第18章平行四邊形及矩形菱形正方形中的折疊問(wèn)題專題探究-2023-2024學(xué)年八年級(jí)下學(xué)期數(shù)學(xué)人教版

第1頁(yè)（共1頁(yè)）專題02平行四邊形及矩形、菱形、正方形中的折疊問(wèn)題（原卷版）思路與技巧：①折疊是一種全等變換，是軸對(duì)稱②折痕就是角平分線。因?yàn)槠叫兴倪呅伟ň匦瘟庑握叫斡衅叫芯€，所以蘊(yùn)含“平行平分出等腰”的模型③折痕就是垂直平分線——對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的線段被折痕垂直平分。④解決四邊形的折疊問(wèn)題，要轉(zhuǎn)化為三角形的問(wèn)題，常需要尋找或構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求解。求角度往往要尋找等腰三角形。典例剖析+變式訓(xùn)練類(lèi)型一平行四邊形的折疊【典例1】（2021?蘇州）如圖，在平行四邊形ABCD中，將△ABC沿著AC所在的直線折疊得到△AB′C，B′C交AD于點(diǎn)E，連接B′D，若∠B＝60°，∠ACB＝45°，AC=6，則B′DA．1 B．2 C．3 D．6【典例2】（武漢中考）如圖，在?ABCD中，E為邊CD上一點(diǎn)，將△ADE沿AE折疊至△AD′E處，AD′與CE交于點(diǎn)F．若∠B＝52°，∠DAE＝20°，則∠FED′的大小為．【變式訓(xùn)練】1．（常德中考）如圖，把平行四邊形ABCD折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，這時(shí)點(diǎn)D落在D1，折痕為EF，若∠BAE＝55°，則∠D1AD＝．2．（2021春?邗江區(qū)期中）如圖，將?ABCD折疊，使點(diǎn)D、C分別落在點(diǎn)F、E處（點(diǎn)F、E都在AB所在的直線上），折痕為MN，若∠AMF＝50°，則∠A＝°．3．如圖，P是平行四邊形紙片ABCD的BC邊上一點(diǎn)，以過(guò)點(diǎn)P的直線為折痕折疊紙片，使點(diǎn)C，D落在紙片所在平面上C′，D′處，折痕與AD邊交于點(diǎn)M；再以過(guò)點(diǎn)P的直線為折痕折疊紙片，使點(diǎn)B恰好落在C′P邊上B′處，折痕與AB邊交于點(diǎn)N．若∠MPC＝74°，則∠NPB′＝°．類(lèi)型二矩形的折疊【典例3】（2020?蓮湖區(qū)模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC為矩形，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)C在y軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（8，6），若將△OAB沿OB翻折，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E，OE交BC于點(diǎn)D，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（）A．（38，6） B．（74，6） C．（34，6） 【典例4】（2023春?鎮(zhèn)海區(qū)期中）如圖，將長(zhǎng)方形紙片ABCD沿EF折疊后，點(diǎn)A，D分別落在A1，D1的位置，再將△A1EG沿著AB對(duì)折，將△GD1N沿著GN對(duì)折，使得D1落在直線GH上，則下列說(shuō)法正確的是（）①GN⊥DC；②GH⊥GD1；③當(dāng)MN∥EF時(shí)，∠AEF＝120°．A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【變式訓(xùn)練】1．（2023秋?西鄉(xiāng)塘區(qū)月考）如圖，將矩形ABCD紙片沿對(duì)角線BD折疊，使點(diǎn)C落在C′處，BC交AD于E，若∠DBC＝22.5°，則在不添加任何輔助線的情況下，圖中45°的角（虛線也視為角的邊）有（）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)2．（2022?東勝區(qū)三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC是矩形，OA＝6，將△ABC沿直線AC翻折，使點(diǎn)B落在點(diǎn)D處，AD交x軸于點(diǎn)E，若∠BAC＝30°，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（）A．(33，?2) B．(33，?3) C．3．（2022春?三臺(tái)縣月考）如圖，長(zhǎng)方形ABCD中將△ABF沿AF翻折至△AB'F處，若AB'∥BD，∠1＝26°，則∠BAF的度數(shù)為（）A．57° B．58° C．59° D．60°4．（2020春?五蓮縣期末）如圖，在一張長(zhǎng)方形紙片上畫(huà)一條線段AB，將右側(cè)部分紙片四邊形ABCD沿線段AB翻折至四邊形ABC'D'，若∠ABC＝58°，則∠1＝（）A．60° B．64° C．42° D．52°

5．（2023春?濰坊期中）如圖，已知長(zhǎng)方形紙片ABCD，點(diǎn)E和點(diǎn)F分別在邊AD和BC上，且∠EFG＝37°點(diǎn)H和點(diǎn)G分別是邊AD和BC上的動(dòng)點(diǎn)，現(xiàn)將紙片兩端分別沿EF，GH折疊至如圖所示的位置，若EF∥GH，則∠KHD的度數(shù)為（）A．37° B．74° C．96° D．106°6．（2023秋?邯鄲期末）數(shù)學(xué)老師要求學(xué)生用一張長(zhǎng)方形的紙片ABCD折出一個(gè)45°的角，甲、乙兩人的折法如下，下列說(shuō)法正確的是（）甲：如圖1，將紙片沿折痕AE折疊，使點(diǎn)B落在AD上的點(diǎn)B'處，∠EAD即為所求．乙：如圖2，將紙片沿折痕AE，AF折疊，使B，D兩點(diǎn)分別落在點(diǎn)B'，D'處，且AB'與AD'在同一直線上，∠EAF即為所求．A．甲和乙的折法都正確 B．只有甲的折法正確 C．只有乙的折法正確 D．甲和乙的折法都不正確7．（2022秋?寶安區(qū)期末）如圖，長(zhǎng)方形紙片ABCD，E為CD邊上一點(diǎn)，將紙片沿BE折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)C'處，將紙片沿AE折疊，點(diǎn)D落在點(diǎn)D'處，且D'恰好在線段BE上．若∠AEC'＝α，則∠CEB＝（）A．60°?23α B．60°?13α8．（2023春?江北區(qū)期末）如圖①，已知長(zhǎng)方形紙帶ABCD，AB∥CD，AD∥BC，∠C＝90°，點(diǎn)E、F分別在邊AD、BC上，∠1＝20°，如圖②，將紙帶先沿直線EF折疊后，點(diǎn)C、D分別落在H、G的位置，如圖③，將紙帶再沿FS折疊一次，使點(diǎn)H落在線段EF上點(diǎn)M的位置，那么∠2的度數(shù)為（）A．45° B．50° C．55° D．60°9．（2023?新泰市二模）如圖，把長(zhǎng)方形紙片OABC放入平面直角坐標(biāo)系中，使OA，OC分別落在x軸、y軸上，連接AC，將紙片OABC沿AC折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)D的位置，AD與y軸交于點(diǎn)E，若B（2，4），則OE的長(zhǎng)為．10．（2023春?興城市期末）如圖所示，把一張長(zhǎng)方形紙片ABCD沿CE折疊，得到線段B′E，折痕EC與BD相交于點(diǎn)M，若B′E∥BD，∠ADB＝35°，則∠EMD＝．類(lèi)型三菱形的折疊【典例5】（2023?港南區(qū)四模）如圖，在菱形紙片ABCD中，∠A＝60°，點(diǎn)E在BC邊上，將菱形紙片ABCD沿DE折疊，點(diǎn)C對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)C′，且DC′是AB的垂直平分線，則∠DEC的大小為（）A．30° B．45° C．60° D．75°【變式訓(xùn)練】1．（2021春?灤州市期末）如圖，菱形ABCD中，∠A＝120°，E是AD上的點(diǎn)，沿BE折疊△ABE，點(diǎn)A恰好落在BD上的點(diǎn)F，那么∠BFC的度數(shù)是．2．（2020?沙坪壩）如圖，將菱形ABCD的一角折疊，折痕為BE，點(diǎn)A恰好落在點(diǎn)F處，∠FBC比∠ABE大80°．已知∠C＝60°，設(shè)∠ABE和∠FBC的度數(shù)分別為x和y，那么所適合的一個(gè)方程組是（）A．y?x=80°y+x=120°B．y?x=80°y=2x C．x?y=80°y+2x=120° 3．（2023春?臨海市期末）如圖，菱形ABCD中，∠D＝120°，點(diǎn)E在邊CD上，將菱形沿直線AE翻折，使點(diǎn)D恰好落在對(duì)角線AC上，連接BD′，則∠AD′B＝°．類(lèi)型四正方形的折疊【典例6】如圖，在正方形ABCD中，AB＝12，E是AD邊上的一點(diǎn)，將正方形沿CE折疊，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)F，點(diǎn)G為AB的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)F恰好落在線段EG上時(shí)．求證：（1）∠ECG＝45°；（2）AF∥CG．【典例7】（2023秋?和平區(qū)月考）如圖，已知在正方形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°．將正方形ABCD折疊，使點(diǎn)B落在DC邊的中點(diǎn)Q處，點(diǎn)A落在P處，折痕為EF．已知BD長(zhǎng)為82（1）求線段AB和線段CF的長(zhǎng)；（2）連接EQ，EQ＝．【針對(duì)訓(xùn)練】1．（2023春?樂(lè)清市期末）如圖，在正方形ABCD中，E為邊BC上一點(diǎn)，將△ABE沿AE折疊至△AB'E處，BE與AC交于點(diǎn)F，若∠EFC＝69°，則∠CAE的大小為（）A．10° B．12° C．14° D．15°2．（2019春?襄汾縣期末）如圖，將正方形紙片ABCD折疊，使點(diǎn)D落在邊AB上的D'處，點(diǎn)C落在C'處，若∠AD'M＝50°，則∠MNC'的度數(shù)為（）A．100° B．110° C．120° D．130°3．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6，E為BC上一點(diǎn)，CE＝2BE，將△ABE沿AE折疊得到△AFE，連接DF，則線段DF的長(zhǎng)度是多少？4．如圖，正方形紙片ABCD中，E為BC的中點(diǎn)，折疊正方形，使點(diǎn)A與點(diǎn)E重合，壓平后，得折痕MN，設(shè)梯形ADMN的面積為S，梯形BCMN的面積是T，求S：T的值．

專題02平行四邊形及矩形、菱形、正方形中的折疊問(wèn)題（解析版）思路與技巧：①折疊是一種全等變換，是軸對(duì)稱②折痕就是角平分線。因?yàn)槠叫兴倪呅伟ň匦瘟庑握叫斡衅叫芯€，所以蘊(yùn)含“平行平分出等腰”的模型③折痕就是垂直平分線——對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的線段被折痕垂直平分。④解決四邊形的折疊問(wèn)題，要轉(zhuǎn)化為三角形的問(wèn)題，常需要尋找或構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求解。求角度往往要尋找等腰三角形。典例剖析+變式訓(xùn)練類(lèi)型一平行四邊形的折疊【典例1】（2021?蘇州）如圖，在平行四邊形ABCD中，將△ABC沿著AC所在的直線折疊得到△AB′C，B′C交AD于點(diǎn)E，連接B′D，若∠B＝60°，∠ACB＝45°，AC=6，則B′DA．1 B．2 C．3 D．6【思路引領(lǐng)】首先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得AD∥BC，AB∥CD，可證出∠CAE＝45°，∠ADC＝60°，根據(jù)翻折可得∠ACB′＝∠ACB＝45°，∠AB′C＝∠B＝60°，進(jìn)而可得∠AEC＝90°，從而可得AE＝CE=3，再根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)求出B′E＝DE＝1，根據(jù)勾股定理即可得B′D【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AB∥CD，∠ADC＝60°，∴∠CAE＝∠ACB＝45°，∵將△ABC沿AC翻折至△AB′C，∴∠ACB′＝∠ACB＝45°，∠AB′C＝∠B＝60°，∴∠AEC＝180°﹣∠CAE﹣∠ACB′＝90°，∴AE＝CE=22AC∵∠AEC＝90°，∠AB′C＝60°，∠ADC＝60°，∴∠B′AD＝30°，∠DCE＝30°，∴B′E＝DE＝1，∴B′D=B′故選：B．【總結(jié)提升】此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，翻折的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)．【典例2】（武漢中考）如圖，在?ABCD中，E為邊CD上一點(diǎn)，將△ADE沿AE折疊至△AD′E處，AD′與CE交于點(diǎn)F．若∠B＝52°，∠DAE＝20°，則∠FED′的大小為36°．【思路引領(lǐng)】由平行四邊形的性質(zhì)得出∠D＝∠B＝52°，由折疊的性質(zhì)得：∠D′＝∠D＝52°，∠EAD′＝∠DAE＝20°，由三角形的外角性質(zhì)求出∠AEF＝72°，與三角形內(nèi)角和定理求出∠AED′＝108°，即可得出∠FED′的大?。窘獯稹拷猓骸咚倪呅蜛BCD是平行四邊形，∴∠D＝∠B＝52°，由折疊的性質(zhì)得：∠D′＝∠D＝52°，∠EAD′＝∠DAE＝20°，∴∠AEF＝∠D+∠DAE＝52°+20°＝72°，∠AED′＝180°﹣∠EAD′﹣∠D′＝108°，∴∠FED′＝108°﹣72°＝36°；故答案為：36°．【總結(jié)提升】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)，求出∠AEF和∠AED′是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2021春?邗江區(qū)期中）如圖，將?ABCD折疊，使點(diǎn)D、C分別落在點(diǎn)F、E處（點(diǎn)F、E都在AB所在的直線上），折痕為MN，若∠AMF＝50°，則∠A＝65°．【思路引領(lǐng)】由平行四邊形與折疊的性質(zhì)，易得CD∥MN∥AB，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)，即可求得∠DMN＝∠FMN＝∠A，又由平角的定義，根據(jù)∠AMF＝50°，求得∠DMF的度數(shù)，然后可求得∠A的度數(shù)．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得：MN∥AE，∠FMN＝∠DMN，∴AB∥CD∥MN，∴∠DMN＝∠FMN＝∠A，∵∠AMF＝50°，∴∠DMF＝180°﹣∠AMF＝130°，∴∠FMN＝∠DMN＝∠A＝65°，故答案為：65．【總結(jié)提升】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)與折疊的性質(zhì)，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用以及折疊中的對(duì)應(yīng)關(guān)系，難度適中．2．（常德中考）如圖，把平行四邊形ABCD折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，這時(shí)點(diǎn)D落在D1，折痕為EF，若∠BAE＝55°，則∠D1AD＝55°．【思路引領(lǐng)】由平行四邊形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)得出∠D1AE＝∠BAD，得出∠D1AD＝∠BAE＝55°即可．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠BAD＝∠C，由折疊的性質(zhì)得：∠D1AE＝∠C，∴∠D1AE＝∠BAD，∴∠D1AD＝∠BAE＝55°；故答案為：55°．【總結(jié)提升】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)；由平行四邊形和折疊的性質(zhì)得出∠D1AE＝∠BAD是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．3．如圖，P是平行四邊形紙片ABCD的BC邊上一點(diǎn)，以過(guò)點(diǎn)P的直線為折痕折疊紙片，使點(diǎn)C，D落在紙片所在平面上C′，D′處，折痕與AD邊交于點(diǎn)M；再以過(guò)點(diǎn)P的直線為折痕折疊紙片，使點(diǎn)B恰好落在C′P邊上B′處，折痕與AB邊交于點(diǎn)N．若∠MPC＝74°，則∠NPB′＝16°．【思路引領(lǐng)】由折疊的性質(zhì)可求得∠MPC′＝∠MPC，∠BPN＝∠B′PN，再結(jié)合B、P、C在一條直線上，可求得答案．【解答】解：∵點(diǎn)C，D落在紙片所在平面上C′，D′處，折痕與AD邊交于點(diǎn)M，∴∠MPC′＝∠MPC＝74°，∴∠BPB′＝180°﹣∠CPC′＝180°﹣2∠PMC＝180°﹣148°＝32°，∵∠BPN＝∠B′PN，∴∠NPB′=12∠故答案為：16．【總結(jié)提升】本題主要折疊的性質(zhì)，掌握折疊前后的線段、角對(duì)應(yīng)相等是解題的關(guān)鍵．類(lèi)型二矩形的折疊【典例3】（2020?蓮湖區(qū)模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC為矩形，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)C在y軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（8，6），若將△OAB沿OB翻折，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E，OE交BC于點(diǎn)D，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（）A．（38，6） B．（74，6） C．（34，6） 【思路引領(lǐng)】根據(jù)B點(diǎn)的坐標(biāo)和矩形的性質(zhì)得出AB＝OC＝6，BC＝OA＝8，∠OCB＝∠OAB＝90°，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出∠E＝∠OAB＝90°＝∠OCD，BE＝AB＝6，求出BE＝OC，根據(jù)全等三角形的判定得出△OCD≌△BED，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出CD＝ED，設(shè)CD＝ED＝x，則BD＝8﹣x，根據(jù)勾股定理求出x即可．【解答】解：∵B（8，6），四邊形ABCO是矩形，∴AB＝OC＝6，BC＝OA＝8，∠OCD＝∠OAB＝90°∵將△OAB沿OB翻折，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E，OE交BC于點(diǎn)D，∴△OAB≌△OEB，∴∠E＝∠OAB＝90°＝∠OCD，BE＝AB＝6，∴BE＝OC，在△OCD和△BED中，∠CDO=∠EDB∠OCD=∠E∴△OCD≌△BED（AAS），∴CD＝ED，設(shè)CD＝ED＝x，則BD＝BC﹣CD＝8﹣x，在Rt△BED中，由勾股定理得：BE2+ED2＝BD2，即62+x2＝（8﹣x）2，解得：x=7即CD=7∴點(diǎn)D的坐標(biāo)是（74故選：B．【總結(jié)提升】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，能綜合運(yùn)用知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．【典例4】（2023春?鎮(zhèn)海區(qū)期中）如圖，將長(zhǎng)方形紙片ABCD沿EF折疊后，點(diǎn)A，D分別落在A1，D1的位置，再將△A1EG沿著AB對(duì)折，將△GD1N沿著GN對(duì)折，使得D1落在直線GH上，則下列說(shuō)法正確的是（）①GN⊥DC；②GH⊥GD1；③當(dāng)MN∥EF時(shí)，∠AEF＝120°．A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【思路引領(lǐng)】由折疊的性質(zhì)可得∠A1GE＝∠EGH，∠D1GN＝∠MGN，∠GMN＝∠D1＝90°，∠A1＝∠EHG＝90°，∠AEF＝∠A1EF，由平行線的性質(zhì)和平角的性質(zhì)可求解．【解答】解：由折疊可知：∠A1GE＝∠EGH，∠D1GN＝∠MGN，∠GMN＝∠D1＝90°，∠A1＝∠EHG＝90°，∠AEF＝∠A1EF，∴EH∥MN，∵∠A1GE+∠EGH+∠D1GN+∠MGN＝180°，∴∠EGN＝90°，∴GN⊥DC；故①正確；∵∠D1GN＝∠MGN不一定為45°，∴GH不一定垂直GD1，故②錯(cuò)誤；∵M(jìn)N∥EF，EH∥MN，∴EH與EF共線，∴∠AEF＝∠A1EF＝2∠GEF，∵∠AEF+∠GEF＝180°，∴∠AEF＝120°，故③正確；故選：B．【總結(jié)提升】本題考查了矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋?西鄉(xiāng)塘區(qū)月考）如圖，將矩形ABCD紙片沿對(duì)角線BD折疊，使點(diǎn)C落在C′處，BC交AD于E，若∠DBC＝22.5°，則在不添加任何輔助線的情況下，圖中45°的角（虛線也視為角的邊）有（）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【思路引領(lǐng)】根據(jù)折疊的性質(zhì)可知△BDC≌△BDC，據(jù)此作答即可．【解答】解：由折疊知△BDC≌△BDC，∴∠C′BD＝∠CBD＝22.5°，∠C′＝∠C＝90°，∴∠C′BC＝45°，又∵∠ABC＝90°，∴∠ABE＝45°，易得：∠AEB＝45°，∠C′ED＝45°，∠C′DE＝45°．綜上所述共有5個(gè)角為45°，故選：D．【總結(jié)提升】此題主要考查了矩形的性質(zhì)，根據(jù)翻折得到全等，進(jìn)而角相等，利用角的和差求出各個(gè)角的度數(shù)，所用到的知識(shí)點(diǎn)比較多，包括矩形的性質(zhì)，三角形全等的判定，角的計(jì)算，三角形的內(nèi)角和等，是一道不錯(cuò)的綜合性質(zhì)題目．2．（2022?東勝區(qū)三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC是矩形，OA＝6，將△ABC沿直線AC翻折，使點(diǎn)B落在點(diǎn)D處，AD交x軸于點(diǎn)E，若∠BAC＝30°，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（）A．(33，?2) B．(33，?3) C．【思路引領(lǐng)】過(guò)D點(diǎn)作DF⊥x軸，垂足為F，則DF∥y軸，由矩形的性質(zhì)及30°角的直角三角形的性質(zhì)可求解AB=63，OE=23，AE=43，結(jié)合折疊的性質(zhì)可求解AD的長(zhǎng)，進(jìn)而求解ED，由勾股定理可求解EF，DF，即可求解OF【解答】解：過(guò)D點(diǎn)作DF⊥x軸，垂足為F，則DF∥y軸，∵四邊形AOCB為矩形，∴∠OAB＝∠AOC＝∠B＝90°，BC＝AO＝6，AB＝OC，∵∠BAC＝30°，∴AC＝12，OC＝AB=63由折疊可知：∠DAC＝∠BAC＝30°，AD＝AB=63∴∠OAE＝30°，∴OE=23，AE=4∴ED=23∵DF∥y軸，∴∠EDF＝∠EAO＝30°，∴EF=3，DF∴OF＝OE+EF=33∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（33故選：B．【總結(jié)提升】本題主要考查坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，翻折問(wèn)題，點(diǎn)的坐標(biāo)的確定，勾股定理，30°角的直角三角形，矩形的性質(zhì)等知識(shí)的綜合運(yùn)用．3．（2022春?三臺(tái)縣月考）如圖，長(zhǎng)方形ABCD中將△ABF沿AF翻折至△AB'F處，若AB'∥BD，∠1＝26°，則∠BAF的度數(shù)為（）A．57° B．58° C．59° D．60°【思路引領(lǐng)】由矩形的性質(zhì)得∠ABC＝90°，AD∥BC，則∠AFB＝∠DAF，由翻折得∠B′＝∠ABF＝90°，∠AFB′＝∠AFB，所以∠AFB′＝∠DAF，由AB'∥BD，∠B′AM＝∠1＝26°，則∠AFB′+∠DAF＝2∠DAF＝∠AMB′＝64°，所以∠DAF＝32°，即可求得∠BAF＝∠B′AF＝58°，于是得到問(wèn)題的答案．【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，AD∥BC，∴∠AFB＝∠DAF，由翻折得∠B′＝∠ABF＝90°，∠AFB′＝∠AFB，∴∠AFB′＝∠DAF，∵AB'∥BD，∴∠B′AM＝∠1＝26°，∴∠AMB′＝90°﹣∠B′AM＝64°，∴∠AFB′+∠DAF＝2∠DAF＝∠AMB′＝64°，∴∠DAF＝32°，∴∠BAF＝∠B′AF＝∠B′AM+∠DAF＝26°+32°＝58°，故選：B．【總結(jié)提升】此題重點(diǎn)考查矩形的性質(zhì)、軸對(duì)稱的性質(zhì)、三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和等知識(shí)，根據(jù)翻折的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)證明∠AFB′＝∠DAF是解題的關(guān)鍵．4．（2020春?五蓮縣期末）如圖，在一張長(zhǎng)方形紙片上畫(huà)一條線段AB，將右側(cè)部分紙片四邊形ABCD沿線段AB翻折至四邊形ABC'D'，若∠ABC＝58°，則∠1＝（）A．60° B．64° C．42° D．52°【思路引領(lǐng)】由平行線的性質(zhì)可得∠BAD＝122°，由折疊的性質(zhì)可得∠BAD＝∠BAD'＝122°，即可求解．【解答】解：∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD＝180°，且∠ABC＝58°，∴∠BAD＝122°，∵將右側(cè)部分紙片四邊形ABCD沿線段AB翻折至四邊形ABC'D'，∴∠BAD＝∠BAD'＝122°，∴∠1＝122°+122°﹣180°＝64°，故選：B．【總結(jié)提升】本題考查了矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，靈活運(yùn)用這些的性質(zhì)進(jìn)行推理是本題的關(guān)鍵．5．（2023春?濰坊期中）如圖，已知長(zhǎng)方形紙片ABCD，點(diǎn)E和點(diǎn)F分別在邊AD和BC上，且∠EFG＝37°點(diǎn)H和點(diǎn)G分別是邊AD和BC上的動(dòng)點(diǎn)，現(xiàn)將紙片兩端分別沿EF，GH折疊至如圖所示的位置，若EF∥GH，則∠KHD的度數(shù)為（）A．37° B．74° C．96° D．106°【思路引領(lǐng)】先根據(jù)EF∥GH，得出∠HGC＝∠EFG＝37°，再由矩形的性質(zhì)得出∠GHD＝143°，然后由折疊的性質(zhì)得出∠KHG＝∠DHG＝143°，所以∠KHD＝360°﹣∠KHG﹣∠DHG．【解答】解：∵EF∥GH，∴∠HGC＝∠EFG＝37°，∵四邊形ABCD是長(zhǎng)方形，∴AD∥BC，∴∠GHD+∠HGC＝180°，∴∠GHD＝143°，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得：∠KHG＝∠DHG＝143°，∴∠KHD＝360°﹣∠KHG﹣∠DHG＝360°﹣143°﹣143°＝74°．故選：B．【總結(jié)提升】本題考查了矩形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)，由性質(zhì)得出角度的關(guān)系即可解答．6．（2023秋?邯鄲期末）數(shù)學(xué)老師要求學(xué)生用一張長(zhǎng)方形的紙片ABCD折出一個(gè)45°的角，甲、乙兩人的折法如下，下列說(shuō)法正確的是（）甲：如圖1，將紙片沿折痕AE折疊，使點(diǎn)B落在AD上的點(diǎn)B'處，∠EAD即為所求．乙：如圖2，將紙片沿折痕AE，AF折疊，使B，D兩點(diǎn)分別落在點(diǎn)B'，D'處，且AB'與AD'在同一直線上，∠EAF即為所求．A．甲和乙的折法都正確 B．只有甲的折法正確 C．只有乙的折法正確 D．甲和乙的折法都不正確【思路引領(lǐng)】折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，根據(jù)對(duì)應(yīng)角相等即可得出結(jié)論．【解答】解：甲：將紙片沿折痕AE折疊，使B點(diǎn)落在AD上的B'點(diǎn)，得到∠EAB=12∠乙：將紙片沿折痕AE，AF折疊，使B，D兩點(diǎn)落在AC上的點(diǎn)B'，D'，得到∠EAF＝∠EAB'+∠FAB'=12（∠DAC+∠BAC）故選：A．【總結(jié)提升】本題主要考查了矩形的性質(zhì)和折疊問(wèn)題，翻折變換（折疊問(wèn)題）實(shí)質(zhì)上就是軸對(duì)稱變換．7．（2022秋?寶安區(qū)期末）如圖，長(zhǎng)方形紙片ABCD，E為CD邊上一點(diǎn)，將紙片沿BE折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)C'處，將紙片沿AE折疊，點(diǎn)D落在點(diǎn)D'處，且D'恰好在線段BE上．若∠AEC'＝α，則∠CEB＝（）A．60°?23α B．60°?13α【思路引領(lǐng)】由折疊的性質(zhì)得∠AED＝∠AED'，∠CEB＝∠C'EB，再證2∠AED'＝180°﹣∠CEB，然后證3∠CEB＝180°﹣2α，即可得出結(jié)論．【解答】解：由折疊的性質(zhì)得：∠AED＝∠AED'，∠CEB＝∠C'EB，∵∠AED'＝180°﹣∠CEB﹣∠AED，∠AED'＝∠AEC'+∠C'EB＝α+∠C'EB，∴∠AED'＝180°﹣∠CEB﹣∠AED'，∴2∠AED'＝180°﹣∠CEB，∴2（α+∠CEB）＝180°﹣∠CEB，∴3∠CEB＝180°﹣2α，∴∠CEB＝60°?23故選：A．【總結(jié)提升】本題考查了矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握矩形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．（2023春?江北區(qū)期末）如圖①，已知長(zhǎng)方形紙帶ABCD，AB∥CD，AD∥BC，∠C＝90°，點(diǎn)E、F分別在邊AD、BC上，∠1＝20°，如圖②，將紙帶先沿直線EF折疊后，點(diǎn)C、D分別落在H、G的位置，如圖③，將紙帶再沿FS折疊一次，使點(diǎn)H落在線段EF上點(diǎn)M的位置，那么∠2的度數(shù)為（）A．45° B．50° C．55° D．60°【思路引領(lǐng)】由折疊性質(zhì)和平行可得∠EFH＝160°，從而求得∠EFS=12∠【解答】解：由折疊可得：∠GEF＝∠1＝25°，∵AD∥BC，∴FH∥EG．∴∠GEF+∠EFH＝180°，∴∠EFH＝160°，∴∠EFS=12∠∵AD∥BC，∴∠EFB＝∠1＝20°，∴∠2＝∠EFS﹣∠EFB＝60°，故選：D．【總結(jié)提升】此題考查了折疊的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，正確理解折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．（2023?新泰市二模）如圖，把長(zhǎng)方形紙片OABC放入平面直角坐標(biāo)系中，使OA，OC分別落在x軸、y軸上，連接AC，將紙片OABC沿AC折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)D的位置，AD與y軸交于點(diǎn)E，若B（2，4），則OE的長(zhǎng)為32【思路引領(lǐng)】由四邊形OABC是矩形與折疊的性質(zhì)，易證得△AEC是等腰三角形，然后在Rt△AEO中，利用勾股定理求得AE，OE的長(zhǎng)．【解答】解：∵四邊形OABC是矩形，∴OC∥AB，∴∠ECA＝∠CAB，根據(jù)題意得：∠CAB＝∠CAD，∠CDA＝∠B＝90°，∴∠ECA＝∠EAC，∴EC＝EA，∵B（2，4），∴AD＝AB＝4，設(shè)OE＝x，則AE＝EC＝OC﹣OE＝4﹣x，在Rt△AOE中，AE2＝OE2+OA2，即（4﹣x）2＝x2+4，解得：x=3∴OE=3故答案為：32【總結(jié)提升】此題考查了折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．10．（2023春?興城市期末）如圖所示，把一張長(zhǎng)方形紙片ABCD沿CE折疊，得到線段B′E，折痕EC與BD相交于點(diǎn)M，若B′E∥BD，∠ADB＝35°，則∠EMD＝117.5°．【思路引領(lǐng)】根據(jù)矩形的性質(zhì)和翻折的性質(zhì)可得：∠BEC＝∠B′EC＝62.5°，然后利用平行線的性質(zhì)即可解決問(wèn)題．【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，∴∠ABD＝90°﹣35°＝55°，∵B′E∥BD，∴∠AEB′＝∠ABD＝55°，由翻折可知：∠BEC＝∠B′EC=12（180°﹣∠AEB′）∵B′E∥BD，∴∠B′EC+∠EMD＝180°，∴∠EMD＝180°﹣62.5°＝117.5°，故答案為：117.5°．【總結(jié)提升】本題考查矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理是解題的關(guān)鍵．類(lèi)型三菱形的折疊【典例5】（2023?港南區(qū)四模）如圖，在菱形紙片ABCD中，∠A＝60°，點(diǎn)E在BC邊上，將菱形紙片ABCD沿DE折疊，點(diǎn)C對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)C′，且DC′是AB的垂直平分線，則∠DEC的大小為（）A．30° B．45° C．60° D．75°【思路引領(lǐng)】連接BD，由菱形的性質(zhì)及∠A＝60°，得到三角形ABD為等邊三角形，P為AB的中點(diǎn)，利用三線合一得到DP為角平分線，得到∠ADP＝30°，∠ADC＝120°，∠C＝60°，進(jìn)而求出∠PDC＝90°，由折疊的性質(zhì)得到∠CDE＝∠PDE＝45°，利用三角形的內(nèi)角和定理即可求出所求角的度數(shù)．【解答】解：連接BD，如圖所示：∵四邊形ABCD為菱形，∴AB＝AD，∵∠A＝60°，∴△ABD為等邊三角形，∠ADC＝120°，∠C＝60°，∵DC′是AB的垂直平分線，∴P為AB的中點(diǎn)，∴DP為∠ADB的平分線，即∠ADP＝∠BDP＝30°，∴∠PDC＝90°，∴由折疊的性質(zhì)得到∠CDE＝∠PDE＝45°，在△DEC中，∠DEC＝180°﹣（∠CDE+∠C）＝75°．故選：D．【總結(jié)提升】此題考查了翻折變換（折疊問(wèn)題），菱形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，以及內(nèi)角和定理，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2021春?灤州市期末）如圖，菱形ABCD中，∠A＝120°，E是AD上的點(diǎn)，沿BE折疊△ABE，點(diǎn)A恰好落在BD上的點(diǎn)F，那么∠BFC的度數(shù)是75°．【思路引領(lǐng)】根據(jù)菱形的性質(zhì)可得AB＝BC，∠A+∠ABC＝180°，BD平分∠ABC，然后再計(jì)算出∠FBC＝30°，再證明FB＝BC，再利用等邊對(duì)等角可得∠BFC＝∠BCF，利用三角形內(nèi)角和可得答案．【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∠A+∠ABC＝180°，BD平分∠ABC，∵∠A＝120°，∴∠ABC＝60°，∴∠FBC＝30°，根據(jù)折疊可得AB＝BF，∴FB＝BC，∴∠BFC＝∠BCF＝（180°﹣30°）÷2＝75°，故答案為：75°．【總結(jié)提升】此題主要考查了菱形的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握菱形的性質(zhì)：菱形的四條邊都相等；菱形的兩條對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角．2．（2020春?沙坪壩區(qū)月考）如圖，將菱形ABCD的一角折疊，折痕為BE，點(diǎn)A恰好落在點(diǎn)F處，∠FBC比∠ABE大80°．已知∠C＝60°，設(shè)∠ABE和∠FBC的度數(shù)分別為x和y，那么所適合的一個(gè)方程組是（）A．y?x=80°y+x=120° B．y?x=80°C．x?y=80°y+2x=120° D．【思路引領(lǐng)】根據(jù)菱形的性質(zhì)可得∠ABC＝120°，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得2∠ABE+∠FBC＝120°，再根據(jù)∠BFBC比∠ABE大80°可列出方程組．【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，∠C＝60°，∴∠ABC＝120°，由折疊的性質(zhì)可得2∠ABE+∠FBC＝120°，∵設(shè)∠ABE和∠FBC的度數(shù)分別為x和y，∠BFBC比∠ABE大80°，∴可列方程組y?x=80°y+2x=120°故選：D．【總結(jié)提升】本題考查菱形的性質(zhì)，由實(shí)際問(wèn)題抽象出二元一次方程組，以及翻折變換的問(wèn)題，關(guān)鍵是知道菱形的鄰角和為180°．3．（2023春?臨海市期末）如圖，菱形ABCD中，∠D＝120°，點(diǎn)E在邊CD上，將菱形沿直線AE翻折，使點(diǎn)D恰好落在對(duì)角線AC上，連接BD′，則∠AD′B＝75°．【思路引領(lǐng)】先根據(jù)菱形的性質(zhì)得出AD＝DC＝BC＝AB，CD∥AB，由等邊對(duì)等角得到∠DAC＝∠DCA，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠DAC＝∠DCA=12（180°﹣∠D）＝30°．根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠BAD′＝∠DCA＝30°．由翻折的性質(zhì)得出AD＝AD′，那么AB＝AD′，然后根據(jù)等邊對(duì)等角以及三角形內(nèi)角和定理求出∠AD′B＝∠ABD′=1【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AD＝DC＝BC＝AB，CD∥AB，∴∠DAC＝∠DCA，∵∠D＝120°，∴∠DAC＝∠DCA=12（180°﹣∠∵CD∥AB，∴∠BAD′＝∠DCA＝30°．∵將菱形沿直線AE翻折，使點(diǎn)D恰好落在對(duì)角線AC上，∴AD＝AD′，∴AB＝AD′，∴∠AD′B＝∠ABD′=12（180°﹣∠故答案為75．【總結(jié)提升】本題考查了菱形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理．得出∠BAD′＝30°以及AB＝AD′是解題的關(guān)鍵．類(lèi)型四正方形的折疊【典例6】如圖，在正方形ABCD中，AB＝12，E是AD邊上的一點(diǎn)，將正方形沿CE折疊，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)F，點(diǎn)G為AB的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)F恰好落在線段EG上時(shí)．求證：（1）∠ECG＝45°；（2）AF∥CG．【思路引領(lǐng)】（1）根據(jù)HL證Rt△BCG≌Rt△FCG，再根據(jù)折疊的性質(zhì)即可得出∠ECG=12∠（2）根據(jù)（1）知Rt△BCG≌Rt△FCG，即GF＝BG＝AG，再利用外角的性質(zhì)可得出∠AFG＝∠CGF，即可得出結(jié)論．【解答】證明：（1）由折疊知，CD＝CF，∵四邊形ABCD是正方形，∴CB＝CD＝CF，在Rt△BCG和Rt△FCG中，CB=CFCG=CG∴Rt△BCG≌Rt△FCG（HL），∴∠BCG＝∠FCG，又∵∠FCE＝∠DCE，∴∠ECG＝∠FCG+∠FCE=12∠即∠ECG＝45°；（2）由（1）知Rt△BCG≌Rt△FCG，即GF＝BG＝AG，∠CGF＝∠CGB，∴∠GAF＝∠GFA，∵∠BGF＝∠CGF+∠CGB＝∠GAF+∠GFA，∴∠CGF＝∠CGB＝∠GAF＝∠GFA，∴AF∥CG．【總結(jié)提升】本題主要考查正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【典例7】（2023秋?和平區(qū)月考）如圖，已知在正方形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°．將正方形ABCD折疊，使點(diǎn)B落在DC邊的中點(diǎn)Q處，點(diǎn)A落在P處，折痕為EF．已知BD長(zhǎng)為82（1）求線段AB和線段CF的長(zhǎng)；（2）連接EQ，EQ＝．【思路引領(lǐng)】（1）由對(duì)角線為82，易知邊長(zhǎng)為8．設(shè)CF＝x，由折疊可知在直角三角形CFQ中，由勾股定理有（8﹣x）2＝42+x2，解得x＝3，即可得CF；（2）連接EQ，作EG⊥BC于點(diǎn)G，連接BQ交EF于點(diǎn)H，由折疊知BQ⊥EF，可證明△EGF≌△BCQ（ASA），則GF＝CQ＝4，AE＝BG＝BF﹣GF＝1，在直角三角形PEQ中由勾股定理可求EQ．【解答】解：（1）∵對(duì)角線BD為82，∴AB＝BC＝CD＝AD=8設(shè)CF＝x，由折疊可知QF＝BF＝8﹣x，由于Q為CD中點(diǎn)，則CQ=12在直角三角形CFQ中，由勾股定理可得：（8﹣x）2＝42+x2，解得：x＝3．故CF＝3．（2）如圖所示，連接EQ，作EG⊥BC于點(diǎn)G，連接BQ交EF于點(diǎn)H，由折疊可知AE＝PE，BQ⊥EF，∴∠BFE+∠FBQ＝90°，∵∠BFE+∠GEF＝90°，∴∠FBQ＝∠GEF，在△EGF和△BCQ中，∠GEF=∠CBQEG=BC∴△EGF≌△BCQ（ASA）