窮數(shù)列也}：?=2n-l(n=1,2,3,).

(2)若有窮數(shù)列｛%｝滿足性質(zhì)①和性質(zhì)②，且各項互不相等，求項數(shù)，"的最大值;

(3)若數(shù)列滿足性質(zhì)①和性質(zhì)②，且求｛q｝的通項公式.今(2022-2023朝陽高三下3月一

模21-15分)

己知有窮數(shù)列A:?！保ィ?，qv(N∈^r,N≥3)滿足4∈｛一l,0,l｝(i=l,2,.,N).給定正整數(shù)機，若存在正整數(shù)s,

f(s"),使得對任意的丘｛0,l,2,,w-l｝,都有=4…則稱數(shù)列A是根-連續(xù)等項數(shù)列.

(1)判斷數(shù)列A:-l,1,0,1,0,1,-1是否為3-連續(xù)等項數(shù)列？是否為4-連續(xù)等項數(shù)列？說明理由；

(2)若項數(shù)為N的任意數(shù)列A都是2-連續(xù)等項數(shù)列，求N的最小值；

⑶若數(shù)列"嗎嗎，"O不是4-連續(xù)等項數(shù)列，而數(shù)列仆4，%，，許，-1,數(shù)列MN，°與數(shù)列

4:知％41都是4—連續(xù)等項數(shù)列，且％=°,求心的值.2.3數(shù)表

5.(2022-2023東城高三下3月一模21-15分)

已知數(shù)表4"=/"a,2中的項4(i=l,2"=l,2,,〃)互不相同，且滿足下列條件：

巴如---?2J

①％∈｛1,2,,2〃｝；

②㈠丫向色―卜。。%=1：，/).

則稱這樣的數(shù)表Λ,,具有性質(zhì)P

(I)若數(shù)表42具有性質(zhì)P，且《2=4,寫出所有滿足條件的數(shù)表42,并求出q∣+42的值；

(H)對于具有性質(zhì)P的數(shù)表4“，當(dāng)〃“+”口+…+⑷”取最大值時，求證：存在正整數(shù)左(1≤左≤"),使得

atk=In；

(III)對于具有性質(zhì)P的數(shù)表4“，當(dāng)〃為偶數(shù)時，求a”+t?+…+4”的最大值?

目錄

專題一選填壓軸.................................18

1.1不等式.................................................................18

1.2函數(shù)...................................................................19

1.3數(shù)列...................................................................21

1.4解三角形...............................................................22

1.5立體幾何...............................................................23

專題二創(chuàng)新題....................................27

2.1集合...................................................................27

2.2數(shù)列...................................................................31

2.3數(shù)表...................................................................35

專題一選填壓軸

1.1不等式

1.（2023海淀一模10）劉老師沿著某公園的環(huán)形跑道（周長大于Ikm）

按逆時針方向跑步，他從起點出發(fā)，并用軟件記錄了運動軌跡，

他每跑Ikn1,軟件會在運動軌跡上標(biāo)注出相應(yīng)的里程數(shù).已知劉老師

共跑了Ilkm,恰好回到起點，前5km的記錄數(shù)據(jù)如圖所示，

則劉老師總共跑的圈數(shù)為

A.7B.8C,9D.10

【答案】B

【分析】利用環(huán)形道的周長與里程數(shù)的關(guān)系建立不等關(guān)系求出周長的范圍，再結(jié)合跑回原點的長度建立方程，即

可求解.

【詳解】設(shè)公園的環(huán)形道的周長為，，劉老師總共跑的圈數(shù)為K（x∈N*）,

1<Z<2

2r<343

則由題意所以「<于

4r>5

所2以I3:,因為"=11,所以2=2<x=IU1<33F,又χeN*,所以x=8,

3t43t4

即劉老師總共跑的圈數(shù)為8.

故選：B

2

2.（2023西城一模10）〃名學(xué)生參加某次測試，測試由，,道題組成，若一道題至少有：〃名學(xué)生未解出來，則稱此

題為難題；若一名學(xué)生至少解出了士2〃，道題，則該生本次測試成績合格,如果這次測試至少有士2〃名學(xué)生成績合格,

33

2

且測試中至少有道題為難題，那么nm的最小值為

A.6B.9C,18D.27

【答案】9

【解析】設(shè)有、個學(xué)生合格，)，道題為難題,

22

貝∣Jx≥-”,y≥-m,

33

2222

依題意有X—in≤/〃〃一y"—∕?<∕nn——m—n

3333

2S

所以二〃≤x≤二〃，

36

25

同理]∕n≤y≤]∕n,

要使兩式有整數(shù)解，則"z≥3,n≥31所以〃加≥9.

當(dāng)〃=3,〃=3時，若3名學(xué)生答題情況如下表：

題目1題目2題目3

學(xué)生A√√X

學(xué)生B√X√

學(xué)生C√XX

則有2名學(xué)生合格，3個難題，符合題意,

所以〃?〃的最小值為9.

1.2函數(shù)

1.(2023東城一模10)恩格斯曾經(jīng)把對數(shù)的發(fā)明、解析幾何的創(chuàng)始和微積分的建立稱為十七世紀(jì)數(shù)學(xué)的三大成就.

其中對數(shù)的發(fā)明曾被十八世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家拉普拉斯評價為”用縮短計算時間延長了天文學(xué)家的壽命”.已知正整數(shù)

N的70次方是一個83位數(shù)，則由下面表格中部分對數(shù)的近似值(精確到0.001),可得N的值為

2371113

IgM0.30。0.4770.8451.0411.114

A.13B.14C.15D.16

【答案】C

【解析】因為正整數(shù)N的70次方是一個83位數(shù)，所以1082≤N"<1T,

取常用對數(shù)得82≤701gN<83,即1.171≤IgN<1.186,

由表可知Ig15=lg(3xlθ÷2)=lg3+lglθ-lg2R0.477+1-0.301=1.176∈[l.171.1.186),

所以N的值為15.

2.(2023朝陽一模15)某軍區(qū)紅、藍兩方進行戰(zhàn)斗演習(xí)，假設(shè)雙方兵力(戰(zhàn)斗單位數(shù))隨時間的變化遵循蘭徹斯特

模型：

其中正實數(shù)X。,匕分別為紅、藍兩方初始兵力，r為戰(zhàn)斗時間；χ(r),y(f)分別為紅、藍兩方/時刻的兵力；正實數(shù)。力

分別為紅方對藍方、藍方對紅方的戰(zhàn)斗效果系數(shù)；CoShX==≤和SinhX=蕓匚分別為雙曲余弦函數(shù)和雙曲正

22

弦函數(shù).規(guī)定當(dāng)紅、藍兩方任何一方兵力為0時戰(zhàn)斗演習(xí)結(jié)束，另一方獲得戰(zhàn)斗演習(xí)勝利，并記戰(zhàn)斗持續(xù)時長為「

給出下列四個結(jié)論：

①若X?！地扒覄tx(f)>y(f)(O≤f≤T)；

②若X°>%且q="貝IJ7=Ln自斗?

aYXO-X)

③若與>2,則紅方獲得戰(zhàn)斗演習(xí)勝利；

La

④勺>β，則紅方獲得戰(zhàn)斗演習(xí)勝利?

%Na

其中所有正確結(jié)論的序號是.

［答案］①O④

【分析】對于①根據(jù)已知條件利用作差法比較大小即可得出χ(f)-y(r)=e"'(x。-匕)>0,所以①正確；對于②，

利用①中結(jié)論可得藍方兵力先為0,即巴盧匕一巴∕x°=o解得T=Ihl梅苧，②正確；對于③和④，

若要紅方獲得戰(zhàn)斗演習(xí)勝利，分別解出紅、藍兩方兵力為0時所用時間4、比較大小即可知③錯誤，④正確.

1法副】什不甲姜Y,y日iJx(r)=X。cosh(α)-ASinh(H)

【詳解】對于①’右X°>%且”=6,叫刈.cosh?)-XoSinh3)

即)，所以X⑺-刈=e"(X°y),

M=Tk<X。

由x°>匕可得x(f)7(f)=e'"(Xt)-E)>0,即①正確；

對于②，當(dāng)a=b時根據(jù)①中的結(jié)論可知χ(r)>γ(r),所以藍方兵力先為0.

at,-atat_

即y(r)=濘一%-X。=0,化簡可得e"'(XL%)=e"(X。+外,

誓4,兩邊同時取對數(shù)可得2q=In1

即e?”

"。一。k?θ~?√

即；In誓4=Ln序斗，所以戰(zhàn)斗持續(xù)時長為T=InR

2aIXOYja］∣X0-Y0ap

所以②正確；

對于③，若紅方獲得戰(zhàn)斗演習(xí)勝利，則紅方可戰(zhàn)斗時間大于藍方即可,

設(shè)紅方兵力為0時所用時間為4,藍方兵力為0時所用時間為t2,

同理可得e2'yLs,≈=—"/pA?>0

解得苦吟

又因為X°,E,α,b都為正實數(shù)，所以可得,紅方獲得戰(zhàn)斗演習(xí)勝利；

所以可得③錯誤，④正確.故答案為：①②④.

1.3散列

1.(2023朝陽一模10)已知項數(shù)為k(kwN,)的等差數(shù)列｛6｝滿足：q=1,≤%

(w=2,3√??,Λ),若q+d?+…+%=8,則出的最大值是

A.14B.15C.16D.17

【答案】B

13

【分析】通過條件q=l,/N≤%5=2,3,,Ze),得至ιjd≥一七,

再利用條件4+4++%=8得到16=2攵+k(k—l)d,

進而得到不等關(guān)系：16≥2k+A(A-l)τ?,從而得到k的最大值.

3k-2

【詳解】由q=l,>〃.I≤q(〃=2,3,-,女),得到1+(〃-2)1工4[1+(九一1)典.

即3+(3"-2)d≥O,

當(dāng)幾=2,3,,攵時，恒有3+(3∕ι-2)d≥0,即“≥一丁

3〃一2

由4+4++4=8,得到8="&+%)="2+(%T)d]

22

所以16=2%+%伏一1)422%+后伏-1)^-,kwN,k≥2,

3k-2

整理得到：3公-49Z+32≤0,所以左≤15.

故選：B

2.(2023石景山一模15)項數(shù)為我(AeN,&≥2)的有限數(shù)列｛《｝的各項均為不小于-1的整數(shù)，滿足

kΛ2t3

aλ-2-'+α2?2^+α3?2^+???+?.1?2+αt=0,其中q≠0.給出下列四個結(jié)論:

①若A=2,貝∣J∕=2；

②若A;=3,則滿足條件的數(shù)列｛4｝有4個；

③存在4=1的數(shù)列｛6｝；

④所有滿足條件的數(shù)列｛對｝中，首項相同.

其中所有正確結(jié)論的序號是.

［答案］①∞

1.4斛三角形

1.（2023豐臺一模15）三等分角是"古希臘三大幾何問題”之一，

目前尺規(guī)作圖仍不能解決這個問題,古希臘數(shù)學(xué)家Pappus

（約3OO~35O前后）借助圓弧和雙曲線給出了一種三等分角的方法：

如圖，以角的頂點。為圓心作圓交角的兩邊于A,B兩點；取線段

AB的三等分點0,0；以B為焦點，A。為頂點作雙曲線H.

雙曲線〃與弧ΛB的交點記為￡,連接CE,則NeCE=gzACB.

①雙曲線”的離心率為；

②若NAC8=2,∣AC∣=3√2,CE交AB于煎P,貝IJlOPI=.

2

【答案】2；7-3√3

S!∣ACHCPkin∕ACPIAPl

【分析】①根據(jù)圖形關(guān)系確定c=24即可求解；利用面積之比藍迎-----------------=曷，進而可求出

,△BCP48CHCHSinNBCP∣

∣BP∣=3√3-3,再根據(jù)IOH=IoBlT明求解.

【詳解】①由題可得|。4|=ROw=C,所以c=24.

所以雙曲線〃的離心率為￡=2；

a

②，因為NACB=?∣,且IAq=怛q=30,

所以IAB卜J18+18=6,

iTTTT

又因為/BCE=-NACB,所以NACP=—,NBCP=—，

336

所以配心眄”之=￡網(wǎng)

Sl∣BC∣?∣CP∣sinZBCP?\BP

所以IAH=KlBPI,

因為I明=IAPl+∣B"=(6+1)WH=6,解得I明=3百-3,

所以IOH=IOMTBH=7-4,

故答案為27-36

1.5立體幾何

1.（2023石景山一模10）已知正方體ABC。-A四GR的棱長為2,點尸為正方形A8CZ）所在平面內(nèi)一動點，給出

下列三個命題：

①若點P總滿足PD1±DC1,則動點P的軌跡是一條直線；

②若點P到直線BBt與到平面CDD1C1的距離相等，則動點P的軌跡是拋物線；

③若點P到直線DDt的距離與到點C的距離之和為2,則動點P的軌跡是橢圓.

其中正確的命題個數(shù)是

A.0B.lC.2D.3

【答案】C

2.（2023豐臺一模IO）如圖，在直三棱柱ABC-ABC中，ACΛ.BC,AC=2,BC=I,

AA=2,點。在棱AC上，點E在棱8片上，給出下列三個結(jié)論：

?

①三棱錐E-AQ的體積的最大值為:；

②AD的最小值為α+班；

R

③點D到直線CE的距離的最小值為9詈.

其中所有正確結(jié)論的個數(shù)為

A.0B.1

C.2D.3

【答案】C

份析】根據(jù)錐體的體積公式判斷①，將將-ABC翻折至IJ與矩形ACGA共面時連接AB交AC于點。，此時

AQ+08取得最小值，利用勾股定理求出距離最小值，即可判斷②，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求出

點到距離，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)計算可得.

【詳解】在直三棱柱ABC-AgG中BB1_L平面A8C,

對于①：因為點E在棱8B∣上網(wǎng)=AA=2,所以BEWo,2],又電謝=3BE?S,皿，

又AC，BC,AC=2,8C=1,點。在棱AC上，所以4。?0,2],Sabd=^AD-BC=^ADe[0Λ],

所以匕YQ=38E?S,uω≤t,當(dāng)且僅當(dāng)。在C點、E在片點時取等號，故①正確；

對于②：如圖將ABC翻折到與矩形ACGA共面時連接A出交AC于點。，此時AQ+。8取得最小值，

因為Ae=CG=2,BC=L所以BG=3,所以+鏟=刀,

即AQ+CB的最小值為JB,故②錯誤；\

對于③：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)O(α,O,O),α∈[0,2],E(O,l,c)c∈[θ,2],

C,(0,0,2),

所以CQ=(a,0,-2),C1E=(0,l,c-2),

則點O到直線CE的距離d=

當(dāng)c=2時"=Jq2+4≥2,

,1/1,1、50<———≤-

當(dāng)0≤c<2時0<(C-2)2≤4,+fT，則1+—5.

(C-2)

4(c-2)2取最大值,且。時

所以當(dāng)￡2=O0rι

("+I

即當(dāng)。在C點E在B點時點。到直線GE的距離的最小值為乎，故③正確；

故選：C

3.（2023海淀一模15）在ZXABC中，ZACB=90o,AC=BC=2,。是邊AC的中點，E是邊AB上的動點（不與

48重合），過點E作AC的平行線交8C于點F,將ABEF沿EF折起，點B折起后的位置記為點P,得到四棱錐

P-ACFE,如圖所示,給出下列四個結(jié)論：

①AC〃平面PEF；

②△/>￡€不可能為等腰三角形；

③存在點E,P,使得PD_LAE；

④當(dāng)四棱錐4。莊的體積最大時，AE=42.

其中所有正確結(jié)論的序號是.

【答案】∞

【分析】根據(jù)線面平行的判斷定理，判斷①；證明一PbC=EbC,即可判斷②；利用垂直關(guān)系轉(zhuǎn)化，結(jié)合反證法,

即可判斷③；表示四棱錐的體積后，利用導(dǎo)數(shù)計算最值，即可判斷④.

【詳解】①因為AC//EEEFU平面PEF,ACa平面PE尸，

ADC

所以AC//平面PEF,故①正確；

②因為一ΛBC是等腰直角三角形，所以！PEF也是等腰直角三角形，則EF=PE

因為ACIBC,EFHAC,所以ERlBC,且EFLPF

當(dāng)ZPFC=90時，一PFC三二EFC,所以EC=PC,

此時PEC是等腰三角形，故②錯誤；

③因為所13C,且EFJ_PF,BCPF=F,

且BCU平面PCF,PFU平面PC尸，所以"■上平面PCEEFU平面A8C,

所以平面ABCI平面PEF,且平面ABCC平面PEF=BC,

如圖，過點P作PM上BC,連結(jié)。M,

則PM，平面ABC,AEU平面ABC所以PM_LA￡,

若叨J_AE,PDCPM=P,Pf）U平面POW,PMU平面尸DW,

所以AEj"平面PDM,DMU平面PDM,

所以AEi.ZM/,

如圖，AC=2,延長Mr）,交AB于點N,

則AOCM和都是等腰直角三角形，

則CM=I,點N到直線AC的距離等于

這樣在翻折過程中，若能構(gòu)成四棱錐，則BF>FM,

設(shè)FC=X,貝∣j2-x>l+x,則0<x<J,

2

則存在點EP,使得也>LAE,故③正確；

④當(dāng)?shù)酌鍭CFE的面積一定時，平面平面ABCI平面莊戶時，即尸尸，平面45C時，四棱錐P-ACEE的體積最

大，

設(shè)尸C=x,EF=BF=PF=2-X,Q<X<2VP.ACFE=-×^×(2-X+2)-X-(2-X)

14

V'=-x2-2x+-

得x=2+?∣?百（舍）或χ=2-Z^,

33

（2

當(dāng)Xe0,2-*,r>0,函數(shù)單調(diào)遞增，

<>

當(dāng)XW2-段,2,Γ<0,函數(shù)單調(diào)遞減，

\?

所以當(dāng)x=2-2叵時，函數(shù)取得最大值，此時AE=√Σr=2√Σ-也，故④錯誤；

33

故答案為：①3）

4.(2023西城一模15)如圖，在棱長為2的正方體ABcZ)-ABCa中，點”,N分別在線段AR和BC上.給出下

列四個結(jié)論：d

l[ιMN的最小值為2；X----------------------N/?

②四面體MWBC的體積為g；//!一---力

3

③有且僅有一條直線MN與AR垂直；JW、/\

④存在點M.N,使AMBN為等邊三角形./!\、'、、、/\

其中所有正確結(jié)論的序號是_______.；'D_\__TLiJ

【答案】①∞I/

【解析】①因為公垂線段是異面直線上兩點間的最短距離，O1C1是AD1與的公垂線段，所以當(dāng)分別與D1,C1

l

重合時，MN最短為2,所以①正確；a------------------少B

②由AR〃平面ΛBC可知，當(dāng)點M在AR上運動時，點M到平面M5C的距離云變，距離八=2,由BC"/BC可知，

當(dāng)點在上運動時，到的距離不變，的面積不變，=^S.

NBeNBC！NBCVM.,VBC.vβr∕7=→→2×2×2=^,

正確；

③當(dāng)M,N分別與C重合時，MNd.AR；當(dāng)時為AR中點，N與4重合時，MNLAA,所以③錯誤；

④在AA上取一點乂，使得AM=BN,連接ANrMN.八

UiC

貝

IJMβ2=Λ142+Aβ2=M42+4,M/---------------N7?

2222

BN'=AN,=M+Λ^l=AtNt+4,,.,八

MM=MN：+NN；=MN；+4,A,[/j∕,L-,?''I^/\

若！MBN為等邊三角形，則MB=BN=MN,即M4=AM=MN∣,//系卜\/1\

要判斷！MBN能否為等邊三角形，只需考慮在MA=AM的條件下，ΛM?能否相等.J

設(shè)M4=4N="?,MN,=n,當(dāng)M與A重合時，m<n,當(dāng)M與A重合時，>n>n.?/C

在連續(xù)變化過程中，必定存在某個位置使得，"=〃，匕\

A1

即！MBN可能為等邊三角形，所以4正確.atn?Bn

故答案為(Iw.1I7—71

5.(2023東城一模15)已知函數(shù)/(x)=∕lSi嗚x+e)(4>0,0<e<π)的部分我修?金∏再示AB分別為圖像的最

高點和最低點，過A作X軸的垂線，交X軸于A',點C為該部分圖像與點.將繪有該圖像的紙片沿X軸折

成直二面角，如圖2所示，?0?∣AB∣=√1O,貝IJ4=.“M

給出下列四個結(jié)論：

①9=T；

UUWUUU

②圖2中，AB-AC=S；

平面與軸交于點C

③圖2中，過線段AS的中點且與Λβ垂直,MX

④圖2中，S是ZVVBC及其內(nèi)部的點構(gòu)成的設(shè)集合T={Q∈XAQ∣≤2},期/表示的卷的面積:

其中所有正確結(jié)論的序號是

【答案】√3；①③

【解析】第一空：

過點8作88」X軸，垂足為十，連接IB,AB'.

01

因為/(X)的最小正周期7?=臼π=4,所以|4*|=：7=2,

π2

2

由IABI2=|AV『+|4B『=|AA'|2+?A'B'?2+∣8B'f得

(√10)2=λ2+22+λ2,

解得ZI=G.

第二空：

①因為/(X)=GSin(?∣X+0)過(0,1),所以GSin夕=]

即Sine=1,

根據(jù)五點作圖法，結(jié)合圖像可得e=r+2faUeZ,因為

6

0<<P<π,所以0=2,所以①錯誤；

6

(②法1：由2χ+型=2+2E可得x=-2+4匕AeZ,

2623

如圖建系，則4(0,二.G),B(√3,-.0),C(0?,θ).

333

ABAC=(√3,2,-λ^).(0,1,-√3)=2+3=5,所以②正確；

法2:因為A8=A4'+A'8'+8'8,

AC在AA'和AB上投影的數(shù)量分別為IAA'I,∣A'C∣,且

ββ'±AC,

PJrlilABAC=(AA,+A'B'+β,B)-AC=AA'AC+A1β,-AC+B,B-AC=y∕3×y∕3+2×1+0=5,所以②正確；

③設(shè)AB中點為M,因為∣C4∣=∣C8∣,所以CMLAB,所以C在過M與AB垂直的平面上,

即過48中點與A8垂直的平面與、軸交于點C；

④因為IAQl2=∣A4'F+∣A'β∣-=3+∣A'βp≤4,所以為，°∣≤1,

則T表示的區(qū)域是圓心角為NOr8,半徑為1的扇形,

TT

又因為NCVB<],

所以該扇形的面積為S=Jar2=Txl2χNGΓB<gχ]=(,

所以④錯誤.

專題二創(chuàng)新題

2.1集合

1.(2022-2023豐臺高三下3月一模21-14分)已知集合S,,={1,2,3,,2n}(n∈N*,n>4),對于集合S“的非空子集

A.若S“中存在三個互不相同的元素“，b.C,使得a+。，b+c,c+a均屬于A,則稱集合A是集合S”的“期待

子集”.

(1)試判斷集合A={3,4,5},A?={3,5,7}是否為集合其的“期待子集”；(直接寫出答案，不必說明理由)

⑵如果一個集合中含有三個元素X.八z,同時滿足①x<y<z,②x+y>z,③x+y+z為偶數(shù).那么稱該集合具

有性質(zhì)產(chǎn).對于集合5“的非空子集A,證明：集合A是集合5“的“期待子集”的充要條件是集合A具有性質(zhì)P；

⑶若s,,(“≥4)的任意含有，/個元