信號與系統(tǒng)課件

第一章緒論1.1基本概念1、信號與系統(tǒng)2、信號

信號是一組數(shù)據(jù)或信息，它是消息的表現(xiàn)形式，通常體現(xiàn)為隨若干變量而變化的某種物理量。在數(shù)學上，可以描述為一個或多個獨立變量的函數(shù)。例如，在電子信息系統(tǒng)中，常用的電壓、電流、電荷或磁通等電信號可以理解為是時間t或其他變量的函數(shù)；又如在圖像處理系統(tǒng)中，描述平面黑白圖像像素灰度變化情況的圖像信號，可以表示為平面坐標位置(x,y)的函數(shù)，等等。如果信號是單個獨立變量的函數(shù)，稱這種信號為一維信號。一般情況下，信號為n個獨立變量的函數(shù)時，就稱為n維信號。本課只討論一維信號。并且，為了方便起見，一般都將信號的自變量設為時間t或序號k。3、系統(tǒng)是由若干相互作用和相互依賴的事物組合而成的具有特定功能的整體。

所謂系統(tǒng)模型是指對實際系統(tǒng)基本特性的一種抽象描述。根據(jù)不同需要，系統(tǒng)模型往往具有不同形式。以電系統(tǒng)為例，它可以是由理想元器件互聯(lián)組成的電路圖，由基本運算單元(如加法器、乘法器、積分器等)構(gòu)成的模擬框圖，或者由節(jié)點、傳輸支路組成的信號流圖；也可以是在上述電路圖、模擬框圖或信號流圖的基礎上，按照一定規(guī)則建立的用于描述系統(tǒng)特性的數(shù)學方程。這種數(shù)學方程也稱為系統(tǒng)的數(shù)學模型。系統(tǒng)（system）：由若干相互作用和相互依賴的事物組合而成的，具有特定功能的整體。如太陽系、通信系統(tǒng)、控制系統(tǒng)、經(jīng)濟系統(tǒng)、生態(tài)系統(tǒng)等。系統(tǒng)可以看作是變換器、處理器。電系統(tǒng)具有特殊的重要地位，某個電路的輸入、輸出是完成某種功能，如微分、積分、放大，也可以稱系統(tǒng)。在電子技術(shù)領域中，“系統(tǒng)”、“電路”、“網(wǎng)絡”三個名詞在一般情況下可以通用。如果系統(tǒng)只有單個輸入和單個輸出信號，則稱為單輸入單輸出系統(tǒng)，如圖所示。如果含有多個輸入、輸出信號，就稱為多輸入多輸出系統(tǒng)。為傳送消息而裝設的全套技術(shù)設備（包括傳輸信道）。信號理論信號分析：研究信號的基本性能，如信號的描述、性質(zhì)等。信號傳輸：通信的目的是為了實現(xiàn)消息的傳輸。原始的光通信系統(tǒng)——古代利用烽火傳送邊疆警報；聲音信號的傳輸——擊鼓鳴金；GPS(GlobalPositioningSystem)；個人通信具有美好的發(fā)展前景；光纖通信帶來了更加寬廣的帶寬；信號的傳輸離不開信號的交換。信號處理：對信號進行某種加工或變換。目的：消除信號中的多余內(nèi)容；濾除混雜的噪聲和干擾；將信號變換成容易分析與識別的形式，便于估計和選擇它的特征參量。信號處理的應用已遍及許多科學技術(shù)領域。

系統(tǒng)理論系統(tǒng)分析：給定系統(tǒng)，研究系統(tǒng)對于輸入激勵所產(chǎn)生的輸出響應。系統(tǒng)綜合：按照給定的需求設計（綜合）系統(tǒng)。重點討論信號的分析、系統(tǒng)的分析，分析是綜合的基礎。4、信號的分類確定信號與隨機信號任一由確定時間函數(shù)描述的信號，稱為確定信號或規(guī)則信號。對于這種信號，給定某一時刻后，就能確定一個相應的信號值。如果信號是時間的隨機函數(shù)，事先將無法預知它的變化規(guī)律，這種信號稱為不確定信號或隨機信號。

連續(xù)信號與離散信號一個信號，如果在某個時間區(qū)間內(nèi)除有限個間斷點外都有定義，就稱該信號在此區(qū)間內(nèi)為連續(xù)時間信號，簡稱連續(xù)信號。這里“連續(xù)”一詞是指在定義域內(nèi)（除有限個間斷點外）信號變量是連續(xù)可變的。至于信號的取值，在值域內(nèi)可以是連續(xù)的，也可以是跳變的。僅在離散時刻點上有定義的信號稱為離散時間信號，簡稱離散信號。這里“離散”一詞表示自變量只取離散的數(shù)值，相鄰離散時刻點的間隔可以是相等的，也可以是不相等的。在這些離散時刻點以外，信號無定義。信號的值域可以是連續(xù)的，也可以是不連續(xù)的。數(shù)字信號：時間和幅值均為離散的信號。主要討論確定性信號。先連續(xù)，后離散；先周期，后非周期。模擬信號：時間和幅值均為連續(xù)的信號。抽樣信號：時間離散的，幅值連續(xù)的信號。量化抽樣判斷下列波形是連續(xù)時間信號還是離散時間信號，若是離散時間信號是否為數(shù)字信號？連續(xù)信號離散信號離散信號數(shù)字信號周期信號與非周期信號周期信號是每隔一個固定的時間間隔重復變化的信號。連續(xù)周期信號與離散周期信號的數(shù)學表示分別為f(t)=f(t+nT),n=±1,±2,±3,…,-∞<t<∞f=f(k+nN),n=±1,±2,±3,…,-∞<k<∞,(k取整數(shù))瞬態(tài)信號：除準周期信號外的一切可以用時間函數(shù)描述的非周期信號。能量信號與功率信號如果把信號f(t)看作是隨時間變化的電壓和電流，則當信號f(t)通過1Ω電阻時，信號在時間間隔-Ｔ≤t≤T內(nèi)所消耗的能量稱為歸一化能量，即為而在上述時間間隔-Ｔ≤t≤T內(nèi)的平均功率稱為歸一化功率，即為若信號f(t)的能量有界（即0<W<∞，這時P=0）則稱其為能量有限信號，簡稱能量信號。若信號f(t)的功率有界（即0<P<∞，這時W是∞）則稱其為功率有限信號，簡稱功率信號。一維信號： 只由一個自變量描述的信號，如語音信號。多維信號： 由多個自變量描述的信號，如圖像信號。5、系統(tǒng)的分類連續(xù)時間系統(tǒng)與離散系統(tǒng)若系統(tǒng)的輸入和輸出都是連續(xù)時間信號，且其內(nèi)部也未轉(zhuǎn)換為離散時間信號，則稱此系統(tǒng)為連續(xù)時間系統(tǒng)。若系統(tǒng)的輸入和輸出都是離散時間信號，則稱離散時間系統(tǒng)。離散時間系統(tǒng)經(jīng)常與連續(xù)時間系統(tǒng)組合運用，這種情況稱為混合系統(tǒng)。連續(xù)時間系統(tǒng)的數(shù)學模型是微分方程，而離散時間系統(tǒng)則用差分方程描述。即時系統(tǒng)與動態(tài)系統(tǒng)如果系統(tǒng)的輸出信號只決定于同時刻的激勵信號，與它過去的工作狀態(tài)（歷史）無關(guān)，則稱此系統(tǒng)為即時系統(tǒng)（或無記憶系統(tǒng)）。如果系統(tǒng)的輸出信號不僅取決于同時刻的激勵信號，而且與它過去的工作狀態(tài)有關(guān)，這種系統(tǒng)稱為動態(tài)系統(tǒng)（或記憶系統(tǒng)）。凡是包含有記憶作用的元件（如電容、電感、磁芯等）或記憶電路（或寄存器）的系統(tǒng)都屬此類。即時系統(tǒng)可用代數(shù)方程描述，動態(tài)系統(tǒng)的數(shù)學模型則是微分方程或差分方程。線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)具有疊加性與均習性（也稱齊次性）的系統(tǒng)稱為線性系統(tǒng)。所謂疊加性是指當幾個激勵信號同時作用于系統(tǒng)時，總的輸出響應等于每個激勵單獨作用所產(chǎn)生的響應之和；而均勻性的含義是，當輸入信號乘以某常數(shù)時，響應也倍乘相同的常數(shù)。不滿足疊加性或均勻性的系統(tǒng)是非線性系統(tǒng)。時變系統(tǒng)與時不變系統(tǒng)如果系統(tǒng)的參數(shù)不隨時間而變化，則稱為系統(tǒng)為時不變系統(tǒng)（或非時變系統(tǒng)、定常系統(tǒng)）；如果系統(tǒng)的參量隨時間改變，則稱其為時變系統(tǒng)（或參變系統(tǒng)）。

可逆系統(tǒng)與不可逆系統(tǒng)若系統(tǒng)在不同的激勵信號作用下產(chǎn)生不同的響應，則稱此系統(tǒng)為可逆系統(tǒng)。對于每個可逆系統(tǒng)都存在一個“逆系統(tǒng)”，當原系統(tǒng)與此逆系統(tǒng)級聯(lián)組合后，輸出信號與輸入信號相同。重要特性：其對時間的微分和積分仍然是指數(shù)形式。單邊指數(shù)信號通常把稱為指數(shù)信號的時間常數(shù)，記作

,代表信號衰減速度，具有時間的量綱。l

指數(shù)衰減,l

指數(shù)增長l

直流(常數(shù)),KO1.2常用的連續(xù)時間信號1、指數(shù)信號衰減正弦信號：

2、正弦信號

歐拉(Euler)公式復平面上的一個單位圓上的點，與實軸夾角為θ時，此點可表示為e是自然對數(shù)的底，此式稱為歐拉(Euler)公式。e可以用計算方法定義為歐拉公式由泰勒級數(shù)展開三角函數(shù)可表示為同樣若展開，可得到歐拉公式與三角函數(shù)的關(guān)系討論3．復指數(shù)信號性質(zhì)①②③④⑤⑥

4．抽樣信號(SamplingSignal)例：

>0，右移(滯后)

<0，左移(超前)宗量相同，函數(shù)值相同，求新坐標f(t+1)的波形？1．信號的平移（或移位）例：以縱軸為軸折疊，把信號的過去與未來對調(diào)。

2．反褶波形的壓縮與擴展，標度變換3．信號的展縮（ScaleChanging）a>1時，f(at)波形被壓縮為f(t)波形的1/a倍；0<a<1時，f(at)波形被申展為f(t)波形的1/a倍；注意！先展縮：

a>1，壓縮a倍；a<1，擴展1/a倍

后平移：

+，左移b/a單位；－，右移b/a單位

一切變換都是相對t而言最好用先翻縮后平移的順序

加上倒置：

4．一般情況解:驗證：計算特殊點例題：已知f(t)，求f(3t+5)。宗量t宗量3t+5函數(shù)值t=-13t+5=-1，t=-21t=03t+5=0，t=-5/31t=13t+5=1，t=-4/30時移標度變換標度變換時移沖激信號二．微分和積分同一瞬時兩信號對應值相加（相乘）。三．兩信號相加和相乘§1.4階躍信號和沖激信號

函數(shù)本身有不連續(xù)點(跳變點)或其導數(shù)與積分有不連續(xù)點的一類函數(shù)統(tǒng)稱為奇異信號或奇異函數(shù)。主要內(nèi)容：單位斜變信號單位階躍信號單位沖激信號沖激偶信號1．

定義3．三角形脈沖

由宗量t-t0=0可知起始點為2．有延遲的單位斜變信號一．單位斜變信號1.定義宗量<0函數(shù)值為0由宗量，函數(shù)有斷點，跳變點宗量>0函數(shù)值為12.有延遲的單位階躍信號二．單位階躍信號其他函數(shù)只要用門函數(shù)處理(乘以門函數(shù))，就只剩下門內(nèi)的部分。

符號函數(shù)：(Signum)門函數(shù)：也稱窗函數(shù)3．用單位階躍信號描述其他信號概念引出定義1定義2沖激函數(shù)的性質(zhì)三．單位沖激（難點）函數(shù)值只在t=0時不為零；

積分面積為1；

t=0時，，為無界函數(shù)。

定義1：狄拉克(Dirac)函數(shù)面積1；脈寬↓；

脈沖高度↑；

則窄脈沖集中于t=0處?！锩娣e為1★寬度為0★三個特點：定義2若面積為k，則強度為k。三角形脈沖、雙邊指數(shù)脈沖、鐘形脈沖、抽樣函數(shù)取

0極限，都可以認為是沖激函數(shù)。時移的沖激函數(shù)描述1．抽樣性2．奇偶性3．沖激偶4．標度變換沖激函數(shù)的性質(zhì)對于移位情況：如果f(t)在t=0處連續(xù)，且處處有界，則有

1、抽樣性(篩選性)分和討論

積分結(jié)果為0

沖激函數(shù)抽樣性質(zhì)證明證明奇偶性時，主要考察此函數(shù)的作用，即和其他函數(shù)共同作用的結(jié)果。由定義1，矩形脈沖本身是偶函數(shù)，故極限也是偶函數(shù)。由抽樣性證明奇偶性。沖激函數(shù)奇偶性證明2.

奇偶性3.沖激偶利用分部積分運算①②時移，則：

③④沖激偶的性質(zhì)沖激偶的標度變換

4.對

(t)的標度變換從定義看：

p(t)面積為1，強度為1

p(at)面積為，強度為沖激信號尺度變換的證明分析：用兩邊與f(t)的乘積的積分值相等證明，分a>0、a<0兩種情況

兩邊相等(1)(2)

R(t)

求 ↓↑ 積 (-

<t<)

u(t)導 ↓↑ 分

(t)

四.總結(jié)：R(t)，u(t)，

(t)之間的關(guān)系（1）抽樣性（2）奇偶性（3）比例性（4）微積分性質(zhì)（5）沖激偶（6）卷積性質(zhì)

沖激函數(shù)的性質(zhì)總結(jié)信號的平均功率=信號的直流功率+交流功率一．直流分量與交流分量對任何實信號而言：信號的平均功率=偶分量功率+奇分量功率

二．偶分量與奇分量例求f(t)的奇分量和偶分量1．矩形窄脈沖序列此窄脈沖可表示為三．脈沖分量出現(xiàn)在不同時刻的，不同強度的沖激函數(shù)的和。2．連續(xù)階躍信號之和將信號分解為沖激信號疊加的方法應用很廣，后面的卷積積分中將用到，可利用卷積積分求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應。瞬時值為復數(shù)的信號可分解為實虛部兩部分之和。即實際中產(chǎn)生的信號為實信號，可以借助于復信號來研究實信號。共軛復函數(shù)四．實部分量與虛部分量

如果用正交函數(shù)集來表示一個信號，那么，組成信號的各分量就是相互正交的。把信號分解為正交函數(shù)分量的研究方法在信號與系統(tǒng)理論中占有重要地位，這將是本課程討論的主要課題。我們將在第三章中開始學習。

五．正交函數(shù)分量分形幾何理論簡稱分形理論或分數(shù)維理論；創(chuàng)始人為B.B.Mandelbrot;分形是“其部分與整體有形似性的體系”；在信號傳輸與處理領域應用分形技術(shù)的實例表現(xiàn)在以下幾個方面：圖像數(shù)據(jù)壓縮、語音合成、地震信號或石油探井信號分析、聲納或雷達信號檢測、通信網(wǎng)業(yè)務流量描述等。這些信號的共同特點都是具有一定的自相似性，借助分性理論可提取信號特征，并利用一定的數(shù)學迭代方法大大簡化信號的描述，或自動生成某些具有自相似特征的信號?？蔀g覽網(wǎng)站：六．利用分形（fractal）理論描述信號§1.6系統(tǒng)模型及其分類描述系統(tǒng)的基本單元方框圖系統(tǒng)的定義和表示系統(tǒng)的分類1.加法器2.乘法器3.標量乘法器（數(shù)乘器，比例器）4.微分器5.積分器6.延時器一．信號的時域運算（基本元件）3.標量乘法器（數(shù)乘器，比例器）

2.乘法器

1.加法器

注意:

與公式中的卷積符號相區(qū)別，沒有卷積器。

基本元件14.微分器

5.積分器

6.延時器

基本元件2例請用積分器畫出如下微分方程所代表的系統(tǒng)的系統(tǒng)框圖。方程左端只保留輸出的最高階導數(shù)項積分n=2次，使方程左端只剩下r(t)項系統(tǒng)框圖如下頁：系統(tǒng)框圖系統(tǒng)：具有特定功能的總體，可以看作信號的變換器、處理器。系統(tǒng)模型：系統(tǒng)物理特性的數(shù)學抽象。

系統(tǒng)的表示：

數(shù)學表達式：系統(tǒng)物理特性的數(shù)學抽象。

系統(tǒng)圖：形象地表示其功能。二．系統(tǒng)的定義和表示三．系統(tǒng)的分類重點研究:

確定性信號作用下的集總參數(shù)線性時不變系統(tǒng)。系統(tǒng)非時變時變非線性線性

若系統(tǒng)在不同的激勵信號作用下產(chǎn)生不同的響應，則稱此系統(tǒng)為可逆系統(tǒng)。若系統(tǒng)在t0時刻的響應只與t=t0和t<t0時刻的輸入有關(guān)，否則，即為非因果系統(tǒng)?！?.7

線性時不變系統(tǒng)線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)時變系統(tǒng)與時不變系統(tǒng)線性時不變系統(tǒng)的微分特性因果系統(tǒng)與非因果系統(tǒng)指具有線性特性的系統(tǒng)。

線性系統(tǒng)：線性:指均勻性，疊加性。疊加性：均勻性(齊次性)：1.定義一．線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)線性特性先線性運算，再經(jīng)系統(tǒng)＝先經(jīng)系統(tǒng)，再線性運算若注意：外加激勵與系統(tǒng)非零狀態(tài)單獨處理。則系統(tǒng)是線性系統(tǒng),否則是非線性系統(tǒng)。

2.

判斷方法判斷下述微分方程所對應的系統(tǒng)是否為線性系統(tǒng)?分析：根據(jù)線性系統(tǒng)的定義，證明此系統(tǒng)是否具有均勻性和疊加性?？梢宰C明：

所以此系統(tǒng)為非線性系統(tǒng)。請看下面證明過程系統(tǒng)不滿足均勻性系統(tǒng)不具有疊加性例1設信號e(t)作用于系統(tǒng)，響應為r(t)原方程兩端乘A：

(1),(2)兩式矛盾。故此系統(tǒng)不滿足均勻性當Ae(t)作用于系統(tǒng)時，若此系統(tǒng)具有線性，則證明均勻性(5)、(6)式矛盾，該系統(tǒng)為不具有疊加性假設有兩個輸入信號分別激勵系統(tǒng)，則由所給微分方程式分別有：

當同時作用于系統(tǒng)時，若該系統(tǒng)為線性系統(tǒng)，應有(3)+(4)得證明疊加性一個系統(tǒng)，在零初始條件下，其輸出響應與輸入信號施加于系統(tǒng)的時間起點無關(guān)，稱為非時變系統(tǒng)，否則稱為時變系統(tǒng)。認識:電路分析上看:元件的參數(shù)值是否隨時間而變

從方程看:系數(shù)是否隨時間而變從輸入輸出關(guān)系看:時不變性1.定義二．時變系統(tǒng)與時不變系統(tǒng)時不變性先時移，再經(jīng)系統(tǒng)＝先經(jīng)系統(tǒng)，再時移若則系統(tǒng)是非時變系統(tǒng),否則是時變系統(tǒng)。2.

判斷方法例2判斷下列兩個系統(tǒng)是否為非時變系統(tǒng)。1.系統(tǒng)的作用是對輸入信號作余弦運算。所以此系統(tǒng)為時不變系統(tǒng)。系統(tǒng)1：系統(tǒng)2：此系統(tǒng)為時變系統(tǒng)。系統(tǒng)作用:輸入信號乘cost系統(tǒng)2：

判斷系統(tǒng)是否為線性非時變系統(tǒng)。是否為線性系統(tǒng)？是否為時不變系統(tǒng)？可見,先線性運算，再經(jīng)系統(tǒng)＝先經(jīng)系統(tǒng)，再線性運算,所以此系統(tǒng)是線性系統(tǒng)。

例3可見，時移、再經(jīng)系統(tǒng)經(jīng)系統(tǒng)、再時移，所以此系統(tǒng)是時變系統(tǒng)。是否為時不變系統(tǒng)呢？線性時不變系統(tǒng)滿足微分特性、積分特性利用線性證明，可推廣至高階。三．線性時不變系統(tǒng)的微分特性1.

定義因果系統(tǒng)是指當且僅當輸入信號激勵系統(tǒng)時，才會出現(xiàn)輸出（響應）的系統(tǒng)。也就是說，因果系統(tǒng)的輸出（響應）不會出現(xiàn)在輸入信號激勵系統(tǒng)以前的時刻。系統(tǒng)的這種特性稱為因果特性。符合因果性的系統(tǒng)稱為因果系統(tǒng)(非超前系統(tǒng))。輸出不超前于輸入2.判斷方法四.因果系統(tǒng)與非因果系統(tǒng)表示為：非因果系統(tǒng)的概念與特性也有實際的意義，如信號的壓縮、擴展，語音信號處理等。

若信號的自變量不是時間，如位移、距離、亮度等為變量的物理系統(tǒng)中研究因果性顯得不很重要。t=0接入系統(tǒng)的信號稱為因果信號。3.實際的物理可實現(xiàn)系統(tǒng)均為因果系統(tǒng)4.因果信號現(xiàn)在的響應=現(xiàn)在的激勵+以前的激勵

所以該系統(tǒng)為因果系統(tǒng)。未來的激勵所以該系統(tǒng)為非因果系統(tǒng)。例4著眼于激勵與響應的關(guān)系，而不考慮系統(tǒng)內(nèi)部變量情況；單輸入/單輸出系統(tǒng)；列寫一元n階微分方程。輸入

輸出描述法：狀態(tài)變量分析法：不僅可以給出系統(tǒng)的響應，還可以描述內(nèi)部變量，如電容電壓或電感電流的變化情況。研究多輸入/多輸出系統(tǒng)；列寫多個一階微分方程。一.建立系統(tǒng)模型的兩種方法§1.8

系統(tǒng)分析方法例題例題1：畫函數(shù)波形例題2：沖激函數(shù)的性質(zhì)例題3：信號的運算例題4：列寫系統(tǒng)的微分方程例題5：系統(tǒng)的線性特性例題6：系統(tǒng)的時不變特性例題7：系統(tǒng)的因果性粗略繪出下列各函數(shù)式的波形圖

描繪信號波形是本課程的一項基本訓練，在繪圖時應注意信號的基本特征，對所繪出的波形，應標出信號的初值、終值及一些關(guān)鍵的值，如極大值和極小值等，同時應注意階躍、沖激信號的特點。例1從而求得波形圖為此題應注意沖激信號的性質(zhì)波形如下圖求下列函數(shù)值本例目的在于熟悉并正確應用沖激函數(shù)的性質(zhì)。例2方法一：方法二：方法二沒有注意利用沖激函數(shù)的性質(zhì)，求解過程較繁。另外，對沖激偶信號的性質(zhì)往往被錯誤寫成從而得出錯誤結(jié)論。在描繪某些信號的波形時，有時不必求出函數(shù)的表達式，而可直接利用信號運算及相應的波形變換圖解。畫(2)的波形時，應先畫出(1)的波形。需要注意，對信號的基本運算都是對獨立的、單一的變量t而言的，而不是對變量at或at+b進行變換。已知信號f(t)的波形如圖所示，請畫出下列函數(shù)的波形。例3對信號的波形進行微分變換時，應注意在函數(shù)的跳變點處會出現(xiàn)沖激信號。例4某連續(xù)系統(tǒng)的框圖如圖(a)所示，寫出該系統(tǒng)的微分方程。系統(tǒng)框圖有兩個積分器。故描述該系統(tǒng)的是二階微分方程。由于積分器的輸出是其輸入信號的積分，因而積分器的輸入信號是輸出信號的一階導數(shù)。左方積分器的輸入信號為從加法器入手，找其入出關(guān)系。則其輸入信號為圖中設右方積分器的輸出信號為將上式除f(t)以外的各項移到等號左端，得由加法器的輸出，得連續(xù)系統(tǒng)或離散系統(tǒng)除用數(shù)學方程描述外，還可用框圖表示系統(tǒng)的激勵與響應之間的數(shù)學運算關(guān)系，一個方框圖可以表示一個具有某種功能的部件，也可以表示一個子系統(tǒng)。每個方框內(nèi)部的具體結(jié)構(gòu)并非是考察重點，只注重其輸入輸出之間的關(guān)系。如果已知系統(tǒng)的微分或差分方程，也可以畫出相應的框圖。但解不是惟一的。由系統(tǒng)框圖列寫微分（或差分）方程的步驟選中間變量x(·)。對于連續(xù)系統(tǒng)，設其最右端積分器的輸出為x(t)；對于離散系統(tǒng)，設其最左端遲延單元的輸入為x(n)；寫出各加法器輸出信號的方程；消去中間變量x(·)。在檢驗一個系統(tǒng)的線性時，重要的是要牢記：系統(tǒng)必須同時滿足可加性和齊次性。先經(jīng)系統(tǒng)再線性運算例5先經(jīng)系統(tǒng)再線性運算與先線性運算再經(jīng)系統(tǒng)結(jié)果不等，所以系統(tǒng)是非線性的。,先線性運算再經(jīng)系統(tǒng)此系統(tǒng)的作用是展寬輸入系統(tǒng)的信號，一切變換都是對t而言例6經(jīng)系統(tǒng)右移1右移1經(jīng)系統(tǒng)圖解說明系統(tǒng)的輸入為x(t)，輸出為y(t)，系統(tǒng)關(guān)系如下,判斷系統(tǒng)是否是因果系統(tǒng)。在檢驗一個系統(tǒng)的因果性時，重要的是要考查系統(tǒng)的輸入-輸出關(guān)系，同時要把輸入信號的影響仔細地從在系統(tǒng)定義中所用到的其他函數(shù)的的影響區(qū)分開來。例7經(jīng)典法:前面電路分析課里已經(jīng)討論過卷積積分法:

任意激勵下的零狀態(tài)響應可通過沖激響應來求。(新方法)系統(tǒng)分析過程線性系統(tǒng)完全響應的求解；沖激響應h(t)的求解；卷積的圖解說明；卷積的性質(zhì)；零狀態(tài)響應：。本章主要內(nèi)容許多實際系統(tǒng)可以用線性系統(tǒng)來模擬。若系統(tǒng)的參數(shù)不隨時間而改變，則該系統(tǒng)可以用線性常系數(shù)微分方程來描述?！?.2微分方程的式的建立與求解一．物理系統(tǒng)的模型本節(jié)復習求解系統(tǒng)微分方程的經(jīng)典法：物理系統(tǒng)的模型微分方程的列寫n階線性時不變系統(tǒng)的描述求解系統(tǒng)微分方程的經(jīng)典法根據(jù)實際系統(tǒng)的物理特性列寫系統(tǒng)的微分方程。對于電路系統(tǒng)，主要是根據(jù)元件特性約束和網(wǎng)絡拓撲約束列寫系統(tǒng)的微分方程。元件特性約束：表征元件特性的關(guān)系式。例如二端元件電阻、電容、電感各自的電壓與電流的關(guān)系以及四端元件互感的初、次級電壓與電流的關(guān)系等等。網(wǎng)絡拓撲約束：由網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)決定的電壓電流約束關(guān)系,KCL，KVL。二．微分方程的列寫電感電阻電容根據(jù)KCL代入上面元件伏安關(guān)系，并化簡有這是一個代表RCL并聯(lián)電路系統(tǒng)的二階微分方程。

求并聯(lián)電路的端電壓與激勵間的關(guān)系。()tisRRiLLiCciab+-()tv例2-2-1

一個線性系統(tǒng)，其激勵信號與響應信號之間的關(guān)系，可以用下列形式的微分方程式來描述若系統(tǒng)為時不變的，則C，E均為常數(shù)，此方程為常系數(shù)的n階線性常微分方程。階次：方程的階次由獨立的動態(tài)元件的個數(shù)決定。三．n階線性時不變系統(tǒng)的描述分析系統(tǒng)的方法：列寫方程，求解方程。

求解方程時域經(jīng)典法就是：齊次解+特解。四．求解系統(tǒng)微分方程的經(jīng)典法

我們一般將激勵信號加入的時刻定義為t=0，響應為時的方程的解，初始條件齊次解：由特征方程→求出特征根→寫出齊次解形式注意重根情況處理方法。特解：根據(jù)微分方程右端函數(shù)式形式，設含待定系數(shù)的特解函數(shù)式→代入原方程，比較系數(shù)定出特解。

初始條件的確定是此課程要解決的問題。全解：齊次解+特解，由初始條件定出齊次解。經(jīng)典法系統(tǒng)的特征方程為

特征根因而對應的齊次解為例2-2-3如果已知：

分別求兩種情況下此方程的特解。給定微分方程式為使等式兩端平衡，試選特解函數(shù)式

將此式代入方程得到

例2-2-4等式兩端各對應冪次的系數(shù)應相等，于是有聯(lián)解得到所以，特解為

這里，B是待定系數(shù)。代入方程后有：(2)例2-2-5根據(jù)電路形式，列回路方程列結(jié)點電壓方程(1)（1）列寫電路的微分方程系統(tǒng)的特征方程特征根齊次解方程右端自由項為代入式(1)要求系統(tǒng)的完全響應為特解(2)求系統(tǒng)的完全響應換路前(3)因而有由于電容兩端電壓和電感中的電流不會發(fā)生突變,求得要求的完全響應為(4)激勵函數(shù)e(t)響應函數(shù)r(t)的特解幾種典型激勵函數(shù)相應的特解電容電壓的突變電感電流的突變沖激函數(shù)匹配法確定初始條件§2.3起始點的跳變我們來進一步討論的條件。

一．起始點的跳變當系統(tǒng)用微分方程表示時，系統(tǒng)從到狀態(tài)有沒有跳變?nèi)Q于微分方程右端自由項是否包含及其各階導數(shù)項。

一般情況下?lián)Q路期間電容兩端的電壓和流過電感中的電流不會發(fā)生突變。這就是在電路分析中的換路定則：對于一個具體的電網(wǎng)絡，系統(tǒng)的狀態(tài)就是系統(tǒng)中儲能元件的儲能情況;但是當有沖激電流強迫作用于電容或有沖激電壓強迫作用于電感，狀態(tài)就會發(fā)生跳變。說明配平的原理：t=0時刻微分方程左右兩端的δ(t)及各階導數(shù)應該平衡(其他項也應該平衡，我們討論初始條件，可以不管其他項）例：

該過程可借助數(shù)學描述三．沖激函數(shù)匹配法確定初始條件在中時刻有

中的表示到的相對跳變函數(shù)，所以，分析設則代入方程得出所以得即即數(shù)學描述（1）將e(t)代入微分方程，t≥0得例2-3-3方程右端的沖激函數(shù)項最高階次是，因而有

代入微分方程(2)在一定條件下，激勵源與起始狀態(tài)之間可以等效轉(zhuǎn)換。即可以將原始儲能看作是激勵源。電容的等效電路電感的等效電路一．起始狀態(tài)與激勵源的等效轉(zhuǎn)換電路等效為起始狀態(tài)為零的電容與電壓源的串聯(lián)等效電路中的電容器的起始狀態(tài)為零電容器的等效電路故電路等效為起始狀態(tài)為零的電感L和電流源

的并聯(lián)。電感的等效電路自由響應＋強迫響應 (Natural+forced)零輸入響應＋零狀態(tài)響應 (Zero-input+Zero-state)暫態(tài)響應+穩(wěn)態(tài)響應 (Transient+Steady-state)二．系統(tǒng)響應劃分也稱固有響應，由系統(tǒng)本身特性決定，與外加激勵形式無關(guān)。對應于齊次解。

形式取決于外加激勵。對應于特解。是指激勵信號接入一段時間內(nèi)，完全響應中暫時出現(xiàn)的有關(guān)成分，隨著時間t增加，它將消失。

由完全響應中減去暫態(tài)響應分量即得穩(wěn)態(tài)響應分量。

沒有外加激勵信號的作用，只由起始狀態(tài)（起始時刻系統(tǒng)儲能）所產(chǎn)生的響應。

不考慮原始時刻系統(tǒng)儲能的作用（起始狀態(tài)等于零），由系統(tǒng)的外加激勵信號產(chǎn)生的響應。

(1)自由響應：(2)暫態(tài)響應：穩(wěn)態(tài)響應：強迫響應：(3)零輸入響應：零狀態(tài)響應：各種系統(tǒng)響應定義

系統(tǒng)零輸入響應，實際上是求系統(tǒng)方程的齊次解，由非零的系統(tǒng)狀態(tài)值決定的初始值求出待定系數(shù)。

系統(tǒng)零狀態(tài)響應，是在激勵作用下求系統(tǒng)方程的非齊次解，由為零決定的初始值求出待定系數(shù)。

求解非齊次微分方程是比較煩瑣的工作，所以引出卷積積分法。系統(tǒng)的零狀態(tài)響應=激勵與系統(tǒng)沖激響應的卷積，即求解由常系數(shù)微分方程描述的系統(tǒng)在下述意義上是線性的。(1)響應可分解為：零輸入響應＋零狀態(tài)響應。(2)零狀態(tài)線性：當起始狀態(tài)為零時，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應對于各激勵信號呈線性。(3)零輸入線性：當激勵為零時，系統(tǒng)的零輸入響應對于各起始狀態(tài)呈線性。

三．對系統(tǒng)線性的進一步認識例2-4-1解得系統(tǒng)在單位沖激信號作用下產(chǎn)生的零狀態(tài)響應，稱為單位沖激響應，簡稱沖激響應，一般用h(t)表示。

1．定義2．一階系統(tǒng)的沖激響應一．沖激響應§2.5沖激響應和階躍響應列系統(tǒng)微分方程：求下圖RC電路的沖激響應。（條件：）沖激在時轉(zhuǎn)為系統(tǒng)的儲能（由體現(xiàn)），t>0時，在非零初始條件下齊次方程的解，即為原系統(tǒng)的沖激響應。齊次方程例2-5-1一階系統(tǒng)的沖激響應特征方程特征根下面的問題是確定系數(shù)A,求A有兩種方法：方法2：奇異函數(shù)項相平衡法，定系數(shù)A。方法1：沖激函數(shù)匹配法求出，定系數(shù)A。即:電容器的電流在t=0時有一沖激，這就是電容電壓突變的原因。注意！據(jù)方程設代入方程得得出所以代入原方程整理，方程左右奇異函數(shù)項系數(shù)相平衡

已知方程沖激響應求導注意！利用奇異函數(shù)項相平衡原理求解響應及其各階導數(shù)(最高階為n次)(1)沖激響應的數(shù)學模型對于線性時不變系統(tǒng),可以用一高階微分方程表示

激勵及其各階導數(shù)(最高階為m次)令e(t)=

(t)則r(t)=h(t) 3．n階系統(tǒng)的沖激響應設特征根為簡單根（無重根的單根）

由于及其導數(shù)在時都為零，因而方程式右端的自由項恒等于零，這樣原系統(tǒng)的沖激響應形式與齊次解的形式相同。

②與n,

m相對大小有關(guān)①與特征根有關(guān)(2)h(t)解答的形式系統(tǒng)是零狀態(tài)的，故由系統(tǒng)的線性時不變特性，原系統(tǒng)的沖激響應為積分為1有界函數(shù)，在無窮小區(qū)間積分為0含

(t)項積分不為0定初始條件解：求特征根沖激響應求系統(tǒng)的沖激響應。將e(t)→

(t)， r(t)→h(t)帶u(t)求待定系數(shù)求0+法,奇異函數(shù)項相平衡法例2-5-2代入h(t),得求0+定系數(shù)根據(jù)系數(shù)平衡，得用奇異函數(shù)項相平衡法求待定系數(shù)

系統(tǒng)的輸入，其響應為。系統(tǒng)方程的右端將包含階躍函數(shù)，所以除了齊次解外，還有特解項。我們也可以根據(jù)線性時不變系統(tǒng)特性，利用沖激響應與階躍響應關(guān)系求階躍響應。

系統(tǒng)在單位階躍信號作用下的零狀態(tài)響應，稱為單位階躍響應，簡稱階躍響應。1．定義二．階躍響應線性時不變系統(tǒng)滿足微、積分特性2．階躍響應與沖激響應的關(guān)系方法1：沖激函數(shù)匹配法求出躍變值，定系數(shù)A。方法2：奇異函數(shù)項相平衡法，定系數(shù)A。

方法3:齊次解法求沖激響應。求沖激響應的幾種方法利用卷積可以求解系統(tǒng)的零狀態(tài)響應。一．卷積（Convolution）任意信號e(t)可表示為沖激序列之和這就是系統(tǒng)的零狀態(tài)響應。二．利用卷積求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應由于系統(tǒng)的因果性或激勵信號存在時間的局限性，卷積的積分限會有所變化。卷積積分中積分限的確定是非常關(guān)鍵的。三．卷積的計算用圖解法直觀，尤其是函數(shù)式復雜時，用圖形分段求出定積分限尤為方便準確，用解析式作容易出錯，最好將兩種方法結(jié)合起來。

卷積的圖解說明1．列寫KVL方程2．沖激響應為例2-6-1借助于階躍函數(shù)u(t)確定積分限4.定積分限（關(guān)鍵）波形例2-6-2浮動坐標：下限上限t-3t-0t：移動的距離t=0f2(t-

)未移動t>0f2(t-

)右移t<0f2(t-

)左移-11浮動坐標兩波形沒有公共處，二者乘積為0，即積分為0t

-1

時兩波形有公共部分，積分開始不為0，積分下限-1，上限t，t為移動時間;-1t

1即1

t

21t

2即2

t

42

t

4即t

4t-3

1t

4卷積結(jié)果[A,B][C,D][A+C,B+D]一般規(guī)律：上限下限當或為非連續(xù)函數(shù)時，卷積需分段，積分限分段定。

上限取小，下限取大(1)積分上下限(2)卷積結(jié)果區(qū)間-1+1積分上下限和卷積結(jié)果區(qū)間的確定(1)t：觀察響應的時刻，是積分的參變量；

:信號作用的時刻，積分變量從因果關(guān)系看，必定有(2)分析信號是手段，卷積中沒有沖激形式，但有其內(nèi)容；即de(

)是h(t-)的加權(quán)，積分e(

)是h(t-)的加權(quán)，求和

(t-

)的響應四．對卷積積分的幾點認識(3)卷積是系統(tǒng)分析中的重要方法，通過沖激響應h(t)建立了響應r(t)與激勵e(t)之間的關(guān)系。(4)卷積是數(shù)學方法，也可運用于其他學科。信號無起因時：一般數(shù)學表示：(5)積分限由存在的區(qū)間決定，即由的范圍決定。例2-6-3求解響應的方法：時域經(jīng)典法：雙零法：零輸入響應：零狀態(tài)響應：完全解=齊次解+特解解齊次方程，用初（起）始條件求系數(shù)；總結(jié)§2.7卷積的性質(zhì)代數(shù)性質(zhì)微分積分性質(zhì)與沖激函數(shù)或階躍函數(shù)的卷積1．交換律2．分配律3．結(jié)合律一．代數(shù)性質(zhì)系統(tǒng)并聯(lián)，框圖表示：

結(jié)論：子系統(tǒng)并聯(lián)時，總系統(tǒng)的沖激響應等于各子系統(tǒng)沖激響應之和。系統(tǒng)并聯(lián)系統(tǒng)級聯(lián)，框圖表示：

結(jié)論：時域中，子系統(tǒng)級聯(lián)時，總的沖激響應等于子系統(tǒng)沖激響應的卷積。

系統(tǒng)級聯(lián)推廣：微分性質(zhì)積分性質(zhì)聯(lián)合實用對于卷積很方便。g(t)的積分微分n次，積分m次m=n,微分次數(shù)＝積分次數(shù)二．微分積分性質(zhì)兩端對t求導

即已知交換律微積分性質(zhì)的證明推廣：三.與沖激函數(shù)或階躍函數(shù)的卷積例2-7-1

用微積分性質(zhì)直接注意發(fā)展歷史1822年，法國數(shù)學家傅里葉(J.Fourier,1768-1830)在研究熱傳導理論時發(fā)表了“熱的分析理論”，提出并證明了將周期函數(shù)展開為正弦級數(shù)的原理，奠定了傅里葉級數(shù)的理論基礎。泊松(Poisson)、高斯(Guass)等人把這一成果應用到電學中去，得到廣泛應用。19世紀末，人們制造出用于工程實際的電容器。進入20世紀以后，諧振電路、濾波器、正弦振蕩器等一系列具體問題的解決為正弦函數(shù)與傅里葉分析的進一步應用開辟了廣闊的前景。在通信與控制系統(tǒng)的理論研究和工程實際應用中，傅里葉變換法具有很多的優(yōu)點?！癋FT”快速傅里葉變換為傅里葉分析法賦予了新的生命力。主要內(nèi)容本章從傅里葉級數(shù)正交函數(shù)展開問題開始討論，引出傅里葉變換，建立信號頻譜的概念。通過典型信號頻譜以及傅里葉變換性質(zhì)的研究，初步掌握傅里葉分析方法的應用。對于周期信號而言，在進行頻譜分析時，可以利用傅里葉級數(shù)，也可以利用傅里葉變換，傅里葉級數(shù)相當于傅里葉變換的一種特殊表達形式。本章最后研究抽樣信號的傅里葉變換，引入抽樣定理?！?.2周期信號傅里葉級數(shù)分析三角函數(shù)形式的傅氏級數(shù)指數(shù)函數(shù)形式的傅氏級數(shù)兩種傅氏級數(shù)的關(guān)系頻譜圖函數(shù)的對稱性與傅里葉級數(shù)的關(guān)系周期信號的功率傅里葉有限級數(shù)與最小方均誤差主要內(nèi)容：一．三角函數(shù)形式的傅里葉級數(shù)是一個完備的正交函數(shù)集t在一個周期內(nèi)，n=0,1,...

由積分可知1.三角函數(shù)集在滿足狄氏條件時，可展成直流分量余弦分量的幅度正弦分量的幅度稱為三角形式的傅里葉級數(shù)，其系數(shù)2．級數(shù)形式狄利克雷（Dirichlet）條件條件3:在一周期內(nèi)，信號絕對可積。條件2：在一周期內(nèi)，有有限個極大值和極小值。條件1：在一周期內(nèi)，有有限個第一類間斷點。第一類間斷點：設函數(shù)f(x)在點x0處的左、右極限都存在，即下列三種情況均稱之為第一類間斷點。1、f(x0-0)和f(x0+0)都存在，但f(x0-0)≠f(x0+0)；2、f(x0-0)=f(x0+0)≠f(x0)；3、f(x0-0)=f(x0+0)，而f(x0)不確定。例3-2-1求周期鋸齒波的三角函數(shù)形式的傅里葉級數(shù)展開式。周期鋸齒波的傅里葉級數(shù)展開式為直流基波諧波其他形式余弦形式正弦形式關(guān)系曲線稱為幅度頻譜圖；關(guān)系曲線稱為相位頻譜圖。周期信號頻譜具有離散性、諧波性、收斂性。

幅度頻率特性和相位頻率特性二．指數(shù)函數(shù)形式的傅里葉級數(shù)1．復指數(shù)正交函數(shù)集2．級數(shù)形式3．系數(shù)利用復變函數(shù)的正交特性說明三．兩種系數(shù)之間的關(guān)系及頻譜圖利用歐拉公式相頻特性幅頻特性和相頻特性幅頻特性頻譜圖幅度頻譜相位頻譜離散譜，譜線請畫出其幅度譜和相位譜。例3-2-2化為余弦形式三角函數(shù)形式的頻譜圖三角函數(shù)形式的傅里葉級數(shù)的譜系數(shù)

化為指數(shù)形式整理指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)的系數(shù)譜線指數(shù)形式的頻譜圖三角形式與指數(shù)形式的頻譜圖對比三角函數(shù)形式的頻譜圖指數(shù)形式的頻譜圖四．小結(jié)（1）周期信號f(t)的傅里葉級數(shù)有兩種形式（3）周期信號的頻譜是離散譜，三個性質(zhì)（2）兩種頻譜圖的關(guān)系（4）引入負頻率(1)周期信號f(t)的傅里葉級數(shù)有兩種形式三角形式指數(shù)形式(2)兩種頻譜圖的關(guān)系單邊頻譜雙邊頻譜關(guān)系●●●(3)三個性質(zhì)(4)引入負頻率注意：沖激函數(shù)序列的頻譜不滿足收斂性（見下頁）周期單位沖激序列的頻譜分析：狄氏條件是傅里葉級數(shù)存在的充分條件。根據(jù)沖激信號的定義和特性，其積分有確定值，傅里葉級數(shù)存在。即滿足離散性，諧波性，不滿足收斂性，頻帶無限寬。五．函數(shù)的對稱性與傅里葉級數(shù)的關(guān)系偶函數(shù)奇函數(shù)奇諧函數(shù)偶諧函數(shù)注：指交流分量關(guān)系偶函數(shù)*偶函數(shù)=偶函數(shù)奇函數(shù)*奇函數(shù)=偶函數(shù)奇函數(shù)*偶函數(shù)=奇函數(shù)1、偶函數(shù)：2、奇函數(shù)：則f(t)為偶函數(shù)時，f(t)cosnΩt為偶函數(shù)f(t)sinnΩt為奇函數(shù)取積分后，bn=0則f(t)為奇函數(shù)時，f(t)cosnΩt為奇函數(shù)f(t)sinnΩt為偶函數(shù)取積分后，a0=an=01．偶函數(shù)信號波形相對于縱軸是對稱的2．奇函數(shù)3．奇諧函數(shù)f(t)的傅氏級數(shù)偶次諧波為零，即若波形沿時間軸平移半個周期并相對于該軸上下反轉(zhuǎn)，此時波形并不發(fā)生變化：4．偶諧函數(shù)f(t)的傅氏級數(shù)奇次諧波為零，只有偶次諧波分量5．結(jié)論偶無正，奇缺余奇諧偶諧奇偶行指奇次諧波分量和偶次諧波分量正弦分量余弦分量對于非正弦周期信號分解成三角付里葉級數(shù)形式時奇諧函數(shù)偶諧函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)六．周期信號的功率這是帕塞瓦爾定理在傅里葉級數(shù)情況下的具體體現(xiàn);表明：周期信號平均功率=直流、基波及各次諧波分量有效值的平方和；也就是說，時域和頻域的能量是守恒的。繪成的線狀圖形，表示各次諧波的平均功率隨頻率分布的情況，稱為功率譜系數(shù)。周期信號的功率證明對于三角函數(shù)形式的傅里葉級數(shù)平均功率

對于指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)總平均功率=各次諧波的平均功率之和七．傅里葉有限級數(shù)與最小方均誤差誤差函數(shù)方均誤差主要內(nèi)容本節(jié)以周期矩形脈沖信號為例進行分析主要討論：頻譜的特點，頻譜結(jié)構(gòu)，頻帶寬度，能量分布。其他信號，如周期鋸齒脈沖信號周期三角脈沖信號周期半波余弦信號周期全波余弦信號請自學?！?.3典型周期信號的傅里葉級數(shù)一．頻譜結(jié)構(gòu)三角函數(shù)形式的譜系數(shù)指數(shù)函數(shù)形式的譜系數(shù)頻譜特點1．三角形式的譜系數(shù)是個偶函數(shù)2．指數(shù)形式的譜系數(shù)3．頻譜及其特點(1)包絡線形狀：抽樣函數(shù)(3)離散譜（諧波性）4．小結(jié)矩形脈沖的頻譜說明了周期信號頻譜的特點：離散性、諧波性、收斂性。1.問題提出二．頻帶寬度第一個零點集中了信號絕大部分能量（平均功率）由頻譜的收斂性可知，信號的功率集中在低頻段。而總功率周期矩形脈沖信號的功率二者比值在滿足一定失真條件下，信號可以用某段頻率范圍的信號來表示，此頻率范圍稱為頻帶寬度。2．頻帶寬度對于一般周期信號，將幅度下降為的頻率區(qū)間定義為頻帶寬度。一般把第一個零點作為信號的頻帶寬度。記為：

語音信號 頻率大約為 300~3400Hz，音樂信號 50~15,000Hz，擴音器與揚聲器有效帶寬約為15~20,000Hz。3．系統(tǒng)的通頻帶>信號的帶寬，才能不失真§3.4傅里葉變換傅里葉變換傅里葉變換的表示傅里葉變換的物理意義傅里葉變換存在的條件一．傅里葉變換：周期信號非周期信號連續(xù)譜，幅度無限?。浑x散譜1.引出0再用表示頻譜就不合適了，雖然各頻譜幅度無限小，但相對大小仍有區(qū)別，引入頻譜密度函數(shù)。0（1）頻譜密度函數(shù)簡稱頻譜函數(shù)單位頻帶上的頻譜值w1nw-j)(tdtetf頻譜密度函數(shù)的表示2．反變換由復指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)3．傅里葉變換對歐拉公式二．傅里葉變換的表示實部虛部實部虛部模實信號偶分量奇分量相位偶函數(shù)（奇分量為零）為實函數(shù)，只有，相位

奇函數(shù)（偶分量為零）

為虛函數(shù)，只有，相位三．傅里葉變換的物理意義實函數(shù)歐拉公式積分為0

求和振幅正弦信號解釋四．傅里葉變換存在的條件所有能量信號均滿足此條件?！?.5典型非周期信號的

傅里葉變換矩形脈沖單邊指數(shù)信號直流信號符號函數(shù)升余弦脈沖信號一．單邊指數(shù)信號頻譜圖幅度頻譜：相位頻譜：二．矩形脈沖信號幅度頻譜：相位頻譜：頻譜圖幅度頻譜相位頻譜頻寬：三．直流信號不滿足絕對可積條件，不能直接用定義求推導時域無限寬，頻帶無限窄證明wO四．符號函數(shù)處理方法：tea-tea-做一個雙邊函數(shù)不滿足絕對可積條件頻譜圖五．升余弦脈沖信號頻譜圖其頻譜比矩形脈沖更集中。§3.6沖激函數(shù)和階躍函數(shù)的傅里葉變換沖激函數(shù)沖激偶單位階躍函數(shù)一．沖激函數(shù)沖激函數(shù)積分是有限值，可以用公式求。而u(t)不滿足絕對可積條件，不能用定義求。比較二．沖激偶的傅里葉變換三．單位階躍函數(shù)§3.7傅里葉變換的基本性質(zhì)對稱性質(zhì)線性性質(zhì)奇偶虛實性尺度變換性質(zhì)時移特性頻移特性微分性質(zhì)時域積分性質(zhì)主要內(nèi)容：意義：傅里葉變換具有惟一性。傅氏變換的性質(zhì)揭示了信號的時域特性和頻域特性之間的確定的內(nèi)在聯(lián)系。討論傅里葉變換的性質(zhì)，目的在于：了解特性的內(nèi)在聯(lián)系；用性質(zhì)求F(ω)；了解在通信系統(tǒng)領域中的應用。一．對稱性質(zhì)1．性質(zhì)2．意義例3-7-1例3-7-2相移全通網(wǎng)絡例3-7-3二．線性性質(zhì)1．性質(zhì)2．例三．奇偶虛實性在§3.4的“傅里葉變換的表示”中曾介紹過。由定義可以得到證明：奇偶虛實性證明設f(t)是實函數(shù)（為虛函數(shù)或復函數(shù)情況相似，略）顯然四．尺度變換性質(zhì)意義(1)

0<a<1時域擴展，頻帶壓縮。(2)a>1時域壓縮，頻域擴展a倍。證明見下頁尺度變換性質(zhì)證明綜合上述兩種情況因為(1)

0<a<1時域擴展，頻帶壓縮。脈沖持續(xù)時間增加a倍，變化慢了，信號在頻域的頻帶壓縮a倍。高頻分量減少，幅度上升a倍。持續(xù)時間短，變化快。信號在頻域高頻分量增加，頻帶展寬，各分量的幅度下降a倍。此例說明：信號的持續(xù)時間與信號占有頻帶成反比（證明見下頁），有時為加速信號的傳遞，要將信號持續(xù)時間壓縮，則要以展開頻帶為代價。（2）a>1時域壓縮，頻域擴展a倍。等效脈沖寬度與等效頻帶寬度等效脈沖寬度與占有的等效帶寬成反比。五．時移特性幅度頻譜無變化，只影響相位頻譜，時移加尺度變換時移加尺度變換證明例3-7-4（時移性質(zhì)，教材3-2）求圖(a)所示三脈沖信號的頻譜。解：

因為脈沖個數(shù)增多，頻譜包絡不變，帶寬不變。例3-7-5方法一：先標度變換，再時延方法二：先時延再標度變換相同2．證明

1．性質(zhì)

六．頻移特性3．說明4．應用通信中調(diào)制與解調(diào)，頻分復用。例3-7-6（教材例3-4）已知矩形調(diào)幅信號

解：因為頻譜圖七．微分性質(zhì)時域微分性質(zhì)頻域微分性質(zhì)或1．時域微分時域微分性質(zhì)證明即求三角函數(shù)的頻譜密度函數(shù)．例3-7-7分析解注意如果f(t)中有確定的直流分量，應先取出單獨求傅里葉變換，余下部分再用微分性質(zhì)。2．頻域微分性質(zhì)或推廣例3-7-8解：例3-7-9解：八．時域積分性質(zhì)也可以記作：時域積分性質(zhì)證明變上限積分用帶時移的單位階躍的無限積分表示，成為交換積分順序，即先求時移的單位階躍信號的傅里葉變換時域積分性質(zhì)證明（續(xù)）例3-7-10

1.求單位階躍函數(shù)的傅里葉變換。解：解：§3.8卷積特性（卷積定理）卷積定理卷積定理的應用一．卷積定理時域卷積定理時域卷積對應頻域頻譜密度函數(shù)乘積。頻域卷積定理卷積定理揭示了時間域與頻率域的運算關(guān)系，在通信系統(tǒng)和信號處理研究領域中得到大量應用。證明在下頁時域卷積定理的證明因此所以卷積定義交換積分次序時移性質(zhì)

求系統(tǒng)的響應。

將時域求響應，轉(zhuǎn)化為頻域求響應。二．應用

用時域卷積定理求頻譜密度函數(shù)。例3-8-1§3.9周期信號的傅里葉變換正弦信號的傅里葉變換一般周期信號的傅里葉變換如何由F0(ω)求F(nω1)單位沖激序列的傅氏變換周期矩形脈沖序列的傅氏變換周期信號：非周期信號：周期信號的傅里葉變換如何求？與傅里葉級數(shù)的關(guān)系？引言由歐拉公式由頻移性質(zhì)一．正弦信號的傅里葉變換同理已知頻譜圖由傅里葉級數(shù)的指數(shù)形式出發(fā)：其傅氏變換(用定義)二．一般周期信號的傅里葉變換幾點認識三．如何由求比較式(1),(2)四．周期單位沖激序列的傅里葉變換頻譜五．周期矩形脈沖序列的傅氏變換方法1方法2利用時域卷積定理，周期T1利用沖激函數(shù)的抽樣性質(zhì)§3.10抽樣信號的傅里葉變換抽樣理想抽樣矩形脈沖抽樣從連續(xù)信號到離散信號的橋梁，也是對信號進行數(shù)字處理的第一個環(huán)節(jié)。周期信號抽樣原理圖：一．抽樣二．理想抽樣（周期單位沖激抽樣）2．沖激抽樣信號的頻譜3．討論1．抽樣信號三．矩形脈沖抽樣

關(guān)系限帶信號數(shù)學表示頻譜結(jié)構(gòu)2．舉例說明抽樣信號與原信號頻譜的關(guān)系

3．討論的影響§3.11抽樣定理重建原信號的必要條件：不滿足此條件，就會發(fā)生頻譜混疊現(xiàn)象。奈奎斯特(Nyquist)抽樣率和抽樣間隔例3-11-1例如音頻信號：0～3.4kHz，狄利克雷（Dirichlet）條件例1不滿足條件1的例子如下圖所示，這個信號的周期為8，它是這樣組成的：后一個階梯的高度和寬度是前一個階梯的一半?？梢娫谝粋€周期內(nèi)它的面積不會超過8，但不連續(xù)點的數(shù)目是無窮多個。狄利克雷（Dirichlet）條件例2不滿足條件2的一個函數(shù)是對此函數(shù)，其周期為1，有在一周期內(nèi)，信號是絕對可積的(T1為周期)

狄利克雷（Dirichlet）條件說明與平方可積條件相同，這一條件保證了每一系數(shù)Fn都是有限值，因為為了解決對不符合狄氏條件信號的分析，第三章中引入了廣義函數(shù)理論去解釋傅里葉變換，同時，還可利用本章要討論的拉氏變換法擴大信號變換的范圍。優(yōu)點：求解比較簡單，特別是對系統(tǒng)的微分方程進行變換時，初始條件被自動計入，因此應用更為普遍。缺點：物理概念不如傅氏變換那樣清楚。本章內(nèi)容及學習方法本章首先由傅氏變換引出拉氏變換，然后對拉氏正變換、拉氏反變換及拉氏變換的性質(zhì)進行討論。本章重點在于，以拉氏變換為工具對系統(tǒng)進行復頻域分析。最后介紹系統(tǒng)函數(shù)以及H(s)零極點概念，并根據(jù)他們的分布研究系統(tǒng)特性，分析頻率響應，還要簡略介紹系統(tǒng)穩(wěn)定性問題。注意與傅氏變換的對比，便于理解與記憶。從傅里葉變換到拉普拉斯變換拉氏變換的收斂一些常用函數(shù)的拉氏變換§4.2拉普拉斯變換的定義、

收斂域主要內(nèi)容一．從傅里葉變換到拉普拉斯變換則1．拉普拉斯正變換2．拉氏逆變換3．拉氏變換對二．拉氏變換的收斂

收斂域：使F(s)存在的s的區(qū)域稱為收斂域。記為：ROC(regionofconvergence)實際上就是拉氏變換存在的條件；例題及說明6.一般求函數(shù)的單邊拉氏變換可以不加注其收斂范圍。三．一些常用函數(shù)的拉氏變換1.階躍函數(shù)2.指數(shù)函數(shù)全s域平面收斂3.單位沖激信號4．tnu(t)§4.3拉普拉斯變換的基本

性質(zhì)主要內(nèi)容線性原函數(shù)微分原函數(shù)積分 延時（時域平移）s域平移 尺度變換初值 終值卷積 對s域微分對s域積分一．線性已知則同理例題：二．原函數(shù)微分推廣：證明：電感元件的s域模型電感元件的s模型應用原函數(shù)微分性質(zhì)設三．原函數(shù)的積分證明：①②①②電容元件的s域模型電容元件的s模型四．延時（時域平移）證明：時移特性、例題【例4-3-1】已知【例4-3-2】用時移性質(zhì)求單邊信號抽樣后的拉氏變換五．s域平移證明：例4-3-3六．尺度變換時移和標度變換都有時:證明：七．初值初值定理證明由原函數(shù)微分定理可知例4-3-4

即單位階躍信號的初始值為1。例4-3-2終值存在的條件:八．終值證明：根據(jù)初值定理證明時得到的公式九．卷積證明：交換積分次序十．對s微分十一．對s積分兩邊對s積分：交換積分次序:證明：§4.4拉普拉斯逆變換主要內(nèi)容由象函數(shù)求原函數(shù)的三種方法部分分式法求拉氏逆變換兩種特殊情況一．由象函數(shù)求原函數(shù)的三種方法(1)部分分式法(2)利用留數(shù)定理——圍線積分法(3)數(shù)值計算方法——利用計算機二．F(s)的一般形式ai,bi為實數(shù)，m,n為正整數(shù)。分解零點極點三．拉氏逆變換的過程四．部分分式展開法(m<n)1.第一種情況：單階實數(shù)極點2.第二種情況：極點為共軛復數(shù)3.第三種情況：有重根存在第一種情況：單階實數(shù)極點(1)找極點(2)展成部分分式(3)逆變換求系數(shù)如何求系數(shù)k1,k2,k3``````？第二種情況：極點為共軛復數(shù)共軛極點出現(xiàn)在

求f(t)例題F(s)具有共軛極點，不必用部分分式展開法求下示函數(shù)F(s)的逆變換f(t)：解：求得另一種方法3.第三種情況：有重根存在如何求k2?如何求k2?設法使部分分式只保留k2，其他分式為0逆變換一般情況求k11，方法同第一種情況：求其他系數(shù)，要用下式五．F(s)兩種特殊情況非真分式——化為真分式＋多項式1.非真分式——真分式＋多項式作長除法一.用拉氏變換法分析電路的步驟列s域方程（可以從兩方面入手）

列時域微分方程，用微積分性質(zhì)求拉氏變換；直接按電路的s域模型建立代數(shù)方程。求解s域方程。，得到時域解答。二．微分方程的拉氏變換我們采用0-系統(tǒng)求解瞬態(tài)電路，簡便起見，只要知道起始狀態(tài)，就可以利用元件值和元件的起始狀態(tài)，求出元件的s域模型。例4-5-1（4）求反變換求采用0-系統(tǒng)采用0+系統(tǒng)兩種方法結(jié)果一致。使用0-系統(tǒng)使分析各過程簡化。(3)對微分方程兩邊取拉氏變換采用0-系統(tǒng)采用0+系統(tǒng)(4)原方程取拉氏變換三．利用元件的s域模型分析電路1.電路元件的s域模型2.電路定理的推廣線性穩(wěn)態(tài)電路分析的各種方法都適用。3.求響應的步驟畫0-等效電路，求起始狀態(tài)；畫s域等效模型；列s域方程（代數(shù)方程）；解s域方程，求出響應的拉氏變換V(s)或I(s)；拉氏反變換求v(t)或i(t)。電阻元件的s域模型電感元件的s域模型利用電源轉(zhuǎn)換可以得到電流源形式的s域模型：

電容元件的s域模型電流源形式：求響應的步驟

畫0-等效電路，求起始狀態(tài)；畫s域等效模型；列s域方程（代數(shù)方程）；解s域方程，求出響應的拉氏變換V(s)或I(s)；拉氏反變換求v(t)或i(t)。例4-5-2列s域方程:結(jié)果同例4-5-1例4-5-3(1)(2)(3)列方程解：極點故

逆變換設則第一種情況：階躍信號對回路作用的結(jié)果產(chǎn)生不衰減的正弦振蕩。第二種情況：引入符號所以第三種情況：第四種情況：波形§4.6系統(tǒng)函數(shù)(網(wǎng)絡函數(shù))H(s)系統(tǒng)函數(shù)LTI互聯(lián)網(wǎng)絡的系統(tǒng)函數(shù)并聯(lián)級聯(lián)反饋連接1.定義一．系統(tǒng)函數(shù)響應的拉氏變換與激勵的拉氏變換之比2.H(s)的幾種情況策動點函數(shù)：激勵與響應在同一端口時策動點導納策動點阻抗轉(zhuǎn)移導納轉(zhuǎn)移阻抗電壓比電流比轉(zhuǎn)移函數(shù)：激勵和響應不在同一端口4.應用：求系統(tǒng)的響應3．求H(s)的方法利用網(wǎng)絡的s域元件模型圖，列s域方程→微分方程兩端取拉氏變換→二．LTIS互聯(lián)的系統(tǒng)函數(shù)1．LTI系統(tǒng)的并聯(lián)2．LTI系統(tǒng)的級聯(lián)3．LTI系統(tǒng)的反饋連接4．結(jié)論在s域可進行代數(shù)運算：例4-6-1(1)在零起始狀態(tài)下，對原方程兩端取拉氏變換(2)因為所以所以所以例4-6-2已知系統(tǒng)的框圖如下，請寫出此系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)和描述此系統(tǒng)的微分方程。例4-6-3解：一．序言沖激響應h(t)與系統(tǒng)函數(shù)H(s)從時域和變換域兩方面表征了同一系統(tǒng)的本性。在s域分析中，借助系統(tǒng)函數(shù)在s平面零點與極點分布的研究，可以簡明、直觀地給出系統(tǒng)響應的許多規(guī)律。系統(tǒng)的時域、頻域特性集中地以其系統(tǒng)函數(shù)的零、極點分布表現(xiàn)出來。

主要優(yōu)點：1．可以預言系統(tǒng)的時域特性；2．便于劃分系統(tǒng)的各個分量（自由／強迫，瞬態(tài)／穩(wěn)態(tài)）；3．可以用來說明系統(tǒng)的正弦穩(wěn)態(tài)特性。二．H(s)零、極點與h(t)波形特征的對應在s平面上，畫出H(s)的零極點圖：極點：用×表示，零點：用○表示1．系統(tǒng)函數(shù)的零、極點2．H(s)極點分布與原函數(shù)的對應關(guān)系幾種典型情況一階極點當，極點在左半平面，衰減振蕩當，極點在右半平面，增幅振蕩二階極點有實際物理意義的物理系統(tǒng)都是因果系統(tǒng)，即隨，這表明的極點位于左半平面，由此可知，收斂域包括虛軸，均存在，兩者可通用，只需將即可。三．H(s)、E(s)的極點分布與自由響應、強迫響應特性的對應激勵：系統(tǒng)函數(shù)：響應：自由響應分量＋強制響應分量討論自由響應的極點只由系統(tǒng)本身的特性所決定，與激勵函數(shù)的形式無關(guān)，然而系數(shù)都有關(guān)。響應函數(shù)r(t)由兩部分組成：系統(tǒng)函數(shù)的極點

自由響應分量；激勵函數(shù)的極點

強迫響應分量。定義系統(tǒng)行列式（特征方程）的根為系統(tǒng)的固有頻率（或稱“自然頻率”、“自由頻率”）。H(s)的極點都是系統(tǒng)的固有頻率；H(s)零、極點相消時，某些固有頻率將丟失。暫態(tài)響應和穩(wěn)態(tài)響應瞬態(tài)響應是指激勵信號接入以后，完全響應中瞬時出現(xiàn)的有關(guān)成分，隨著t增大，將消失。穩(wěn)態(tài)響應＝完全響應－瞬態(tài)響應左半平面的極點產(chǎn)生的函數(shù)項和瞬態(tài)響應對應。例4-7-1極點：零點：畫出零極點圖：例4-7-2，教材習題2-6(1)給定系統(tǒng)微分方程試分別求它們的完全響應，并指出其零輸入響應，零狀態(tài)響應，自由響應，強迫響應各分量，暫態(tài)響應分量和穩(wěn)態(tài)響應分量。解：方程兩端取拉氏變換零輸入響應／零狀態(tài)響應則

穩(wěn)態(tài)響應／暫態(tài)響應，自由響應／強迫響應極點位于s左半平面極點位于虛軸暫態(tài)響應穩(wěn)態(tài)響應H(s)的極點E(s)的極點自由響應強迫響應§4.8由系統(tǒng)函數(shù)零、極點分布

決定頻響特性

定義幾種常見的濾波器根據(jù)H(s)零極圖繪制系統(tǒng)的頻響特性曲線一．定義所謂“頻響特性”是指系統(tǒng)在正弦信號激勵下穩(wěn)態(tài)響應隨頻率的變化情況。前提：穩(wěn)定的因果系統(tǒng)。

有實際意義的物理系統(tǒng)都是穩(wěn)定的因果系統(tǒng)。時域：頻域：H(s)的全部極點落在s左半平面。

其收斂域包括虛軸：拉氏變換存在傅里葉變換存在H(s)和頻響特性的關(guān)系頻響特性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應——幅頻特性——相頻特性（相移特性）二．幾種常見的濾波器margins三．根據(jù)H(s)零極圖繪制系統(tǒng)的頻響特性曲線令分子中每一項分母中每一項畫零極點圖當沿虛軸移動時，各復數(shù)因子(矢量)的模和輻角都隨之改變，于是得出幅頻特性曲線和相頻特性曲線。由矢量圖確定頻率響應特性例4-8-1確定圖示系統(tǒng)的頻響特性。頻響特性分析例4-8-2研究下圖所示RC低通濾波網(wǎng)絡的頻響特性。寫出網(wǎng)絡轉(zhuǎn)移函數(shù)表達式解:頻響特性例4-8-3其轉(zhuǎn)移函數(shù)為相當于低通與高通級聯(lián)構(gòu)成的帶通系統(tǒng)。解：低通濾波器高通濾波器頻響特性§4.9全通函數(shù)與最小相移函數(shù)的零、極點分布

全通網(wǎng)絡最小相移網(wǎng)絡級聯(lián)一．全通網(wǎng)絡所謂全通是指它的幅頻特性為常數(shù)，對于全部頻率的正弦信號都能按同樣的幅度傳輸系數(shù)通過。零、極點分布極點位于左半平面，零點位于右半平面，零點與極點對于虛軸互為鏡像頻率特性幅頻特性——常數(shù)相頻特性——不受約束全通網(wǎng)絡可以保證不影響待傳送信號的幅度頻譜特性，只改變信號的相位頻譜特性，在傳輸系統(tǒng)中常用來進行相位校正，例如，作相位均衡器或移相器。由于N1N2N3與M1M2M3相消，幅頻特性等于常數(shù)K，即二．最小相移網(wǎng)絡●若網(wǎng)絡函數(shù)在右半平面有一個或多個零點，就稱為“非最小相移函數(shù)”，這類網(wǎng)絡稱為“非最小相移網(wǎng)絡”。三．級聯(lián)非最小相移網(wǎng)絡可代之以最小相移網(wǎng)絡與全通網(wǎng)絡的級聯(lián)。非最小相移網(wǎng)絡最小相移網(wǎng)絡全通網(wǎng)絡§4.10線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性

引言定義（BIBO）證明由H(s)的極點位置判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性一．引言某連續(xù)時間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)當輸入為u(t)時，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應的象函數(shù)為但t很大時，這個正指數(shù)項超過其他項并隨著t的增大而不斷增大

……續(xù)實際的系統(tǒng)不會是完全線性的，這樣，很大的信號將使設備工作在非線性部分，放大器的晶體管會飽和或截止，一個機械系統(tǒng)可能停車或發(fā)生故障等。這不僅使系統(tǒng)不能正常工作，有時還會發(fā)生損壞危險，如燒毀設備等。穩(wěn)定性是系統(tǒng)自身的性質(zhì)之一，系統(tǒng)是否穩(wěn)定與激勵信號的情況無關(guān)。沖激響應和h(t)、H(s)系統(tǒng)函數(shù)從兩方面表征了同一系統(tǒng)的本性，所以能從兩個方面確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。二．定義（BIBO）

一個系統(tǒng)，如果對任意的有界輸入，其零狀態(tài)響應也是有界的，則稱該系統(tǒng)有界輸入有界輸出（BIBO）穩(wěn)定的系統(tǒng)，簡稱穩(wěn)定系統(tǒng)。對所有的激勵信號e(t)其響應r(t)滿足

則稱該系統(tǒng)是穩(wěn)定的。式中，穩(wěn)定系統(tǒng)的充分必要條件是（絕對可積條件）：三．證明對任意有界輸入e(t)，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應為：充分性充分性得證必要性必要性得證。四．由H(s)的極點位置判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性1．穩(wěn)定系統(tǒng)若H(s)的全部極點位于s平面的左半平面（不包括虛軸），則可滿足系統(tǒng)是穩(wěn)定的。例如系統(tǒng)穩(wěn)定；系統(tǒng)穩(wěn)定。2．不穩(wěn)定系統(tǒng)如果H(s)的極點位于s右半平面，或在虛軸上有二階（或以上）極點系統(tǒng)是不穩(wěn)定系統(tǒng)。3．臨界穩(wěn)定系統(tǒng)如果H(s)極點位于s平面虛軸上，且只