北京市通州區(qū)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1北京市通州區(qū)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)．1.已知等差數(shù)列，則等于（）A. B.0 C.2 D.5〖答案〗B〖解析〗設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)椋裕獾茫海?故選：B.2.已知P為雙曲線右支上一點(diǎn)，為雙曲線的左右焦點(diǎn)，等于（）A.8 B.6 C.4 D.3〖答案〗B〖解析〗因?yàn)镻為雙曲線右支上一點(diǎn)，所以.故選：B.3.已知橢圓的左右焦點(diǎn)為，上下頂點(diǎn)為，若四邊形為正方形，則橢圓C的離心率為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，所以，所以，所以，故選：C.4.已知點(diǎn)在拋物線上，且點(diǎn)A到拋物線準(zhǔn)線的距離為3，則等于（）A.1 B.2 C. D.〖答案〗D〖解析〗由拋物線的定義知，點(diǎn)A到拋物線準(zhǔn)線的距離為，所以，又，所以.故選：D.5.已知雙曲線的離心率為，則C的漸近線方程為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)殡p曲線的離心率為，所以，所以，又因?yàn)榈臐u近線方程為，且，所以漸近線方程為，故選：A.6.已知數(shù)列，則等于（）A.511 B.1022 C.1023 D.2047〖答案〗C〖解析〗因?yàn)?，所以，，，，，，累加可得：，所?故選：C7.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，公差，則（）A.有最大值為 B.有最大值為C.有最大值為30 D.有最小值為30〖答案〗C〖解析〗由，公差得，，易知一定為正整數(shù)，且結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)得當(dāng)或時(shí)，取得最大值30，顯然C正確.故選：C8.已知首項(xiàng)為，公比為q的等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，則“”是“單調(diào)遞增”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗在等比數(shù)列中，，則，當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞增，故充分性成立；當(dāng)單調(diào)遞增時(shí)，時(shí)，單調(diào)遞增，但是推不出，故必要性不成立.故選：A.9.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，直線與C交于，兩點(diǎn)，若面積是面積的2倍，則m等于（）A.6 B. C. D.〖答案〗D〖解析〗易得，故，設(shè)，，直線與軸交點(diǎn)，面積為，面積為，由題意得面積是面積的2倍，則，化簡(jiǎn)得，結(jié)合，故，解得，即，故，解得.故選：D.10.已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，給出下列四個(gè)結(jié)論：①數(shù)列單調(diào)遞增數(shù)列，且存在常數(shù)，使得恒成立；②數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，且存在常數(shù)，使得恒成立；③數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，且存在常數(shù)，使得恒成立；④數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，且存在常數(shù)，使得恒成立．其中正確結(jié)論個(gè)數(shù)有（）A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)〖答案〗B〖解析〗因?yàn)椋?，所以，所以為單調(diào)遞減數(shù)列；又因?yàn)椋?dāng)且，，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，恒成立，當(dāng)時(shí)，恒成立，由上可知，②④正確，故選：B.第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分．11.已知等比數(shù)列，則__________．〖答案〗27〖解析〗由題意（為公比），所以.故〖答案〗為：27.12.若拋物線的準(zhǔn)線經(jīng)過(guò)雙曲線的左焦點(diǎn)，則__________．〖答案〗4〖解析〗因?yàn)殡p曲線的左焦點(diǎn)為，又拋物線的準(zhǔn)線為，所以，得到，故〖答案〗為：.13.已知數(shù)列的通項(xiàng)公式是，使數(shù)列中存在負(fù)數(shù)項(xiàng)的一個(gè)t的值為__________．〖答案〗（〖答案〗不唯一，中的一個(gè)值）〖解析〗記，當(dāng)時(shí)，即，顯然恒成立，不滿足要求；當(dāng)時(shí)，或，若，則，所以恒成立，不滿足要求；若，此時(shí)，必然滿足數(shù)列中存在負(fù)數(shù)項(xiàng)，由上可知，的可取值的范圍是，故可取，故〖答案〗為：（〖答案〗不唯一，中的一個(gè)值）.14.如圖，一隧道內(nèi)設(shè)雙行線公路，其截面由一個(gè)長(zhǎng)方形和拋物線構(gòu)成．為保證安全，要求行使車輛頂部（設(shè)為平頂）與隧道頂部在豎直方向上高度之差不小于，已行車道AB總寬度，則車輛通過(guò)隧道的限制高度為__________m．〖答案〗〖解析〗取隧道截面，拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，對(duì)稱軸為軸，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線方程為，由圖易知拋物線過(guò)點(diǎn)，所以，得到，故拋物線方程為，又行車道AB總寬度，將代入，得到，所以限制高度為，故〖答案〗為：.15.已知曲線．關(guān)于曲線W有四個(gè)結(jié)論：①曲線W既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形；②曲線W的漸近線方程為；③當(dāng)時(shí)曲線W為雙曲線，此時(shí)實(shí)軸長(zhǎng)為2；④當(dāng)時(shí)曲線W為雙曲線，此時(shí)離心率為．則所有正確結(jié)論的序號(hào)為__________．〖答案〗①②④〖解析〗①以代換可得方程，即為，故曲線關(guān)于軸對(duì)稱，以代換可得方程，即為，故曲線關(guān)于軸對(duì)稱，以代換，代換可得方程，即為，故曲線關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，所以曲線既關(guān)于軸對(duì)稱，也關(guān)于軸對(duì)稱，同時(shí)關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，故①正確；②如下圖：當(dāng)時(shí)，，可知漸近線為；當(dāng)時(shí)，，可知漸近線為；所以曲線漸近線方程為，故②正確；③當(dāng)時(shí)，，顯然此時(shí)曲線為雙曲線，因?yàn)榕c的交點(diǎn)為，所以，將雙曲線繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，如下圖：此時(shí)雙曲線與軸的交點(diǎn)為，所以，所以實(shí)軸長(zhǎng)為，故③錯(cuò)誤；④當(dāng)時(shí)，，顯然此時(shí)曲線雙曲線，將雙曲線繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，此時(shí)漸近線方程為，所以，所以離心率，故④正確，故〖答案〗為：①②④.三、解答題共6小題，共85分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、演算步驟或證明過(guò)程．16.已知圓，點(diǎn)．（1）求圓C的圓心坐標(biāo)及半徑；（2）求過(guò)P點(diǎn)的圓C的切線方程．解：（1）將圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程可得：，所以圓心坐標(biāo)為，半徑為.（2）當(dāng)切線斜率不存在時(shí)，切線方程為，此時(shí)，不符合題意；當(dāng)切線斜率存在時(shí)，設(shè)過(guò)P點(diǎn)的切線方程為，即，圓心到直線的距離，解得或，當(dāng)時(shí)，切線方程為，當(dāng)時(shí)，切線方程為，即，綜上所述，過(guò)P點(diǎn)的圓C的切線方程為或．17.已知直線與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)．（1）求弦長(zhǎng)及線段的中點(diǎn)坐標(biāo)；（2）試判斷以為直徑的圓是否經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O？并說(shuō)明理由．解：（1）設(shè)，聯(lián)立，消去y整理得，且，所以，所以，又因?yàn)?，所以線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為．（2）以為直徑的圓不經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O．因?yàn)椋耘c不垂直，故以為直徑的圓不經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O．18.設(shè)數(shù)列為公差不為零的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，再?gòu)臈l件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)符合題目要求的條件作為已知，完成下列問(wèn)題．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．條件①：且;條件②：且；條件③：且．注：如果選擇的條件不符合要求，得0分；如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．解：（1）設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為d．選擇條件①：且，解得，不合題意．選擇條件②：且，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式得解得．所以等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為．選擇條件③：且，由等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式得解得．所以等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為．（2）選擇條件②：因?yàn)?，所以，．選擇條件③：因?yàn)?，所以．所以?9.如圖，在四棱錐中，底面為正方形，平面．（1）求證：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值；（3）求點(diǎn)B到平面的距離．解：（1）因?yàn)闉檎叫?，所以，又平面，平面，所以平?（2）因?yàn)槠矫?，平面，所以，，又，所以兩兩垂直，以A為原點(diǎn)，AB，AD，AP所在直線分別為軸、軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，由，則，，設(shè)平面的法向量，則，令，則，所以，又因?yàn)槠矫?，所以為平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面與平面夾角為，則，所以平面與平面夾角的余弦值為.（3）因?yàn)槠矫娴姆ㄏ蛄?，，所以，所以點(diǎn)B到平面的距離為.20.已知橢圓，點(diǎn)A，B為橢圓C的左右頂點(diǎn)（A點(diǎn)在左），，離心率為．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓C交于（與A，B不重合）兩點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)P，證明：點(diǎn)P在定直線上．解：（1）由題意可知：，所以，所以，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）由題意，直線的斜率不為0，設(shè)直線，，聯(lián)立可得，顯然，所以，所以，又因?yàn)?，所以，令，則，解得，即，所以點(diǎn)P在定直線上.21.已知數(shù)列滿足：．（注：