數(shù)學(xué)建模習(xí)題3

數(shù)學(xué)建?！睮〕習(xí)題習(xí)題31．一個包裹從100米高的氣球上掉下，當(dāng)時，氣球的上升速度為2米/秒，請根據(jù)以下兩種情況計(jì)算包裹落到地面上約需多少時間：〔1〕空氣阻力不計(jì)〔2〕空氣阻力與包裹的速度成正比，阻力系數(shù)為0.05。2．大氣壓強(qiáng)可用對海拔高度的變化率與成正比來建模，且位于海平面的壓強(qiáng)為毫巴〔大約每平方英尺磅〕，位于海拔高度公里處的壓強(qiáng)為毫巴。解初始值問題:微分方程：〔是一個常數(shù)〕初始條件：〔當(dāng)〕得到通過表示的表達(dá)式。根據(jù)海拔高度—壓強(qiáng)的給定數(shù)據(jù)確定和的值?！病吃诤０胃叨裙锾幋髿鈮簭?qiáng)是多少?〔〕在海拔高度是多少公里處大氣壓強(qiáng)等于900毫巴？3．在某化學(xué)反響中，物質(zhì)的數(shù)量隨著時間的改變率與其當(dāng)前的數(shù)量成正比。例如，-醣蛋白內(nèi)酯變成葡萄糖酸，當(dāng)時間以小時為單位時，化學(xué)反響方程式是如果當(dāng)時，有-醣蛋白內(nèi)酯100克，那么一小時后還剩下多少？4．從惠蒂爾峽谷的油井中抽走了一定數(shù)量的石油，會使加利福尼亞的石油產(chǎn)量每年以10%的比率減少。試問什么時候加利福尼亞的石油產(chǎn)量將降到當(dāng)前值得五分之一？5．一個放電的電容器，電壓的改變率和終端電壓成正比，并且時間以秒為單位時，其滿足的方程是解此方程，用表示當(dāng)時的值。試問經(jīng)過多長時間電壓將降落到初始值得10%？6．粗糖的加工過程中，有一個步驟稱為轉(zhuǎn)化，這一步驟將改變粗糖的分子結(jié)構(gòu)。反響一旦開始，粗糖量的改變速率和粗糖量成正比，如果1000公斤粗糖在10小時后只剩下100公斤，那么再過14小時還剩下多少？7．在海洋外表下方英尺處的光的強(qiáng)度滿足微分方程潛水者根據(jù)經(jīng)驗(yàn)知道，在加勒比海潛水到18英尺深時光線強(qiáng)度大約降低到水面上的一半。當(dāng)光線強(qiáng)度降到水面光線強(qiáng)度的十分之一以下時，人們必須使用人工照明才8．假設(shè)在溫度是20攝氏度的房間里，一杯90攝氏度的飲料10分鐘之后冷卻到60攝氏度。應(yīng)用牛頓冷卻定理答復(fù)以下問題：〔〕再經(jīng)過多久后這杯飲料會冷卻到35攝氏度？〔〕如果這杯飲料不是放在房間里，而是放在溫度是-5攝氏度的冰箱里，那么要多久時間這杯飲料才能從90攝氏度冷卻到9．一個煮熟的雞蛋開始溫度為98，放入一盆18的水里5分鐘后溫度降為38，假定水溫一直未變，那么，再過幾分鐘，雞蛋的溫度可降低到20？10．一根金屬桿從寒冷的室外拿到溫度保持在的機(jī)房里。10分鐘后金屬桿的溫度上升到，再過10分鐘后到。應(yīng)用牛頓冷卻定理估計(jì)這根桿的初始溫度。11．一幅油畫據(jù)說是Vermeer(1632-1657)畫的，它應(yīng)該僅包含不超過原有96.2%的碳，然而卻包含了99.5%。試問此膺品大約是什么年代畫的？12．某人每天由飲食獲取2500卡熱量，其中1300卡用于新陳代謝，此外每公斤體重每天需支付16卡熱量作為運(yùn)動消耗，其余熱量那么轉(zhuǎn)化為脂。以脂肪形式儲存的熱量利用率為100%，每公斤脂肪含熱量為10000卡，問此人的體重將如何隨時間而變化？13．為了鼓勵采購100〔單位〕某貨物的買主，商家銷售部門用連續(xù)打折的方法促銷，以購貨數(shù)量〔單位〕，決定所售貨物的單價，〔即單價是購貨數(shù)量的函數(shù)〕。假定折扣降價速率為每單位降價0.01美元，又假設(shè)購置100〔單位〕該貨物的單價是美元?！病惩ㄟ^解如下初值問題求：微分方程：初始條件：〔〕求10〔單位〕該貨物的單價和90〔單位〕的單價。〔〕商家的收入是用來計(jì)算的。如果銷售部門問你：這樣打折扣是否會出現(xiàn)如下情況，售出100〔單位〕貨物的收入比售出90〔單位〕貨物的收入還要少，你會怎樣答復(fù)他們?！瞕〕試證明：當(dāng)時商家的收入到達(dá)最大值。14．一個半球狀雪堆，其體積融化的速率與半球面面積S成正比，比例系數(shù)k>0。設(shè)融化中雪堆始終保持半球狀，初始半徑為R且3小時中融化了總體積的7/8，問雪堆全部融化還需要多長時間？15.生態(tài)學(xué)家估計(jì)人的內(nèi)稟增長率約為0.029，1961年世界人口數(shù)為30.6億〔3.06×〕而當(dāng)時的人口增長率那么為0.02。試根據(jù)Logistic模型計(jì)算：〔1〕世界人口數(shù)的上限約為多少〔2〕何時將是世界人口增長最快的時候？16.某廠有一設(shè)備分成兩局部〔部件1和部件2〕，其中部件1保持恒溫，部件2保持恒溫，兩部件間的距離為S，由一根細(xì)金屬桿相連〔一頭連部件1另一頭連部件2〕。金屬桿暴露在溫度為的空氣中，求金屬桿上的溫度分布，〔〕。〔注：即求溫度函數(shù)，，其中x為金屬桿離部件1的距離〕17．設(shè)病人體內(nèi)現(xiàn)有的癌細(xì)胞數(shù)量約為個，醫(yī)生推測其腫瘤的增倍時間約為20周，請為該病人設(shè)計(jì)一套放療方案，并說明你制定此方案的理由。18.1825年，德國數(shù)學(xué)家Gompertz也提出了一個有上限的種群增長模型〔r和M為兩個正常數(shù)〕該方程等價于試分析Gompertz模型所描述的種群的增長規(guī)律并與Malthus模型比擬，〔提示：Gompertz的方程式是變量可別離的方程〕。19.假設(shè)用Gompertz模型來描述腫瘤的生長，請用模型計(jì)算出腫瘤的倍增時間。20.上海醫(yī)科大學(xué)病理生理教研室曾做過小鼠肉瘤的增長實(shí)驗(yàn)，并得到了以下數(shù)據(jù)：表3.4時間069111315171921232527體積0.0040.0310.0610.0740.1030.1520.2100.3390.5200.8131.2691.558請用此實(shí)例來檢驗(yàn)§3.4中的各個模型。21.理想單擺周期的近似公式為，現(xiàn)將一個擺長l為1米的單擺從每秒每秒米的A處移到B處，發(fā)現(xiàn)周期T增加了0.001秒，求B處的重力加速度。22．大魚只吃小魚、小魚只吃蝦米，試建模研究這一捕食系統(tǒng)。在求解你的模型時也許你會遇到困難，建議對模型中的參數(shù)取定幾組值，用數(shù)值解方法處理，并研究結(jié)果關(guān)于參數(shù)取值的敏感性。23．一名跳傘員從高空跳下，其下落速度滿足：。經(jīng)查資料，，求此跳傘員落地時的極限速度。24．某公司的一間容積為90的會議室里正在開會。開始時會議室里沒有一氧化碳〔CO〕，由于有人抽煙，會議室里每分鐘將增加0.006含4%一氧化碳的煙霧。與此同時，會議室的通風(fēng)設(shè)備每分鐘也抽換0.006的空氣，求約經(jīng)過多長時間，會議室里的一氧化碳含量將到達(dá)0.01%。25．某獵場生活著一種供狩獵用的動物。據(jù)估計(jì)，假設(shè)動物數(shù)量x少于a時該動物有可能絕滅，假設(shè)動物數(shù)量超