2023-2024學(xué)年上海市青浦區(qū)高一年級(jí)下冊(cè)期中數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)模擬試題

2023-2024學(xué)年上海市青浦區(qū)高一下冊(cè)期中數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)模擬試題

一、填空題

1.向量4=(3,4)的單位向量是.

【正確答案】(IB)

a

【分析】利用結(jié)論：非零向量”的單位向量為K,可求得結(jié)果.

【詳解】因?yàn)棣?(3,4),則W=J32+42=

所以，向量”的單位向量為fy=:(3,4)=Ml-

H5

故答案為七句

2.若α=(l,k),b=(-4k,k),當(dāng)實(shí)數(shù)Z=時(shí)，alb-

【正確答案】4或0

【分析】根據(jù)垂直向量的坐標(biāo)表示，列出關(guān)于女的方程求解即可.

【詳解】因?yàn)閆=(L∕),b=Rk,k),且

所以T%+∕=0,解得上=O或％=4,

故4或0.

3.函數(shù)y=sin2x的兩條對(duì)稱(chēng)軸之間距離的最小值為.

【正確答案】?

2

【分析】求出函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸即可求解.

【詳解】由已知條件得2x=?π+^,%∈Z,即x=g+;,?∈Z,

因?yàn)橄噜彽膬蓷l對(duì)稱(chēng)軸之間的距離最小，

所以分別令Z=O,1得x=%X=亨，

44

3TTTTTr

即相鄰的兩條對(duì)稱(chēng)軸之間的距離最小值為1-1=5

故答案為.—

【正確答案】―3-

4

【分析】原式兩邊平方后，即可計(jì)算sin2α的值.

【詳解】因?yàn)镾ina+cosα=’,兩邊平方后，

2

7,1

(Sina+cos2)~=sin2a+cos2α+2sin(2cosa=l+sin2a=-,

3

所以sin2α=-二.

4

故M一了3

4

4

5.在等腰三角形中，已知頂角的余弦值是二，則底角的余弦值是.

【正確答案】叵

10

【分析】設(shè)頂角為α,底角為夕，先通過(guò)倍角公式求出sin],再利用COS尸=COS(亨)求解即可.

4

【詳解】設(shè)頂角為α,底角為0,則α+2∕?=兀，cosa=∣,

C（兀一α?.a710

.,.cosβ=cos-------=Sin-=------.

[2J210

故答案為.巫

10

6.方程SinX=COS2%在區(qū)間[0,可上的解集為,

?kτA5生、Iπ5πI

【正確答案】r

【分析】利用二倍角公式化簡(jiǎn)并解方程即可求解.

【詳解】由SinX=Cos2x得SinX=I-2siι√x,

即2sin2X+sinX-I=0,解得SinX=—1或SinX=萬(wàn),

7.將函數(shù)y=sin(2x+?θI成中心對(duì)稱(chēng),

那么Ml的最小值為

【正確答案】?

6

【分析】首先確定平移后函數(shù)的解析式，然后結(jié)合三角函數(shù)的特征整理計(jì)算即可求得最終結(jié)果.

【詳解】由題意可知平移之后的函數(shù)解析式為：y=sin=2CoS(2x+e),

函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)得可成中心對(duì)稱(chēng)，則：2×^+^=^+y(?∈Z),

1r?,τr

整理可得：φ=k兀-華(kwZ),

6

則當(dāng)％=2時(shí)，附有最小值g.

6

本題主要考查三角函數(shù)的平移變換，三角函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心及其應(yīng)用等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力

和計(jì)算求解能力.

8.函數(shù)y=sinx(l+tanx?tanT)的最小正周期為.

【正確答案】2萬(wàn)

【詳解】解析：當(dāng)x=2ATr,&∈Z時(shí)，y=sinx(l+tanx?tan?∣)=(),

當(dāng)x≠2k萬(wàn),k∈Z時(shí)，y=sinx(l+空=tanx,其中x≠%乃+工且XK2Aτr+τr,

Icos%"sιnxSHJ2

畫(huà)出圖象可得函數(shù)周期為2萬(wàn).

故答案為.2乃

9.己知/(x),g(x)都是定義在R上的函數(shù)，若MX)=何?(x)+/g(x),其中〃?，”實(shí)數(shù),則稱(chēng)力⑺為

/(x),g(x)在R上的生成函數(shù).已知相=1,〃=一1,/(x)=∣sinx∣,g(x)=∣cosx∣,則f(x),g(x)在

R上的生成函數(shù)MX)的單調(diào)增區(qū)間為.

Tr

【正確答案】kπ,kπ+-,?eZ

【分析】求出〃(x)的周期及其奇偶性，在一個(gè)周期內(nèi)判斷函數(shù)的單調(diào)性，最后寫(xiě)出單調(diào)遞增區(qū)間即

可.

【詳解】由題意可知力(X)=卜inx∣TcosΛ∣,

則Λ(x+π)=∣sin(x+π)∣-∣cos(x+π)=|sinx|-|cosx|=∕z(x),

所以兀是函數(shù)/7(x)的周期，

又YΛ(-x)=∣sin(-x)∣-∣cos(-Λ)∣=∣sinx∣-∣cosx∣="(x),

函數(shù)MX)為偶函數(shù)，

當(dāng)0≤x≤］時(shí)，/?(X)=卜inx∣-∣cosx∣=Sinx-COsx=及Sin(X-E),

此時(shí)函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為2E-B≤x-四≤2E+',keZ,

242

解得2E-二≤x≤2E+亞，?∈Z,

44

當(dāng)左=0時(shí)，單調(diào)遞增區(qū)間為學(xué)］,故在卜,外上函數(shù)單調(diào)遞增，

L44JL2J

當(dāng)］≤X≤兀時(shí)，/?(%)=∣sinx∣-∣cosM=SinX+cosX=VΣsin［%+；),

TTJT3TT

此時(shí)函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為2EH—≤x4—≤2EH-----,Z∈Z,

242

πSJl

解得2kτιτ≤X≤2?πH-----,攵∈Z,

44

Ti5兀Tt

當(dāng)Z=O時(shí)，單調(diào)遞減區(qū)間為,故在-,π上函數(shù)單調(diào)遞減，

_44JL2

綜上所述，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為E,E+5Λ∈Z,

故kπ,kπ+-,?∈Z.

84

10.已知向量α,b的夾角為銳角，且滿足同=B，若對(duì)任意的

√15√15

(x,y)e{(x,y)"4+)例=1,Mθ},都有∣x+y∣≤l成立，則)子的最小值為.

Q

【正確答案】?

【詳解】分析：設(shè)單位向量a,b的夾角為銳角，，由Im+M∣=1,孫)0,得(2x+ycosd)2+(ysind)2=*

由∣x+y∣≤1得出[(2x+ycosd)~+(ysin6)~+]≥(x+y/=1,令t=cosθ,得出

]I(2T)-二]6

求不等式的解集可得結(jié)果.

44(1-?)-15

詳解：設(shè)向量。力的夾角為銳角，，由∣m+M=1,xy>O,得%χ2+j∣y2+於盯COSe=1,

(4x?+4Λ>,COSθ+y2cos2θ+y1Sin2。)=1,

即(2x+ycosd『+(ysine)2=§；又∣x+y∣≤l,由柯西不等式得

Io

[(2x+yCOS6)2+(ysin6>)2][；+[2。)]≥(x+y)2=1；

1(2-r)'16

令ZL=COs。，則:十-7-----ττ≥77,化簡(jiǎn)得64/一60f+11≤0,

44(1-產(chǎn))15

111θ?OQQ

解得;≤∕≤g所以小萬(wàn)=蕓CoSe≥S即不力的最小值為與故答案為2.

41615151515

點(diǎn)睛：本題考查了平面向量數(shù)量積與不等式的解法與應(yīng)用問(wèn)題，此題最大的難點(diǎn)在于構(gòu)造柯西不等式,

具有一定難度.

二、單選題

11.已知一ASC,貝『'sinA=COS3”是“-ABC是直角三角形”的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【正確答案】D

【分析】若SinA=CoS3,則A+8=[或A=B+[；若A=[,貝!]sinAWCoS8；由充分條件和必要

222

條件的概念即可得解.

TTTT

【詳解】若SinA=CoS3,則A+8=<或A=B+7,不能推出“ABC是直角三角形；

22

若A=r∣?,則SinAWCOS8,所以一ABC是直角三角形不能推出SinA=CosB;

所以“sinA=Cos3”是“ABC是直角三角形”的既不充分也不必要條件.

故選：D.

本題考查了三角函數(shù)的性質(zhì)和充分條件、必要條件的概念，屬于基礎(chǔ)題.

12.為了使函數(shù)y=sin①x(①>0)在區(qū)間［0,1］上至少出現(xiàn)50次最大值，則口的最小值是().

197199

A.98πB.—πC.—πD.100π

22

【正確答案】B

【詳解】試題分析：因?yàn)?，使y=siικox(ω>0)在區(qū)間［0,1］上至少出現(xiàn)50次最大值，

2π

所以，49y1×T<l,B1P957i×-<1,

44ω

197

所以，ω≥-π,故選B.

2

本題主要考查正弦型函數(shù)的圖象和性質(zhì).

點(diǎn)評(píng)：簡(jiǎn)單題，根據(jù)正弦型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，確定至應(yīng)滿足的條件.

ω

13.已知函數(shù)"x)=Sine［x］］,其中［x］表示不超過(guò)X的最大整數(shù)，下列關(guān)于"x)說(shuō)法正確的是()

①/(x)的值域?yàn)椋?川；②/卜+g)為奇函數(shù)；③為周期函數(shù)，且最小正周期T=4;④〃x)與

y=V的圖像有且僅有兩個(gè)公共點(diǎn).

A.①②③B.②④C.③④D.①③

【正確答案】C

【分析】利用函數(shù)的奇偶性、周期性以及取整的定義求解即可.

【詳解】由已知條件得：當(dāng)一l≤x<O時(shí)，［χ］=τ,/(x)=-l;

當(dāng)O≤x<l時(shí)，［x］=0,/(x)=0;當(dāng)1≤X<2時(shí)，IxI=1,/(x)=l;

當(dāng)24x<3時(shí)，［x］=2,/(x)=0；當(dāng)3≤xv4時(shí)，［x］=3,/(x)=-l；...；

則/(x+4)=sin∕χ+4］)=sin^∣［x］+∣×4^∣=sin=f(x),

所以為周期函數(shù)，且最小正周期T=4,即③正確；

由此可知/(x)的值域?yàn)閧TO,1},即①錯(cuò)誤；

若/卜+；)為奇函數(shù)，則/6+￡1=-7卜+￡1，

當(dāng)x=g時(shí)，/[4+i)=/(0)=0>-≠?+i)=-≠(ι)=-1'

故當(dāng)X=；時(shí)，y[-χ+g)=-∕(χ+;)不成立，故/卜+￡|不是奇函數(shù)，即②錯(cuò)誤;

在一個(gè)周期內(nèi)作出了(χ)的圖象，如下圖所示，

由圖象可知f(x)與y=V的圖像有且僅有兩個(gè)公共點(diǎn)，分別為坐標(biāo)原點(diǎn)。和點(diǎn)A,

即④正確；

故選：C.

14.克羅狄斯?托勒密是古希臘著名數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家和地理學(xué)家，他在所著的《天文集》中講述了

制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四邊形中，兩條對(duì)角線的乘積小于或等于兩組對(duì)邊乘積

之和，當(dāng)且僅當(dāng)凸四邊形的對(duì)角互補(bǔ)時(shí)取等號(hào)，后人稱(chēng)之為托勒密定理的推論.如圖，四邊形ABCz)

內(nèi)接于半徑為26的圓，ZA=UOo,28=45。，AB^AD,則四邊形ABCO的周長(zhǎng)為()

C.4√3+4√2D.4√3+5√2

【正確答案】A

【分析】連接AC,BD.利用正弦定理求出80=6,AC=2√6.AB=AD=2√3,再利用托勒密定

理求出8C+CD=6及，即得解.

【詳解】連接AC,BD.

由NA=I20°,/8=45。及正弦定理，得-.咚六=二,J=S

sm/BADsinZABC

解得80=6,ΛC=2√6.

在aABD中，ZfiAD=120o,AB=AD,BD=6,

所以AB=Ao=2√5.

因?yàn)樗倪呅蜛BCz)內(nèi)接于半徑為2后的圓，

它的對(duì)角互補(bǔ)，所以AC?Bf>=AB?DC+AΓ>?BC,

所以12√^=2g(BC+8),所以BC+CD=6近，

所以四邊形ABCZ)的周長(zhǎng)為46+6√Σ.

故選：A.

三、解答題

15.已知函數(shù)/(x)=2sin(2x+削.

(1)求/(x)的單調(diào)增區(qū)間；

⑵求函數(shù)”x)在0,g"值域.

7πTi

【正確答案】⑴÷?--+?πΛ∈Z

(2)[-2,G]

【分析】Q)根據(jù)正弦型函數(shù)的單調(diào)性，利用整體代換法求解即可;

(2)先求出2x+三的范圍，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)求解即可.

TT2τrTr7JrJT

【詳解】(1)由一上+2E≤2x+'≤^+2EK∈Z可得—一+2E≤2x≤—々+2E∕∈Z,

23266

所以———+?π≤x≤--—+kπ,k∈Z,

1212

所以函數(shù)/(X)單調(diào)遞增區(qū)間為：-普+E,-1+E,ZeZ;

(2)令f=2x+與，由XeOT)可得reg,2π),

又因?yàn)楹瘮?shù)y=sinr在y,y單調(diào)遞減，在仔,2兀)單調(diào)遞增，

所以y=sinf在r=當(dāng)時(shí)有最小值-1,又Sin生=立，sin2π=O,

232

所以sin∕w[-I,乎],所以函數(shù)/W在0，^)上的值域?yàn)閇-2,6].

16.已知函數(shù)/(x)=2CoS(S-總,3>0),若/(X)≤/圖對(duì)任意的實(shí)數(shù)X都成立.

(1)求0的最小值；

TT

(2)在(1)中0值的條件下，若函數(shù)g(x)=∕(丘)+l(%>0)的最小正周期為萬(wàn)，當(dāng)XWθ,?-時(shí)，方

程g(x)="恰有兩個(gè)不同的解，求實(shí)數(shù),〃的取值范圍.

2

【正確答案】(1)ty=—；(2)m∈[1+>∕3,3).

【分析】(1)根據(jù)條件得到/(?)為函數(shù)的最大值，結(jié)合函數(shù)的最值求出。即可.

(2)根據(jù)條件求出g(χ)的解析式，在同一坐標(biāo)系中，作出函數(shù)y=g(χ)和y=m的圖象，利用數(shù)形結(jié)

合求解.

【詳解】(1)若/(χ),j[?)對(duì)任意的實(shí)數(shù)X都成立，則為函數(shù)的最大值,

則一口一一=2kπ,kwZ,得一①=L+2kτr,ksZ,即G=-+8Z,%∈Z,

46463

...............................2

,.?口>0,，當(dāng)Z=O時(shí)，G取得最小值，最小值為G=§；

(2)在(1)中口值的條件下G=?∣,則/(x)=2CoSj如-/],

3136；

g(x)=/(fct)+l=2COS^∣-AΛ-^+1,(?>0),

2萬(wàn)二z、

Yg(X)的最小正周期為右??.27=",即％=3,則g(x)=2cos2x-f+1,

作出函數(shù)y=g(χ)(o≤χ≤q)和y=機(jī)的圖象如圖：

≤1,貝Ijl<g(x)≤3,

由圖象知：要使象知=m恰有兩個(gè)不同的解,則me[l+G,3).

方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：

(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍；

(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問(wèn)題加以解決；

(3)數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)的

圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.

17.如圖是函數(shù)/(x)=ASin(OX+*),(A>O,0>O,O<e<])圖像的一部分，M、N是它與X軸的兩個(gè)

交點(diǎn)，C、D分別為它的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，E(0,1)是線段MC的中點(diǎn)，

⑴若點(diǎn)M的坐標(biāo)為(-1,0),求點(diǎn)C、點(diǎn)N和點(diǎn)D的坐標(biāo)

(2)若點(diǎn)M的坐標(biāo)為(-加,0)(加>0),MCMD=----4,試確定函數(shù)/⑶的解析式

【正確答案】⑴以(2)∕(x)=2siπ(Λ^)

【分析】Q)根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得C,根據(jù)對(duì)稱(chēng)可得N,D點(diǎn)坐標(biāo)(2)先根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式以及對(duì)

稱(chēng)性可得C,D坐標(biāo)，再代入向量數(shù)量積坐標(biāo)公式可得加值，根據(jù)點(diǎn)坐標(biāo)確定周期、振幅以及初始角，

即得三角函數(shù)解析式

【詳解】(1)設(shè)點(diǎn)C(α力)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得

由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得解得α=l,b=2,

點(diǎn)C(l,2),

點(diǎn)M3,0),點(diǎn)D(5,-2);

(2)同樣由E(O,1)是線段MC的中點(diǎn)，得A=2,

由M(-w,0),得C(w,2),D(5m,-2);

?*-MCMD=Um2-4,

I-----------3πλ

×MCMD=-------4,

4

TT

解得fn=-;

4

r)jτ

由T=—=8"?=2π,解得ω=l,

ω

,冗

??8=丁

JT

函數(shù)的解析式為式x)=2Sin(X+]).

本題主要考查正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，意在考查綜合應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解

答問(wèn)題的能力，屬于綜合題.

18.已知常數(shù)4wθ,定義在R上的函數(shù)/(x)=CoS2x+αsinx.

(1)當(dāng)α=Y時(shí)，求函數(shù)y=∕(x)的最大值，并求出取得最大值時(shí)所有X的值；

⑵已知常數(shù)〃eN,n≥?,且函數(shù)y=∕(x)在(0,m)內(nèi)恰有2021個(gè)零點(diǎn)，求常數(shù)α及"的值.

【正確答案】(1)最大值為3,x=2?π-^,?eZ;

(2)α=-l,n=1347.

【分析】(1)利用二倍角公式化簡(jiǎn)/(x),利用二次函數(shù)的性質(zhì)求其最值以及此時(shí)滿足要求所有的X

值；

(2)利用換元法將零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為