高斯賽德爾迭代在圖像去噪中的利用

高斯賽德爾迭代在圖像去噪中的利用重慶理工大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)高斯賽德爾迭代在圖像去噪中的利用高斯賽德爾迭代在圖像去噪中的利用目錄摘要........................................................................IAbstract...................................................................II第一章緒論.............................................................11.1數(shù)字圖像處理.........................................................11.2選題背景及目的.......................................................21.2.1圖像去噪的重要意義.......................................................21.2.2圖像去噪的技術(shù)背景及研究現(xiàn)狀.............................................3第二章圖像去噪技術(shù)研究現(xiàn)狀.............................................52.1常用的圖像平滑技術(shù)...................................................52.1.1簡單的線性平均法.........................................................52.1.2空域低通濾波技術(shù).........................................................62.1.3統(tǒng)計(jì)排序?yàn)V波.............................................................62.1.4小波變換去噪.............................................................72.1.5基于非線性偏微分方程的去噪...............................................72.1.6基于全變差的圖像去噪模型.................................................7第三章TV去噪模型..........................................................9**********畢業(yè)論文高斯賽德爾迭代在圖像去噪中的利用3.1變分原理.............................................................93.2全變差去噪模型......................................................103.3雅可比迭代..........................................................113.4高斯賽德爾迭代......................................................12第四章用高斯賽德爾迭代處理L1/TV去噪模型..................................144.1理論基礎(chǔ)............................................................144.2收斂性分析..........................................................174.3去噪算法............................................................22第五章數(shù)值試驗(yàn)............................................................265.1算法1程序..........................................................265.2算法2程序..........................................................295.3結(jié)果比較............................................................32致謝.......................................................................32參考文獻(xiàn)...................................................................33重慶理工大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)高斯賽德爾迭代在圖像去噪中的利用摘要圖像是人們認(rèn)識客觀世界最重要的手段之一。在數(shù)字圖像處理中，由于受到成像方法和條件的限制以及外界干擾，圖像信號不可避免地受到噪聲信號污染。圖像中的邊緣、細(xì)節(jié)特征等重要信息常湮沒于噪聲信號中，給圖像的后記處理如邊緣檢測、圖像分割、圖像匹配等帶來很大影響，所以有必要對圖像在預(yù)處理階段去噪。圖像去噪是圖像預(yù)處理中一項(xiàng)應(yīng)用非常廣泛的技術(shù)，其原理是利用噪聲信號和圖像信號在頻域上的分布的不同進(jìn)行的。L1/TV是一種噪模型的成功在于利用了自然圖像內(nèi)在的正則性，易于從噪聲圖像的解中反映真實(shí)圖像的幾何正則性，比如邊界的平滑性。將高斯賽德爾迭代用在L1/TV去噪模型中可以加速程序的運(yùn)行。關(guān)鍵詞:圖像去噪,L1/TV去噪模型,高斯賽德爾迭代I**********畢業(yè)論文高斯賽德爾迭代在圖像去噪中的利用AbstractWecometoknowtheworldbyimagesusually.Indigitalimageprocessing,duetotheimagingmethodsandoutsideinterference,theimagesignalisinevitablycontaminatedbynoisesignals.Edgesintheimage,minutiaeandotherimportantinformationoftenburiedinthenoisesignalintheafterwordtotheimageprocessingsuchasedgedetection,imagesegmentation,imagematching,etc.haveagreatimpact,itisnecessaryforimagedenoisinginthepreprocessingstage.Imagedenoisingofimagepreprocessinginaverywiderangeoftechnicalapplications,theprincipleistheuseofnoisesignalsandimagesignalsinthefrequencydomainforthedistributionofdifferent.L1/TVisanoisemodel'ssuccessliesintheinherentadvantageofthenaturalimageofregular,easysolutionfromthenoiseintheimagereflectthetrueimageofthegeometricregularity,suchasthesmoothnessoftheboundary.IterationisusedintheGauss-SeidelL1/TVdenoisingmodelcanacceleratetheprogramtorun.Resistance,suchasthesmoothnessoftheboundary.Keywords:Imagedenoising,L1/TVdenoisingmodel,Gauss-SeideliterationII重慶理工大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)高斯賽德爾迭代在圖像去噪中的利用第一章緒論圖像信息作為傳遞信息的重要媒體和手段，在日常的學(xué)習(xí)和生活中，圖像都是必不可少的組成部分，他為人類構(gòu)建了一個(gè)形象的思維模式，有助于我們學(xué)習(xí)，思考問題。俗話說“百聞不如一見”，“一目了然”都反映了圖像在傳遞信息中的獨(dú)到之處。1.1數(shù)字圖像處理數(shù)字圖像又稱為數(shù)位圖像，是二維圖像用有限數(shù)字?jǐn)?shù)值像素的表示。數(shù)字圖像是由模擬圖像數(shù)字化得到的、以像素為基本元素的、可以用數(shù)字計(jì)算機(jī)或數(shù)字電路存儲(chǔ)和處理的圖像。數(shù)字圖像可以表示為一個(gè)矩陣F,(u)i,jM，Nu,u(i,j),1,i,M,1,j,N,0,u,255其中，i,ji,j數(shù)字圖像處理最早出現(xiàn)于20世紀(jì)50年代，當(dāng)時(shí)的電子計(jì)算機(jī)已經(jīng)發(fā)展到一定水平，人們開始利用計(jì)算機(jī)來處理圖形和圖像信息。數(shù)字圖像處理作為一門學(xué)科大約形成于20世紀(jì)60年代初期。早期的圖像處理的目的是改善圖像的質(zhì)量，它以人為對象，以改善人的視覺效果為目的。圖像處理中，輸入的是質(zhì)量低的圖像，輸出的是改善質(zhì)量后的圖像，常用的圖像處理方法有圖像增強(qiáng)、復(fù)原、編碼、壓縮等。首次獲得實(shí)際成功應(yīng)用的是美國噴氣推進(jìn)實(shí)驗(yàn)室(JPL)。他們對航天探測器徘徊者7號在1964年發(fā)回的幾千張?jiān)虑蛘掌褂昧藞D像處理技術(shù)，如幾何校正、灰度變換、去除噪聲等方法進(jìn)行處理，并考慮了太陽位置和月球環(huán)境的影響，由計(jì)算機(jī)成功地繪制出月球表面地圖，獲得了巨大的成功。隨后又對探測飛船發(fā)回的近十萬張照片進(jìn)行更為復(fù)雜的圖像處理，以致獲得了月球的地形圖、彩色圖及全景鑲嵌圖，獲得了非凡的成果，為人類登月創(chuàng)舉奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，也推動(dòng)了數(shù)字圖像處理這門科學(xué)的誕生。在以后的宇航空間技術(shù)，如對火星，土星等星球的探測研究中，數(shù)字圖像處理技術(shù)都發(fā)揮了巨大的作用。數(shù)字圖像處理取得的另一個(gè)巨大成果是在醫(yī)學(xué)上獲得的成果。1**********畢業(yè)論文高斯賽德爾迭代在圖像去噪中的利用1.2選題背景及目的1.2.1圖像去噪的重要意義現(xiàn)實(shí)中數(shù)字圖像在數(shù)字化傳輸過程中常受到成像設(shè)備與外部環(huán)境噪聲干擾等影響，稱為含噪圖像或噪聲圖像。減少數(shù)字圖像中噪聲的過程稱為圖像去噪。圖像去噪從整個(gè)圖像分析的流程上來講屬于圖像的預(yù)處理階段，從數(shù)字圖像處理的技術(shù)角度來說屬于圖像恢復(fù)和圖像的交叉范疇，它的的存在有著非常重要的意義，主要表現(xiàn)在:(1)由于不同的成像機(jī)理，得到的初始圖像中都含有大量不同性質(zhì)的噪聲，這些噪聲的存在影響著人們的對圖像的觀察，干擾人們對象信息的理解。噪聲嚴(yán)重的時(shí)候，圖像幾乎產(chǎn)生變形，更使得圖像失去了存儲(chǔ)信息的本質(zhì)意義。顯然，對圖像進(jìn)行去噪處理是正確識別圖像信息的必要保證。(2)除了能提高人類視覺識別信息的準(zhǔn)確性，對圖像進(jìn)行去噪的意義還在于它是對圖像作進(jìn)一步處理的可靠保證。如果對一副含有噪聲的圖像進(jìn)行特征提取，配準(zhǔn)或者圖像融合等處理，其結(jié)果肯定不能令人滿意，所以圖像去噪是必需的。另外，噪聲影響圖像處理中圖像輸入，采集，處理的各個(gè)環(huán)節(jié)以及輸出結(jié)果的全過程。特別是圖像采集階段的噪聲是個(gè)關(guān)鍵的問題，若輸入有較大噪聲的信號，那么必然影響圖像處理的全過程，以至影響輸出結(jié)果。因此去噪是圖像處理中極重要的步驟，一個(gè)良好的圖像處理系統(tǒng)不論是模擬處理還是數(shù)字處理，都把第一級的噪聲減少作為重要工作。例如，氣象衛(wèi)星接收的前級放大要求用液氮冷卻方法器。噪聲是圖像干擾的重要原因。一副圖像在實(shí)際應(yīng)用中可能存在各種各樣的噪聲，這些噪聲可能在傳輸中產(chǎn)生，也可能在量化等處理中產(chǎn)生。根據(jù)噪聲和信號的關(guān)系可將其分為三種形式:(1)加性噪聲，此類噪聲與輸入圖像信號無關(guān)，含噪圖像可表示為:f(x,y)g(x,y)n(x,y),，,信道噪聲及光導(dǎo)攝像管的攝像機(jī)掃描圖像時(shí)產(chǎn)生的噪聲就是這類噪聲。(2)乘性噪聲，此類噪聲與圖象信號有關(guān)，含噪圖象可表示為:f(x,y)g(x,y)n(x,y)g(x,y),，,飛點(diǎn)掃描器掃描圖像時(shí)的噪聲，電視圖像中的相干噪聲，膠片中的顆粒噪聲就屬于此類噪聲。(3)量化噪聲，此類噪聲與輸入圖像信號無關(guān)，是量化過程存在量化誤差，再反映到接收端而產(chǎn)生。2**********畢業(yè)論文高斯賽德爾迭代在圖像去噪中的利用其中表示給定原始圖像，表示圖像信號，表示噪聲g(x,y)n(x,y)f(x,y)圖像去噪指的是利用各種濾波模型，通過多點(diǎn)平滑等方法從已知的含有噪聲的圖像中去掉噪聲成分。一般而言，人們希望知道的是真實(shí)圖像，而觀測到的往往都是受了不可預(yù)知的噪聲污染了的圖像。這些噪聲的存在使得多觀測到圖像模糊不清，該注意的細(xì)節(jié)被忽略，該識別的目標(biāo)變得不可識別，嚴(yán)重影響了圖像的應(yīng)用效果。為了抑制圖像中的噪聲，可以用是很多常規(guī)的方法，例如均值濾波、中值濾波、順序統(tǒng)計(jì)濾波、維納濾波、低通濾波，以及由這些濾波方法衍生而來的許多其他濾波器，包括模糊濾波器、基于邊緣特征的濾波器、自適應(yīng)均值濾波器等，上述各種濾波方法都在一定程度上濾除圖像中存在的噪聲。但是，這些常規(guī)的方法在濾除噪聲的同時(shí)，往往會(huì)損失目標(biāo)圖像中的高頻信息，引起邊緣和紋理的模糊。所以，在去除噪聲的過程中，存在噪聲抑制與邊緣保留(不損失空間分辨率)之間的矛盾，有必要尋找更好的去噪方法，在抑制噪聲的同時(shí)，還能保持邊緣和紋理信息，以便更好地恢復(fù)噪聲污染引起的圖像質(zhì)量退化。1.2.2圖像去噪的技術(shù)背景及研究現(xiàn)狀圖像去噪的方法從處理域的角度可以劃分空域去噪和頻域去噪兩種處理方法，前者是在圖像本身存在的二維空間里對其進(jìn)行處理，根據(jù)不同的性質(zhì)又可以分為線性處理方法和非線性處理方法;而后者則是用一組正交函數(shù)系來逼近元圖像信號函數(shù)，獲得相應(yīng)的系數(shù)，將對原信號的分析轉(zhuǎn)化到了對應(yīng)的系數(shù)空間域，即頻域中進(jìn)行?？臻g域的線性濾波算法理論發(fā)展較為成熟，數(shù)字分析簡單，對濾除與信號不相關(guān)的隨機(jī)噪聲效果顯著，但是它本身存在著明顯的缺陷，如需要隨機(jī)噪聲的先驗(yàn)統(tǒng)計(jì)知識，對圖像邊緣細(xì)節(jié)保護(hù)能力較差等，特別是后者使得線性濾波無法很好的適應(yīng)于圖像的噪聲濾除處理。與線性濾波相對應(yīng)的非線性濾波大都考慮到了人的視覺標(biāo)準(zhǔn)和最佳濾波準(zhǔn)則，提高了圖像分辨率和邊緣保護(hù)能力，特別是一些改進(jìn)后的非線性濾波方法一般都具有一定的自適應(yīng)性，這就使得非線性濾波的功能更為強(qiáng)大，可以廣泛地應(yīng)用到醫(yī)學(xué)、遙感等領(lǐng)域的圖像處理中。1971年，圖基(Turky)提處理中值濾波的思想，并首先應(yīng)用于世界序列的分析中，后來這種方法被引入到圖像處理中，用來濾除圖像的噪聲收到了良好的效果。隨之而來的各種中值濾波的改進(jìn)方案。其中有一種被稱為自適應(yīng)加權(quán)中值濾波的改進(jìn)算法引起了人們的關(guān)注，這種方法最突出的特點(diǎn)是具有自適應(yīng)的性能并且對圖像的邊緣保護(hù)能力較傳統(tǒng)算法具有明顯提高。3**********畢業(yè)論文高斯賽德爾迭代在圖像去噪中的利用基于頻域的數(shù)字濾波方法最早可以追溯到傅立葉變換的使用。1822年法國數(shù)學(xué)家Fourier在研究熱傳導(dǎo)理論時(shí)提出并證明了將周期函數(shù)展開為正玄級數(shù)的原理，奠定了傅立葉變換的理論基礎(chǔ)。1946年Gabor在傅立葉變換的基礎(chǔ)上提出了一種加窗傅立葉變換(也稱為短時(shí)傅立葉變換)，通過特定的平移窗函數(shù)來分解信號的頻譜，提取出的它的局部信息，提高時(shí)間分辨能力。這種思想為后來的小波多尺度分析信號思想的引入起到了啟發(fā)作用。小波分析的概念是由法國從事石油勘測信號處理的地球物理學(xué)家Morlet在1984年提出來的。1986年著名數(shù)學(xué)家Mcyer和Mallat合作建立了構(gòu)造小波函數(shù)的統(tǒng)一方法——多尺度分析，從此小波分析已經(jīng)深入到了非線性逼近、統(tǒng)計(jì)信號處理等領(lǐng)域，其特殊的時(shí)頻分辨能力使它已經(jīng)基本取代了傳統(tǒng)的頻域分析方法。4**********畢業(yè)論文高斯賽德爾迭代在圖像去噪中的利用第二章圖像去噪技術(shù)研究現(xiàn)狀2.1常用的圖像平滑技術(shù)常用的圖像平滑技術(shù)可以在空間域或者頻率域進(jìn)行處理。一般可以分為線性濾波和非線性濾波。2.1.1簡單的線性平均法簡單的線性平均算法是一種直接在空間域上進(jìn)行平滑處理的技術(shù)。假設(shè)圖像是許多灰度恒定的小塊組成，相鄰像素間存在很高的空間相關(guān)性，而噪聲則是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。故可用像素領(lǐng)域內(nèi)的各像素的灰度平均值代替該像素原來的灰度值，實(shí)現(xiàn)圖像的平滑。就是對含有噪聲的原始圖像的每個(gè)像素點(diǎn)取一個(gè)鄰域S，計(jì)算S中所有像素灰度的平均值，u(x,y)再把此灰度值賦予該區(qū)域的中點(diǎn)，作為該點(diǎn)的新灰度，典型公式為:(x,y)g(x,y)1g(x,y),u(x,y)(2.1),M(x,y),SN，NSS式中為;x,y0,1,2,,N1,,？;為鄰域中的像素點(diǎn)數(shù)，鄰域可取四點(diǎn)Mu(x,y)鄰域、八點(diǎn)鄰域。簡單線性平均法的處理效果與所用的鄰域半徑有關(guān)。半徑越大，則圖像的模糊成都也越大。另外簡單線性平均法算法簡單，計(jì)算速度快，但它的主要缺點(diǎn)是在降低噪聲的同時(shí)使用圖像產(chǎn)生模糊，特別在邊緣和圖像細(xì)節(jié)處，鄰域越大，模糊越厲害。為了減少這種效應(yīng)，對上述算法稍加改進(jìn)，可以導(dǎo)出一種超限像素平滑法(閾值法):11,u(x,y),|u(x,y)u(x,y)|T,,,,,g(x,y),MM(2.2),(x,y),S(x,y),S,u(x,y),其他,式中T為選定的一個(gè)非負(fù)閾值。對于一個(gè)給定的半徑，利用閾值法可以減少由于鄰域平均所產(chǎn)生的模糊效應(yīng)。這種算法對抑制椒鹽噪聲比較有效，對保護(hù)僅有微小灰度差的細(xì)節(jié)及紋理也有效。為解決鄰域平均法造成圖像的模糊問題，可采用閾值法、K點(diǎn)鄰域平均法、梯度倒數(shù)加權(quán)平滑法、最大均勻性平滑法、小斜面模型平滑法等。他們討論的重點(diǎn)都在于如何選擇鄰域的大小、形狀和方向，如何選擇參加平均的點(diǎn)數(shù)以及鄰域各點(diǎn)的權(quán)重系數(shù)等。5**********畢業(yè)論文高斯賽德爾迭代在圖像去噪中的利用2.1.2空域低通濾波技術(shù)從信號頻譜角度來看，信號的緩慢變化部分在頻率域?qū)儆诘皖l部分，而信號的迅速變化部分在頻率域?qū)儆诟哳l部分。對圖像信號來說，它的邊緣頻率分量和噪聲都處于頻率域較高部分。因此可以從空間域的卷積來實(shí)現(xiàn)，為此只要適當(dāng)?shù)卦O(shè)計(jì)空間域系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)矩陣就可以達(dá)到濾除噪聲的效果，即采用下式:kl(2.3)g(x,y),u(x,r,y,s)H(r,s),,,,,,rkklg(x,y)為濾波輸出的數(shù)字圖像，u(x,y)是待濾波的噪聲圖像，H(r,s)是設(shè)定的模板(濾波器)的響應(yīng)，模板的尺寸一般取奇數(shù)(如等)，這樣是為了可以把待處理像素置3，3,5，5于模板中央，避免有像素的位差。由于模板尺寸小，因此具有計(jì)算量小、使用靈活、適于3，3并行運(yùn)算等優(yōu)點(diǎn)。常見的低通濾波器(模板)有:111111121，，，，，，11,,,,,,1,111,,121,,242HHH12316,,,,,,910,,,,,,111111121，，，，，，2.1.3統(tǒng)計(jì)排序?yàn)V波統(tǒng)計(jì)排序?yàn)V波是一種非線性的空間濾波技術(shù)，它的響應(yīng)基于圖像濾波器包圍的圖像區(qū)域中像素的排序，然后由統(tǒng)計(jì)排序結(jié)果決定的值代替中心像素的值。統(tǒng)計(jì)濾波器最常見，應(yīng)用最廣泛的就是中值濾波器，中值濾波也是當(dāng)前應(yīng)用最廣泛的空間域非線性濾波技術(shù)，它由于在實(shí)際運(yùn)算過程中并不需要圖像的統(tǒng)計(jì)特性，所以比較方便。中值濾波首先是被應(yīng)用在一維信號處理技術(shù)中，后來被二維圖像信號處理技術(shù)所引用。對于一定類型的隨機(jī)噪聲，它提供了一種優(yōu)秀的去噪能力，比小尺寸的線性平均濾波器的模糊程度明顯要低，它對處理脈沖噪聲(椒鹽噪聲)最為有效。這是因?yàn)橹兄禐V波的輸出像素是由鄰域像素點(diǎn)的中間值決定的，因而中值濾波對極限像素(與周圍像素灰度值差別較大的像素)遠(yuǎn)不如線性平均法敏感，從而可以消除孤立的噪聲點(diǎn)，產(chǎn)生較少的模糊。但是對一些細(xì)節(jié)多，特別是點(diǎn)、線、尖頂細(xì)節(jié)多的圖像不宜采用中值濾波的方法。6**********畢業(yè)論文高斯賽德爾迭代在圖像去噪中的利用2.1.4小波變換去噪近年來，小波變化理論得到了非常迅速的發(fā)展，而且由于其具備良好的時(shí)頻局部化能力和多分辨率分析能力，因而在圖像處理各鄰域有非常廣泛的應(yīng)用。在去噪鄰域中，小波理論深受許多學(xué)者的重視，他們應(yīng)用小波變化進(jìn)行去噪，并獲得了非常好的效果。小波分析在信號去噪方面所變現(xiàn)出的優(yōu)勢及其潛力一直是研究的熱點(diǎn)，而且也取得了一定的成果。目前，小波去噪方法大概可分為三大類:第一類方法是Mallat提出的小波變換極大值去噪方法;第二類方法是基于小波變換的相關(guān)去噪方法;第三類是Donoho提出的閾值方法。2.1.5基于非線性偏微分方程的去噪偏微分方程去噪理論首先是從高斯濾波引入的，理論研究和數(shù)值運(yùn)算均表明，大部分線性濾波算子的極限都是一個(gè)微分算子。并且它是一個(gè)熱傳導(dǎo)方程的解。它可以視為一個(gè)各向同性均勻的熱擴(kuò)散過程，一個(gè)自然的想法就是考慮利用圖像結(jié)構(gòu)的先驗(yàn)信息，減少在邊緣處的擴(kuò)散以在去噪的同時(shí)更好地保持邊緣。一個(gè)簡單的思路是將梯度算子作為邊緣檢測算子，來控制擴(kuò)散的速度。2.1.6基于全變差的圖像去噪模型最具有代表性的變分模型是由Rudin等提出的全變差(TV)去噪模型，此模型的優(yōu)點(diǎn)是在有效地去除噪聲的同時(shí)可以很好地保持原圖像的邊緣特征，但是該模型的缺點(diǎn)是會(huì)產(chǎn)生階梯效應(yīng)，近幾年高階模型已被證明是抑制階梯效應(yīng)的有效方法之一。在實(shí)踐中，在噪聲中估計(jì)一個(gè)真實(shí)的信號，最常用的方法是基于最小二乘法的。理由來自一個(gè)統(tǒng)計(jì)，統(tǒng)計(jì)參數(shù)表明最小二乘法估計(jì)是整個(gè)系統(tǒng)的所有照片中最好的。這個(gè)過程是范數(shù)依賴。然而，它被推測出來。它認(rèn)為適當(dāng)?shù)臉?biāo)準(zhǔn)圖像是總變差(TV)的標(biāo)準(zhǔn)，而不是L2范數(shù)。TV規(guī)范本質(zhì)是L1規(guī)范衍生品，因此，L1估計(jì)程序更適合主題的圖像估計(jì)(恢復(fù))。當(dāng)準(zhǔn)確估計(jì)不連續(xù)的解決方案是必需的時(shí)候，有界總變差的空間函數(shù)扮演一個(gè)重要的角色。在歷史上，L1評估方法將回溯到伽利略(1632)和拉普拉斯(1793)。相比于封閉形式的線性解決方案的最小二乘法是好理解和容易計(jì)算的特性，L1估計(jì)法是非線性和計(jì)算復(fù)雜的。最近，L1估計(jì)這個(gè)話題的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)重新受到統(tǒng)計(jì)界的關(guān)注。借鑒以往的與沖擊相關(guān)的圖像增強(qiáng)經(jīng)驗(yàn)，我們提出去噪圖像通過最小化總變差范數(shù)估計(jì)的解決方案。我們得出一7**********畢業(yè)論文高斯賽德爾迭代在圖像去噪中的利用個(gè)約束優(yōu)化算法，就是一個(gè)隨時(shí)間變化的非線性偏微分方程，其中的限制是噪聲統(tǒng)計(jì)。傳統(tǒng)的方式是在試圖減少或者移除噪聲成份之前先做進(jìn)一步的圖像處理操作。這是本文采取的方法。然而，同樣的TV/L1理念可以用來設(shè)計(jì)與其他噪聲敏感處理任務(wù)相結(jié)合去噪的混合算法。8**********畢業(yè)論文高斯賽德爾迭代在圖像去噪中的利用第三章TV去噪模型3.1變分原理,D變分預(yù)備定理:設(shè)D為某平面區(qū)域，它的邊界為，函數(shù)，以及對任意f(x,y),c(D)函數(shù)，且，都有,(x,y)|,0,(x,y),c(D),D(3.1)f(x,y),(x,y)dxdy,0,,D則在區(qū)域D上，。f(x,y)0,探求泛函:,,uu,(3.2)V[u(x,y)]F(x,y,u,,)dxdy,,,,ryD的極值。其中滿足一定的邊界條件，且二階可微。根據(jù)一個(gè)自變量函數(shù)的泛函的泛u(x,y)函性質(zhì)，函數(shù)V的一階變分(3.3),V(u,,),I(u，,),I(u)用泰勒級數(shù)展開，可得,,,,,FFF,,,，，V(u,)()dxdy(3.4),,,,,,,,,,uxpyqD,u,u,(x,y)且在邊界,D上為零，而p,,q,其中:,,,x,y函數(shù)V去得其極值的一個(gè)必要條件是，它的一階變分為零，即,F,,F,,F,,V(u,),(，，)dxdy,0(3.5),,,,,,u,x,p,y,qD上式可寫為,,,,,FFF,,,,V(u,,),(()())dxdy,,,,,,,uxpyqD,,F,,F,w,F,,F,,((()，())，(，))dxdy,0+,,,,x,p,y,q,x,p,y,qD由格林公式，上式可簡化為9**********畢業(yè)論文高斯賽德爾迭代在圖像去噪中的利用,F,,F,F,F(3.6),V(u,,),w(,())dxdy，w(dx,dy),0,,,,u,r,q,p,qD,,,(x,y),D因?yàn)樵谶吔缟蠟榱?，方程中第二個(gè)積分為零。但是在區(qū)域D不為零，,(x,y)且是任意的，由變分預(yù)備定理，在使極值實(shí)現(xiàn)的曲面上，有u,u(x,y),F,,F,,F(3.7),(),(),0,u,x,q,y,q,,uu即函數(shù)使泛函V[(,)],(,,,,)取極值的必要條件是滿足偏微分uxyFxyudxdyu(x,y),,,,xyD,F,,F,,F方程這就是具有兩個(gè)獨(dú)立自變量的Eular-Largrange方程。,(),(),0,u,r,p,y,q3.2全變差去噪模型全變差(TV，TotalVariation)去噪模型的成功在于利用了自然圖像內(nèi)在的正則性，易于從噪聲圖像的解中反映真實(shí)圖像的幾何正則性，比如邊界的平滑性。1992年，Rudin，Osher，F(xiàn)atemi等人得全變差引入圖像處理領(lǐng)域用以解決圖像去噪問題。他們提出如下帶限制條件的極小化方程:minE(u),|,u|dxdy(3.8)u,,,u其中滿足如下的兩種約束:u(x,y)dxdy,u(x,y)dxdy0,,,,,,122(u(x,y),u(x,y))dxdy,,0,,,,2假如所加噪聲的均值為零，方差為,。通過引入拉格朗日乘子可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)與其相應(yīng),的不帶限制條件的極小化問題,2minE(u),,udxdy，u(x,y),u(x,y)dxdy(3.9)u0,,,,2,,,,0其中是拉格朗日乘子，與原來的極小化問題相應(yīng)的Eular-Lagrange方程的發(fā)展方程的初邊界問題為:10**********畢業(yè)論文高斯賽德爾迭代在圖像去噪中的利用,u,udivuu,(),(,),t0,u,,(3.10)uxyuxy(,:0),(,),0,,u|0,，,,,，H,n,為參數(shù)，當(dāng)較大時(shí)，對應(yīng)極小值較小，即比較光滑;當(dāng)較小時(shí)，對應(yīng)極u,udxdy,,,,,,小值較大，即比較粗糙，但是能起到保護(hù)突出邊緣信息的作用，減少誤差。u,udxdy,,,Strong，Blomgrem和Chan等人將ROF模型中的系數(shù)取為空間變量x的函數(shù)，提出具有尺度和空間適應(yīng)性的多變差格式,2(3.11)minE(u),((x,y),u，u,u)dxdy,u0,,2,其中稱為邊緣檢測函數(shù)，它賴于細(xì)節(jié)信息和噪聲水平。一般地，選為光滑單調(diào)減,(x),(x)函數(shù)，在圖像邊緣處為0，區(qū)域內(nèi)部取1，通常1,(x),g(,G*u),,k,01，k,G*u(3.12)與上式的Eular-Lagrange方程相應(yīng)的發(fā)展方程為,uu,div,((x,y)()),,(u,u)(3.13)t0,uu(x,y:0),u(x,y)初始條件為。0該模型允許根據(jù)圖像的梯度模大小實(shí)現(xiàn)有選擇的擴(kuò)散磨光，這樣模型在邊緣處實(shí)行弱光滑以保護(hù)重要信息。3.3雅可比迭代設(shè)線性方程組Ax,ba,a,,a？的系數(shù)矩陣A可逆且主對角元素均不為零,令1122nn，，D,diaga,a,...,a1122nn并將A分解成，，A,A,D，D從而(1)可寫成11**********畢業(yè)論文高斯賽德爾迭代在圖像去噪中的利用，，Dx,D,Ax，b令x,Bx，f11,,11其中.B,,,IDA,fDb11為迭代矩陣的迭代法(公式)以B11，，，，k，kx,Bx，f11稱為雅可比(Jacobi)迭代法(公式),用向量的分量來表示,(4)為n1，1(k)(k)x,b,ax,,,iiijj,1jaii,,ji,i,1,2,...n,k,0,1,2,...,0(0)(0)(0)T其中為初始向量.x,(x,x,,x)？12n由此看出,雅可比迭代法公式簡單,每迭代一次只需計(jì)算一次矩陣和向量的乘法.在電(k)(k1)，算時(shí)需要兩組存儲(chǔ)單元,以存放及xx。3.4高斯賽德爾迭代k(k1)，由雅可比迭代公式可知,在迭代的每一步計(jì)算過程中是用x的全部分量來計(jì)算的x(k1)，(k1)(k1)，，所有分量,顯然在計(jì)算第i個(gè)分量時(shí),已經(jīng)計(jì)算出的最新分量沒有被利用，xx,,x？1i1,i從直觀上看,最新計(jì)算出的分量可能比舊的分量要好些.因此，對這些最新計(jì)算出來的第(k1)，(k1)，xk1，次近似x的分量加以利用,就得到所謂解方程組的高斯—塞德(Gauss-Seidel)j迭代法.把矩陣A分解成A,D,L,U,,L,UDdiag(a),,a,,a？其中,分別為A的主對角元除外的下三角和上三角部分,于1122nn是,方程組(1)便可以寫成，，D,Lx,Ux，b即x,Bx，f22其中12**********畢業(yè)論文高斯賽德爾迭代在圖像去噪中的利用,1,1，，，，B,D,LU,f,D,Lb22以為迭代矩陣構(gòu)成的迭代法(公式)B21，，，，k，kx,Bx，f22稱為高斯—塞德爾迭代法(公式),用量表示的形式為i,1n1(k，1)(k，1)(k),,x,b,ax,ax,,iiijjijjj,，11j,ia,ii,i,1,2,？n,k,0,1,2,...,由此看出,高斯—塞德爾迭代法的一個(gè)明顯的優(yōu)點(diǎn)是,在電算時(shí),只需一組存儲(chǔ)單元(k1)，(k)(k1)，(k)(計(jì)算出后不再使用,所以用沖掉,以便存放近似解.xxxxiiii13**********畢業(yè)論文高斯賽德爾迭代在圖像去噪中的利用第四章用高斯賽德爾迭代處理L1/TV去噪模型4.1理論基礎(chǔ)mm一個(gè)圖像可以看作在空間下的一個(gè)向量，表示一個(gè)圖像的列按照順序連接起來，RR21我們用和分別表示內(nèi)積和在歐幾里德空間H下范數(shù)，當(dāng)然用來表示范數(shù)。,,,,,ll||,||||,||1在歐幾里德空間H下的特展函數(shù)，即，有一個(gè)非空的域(函數(shù)所表示的集H,{，,},,合是有限的集合)，的鄰近云算子用prox表示，它是一個(gè)H到自身的映射，對于一個(gè)給,,x,H定的向量來說，可以得到:12prox,argmin{,(u)，||u,x||:u,H},2函數(shù)的次微分定義為:,,,(x):,{y:y,H,,(z),,(x)，,y,z,x,對于所有的z,H}函數(shù)的次微分和的鄰近元算子是密切相關(guān)的，特別對于在下，我們可以得x,,,y,H,,到y(tǒng),,,(x)當(dāng)且僅當(dāng)x,prox(x，y)(4.1),對于這個(gè)關(guān)系的討論，請看文獻(xiàn)[10]。我們考慮的的變分問題就是:m(4.2)min{,||u,x||，(,,B)(u):u,R}1mm,RR其中x是一個(gè)給定的向量在下，是一個(gè)正數(shù)，是一個(gè)在下的凸函數(shù)，B是一個(gè),2m，mn，m的矩陣。在L1/TV模型中，B是一個(gè)的一階微分矩陣，是在非同向全變差下,12的范數(shù)或者是同向性全變差下的范數(shù)，因此，函數(shù)是在圖像去噪的模型中正則項(xiàng)ll,,B全變差的通用形式。由于這個(gè)原因，我們稱上面的變分模型為L1/TV模型，我們的主要目標(biāo)是提供一個(gè)解決L1/TV模型的可選標(biāo)號。L1/TV模型允許我們通過使用高斯賽德爾組件來加快結(jié)果鄰近算法。mm,令，為一個(gè)正數(shù)，如果是變分問題(2)的的一個(gè)解，那么對于任意x,Ru,R2，存在一個(gè)向量有b,R,,,,014**********畢業(yè)論文高斯賽德爾迭代在圖像去噪中的利用T(4.3)u,x，prox(u,x,,Bb)1||,||1,(4.4)b,(I,prox)(Bu，b)1,,,,當(dāng)(4.5):,,,mm相反地，如果存在滿足等式(3)和(4)那么u就是變分問題(2),,0,,,0,b,R,u,R的一個(gè)解。固定點(diǎn)等式(3)和(4)產(chǎn)生迭代算法對于一個(gè)變分問題的解。特別地，對于給定的向量0m0n和，N是所有自然數(shù)的集合，我們得到:k,N:,{0},Nu,R,b,R0k，1kTk,,，,,uxprox(uxBb),1||,||1,,,k，1k，1k(4.6)b,(I,prox)(Bu，b)1,,,,，文獻(xiàn)【10】提供對于算法(6)的實(shí)現(xiàn)需要一個(gè)有效、方便的方法計(jì)算出prox,prox11,,||||1,,1proxprox計(jì)算的一個(gè)顯式的公式，可以被確定為著名的收縮算子在閾值下。盡管11||,||||,||11,,,1在函數(shù)下計(jì)算出是很難的，然而，在圖像處理環(huán)境喜愛，函數(shù)是或者是范prox,,l||,||11,,數(shù)的變體，因此就可以很容易的計(jì)算了。prox1,,mkknR這個(gè)迭代算法產(chǎn)生一個(gè)序列在下和一個(gè)序列，我們把這D:,(u:k,N)B:,(b:k,R)mmkkR，R兩個(gè)序列合并成一個(gè)序列在中。更詳細(xì)地說，參數(shù)在U，B:,((u,b):k,N),,,算法中是如何迭代更新的，將會(huì)在第4部分提供，這里面的鄰近算法將會(huì)在MSXZ中引用到。一個(gè)MSXZ的仔細(xì)檢查顯示了特定組件的高斯賽德爾迭代應(yīng)用算法和原始的原始的算法是一樣的，換句話說，特定組件的高斯賽德爾爹地應(yīng)用算法并不會(huì)改變這個(gè)算法。這使得我們重新調(diào)整描述L1/TV模型的解為了能用高斯賽德爾迭代策略加速算法。最后，對一個(gè)正n，m數(shù)和一個(gè)矩陣，我們定義,TB,I,,BB,我們得出L1/TV模型解的一個(gè)可選標(biāo)號如下:15**********畢業(yè)論文高斯賽德爾迭代在圖像去噪中的利用m讓x在中，是一個(gè)正數(shù)，如果u是變分問題(2)的一個(gè)解那么對于任意的正數(shù)，,R,,,,0n存在兩個(gè)向量d,b在中有:RT(4.7)u,x，prox(Bu,x,,B(b,d))1,||,||,(4.8)d,prox(Bu，b)1,,(4.9)b,Bu，b,dnnm當(dāng)是在(5)中定義的正數(shù)，相反地，如果存在滿足等,,,0,,,0,d,R,b,R,u,R式(7)(8)(9)，那么u就是變分問題(2)的一個(gè)解。m基于不動(dòng)點(diǎn)等式(7)，(8)，(9)對于三個(gè)向量(u,d,b),我們產(chǎn)生一個(gè)序列U在和兩Rn0m0n0n個(gè)序列D，B在中，從任意的初始化向量中，迭代如下所示:Ru,R,d,R,b,Rk，1kTkk,u,x，proxBu,x,,Bb,d(()),1||,||1,,,k，1k，1k()d,proxBu，b(4.10),1,,,k，1k，1kk，1,b,Bu，b,d,接下來的部分，我們將會(huì)分析Picard迭代的收斂性。kprox根據(jù)鄰近運(yùn)算子在特定組件的表現(xiàn)，我們可以看出在等式(6)中，的第iu1||,||1,k，1kB個(gè)數(shù)僅僅貢獻(xiàn)給的第i個(gè)數(shù)。相反地，在等式(10)中由于向量被矩陣左乘，那uu,k，1么第i個(gè)數(shù)和它的鄰近數(shù)都對的第i個(gè)數(shù)有影響。從矩陣的角度來看，在等式(6)中的ukkBuBB變成了等式(10)中的，也就是說，矩陣I變成了。因此，這個(gè)特殊的結(jié)構(gòu)可u,,,TBB以通過調(diào)正的參數(shù)變化。舉個(gè)例子，當(dāng)B是一階差分矩陣，我們知道的特征值在,,,B[0,8)之間。因此，如果我們選擇使，那么的特征值就會(huì)在區(qū)間[-1,1)中。,,,,,1/4,因此，我們可以設(shè)計(jì)一個(gè)特定組件的高斯賽德爾迭代模式能加快這個(gè)模式的收斂。我們將會(huì)驗(yàn)證這一點(diǎn)在第5部分。k，1k，1k，1最后，我們標(biāo)記在等式(10)中的被看作唯一的解在如下的最小問題中:u,d,b16**********畢業(yè)論文高斯賽德爾迭代在圖像去噪中的利用,,k，1kTkk2m,,,，,，,,uargmin{||ux||||uBuB(bd)||:uR},1,2,,,k，1k，1k2n,d,argmin{(d)，||d,(Bu，b)||:d,R},(4.11)2,,k，1k，1kk，12n,b,argmin{||b,(Bu，b,d)||:b,R},2,當(dāng)前兩個(gè)最小化問題可以直接地從等式(4.10)的前兩個(gè)等式中運(yùn)用定義的鄰近運(yùn)算子獲得，這一點(diǎn)對于證明迭代(4.10)的收斂性是非常有幫助的。4.2收斂性分析這一部分主要是分析迭代模式(4.10)的收斂性分析，對于證明它的特性我們還要依賴于等式(4.11).首先介紹會(huì)頻繁在這一章用到的幾個(gè)概念。令是給定的正數(shù)，對于任何兩個(gè)向,,,,,mn量在R，R中，我們定義:(y,z),(y,z)1122,,,22(4.12)r((y,z),(y,z)):,||y,y||，||z,z||1122212122和(4.13)a((y,z),(y,z)):,,B(y,y),z,z,11222121在這些概念里，我們并不明確顯示在真實(shí)數(shù)中的依附關(guān)系。r,a,,,,,很明顯，我們有對稱的屬性:r((y,z),(y,z)),r((y,z),(y,z))11222211和a((y,z),(y,z)),a((y,z),(y,z))11222211mnnR，R，R此外，我們定義了一個(gè)函數(shù)L(u，d，b)在中作為:(4.14)L(u,d,b):,,||u,x||，,(d)，,,Bu,d,b,1接下來的接個(gè)引理將會(huì)被用來迭代模式(11)的收斂結(jié)構(gòu)中，第一個(gè)引理給出了關(guān)于函數(shù)r和a的定義。首先介紹一個(gè)常量,:,||B||,(4.15)max{||Bx||:||x||,1}當(dāng)是算子范數(shù)||B||mnR，R引理1.如果是在的兩個(gè)向量，那么(y,z),(y,z)112217**********畢業(yè)論文高斯賽德爾迭代在圖像去噪中的利用,|a((y,z),(y,z))|,r((y,z),(y,z))11221122,引理2:令q是在歐幾里德空間H的一個(gè)特展函數(shù)，令是H空間里的兩個(gè)點(diǎn)，令是,u,u0,一個(gè)正數(shù)，那么當(dāng)且僅當(dāng)對于所有的u,H都有:u,prox(u),10q,(4.16)q(u),q(u)，,,u,u,u,u,,0,,,2而且，如果我們定義那么(16)就與下面的不等式相同Q:,q，||,,u||02,2(4.17)Q(u),Q(u)，||u,u||,,2mnn現(xiàn)在我們回到最小化問題(4.11)中，對于一個(gè)給定的三向量，我(u,d,b),R，R，R000mnn們定義如下:(u,d,b),R，R，R,,,,,T2m,,,，,，,,uargmin{||ux||||uBuB(bd)||:uR},,1000,2,,,2n,,，,，,dargmin{(d)||d(Bub)||:dR},,,02,(4.18),2n,bargmin{||bBubd||:bR},,，,,,,0,,2,mnnkkk很明顯，在等式(4.11)中，我們看到當(dāng)向量被替換成向量(u,d,b),R，R，R(u,d,b)000k，1k，1k，1時(shí)，在等式(4.18)中的向量就是在迭代(4.11)中產(chǎn)生的，對(u,d,b)(u,d,b),,,mnn于每一個(gè)，定義:u,R,d,R,b,R,,T2，F(xiàn)(u):,||u,x||，,B(b，Bu,d),u,，||u,u||,,100002,2，G(d):,(d)，||d,(Bu，b)||,,02,2H(b):,,,Bu,d,b,，||b,b||,,,02通過擴(kuò)展在等式(4.18)的第一個(gè)和第三個(gè)等式的二次項(xiàng)，我們得到:mu,argmin{F(u):u,R},nd,argmin{G(d):d,R},nb,argmin{H(b):b,R},應(yīng)用引理(2)到函數(shù)F,G,H中，可以派生出幾個(gè)不等式，這幾個(gè)不等式將會(huì)在后面收斂性18**********畢業(yè)論文高斯賽德爾迭代在圖像去噪中的利用結(jié)果的證明中用到。首先用不等式(4.16)得到:,(d),,(d)，,,d,d,Bu，b,d,,,,0,在上面的不等式中用Bu替換d，用關(guān)系式，它是最優(yōu)化的直接結(jié)果，我b，d,Bu，bb,,,0,們可以得到:(4.19)0,,(d),,(Bu)，,,Bu,d,b,,,,接下來，定義F和H有:TF(u)，H(b),r((u,b),(u,b))，,||u,x||，,,B(b，Bu,d),u,,,,Bu,d,b,001000,,(4.20)mn通過等式(4.17)的最優(yōu)化，我們有對于任何一組有:u,b(u,b),R，R,,,,,22F(u),F(u)，||u,u||,H(b),H(b)，||b,b||,,,,22將會(huì)產(chǎn)生F(u)，H(b),F(u)，H(b)，r((u,b),(u,b)),,,,將上述不等式應(yīng)用到(4.20)中，將會(huì)有:T,,,||u,x||,,||u,x||，,,B(b，Bu,d),u,u,,,,Bu,d,b,b,(4.21),11000,,,,,:,r((u,b),(u,b)),r((u,b),(u,b)),r((u,b),(u,b))當(dāng)00,,00,,將不等式(4.19)和(4.21)進(jìn)行簡單的相加，用函數(shù)L的定義，將會(huì)得到,,L(u,d,b),L(u,Bu,b),,,B(u,u),b,b,(Bu,d),(4.22),,,,000這個(gè)不等式將會(huì)在后面用在收斂性結(jié)果的證明中。下面的引理顯示了如果三向量(u,d,b)是等式(4.7)(4.8)(4.9)的固定點(diǎn)，那么函數(shù)L(,,,,b)會(huì)達(dá)到它的最小值正在(u,d)。mRn，m引理3:令x是在中的向量，B是一個(gè)的矩陣，是一個(gè)特展函數(shù)，如果(u,d,b),是固定點(diǎn)等式(4.7)，(4.8)，(4.9)的的解，那么對于正數(shù)有:,,,,0,,,,mn(u,d),argmin{L(u,d,b):(u,d),R，R}引理4:如果序列U,D,B由迭代模式(10)產(chǎn)生，則滿足mnRR(1)U和B是分別是有界的序列在和19**********畢業(yè)論文高斯賽德爾迭代在圖像去噪中的利用k，1kk，1k(2)lim||u,u||,0,lim||b,b||,0k,,k,,故存在一個(gè)序列收斂于固定點(diǎn)等式(4.7)，(4.8)，(4.9)的解U，D，B現(xiàn)在，我們將會(huì)證明迭代模式(4.10)的收斂性定理。m定理1:如果x是一個(gè)在中的向量，B是一個(gè)的矩陣，是一個(gè)特展函數(shù)，Rn，m,,,,,,是正數(shù)，就有,1,(4.25):,,2,,||B||則由迭代模式(4.10)產(chǎn)生的序列U收斂于變分問題(2)的解kkkk，1k，1k，1迭代模式(4.10)和(4.11)的等式之間可以讓我們確定三元組(u,d,b),(u,d,b)作為(4.18)中的。下面介紹數(shù)量:(u,d,b)000kkk，1k，1k，1k，1kk,:,r((u,b),(u,b)),r((u,b),(u,b)),r((u,b),(u,b))k和k，1k，1kkkL:,,B(u,u),b,b,(Bu,d),kmn通過(4.22)我們有任意一組有(u,b),R，Rkk，1，1(4.26),,L(u,d,b),L(u,Bu,b),,Lkk特別地，當(dāng)我們選擇三元組(u,d,b)是固定點(diǎn)等式(4.7)(4.8)(4.9)的解，通過引理k,N(3)將會(huì)得到對于所有有k，1k，1(4.27)L(u,d,b),L(u,Bu,b),0kkkk,1Bu,d,b,b,,,,L因此，同時(shí)，對于(26)我們可以得到kkk，1k，1kk，1kk,1L,,B(u,u),b,b,,,B(u,u),b,b,kk，1k，1kk通過分解到求和函數(shù)和對于上式和定義(4.13)我們得到B(u,u)B(u,u)B(u,u)等式kk，1k，1k,1kkkk,1k，1kL,a((u,b),(u,b)),a((u,b),(u,b)),a((u,b),(u,b))(4.28)k應(yīng)用引理(1)到(4.28)的對后一項(xiàng)將會(huì)有20**********畢業(yè)論文高斯賽德爾迭代在圖像去噪中的利用,kk,1k，1kkk,1k，1k(4.29)a((u,b),(u,b)),,r((u,b),(u,b)),在(4.15)中已經(jīng)給出，用(4.27)，(4.28)，(4.29)與(4.26)合并，可以得到:,kk，1k，1k,1kkkk,1k，1k(4.30),,,,(a((u,b),(u,b)),a((u,b),(u,b))),,r((u,b),(u,b))k將不等式(4.30)的兩邊從k到q-1求和，可以得到q,1q,1q,1qqp,1ppkk,1k，1k(4.31),,,,(a((u,b),(u,b)),a((u,b),(u,b))),,r((u,b),(u,b)),,kk,pk,p得到公式q,1q,1ppqqk，1k，1kk,,r((u,b),(u,b)),r((u,b),(u,b)),((u,b),(u,b)),,kk,pk,p和不等式:,q,1qqp,1ppa((u,b),(u,b)),r((u,b),(u,b)),由引理(1)又可以得到,kk,1k，1kk，1k，1kkkk,12k，1k2r((u,b),(u,b)),r((u,b),(u,b))，(||b,b||,||b,b||)2不等式(31)可以簡化為:q,1ppqqkkkk，1，1(4.32)r((u,b),(u,b)),(1,,)(r((u,b),(u,b))，r((u,b),(u,b)))，c,pkp,當(dāng),,p,1pppp,12c:,a((u,b),(u,b)),||b,b||,p2,,11,,根據(jù)(4.25)和(4.15)，我們知道即是正數(shù)，因此使得p=0在(4.32)中，我們就可以得到序列U和B的邊界是k，1kk，1klim||u,u||,0,lim||b,b||,0k,,k,,'(U，D，B)通過引理(4)，存在一個(gè)序列子序列收斂于固定點(diǎn)等式(4.7)，(4.8)，(U，D，B),,,(k:j,N)(4.9)的一個(gè)解，用表示子序列的索引。(u,d,b)j,,,,qqp,k,q最后，我們得到，最后，令，帶入到(4.32)中l(wèi)im(u,b),(u,b)(u,b),(u,b)jq,,就可以得到21**********畢業(yè)論文高斯賽德爾迭代在圖像去噪中的利用q,1,,,,kkqqk，1k，1kkjjr((u,b),(u,b)),c,(1,,)(r((u,b),(u,b))，r((u,b),(u,b))),kj(4.33)k,kj,,qqq令，我們知道當(dāng)時(shí)，收斂于模式(2)。k,,q,,ulim(u,b),(u,b)jq,,4.3去噪算法在我們的去噪模型中被看作全變分，為方便論述，我們考慮一個(gè)數(shù)字圖像為一個(gè),,B2q的方陣。把這個(gè)圖像矩陣作為一個(gè)向量在中，在這樣的情況下圖像矩陣的(i,j)q，qR2q2m與向量空間下的((i-1)q+j)對應(yīng)。在這一部分中，我們有,對于一個(gè)圖像，m:,qu,RR2m，m全變差圖像有，這里B是一個(gè)矩陣，通過一個(gè)的矩陣D和矩陣Kroneckerq，q,(Bu),積的概念，有0，，,,I,D，，,11q,,B:,,D:,(4.34),,D,I,,？？q，，,,,11，，2m2mz,R凸函數(shù)在中被定義為,:R,RmT,(z):,||z||or,(z|):,||[z,z]||,1，imi(4.35),1im2m，mR定理(4.1)如果x是在下的一個(gè)方陣圖像，B是在(34)定義的矩陣，是在空,2mR間中(35)定義的函數(shù)，是一個(gè)正數(shù)，那么有,,,,,,(1)q,,2,1,(4.36):(8sin),,,,2q則由迭代模式(4.10)產(chǎn)生的序列U收斂于模式(4.2)問題的解當(dāng)函數(shù)如在(4.34)，,,B(4.35)定義的那樣。,現(xiàn)在，我們來檢查特定的公式鄰近云算子函數(shù)(4.35)，注意到對于一個(gè)正數(shù)，得,x,R出一個(gè)簡單的形式，對于有1prox(x),max{|x|,}sign(x)(4.37)1|,|,,k對于有x,R22**********畢業(yè)論文高斯賽德爾迭代在圖像去噪中的利用x(4.38)prox(x)prox(||x||),11||,|||,|||x||,,2通過使用鄰近運(yùn)算子的定義和分離性函數(shù)，對于||,||||,||12m有z,(z,z,？,z),R,,(z),||z||1221mprox(z),(prox(z),prox(z),？,prox(z))1111212m,,,,||||||,,,,因此，可以被計(jì)算通過結(jié)合上述方程等式(4.37).prox(z)1,,m2m對于，在向量prox(z)中一對i和(m+i)是二z,(z,z,？,z),R,,(z),||(z,z)||1,122，mimi,,1i,維向量prox((z,z))1im，i||||,,用(4.38)計(jì)算出。下面的算法描述了根據(jù)定理(4.1)求出上面的L1/TV圖像去噪模型解的方法過程.算法1(L1/TV去噪模型算法)1mR1.給定條件:噪聲圖像x在，,,0,,,0,,,0，,,8(0)(0)(0)2.初始條件:u,x,d,0,b,03.循環(huán)k，1kTkku,x，prox(Bu,x,,B(b,d))4.步驟1:1,||,||1,k，1k，1k5.步驟2:d,prox(Bu，b)1,,k，1kk，1k，16.步驟3:b,b，Bu,d7.直到滿足收斂條件k8.輸出u接下來，我們對算法1提出用高斯賽德爾迭代對其進(jìn)行加速。最后，我們先來看看算法kkkkb中的步驟1，用向量表示向量的前m個(gè)數(shù)據(jù)，用向量b表示向量的后m個(gè)數(shù)據(jù)。同理，bbULkkkd和d從d中得到以同樣的定義方式。為了便于論述，我們應(yīng)該表示出算法1中的所有的UL向量，因此，算法1中的步驟1的迭代方式如下:23**********畢業(yè)論文高斯賽德爾迭代在圖像去噪中的利用k，1kkkkk,,u,x，prox((1,4)u，(u，u，u，u),xi,ji,j1i,ji,1,ji，1,ji,j,1i,j，1i,j|,|,kkkk,((b),(b)，(b),(b)),Ui,jUi，1,jLi,jLi,j，1(4.39)kkkk，((d)，(d),(d)，(d)))Ui,jUi，1,jLi,jLi,j，1ku同樣的表達(dá)式可以推導(dǎo)出邊界像素值，在(4.39)中，像素和它四個(gè)鄰近像素值ij,k，1kkkkuu,u,u和u都貢獻(xiàn)給了更新后的像素值(即為雅可比迭代)。注意到當(dāng)這個(gè)順i,j,1,，1,,,1,，1ijijijijk，1k，1u序在預(yù)先指定的第k次迭代的像素更新到第k+1次迭代的時(shí)，之前有的像素，一些ui,jkkkku,u,u和u像素已經(jīng)被更新了。因此，接下來的高斯賽德爾迭代更新的像素可以,1,，1,,,1,，1ijijijijk，1u被用來更新像素(即為高斯賽德爾迭代)。用這樣的方式，我們可以說這個(gè)結(jié)果的模式i,jk，1k，1u可以加速結(jié)果算法的收斂。舉個(gè)例子，如果組件被從上到下的更新，那么，像素可ui,j以按照下面的方式計(jì)算:k，1kk，1kk，1k,,u,x，prox((1,4)u，(u，u，u，u),xijij1iji,1,ji，1,ji,j,1i,j，1ij|,|,kkkk,,((b),(b)，(b),(b))UijUi，1,jLijLi,j，1(4.40)kkkk，,((d)，(d),(d)，(d)))UijUi，1,jLijLi,j，1通過修改算法1中的步驟1，我們有了下面的用高斯賽德爾策略加速的算法2。接下來，我們比較算法1和兩個(gè)密切相關(guān)的算法的L1/TV模型，在高斯賽德爾迭代加速00m2m算法中，這個(gè)算法以一對初始的，迭代產(chǎn)生的兩個(gè)序列U和B通過迭代模(u,b),R，R式得出:k，1ktk,,，,,uxprox(uxBb),1||,||1,,(4.41),k，1k，1kb,(I,prox)(Bu，b)1,,,,k，1kuu迭代模式(4.41)顯示了在第k+1次迭代產(chǎn)生只影響了第k次的迭代的，因此，i,jij,這個(gè)迭代模式用雅可比迭代與用高斯賽德爾迭代是一樣的。換句話說，這個(gè)組件將高斯賽德爾迭代用到(4.41)中不會(huì)產(chǎn)生出加速收斂。,100mm2m第二個(gè)算法的初始的高斯值，算法迭產(chǎn)生兩個(gè)序列通過迭代(u,u,b),R，R，RU,B模式:24**********畢業(yè)論文高斯賽德爾迭代在圖像去噪中的利用k,,k，1kb,(I,prox)(Bu，b),1,,,,k，1kTk，1,u,x，prox(u,x,Bb)(4.42),1||,||1,,k，1,,kk,1u2uu,,,,,u,u最后，通過令在等式(4.42)的右邊，改變這兩個(gè)等式的順序，應(yīng)用高斯賽德爾k，1,,kk,1u,2u,uu,u迭代解決固定點(diǎn)等式，它的第三個(gè)迭代等式基于等式。算法2(L1/TV去噪算法)1m1給定條件:噪聲圖像x在，，R,,0,,,0,,,0,,8(0)(0)(0)2.初始條件:u,x,d,0,b,03.循環(huán)k4.步驟1:通過(4.40)更新uk，1k，1k步驟2:5.d,prox(Bu，b)1,,k，1kk，1k，16.步驟3:b,b，Bu,d7.一直到滿足收斂條件k8.輸出u25**********畢業(yè)論文高斯賽德爾迭代在圖像去噪中的利用第五章數(shù)值試驗(yàn)在這一章中，我們將演示計(jì)算性能的算法2在L1/Tv去噪模型中的影響。我們將會(huì)主要比較前面一章中提到的算法MSXZ和CP的數(shù)值結(jié)果。所有的實(shí)驗(yàn)都是在Windows7和MATLAB中運(yùn)行，所有的算法測試實(shí)驗(yàn)的終止條件都是滿足k，1k2k2,3||u,u||/||u||,10,去噪圖像的質(zhì)量是根據(jù)信號噪音功率比PSNR來評估。u2255mPSNR,10log(dB)10,2||u,u||其中，u是原始圖像。5.1算法1程序?qū)λ惴?和算法2進(jìn)行MATLAB編程，算法1的程序如下:function[y]=prox(x,q)y=max(abs(x)-1/q,0)*sign(x);endfunction[y]=prox2(x,q)sum=0;fori=1:length(x)sum=sum+abs(x(i));endy=(prox(sum,q)/sum)*x;endticx0=imread('l1.jpg');x0=rgb2gray(x0);26**********畢業(yè)論文高斯賽德爾迭代在圖像去噪中的利用imshow(x0);title('原始圖像');x0=imresize(x0,[50,50],'bilinear');x0=imnoise(x0,'gaussian',0,0.01);imshow(x0);title('噪聲圖像');[q,q]=size(x0);%B是一個(gè)2m*m的矩陣，m=q*qI=eye(q);I(1,1)=0;A=linspace(-1,-1,q-1);A2=diag(A,-1);D=I+A2;I2=eye(q);B1=Kron(I2,D);B2=Kron(D,I2);B=[B1;B2];m=q*q;%u是個(gè)m*1的向量，d,b是個(gè)2m×1的向量x=zeros(m,1);fori=1:qforj=1:qx((i-1)*q+j)=x0(i,j);endendr=1/10;a=4;b=2;l=5;u=x;d=zeros(2*m,1);b=zeros(2*m,1);while1b1=b(1:m);b2=b(m+1:2*m);d1=d(1:m);d2=d(m+1:2*m);u0=u;fori=2:(q-1)forj=2:(q-1)u((i-1)*q+j)=x((i-1)*q+j)+prox((1-4*r)*u0((i-1)*q+j)27**********畢業(yè)論文高斯賽德爾迭代在圖像去噪中的利用+r*(u0((i-2)*q+j)+u0((i)*q+j)+u0((i-1)*q+j-1)+u0((i-1)*q+j+1))-x((i-1)*q+j)-r*(b1((i-1)*q+j)-b1((i)*q+j)+b2((i-1)*q+j)-b2((i-1)*q+j+1))+r*(d1((i-1)*q+j)+d1((i)*q+j)-d2((i-1)*q+j)+d2((i-1)*q+j+1)),l);endendd=prox2(B*u+b,l);b=b+B*u-d;ifnorm2(u-u0)/norm2(u0)<10^(-3)A=x';B=u';g_mean=mean(A);g_max=max(A);sqr_err=(A-B)*(A-B)'MSE=sqr_err/mPSNR=10*log10(255^2*m/abs(norm2(u-u0)))break;endendx1=zeros(q,q);fori=1:qforj=1:qx1(i,j)=u((i-1)*q+j);endendimshow(x1);title('去噪后的圖像');toc28**********畢業(yè)論文高斯賽德爾迭代在圖像去噪中的利用去噪的結(jié)果如下:去噪圖像的運(yùn)行時(shí)間為573.819000s，圖像的信噪比PSNR=6.0827dB5.2算法2程序算法2的程序代碼如下:ticx0=imread('l1.jpg');x0=rgb2gray(x0);imshow(x0);title('原始圖像');x0=imresize(x0,[50,50],'bilinear');x0=imnoise(x0,'gaussian',0,0.01);imshow(x0);title('噪聲圖像')[q,q]=size(x0);29**********畢業(yè)論文高斯賽德爾迭代在圖像去噪中的利用%B是一個(gè)2m*m的矩陣，m=q*qI=eye(q);I(1,1)=0;A=linspace(-1,-1,q-1);A2=diag(A,-1);D=I+A2;I2=eye(q);B1=Kron(I2,D);B2=Kron(D,I2);B=[B1;B2];m=q*q;%u是個(gè)m*1的向量，d,b是個(gè)2m×1的向量x=zeros(m,1);fori=1:qforj=1:qx((i-1)*q+j)=x0(i,j);endendr=1/10;a=4;b=2;l=5;u=x;d=zeros(2*m,1);b=zeros(2*m,1);while1b1=b(1:m);b2=b(m+1:2*m);d1=d(1:m);d2=d(m+1:2*m);u0=u;fori=2:(q-1)forj=2:(q-1)u((i-1)*q+j)=x((i-1)*q+j)+prox((1-4*r)*u((i-1)*q+j)+r*(u((i-2)*q+j)+u0((i)*q+j)+u((i-1)*q+j-1)+u0((i-1)*q+j+1))-x((i-1)*q+j)-r*(b1((i-1)*q+j)-b