福建省南平市南平一中2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題

20232024

學(xué)年??第

次?考數(shù)學(xué)試卷?單選題：本題共8?題，在每?題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有?項(xiàng)是符合題?要求的．m n已知空間的直線

， ， ，下列命題正確的是（ ）若 ， ，則 B.若，，則若 ， ，則 D.若 ，，則2.兩直線與平?，則它們之間的距離為（ ）A.4 B. C. D.3. 與橢圓： .

雙曲線經(jīng)過點(diǎn)為雙曲線設(shè)雙曲線 若與橢圓 的?個(gè)交點(diǎn)，則 的余弦值為（ ）B. C. 是 的中點(diǎn)如圖 ，則異?直線BC與是 的中點(diǎn)為（ ）A.0 B. C. D.5.已知橢圓

， ， 分別為橢圓 的左右頂點(diǎn)，若在橢圓 上存在?點(diǎn) ，使得 ，則橢圓 的離?率的取值范圍為（ ）B. C. 6.在 中， ， ， ，點(diǎn) 在該三?形的內(nèi)切圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng) 最?時(shí)，則的值為（ ）B. C. 7.? 是以為底邊的等腰三?形， ，當(dāng) 時(shí)，邊B. C. F2(c 0 C： 的左、右焦點(diǎn)，位分別是雙曲線在直?坐標(biāo)系 中 ，)分別是雙曲線于第 △?象限上的點(diǎn)P(x0,y0)是雙曲線C上的?點(diǎn)，PF1于第 △

的外?

M的坐標(biāo)為

PFF， 12△， 122a2為 ，則雙曲線

C的漸近線?程為（ ）＝ x? 多選題9.

：本題共4?題，在?題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題?要求．： 與圓 有4個(gè)交點(diǎn)，則 的漸近線?程可能為（ ）若雙曲線B. C. 10. C： .

列說法正確 已知圓 下）l直線

恒過定點(diǎn)C圓

y 被軸截得的弦?為C.D.

l C直線被圓l C直線被圓

截得弦?存在最?值，此時(shí)直線l的?程為截得弦?存在最?值，此時(shí)直線l的?程為，下列四個(gè)結(jié)論中正確的是（ ）已知正?體 的棱?為直線與直線所成的?為直線所成?的余弦值為平?點(diǎn) 到平? 距離為12.是橢圓 （點(diǎn)， 是他們的?個(gè)公共點(diǎn)，且 ，則以下結(jié)論正確的是（ ）B.D.三填空題：本題共4?題．

的最?值為13.已知直線14.

．：： ，則 ．，當(dāng) 最?時(shí)，則線段 的?度已知點(diǎn) 在圓．為．15.已知點(diǎn) 、 、 、 、

，如果直線 、 斜率之積為，記 ，，則 .16.已知三棱錐滿? 底?，在中，，，， 是線段 上?點(diǎn)，且 ．球 為三棱錐 的外接球，過點(diǎn) 作球 的截?，若所得截?圓的?積的最?值 為與最?值之和為 ，則球 的表?積 的?積的最?值 為四 解答題

：本題共6?題，解答應(yīng)寫出?字說明證明過程或演算步驟．17.在平?直?坐標(biāo)系中， 為坐標(biāo)原點(diǎn)，，已知P為平?內(nèi) ?個(gè)動(dòng)點(diǎn)，三?形周?為定值.1 P ；（）求動(dòng)點(diǎn) 的軌跡?程2（）若18.

P 上有?點(diǎn) 滿?，求的 .的軌跡 值已知 分別為 內(nèi)? 的對(duì)邊；② ；③ ；④ ．1 三?形的序號(hào)組合有哪些，說明理由？（）滿?有解2 （）所有組合中任選?組，求對(duì)應(yīng)的?積．（19.

）請(qǐng)?jiān)?1

，并且直線 ： 平分圓 ．已知圓 經(jīng)過點(diǎn) 、1 ；（）求圓 的?程2 ，且斜率為的直線與圓 ，求k的值．（）過點(diǎn)20.已知雙曲線

E： 離?率為

.2 E.上，點(diǎn) 在上1 E ：（）求

的?程.均異于點(diǎn)（）過點(diǎn) 的直線交 于均異于點(diǎn)

B P，求直線A，

B的斜率之和21. ，四棱錐PABCD中，底?ABCD為正?形，△

為等邊

形，平?PAB⊥底?ABCDE為如圖.三? ，的中點(diǎn)EPD⊥：（）求證 C ；：BD

不包括端點(diǎn)）上是否存在點(diǎn)F

AP與平?PEF所成?的正弦值為 ，若存在，使直線（）在線段 （ 使直線.確定點(diǎn)

F的位置

；若不存在，請(qǐng)說明理由22.已知橢圓 經(jīng)過點(diǎn)為 且與坐標(biāo)軸不垂直的直線與橢圓交于 ， 兩點(diǎn)．1 ；（）求橢圓 的?程2 上是否存在點(diǎn) 的取值（為坐標(biāo)原點(diǎn)范圍；若不存在，說明理由；3 且不垂直于軸的直線與橢圓交于 ，關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為 （線 過定點(diǎn)．20232024

學(xué)年??第

次?考數(shù)學(xué)試卷?單選題：本題共8?題，在每?題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有?項(xiàng)是符合題?要求的．m n已知空間的直線

， ， ，下列命題正確的是（ ）若 ， ，則 B.若，，則若 ， ，則 D.若 ，，則D【答案】【解析】.【分析】利?線?、??之間的位置關(guān)系對(duì)選項(xiàng)逐?判斷即可【詳解】選項(xiàng)

A中，當(dāng) ， 時(shí)， 與有可能相交、平?、異?，所以A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B時(shí)，平? 有可能相交，所以B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C時(shí)， 與有可能相交、異?，所以C不正確；確選項(xiàng)D中，當(dāng) ，時(shí)，由線?垂直的性質(zhì)可知，所以D正 .確D.故選：2.兩直線與平?，則它們之間的距離為（ ）A.4 B. C. D.D【答案】【解析】.【分析】由兩直線平??先求出參數(shù) ，再由兩平?直線之間 距離公式即可得解【詳解】因?yàn)閮芍本€平?，所以 ，解得 ，將 化為 ，由兩條平?線間的距離公式得 .D故選：．3. 與橢圓： .

雙曲線 經(jīng)過點(diǎn) 為雙曲線設(shè)雙曲線 若與橢圓 的?個(gè)交點(diǎn)，則 的余弦值為（ ）B. C. A【答案】【解析】【分析】求出雙曲線?程，根據(jù)橢圓和雙曲線的第?定義求出 的?度，從?根據(jù)余弦定理求出的余弦值【詳解】由題得，雙曲線中 ，所以 ，雙曲線?程為：，假設(shè) 在第?象限，根據(jù)橢圓和雙曲線的定義可得：，解得：， ，所以根據(jù)余弦定理，A故選：是 的中點(diǎn)如圖 ，則異?直線BC與是 的中點(diǎn)為（ ）A.0 B.C.D.D【答案】【解析】【分析】取 中點(diǎn)

，連接

先證明 即異?直線

在. 三?在APQ形

中，由余弦定理求出異?直線BC與AP所成?的余弦值.【詳解】如圖，取 的中點(diǎn)

Q .，連接因?yàn)??，所以即異?直線與 所成的?或其補(bǔ) .因?yàn)??在正三棱柱ABCA1B1C1中,設(shè) ，則 ，在三?形APQ中，由余弦定理得： .D故選：5.已知橢圓

， ， 分別為橢圓 的左右頂點(diǎn)，若在橢圓 上存在?點(diǎn) ，使得 ，則橢圓 的離?率的取值范圍為（ ）B. C. D.A【答案】【解析】【分析】設(shè) ，得到，結(jié)合，得到，結(jié)合.，即可求離?率的定義 ，即可求【詳解】由題意，橢圓，可得 ， ，設(shè) ，代?橢圓的?程，可得，則 ，即 ，即 .?因?yàn)?，所以 .A.故選：6. 在 中

， ， ， ，點(diǎn) 在該三?形的內(nèi)切圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)最?時(shí)，則的值為（ ）B. C. A【答案】【解析】B分別為 坐標(biāo)化 解，進(jìn)?利?向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可求坐標(biāo)化 解【詳解】在 中，因?yàn)?， ， ，所以 ，所以 為直?三?形，其中 .,,以B為原點(diǎn)，分別為 軸正?向建?直?坐標(biāo)系，則 .,,.所以直線.設(shè) 的內(nèi)切圓為圓因?yàn)辄c(diǎn) 在該三?形的內(nèi)切圓上運(yùn)動(dòng)，所以.因?yàn)?，所以.?所以由 可得： ，解得：（當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)等號(hào)成?）.此時(shí)所以 ，? ,.所以A故選：7.? 是以為底邊的等腰三?形， ，當(dāng) 時(shí)，邊B. C. A【答案】【解析】【分析】?先利?余弦定理求出 的值，進(jìn)?步利?三?形的內(nèi)?和定理和正弦定理求出 的?，進(jìn)?步得到 ，即可得到答案．【詳解】 內(nèi)? ，， 所對(duì)的邊分別為，，，且，利?余弦定理整理得，化簡為 ，所以 ，由于 ，所以 ．由于 是以 為底邊的等腰三?形，，所以，則 ．利?三?形內(nèi)?和定理： ，．在 中，利?正弦定理 ，解得 ，所以 ．A故選：．【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理和余弦定理的應(yīng)?、三?形內(nèi)?和、等腰三?形性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)?，考查邏輯推理能?和運(yùn)算求解能?．F2(c

0 C： 的左、右焦點(diǎn)，位分別是雙曲線在直?坐標(biāo)系 中 ，)分別是雙曲線于第 △?象限上的點(diǎn)P(x0,y0)是雙曲線C上的?點(diǎn)，PF1于第 △

的外?

M的坐標(biāo)為

PFF， 12△， 122a2為 ，則雙曲線

C的漸近線?程為（ ）＝ xD【答案】【解析】M

FPF1 是三?形外?可得 1 雙曲線的定義得 ，由三?形?積公式 ，即.，寫出漸近線?程即可確定 的數(shù)量關(guān)系 ，寫出漸近線?程即M的外?，知：中，，即∴在△

，故∠，在△中，，?，∴，即，∴，?，∴由題意知： ，故雙曲線的漸近線?程為： ．D故選：．

F1PF2，由余弦定理、雙曲線的定義及三?形?積公式求焦點(diǎn)【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利?外接圓的性質(zhì)求∠三?形的?積，進(jìn)?確定雙曲線參數(shù)的數(shù)量關(guān)系.? 多選題9.

：本題共4?題，在?題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題?要求．： 與圓 有4個(gè)交點(diǎn)，則 的漸近線?程可能為（ ）若雙曲線B.C.ABD【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定條件可得雙曲線

C M的頂點(diǎn)在圓

答內(nèi)，再求出 的范圍即可判斷作 .答【詳解】因雙曲線 ： 與圓 ：有4個(gè)交點(diǎn)，則有雙曲線 的頂點(diǎn) 在圓 內(nèi)，于是有 ，從?得 ，?雙曲線 的漸近線?程為 ，A B，

，不可能為C.ABD故選：10. C： .已知圓 下）l直線

恒過定點(diǎn)C圓C.

y 被軸截得的弦?為l C

，此時(shí)直線l的?程為直線被圓l

截得弦?存在最?值C

，此時(shí)直線l的?程為直線被圓BD

截得弦?存在最?值【答案】【解析】

A，

，聯(lián)??程即可求出定點(diǎn)；對(duì)即， .可求出；對(duì)C

根據(jù)直線不過圓?可判斷；對(duì)D

根據(jù)直線垂直于圓?到定點(diǎn)連線可求l ，由 ，解得 . ?【詳解】將直線的?程整理為 則論m為何值，直線l恒過定點(diǎn) ，故A不正確；令 ，故圓C被y軸截得的弦?為，故B正確；?論m為何值，直線l不過圓?，即直線l被圓C截得的弦?不存在最?值，故C錯(cuò)誤；當(dāng)截得的弦?最短時(shí)，此時(shí)直線l垂直于圓?與定點(diǎn)的連線，則直線l的斜率為 ，此時(shí)直線l的?程為BD.故選：

確，故D正 .確，下列四個(gè)結(jié)論中正確的是（ ）已知正?體 的棱?為直線與直線所成 ?為直線所成?的余弦值為平?點(diǎn) 到平? 的距離為ABC【答案】【解析】【分析】如圖建?空間直?坐標(biāo)系，求出可判斷A 證明；，可得，，由線?垂直的判定定理可判斷C；計(jì)算的值可得線??的正弦值，再由同?三?函數(shù)基本關(guān)系求出夾?的余弦值可判斷B 利?；D .向量求出點(diǎn) 到平? 的距離可判斷，進(jìn)?可得正確選項(xiàng)【詳解】如圖以 為原點(diǎn)，分別以 所在的直線為 軸建?空間直?坐標(biāo)系，則，，，，A， ，對(duì)于， ，因?yàn)?，所以 ，即 ，直線 與直線所成的?為，故選項(xiàng)A正確；C對(duì)于：因?yàn)?/p>

，， ，所以 ， ，所以 ， ，因?yàn)?，所以，故選項(xiàng)C正確；B C對(duì)于：由選項(xiàng)

知： 平? ，所以平? 的?個(gè)法向量 ，因?yàn)榕c平? 所成?的正弦值為 ，所以直線所成?的余弦值為 ，故選項(xiàng)B正確；D對(duì)于：因?yàn)?/p>

，平? 的?個(gè)法向量 ，所以點(diǎn) 到平? 的距離為 ，故選項(xiàng)D不正確ABC.故選：12.是橢圓（ （ 點(diǎn)， 是他們的?個(gè)公共點(diǎn)，且，則以下結(jié)論正確的是（ ）B.D.BD【答案】

的最?值為【解析】【分析】根據(jù)橢圓與雙曲線有相同的焦點(diǎn)可判斷A

根據(jù)橢圓與雙曲線的定義及余弦定理可判斷B；由分析B中所，C “1”

不等式即可判斷D.得結(jié)論 可判斷

；利?

的變形及均值【詳解】由題意可得 ，所以 錯(cuò)誤；可設(shè) 是第?象限的點(diǎn)， ， ，由橢圓的定義可得 ， ，解得 ， ，? ，因?yàn)椋癁?，則 ，故正確；由 ，可得，即有，故 錯(cuò)誤；由，當(dāng)且僅當(dāng) ，取得等號(hào)，即有的最?值為 ，故 正確．故選：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：在本題中，關(guān)鍵利?在橢圓及雙曲線上的公共點(diǎn)P

由橢圓的定義、雙曲線的定義，，聯(lián)??程求出 ， ，在焦點(diǎn)三?形中利?余弦定理化簡可得 是解決本題的關(guān)鍵，.屬于較難題?三填空題：本題共4?題．13.已知直線2

．：： ，則 ．【答案】或【解析】【分析】由兩直線垂直的條件列?程求解．【詳解】由題意 ，解得 或 ．2 ．故答案為：或．14.

，當(dāng) 最?時(shí)，則線段 的?度已知點(diǎn) 在圓．為．【答案】【解析】P【分析】找到當(dāng) 最?時(shí)

果點(diǎn)所在的位置，再結(jié)合勾股定理可得結(jié) .果，【詳解】設(shè)圓 的圓?為 ，半徑為4，如下圖所示：當(dāng) 最?時(shí)， 與圓M相切，,連接，可知 ， ,,,由勾股定理可得故答案為：.15.已知點(diǎn) 、 、 、 、

，如果直線 、 的斜率之積為，記 ，，則 .【答案】【解析】橢圓 的 果、 為兩個(gè)焦點(diǎn)，利?正弦定理邊?互化以及橢圓的定義可求得結(jié) .橢圓 的 果【詳解】由題意，化簡可得，在橢圓中， ， ， ，所以， 、 為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，因此，.故答案為：.【點(diǎn)睛】?法點(diǎn)睛：求動(dòng)點(diǎn)的軌跡?程有如下?種?法：1 ：直接將條件翻譯成等式，整理化簡后即得動(dòng)點(diǎn)的軌跡?程；（）直譯法2 ：如果能確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡滿?某種已知曲線的定義，則可利?曲線的定義寫出?程；（）定義法3 的坐標(biāo)、表示相關(guān)點(diǎn) 的坐標(biāo) 的坐標(biāo) 所滿?（）相關(guān)點(diǎn)法的曲線?程，整理化簡可得出動(dòng)點(diǎn) 的軌跡?程；4 、之間的直接關(guān)系難以找到時(shí)，往往先尋找、與某?參數(shù)（為動(dòng)點(diǎn)的軌跡?程；（）交軌法 .516.

：將兩動(dòng)曲線?程中的參數(shù)消去，得到不含參數(shù)的?程，即為兩動(dòng)曲線交點(diǎn)的軌跡?程已知三棱錐 滿? 底? ，在 中， ， ， ， 是線段 上?點(diǎn)，且 ．球 為三棱錐 的外接球，過點(diǎn) 作球 的截?，若所得截?圓的?積的最?值 為與最?值之和為 ，則球 的表?積 的?積的最?值 為【答案】【解析】可.【詳解】若將三棱錐 補(bǔ)成直三棱柱，且三棱錐和該直三棱柱的外接球都是球 ，記三?形 的外?為，設(shè)球的半徑為 ， ，則球? 到平? 的距離為，即 ，連接 ，則 ，∴ ，在 中，取 的中點(diǎn)為 ，連接 ， ，，則 ， ∴．，在 中， ，由題意得到當(dāng)截?與直線 垂直時(shí)，截??積最?，設(shè)此時(shí)截?圓的半徑為，則 ，所以最?截?圓的?積為 ，當(dāng)截?過球?時(shí)，截??積最?為 ，∴，．故答案為： ..【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：關(guān)鍵是畫出圖形，通過已知條件的轉(zhuǎn)換找到球?位置，然后列?程即可求得球的半徑四 解答題

：本題共6?題，解答應(yīng)寫出?字說明證明過程或演算步驟．17.在平?直?坐標(biāo)系中， 為坐標(biāo)原點(diǎn)，，已知P為平?內(nèi)的?個(gè)動(dòng)點(diǎn)，三?形周?為定值.1 P ；（）求動(dòng)點(diǎn) 的軌跡?程（）若

.的軌跡2 P 上有?點(diǎn) 滿? ，求 的值1【答案（）2（）【解析】1 P ；【分析（

）根據(jù)橢圓的定義即可求出動(dòng)點(diǎn)

的軌跡?程2 ，根據(jù) 在橢圓C上，列出兩個(gè)?程，即可解出．（）設(shè)1【?問 詳解】依題可知， ，所以 ，故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以，為焦點(diǎn)，?軸?為的橢圓（除去兩點(diǎn)，由 ，，所以，即動(dòng)點(diǎn)P的軌跡?程為 ．2【?問

詳解】因?yàn)辄c(diǎn) 滿? ，則有 ，且 ， ，，即①，?點(diǎn)在橢圓

C上，則 ②，取?①②消去，得 ，所以 .18. 已知 分別為 內(nèi)? ；② ；③ ；④ ．1 三?形的序號(hào)組合有哪些，說明理由？（）滿?有解2 （）所有組合中任選?組，求對(duì)應(yīng) 的?積．（）請(qǐng)?jiān)?11

，①②④，理由?解析【答案（）①②③2 不唯?，具體?解析（）答案【解析】1

，由④三?恒等變換可知 【分析（由③通過正弦定理邊化?余弦定理可知不能同時(shí)存在，由此即可得解.（）?先由余弦定理求出第 .21【?問

詳解】

三邊，然后結(jié)合三?形?積公式即可得解對(duì)于③， ；對(duì)于④，，即，且 ，則，故③，④不能同時(shí)存在，則滿?有解三?形的序號(hào)組合為①②③，①②④．2【?問 詳解】選①②③： 時(shí)，由余弦定理： ，整理得： 且 ，則 ，的?積為．選①②④：時(shí)，由余弦定理：，整理得： ，則 ，的?積 ．19.1

已知圓 經(jīng)過點(diǎn) 、；

，并且直線 ： 平分圓 ．（）求圓 的?程2 ，且斜率為的直線與圓 ，求k的值．（）過點(diǎn)1【答案（）2 1（）【解析】1 ；【分析（2

）利?待定系數(shù)法即可得解與圓 的?程得到，從?化簡得到關(guān)于k的?程，解之即可得（）聯(lián)?直線.解1【?問C設(shè)圓

詳解】，m C ，因?yàn)橹本€

： 平分圓

的?積所以直線過圓? ，即 ，則 ，解得 ，圓的?程為；2【?問

詳解】由題意直線的?程為 ，聯(lián)?，消去得 ，設(shè) ，則 ，故，?，所以，故有 ，解得 ，滿? ，.所以20.已知雙曲線

E： 的離?率為

.2 E.上，點(diǎn) 在上1 E ：（）求

的?程.均異于點(diǎn)（）過點(diǎn) 的直線交 于均異于點(diǎn)

B P，求直線A，

B的斜率之和1 （.【答案（） 2【解析】1

，再代? ，聯(lián)?即得解；【分析（）利?2 l （

的?程為,

，即得解直線與雙曲線聯(lián)?化簡代??達(dá)定理1 ，【詳解（）由已知可得∴ ①∵ ?點(diǎn) 在

E上，∴②由①②可得，.∴雙曲線

E .的?程為2 l ，（）過點(diǎn) 的直線斜率顯然存在設(shè)l的?程為：， ， ，l E ，將 ?程代?雙曲線 的?程并整理得依題意 ，且 ，所以 且 ，因此，可得，.∴.21.

，四棱錐PABCD中，底?ABCD為正?形，△

為等邊

三?，形，平?PAB⊥底?ABCDE三?，PAB如圖.的中點(diǎn)EPD⊥：（）求證 C ；：BD

不包括端點(diǎn)）上是否存在點(diǎn)F

AP與平?PEF所成?的正弦值為 ，若存在，使直線（）在線段 （使直線.確定點(diǎn)

F的位置1

；若不存在，請(qǐng)說明理由【答案（）證明?解析2 ，點(diǎn) 為靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，即 ；（）存在【解析】1

的中點(diǎn) ，【分析（取 的中點(diǎn)， 兩兩垂直，然后建?合適的空間直?坐標(biāo)系，求出所需點(diǎn)的坐標(biāo)和兩條直線的?向向量的坐標(biāo)，由向量垂直的坐標(biāo)表示進(jìn)?分析證明即可；2 ，則 ，即可得到 的坐標(biāo)，表示出平? 的法向量，利（）設(shè)?空間向量?程得到?程，解得即可；1【?問 詳解】證明：取 的中點(diǎn) ，連結(jié) ，因?yàn)?，所以 ，?因?yàn)槠? 平? ，平? 平? ， 平? ，所以 底?，取 的中點(diǎn) ，連結(jié) ，則 ， ， 兩兩垂直，分別以 ， ， 所在直線為軸，軸，軸建?空間直?坐標(biāo)系如圖所示，設(shè) ，則 ，所以 ，則 ，故 ，所以 ；2【?問

詳解】1 ，，解：由（）可知所以 ， ，設(shè) ，則 ，所以 ，設(shè)平? 的法向