2023-2024學年上海市普陀區(qū)高二年級下冊期中數(shù)學試題（含答案）

2023-2024學年上海市普陀區(qū)高二下冊期中數(shù)學試題

一、填空題

1.在空間直角坐標系中，過M（4,5,6）作）OZ平面的垂線，N為垂足，則點N坐標為_

【正確答案】（0,5,6）

【分析】空間中點在yθz平面的投影坐標取X=O即可.

【詳解】在空間直角坐標系中，點"（4,5,6）,

過M（4,5,6）作yθz平面的垂線，N為垂足，則N（0,5,6）.

故（0,5,6）

2.在平面直角坐標系中，曲線卜=Wc°sθ（。為參數(shù)）的普通方程是______.

y=sin6

【正確答案】—+/=1

3

【分析】利用sin2e+cos2?=l,可得出普通方程

χ=COSθ~/='=COSθ

.:為參數(shù)），BP√3

!y=sm'y=sind

由sin?e+cos?6=1,可得：一+y2=1

3

故工+丁=1

3

本題考查將參數(shù)方程化為普通方程，屬于基礎題.

3.尸是橢圓片+片=1上的動點，作POLy軸，。為垂足，則PD中點的軌跡方程為

169

【正確答案】—+??l

49

【分析】設點P的坐標為（如％）,可得出點。（0,y°）,設PO的中點為M（X,〉），利用中點

坐標公式可得出卜=寸，可得F°=2?代入等式K→K?=1化簡可得Po中點的軌跡方程.

【詳解】設點尸的坐標為CW°）,則與+曰=1,由于尸O?Ly軸，〃為垂足，則。（0,%）,

169

?=2x

設Po的中點為例(χ,y),則2,可得

,y=y

J=No0

；：：；代入等式率*1可得答吟”

將4+v

故答案為=1

49

方法點睛：求動點的軌跡方程有如下幾種方法:

(1)直譯法：直接將條件翻譯成等式，整理化簡后即得動點的軌跡方程；

(2)定義法：如果能確定動點的軌跡滿足某種已知曲線的定義，則可利用曲線的定義寫出

方程；

(3)相關點法：用動點。的坐標X、y表示相關點尸的坐標與、%,然后代入點P的坐標

(七,％)所滿足的曲線方程，整理化筒可得出動點。的軌跡方程：

(4)參數(shù)法：當動點坐標X、y之間的直接關系難以找到時，往往先尋找X、y與某一參數(shù)

/得到方程，即為動點的軌跡方程；

(5)交軌法：將兩動曲線方程中的參數(shù)消去，得到不含參數(shù)的方程，即為兩動曲線交點的

軌跡方程.

4.已知等差數(shù)列｛%｝的前三項分別為α-l,2α+l,α+7,則這個數(shù)列的通項公式為一

【正確答案】?=4n-3

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可求出。=2,即可得出首項和公差，求出通項公式.

【詳解】：等差數(shù)列｛為｝的前三項分別為“T2α+l,α+7,

2(2。+l)=6i-l÷tz÷7,解得α=2.

.?.q=l,∕=5,%=9,.?.數(shù)列｛4,,｝是以1為首項，4為公差的等差數(shù)列，

q=1+(〃-1)X4=4〃-3.

故答案：aιl=4n-3.

5.若平面ɑ的一個法向量為M=(2,-6,S),平面夕的一個法向量為〃=(1/2),且α〃夕,

則ST=.

【正確答案】7

【分析】由α〃夕，得二〃7,利用向量坐標平行計算公式代入計算.

【詳解】由ɑ〃6，得囁〃；,，所以3=^=9,解得f=-3,s=4,.?.sτ=7.

1t2

故7

6.已知數(shù)列｛%｝的前〃項和公式S“=〃2-2〃+l,則其通項公式q=.

O,M=I

【正確答案】4=

2n-3,n≥2

【分析】利用關系式，當〃≥2時，4=S〃-SW當〃=1時，Ο1=S1,即可求解.

【詳解】由題意，數(shù)列｛“〃｝的前〃項和公式E,=∕-2"+l

2

當“≥2時，?=Sn-5n.,=√-2;?+1-(n-l)+2(n-l)-l=2π-3,

又由當〃=1時，a,=S,=I2-2×1+1=0,

所以數(shù)列｛“〃｝的通項公式為4=；qS

2n-3,n≥2

O,n=l

2n-3,n≥2

7.用數(shù)學歸納法證明"("+1)(〃+2)(〃+3)5+")=2"?l?3(2〃-1)"("eN,)時，從“〃=%至［］

〃=&+1”時，左邊應增添的式子是

【正確答案】23+1)

3

［分析】左邊應增添的式子是,整理得到答案.

一:(κI'+(I;)(*Z+)2;);(κj)+;3)、伏(κ+κ)

故2(2k+1)

8.已知正方體ABCQ-ABCIA的棱長為4,AM=3MG,點N為片B的中點，則

IMNI=.

【正確答案】√H

【分析】根據(jù)題意，建立適當?shù)目臻g直角坐標系，即可求解.

【詳解】如圖所示，以點。為坐標原點，以DA,DC,。。所在直線分別為X,九Z軸,

建立空間直角坐標系短一孫z.

因為正方體ABC。-AAC。的棱長為4,AM=IMc,點N為片8的中點,

所以Λf(3,l,l),N(4,4,2),故IMNl=√i7百萬=√∏.

.∕?c,

j7I,

故答案為.√ΓT

MP則通項公式為=_____.

9.在數(shù)列｛%｝中，4=3,a,,^=an+-

【正確答案】4-1

n

【分析】利用累加法求數(shù)列的通項公式,同時右邊求和時需要利用裂項相消法求和.

【詳解】因為凡+|=4+總刀，即可+11

~a=-------77

nnn+?

則―W，

I1

1I

?-2-?-3=?^-?^

11

…=5-§

1

%-%=11-2，

aa

所以%%T—n-2+n-2~。〃一3+"?-a3-a2+a2-al

IlllllIlI

=.——+,—.+——,+H---------F1----,

n-?n〃-2n-?n-3n-2232

即α,,一α1=I-L,

n

又因為《=3,所以a“=l-^+αl=4-1

nn

故4」

n

10.已知向量α=(2,l,3)力=(-l,2,-2),c=(7,6"),若向量4、b、I共面,則實數(shù)4等于一.

【正確答案】10

【分析】根據(jù)向量共面得到c=ma+nb,代入數(shù)據(jù)計算得到答案.

【詳解】因為向量a、b、C共面，所以存在實數(shù)加、〃使得c=ma+nb?

7=2m-nιn=4

所以，6="?+2〃<n=l,所以；I=I0.

λ=3m-In2=10

故10

11.古希臘數(shù)學家阿波羅尼奧斯的著作《圓錐曲線論》中給出了圓的另一種定義：平面內(nèi)，

到兩個定點AB距離之比是常數(shù)Λ(Λ>0,∕l≠1)的點M的軌跡是圓，若兩定點A,B的距離為

3,動點M滿足∣M4∣=2∣M即，則M點的軌跡圍成區(qū)域的面積為.

【正確答案】4萬.

【分析】建立平面直角坐標系，根據(jù)∣M4∣=2∣M8∣,求得”點的軌跡方程，結合圓的面積公

式，即可求解.

【詳解】以A為原點，直線AB為X軸建立平面直角坐標系，

因為兩定點AB的距離為3,可得8(3,0),

設M(x,y),因為動點M滿足∣M4∣=2∣MB∣,可得-j]?+>==2,

√(x-3)^+/

整理得V+y2-8x+12=0,BP(x-4)2+y2=4,

所以點M的軌跡圍成區(qū)域的面積為S=;rx2?=4".

故答案為.4;T

12.對于數(shù)列｛4｝,若存在正整數(shù)加，使得對任意正整數(shù)"，都有4+",=〃,“(其中4為非

零常數(shù))，則稱數(shù)列｛4｝是以加為周期，以4為周期公比的“類周期性等比數(shù)列若“類周期性

等比數(shù)列'’的前4項為1,1,2,3,周期為4,周期公比為3,則數(shù)列｛為｝前21項的和為一.

【正確答案】1090

【分析】確定q+4=3氏，數(shù)列｛4｝從第二項起連續(xù)四項成等比數(shù)列，利用等比數(shù)列公式計

算得到答案.

【詳解】an+4=3a,,t故%=。q=3,由題意得數(shù)列｛q｝從第二項起連續(xù)四項成等比數(shù)列,

a2+a3+a4+a5=1+2+3+3=9,^=3,

I(%+%+/+%)(l-45)]I9x(14)

則數(shù)列｛%｝前21項的和為巧=1090.

"q1-3

故]090

二、單選題

13.原點與極點重合，X軸正半軸與極軸重合，則直角坐標為（-2,-2后）的點的極坐標是（）

A.（4,?）B.（4,孚）C.（-4,-尋）D.（4,耳）

【正確答案】B

【分析】根據(jù)極坐標公式，求出p、夕即可.

【詳解】解：??χ=-2,-2√3;

:?P=?/?2+y2=J（-^2）2+（-2月）2=4;

「21

又x=pcosθ=-2,.*.cosθ=--=—，

P2

且。為第三象限角，

??U-《一;

該點的極坐標為（4,?）.

故選：B.

14.數(shù)列也｝中，＜2n+∣=2al,+1,al=?,則必=（）

A.32B.62C.63D.64

【正確答案】C

【分析】把%+∣=2α,,+1化成％+∣+l=2（q+l）,故可得｛%+1｝為等比數(shù)列，從而得到《的

值.

【詳解】數(shù)列｛%｝中，an+l=2an+?,故/+l=2（a,,+l）,

因為“∣=l,故4+l=2≠0,故4,+l≠0,

所以'?T:=2'所以｛4+l｝為等比數(shù)列，公比為2,首項為2?

所以”,,+l=2"即4=2"-l,故&=63,故選C.

給定數(shù)列的遞推關系，我們常需要對其做變形構建新數(shù)列（新數(shù)列的通項容易求得），常見

的遞推關系和變形方法如下:

（1）G=,取倒數(shù)變形為匚=幺；

aa

<7?-ι+P,,n-lP

（2）a,,=pa,τ+q（pq≠0）,變形為今=黃-+力（四≠O,P≠1）,也可以變形為

一言

15.已知數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列，若為+出〉。，?,?β∣l<θ,且數(shù)列｛%｝的前"項和S“有最

大值，那么當S”>。時，”的最大值為（）

A.10B.11C.20D.21

【正確答案】C

【分析】由題結合等差數(shù)列的性質(zhì)可得4。>0,01∣<0,即可判斷當S“>0時，”的最大值.

【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)，知為+α,2=4+%>>0,又“∣o?"u<0,，即）和即異號.

；數(shù)列｛%｝的前〃項和S（I有最大值，.?.數(shù)列｛4｝是遞減的等差數(shù)列，.?.q（>>0,4<0,

%=21x（：+%）=21即<o,邑。=迎產(chǎn)=10（%+&）>0,

.?.當S,,>0時,的最大值為20.

故選：C.

16.在《九章算術》中，將四個面都是直角三角形的四面體稱為鱉膈，在鱉席A-BC。中，

45上平面BCZxBCLCD,ELAB=BC=CD,M為AQ的中點，則異面直線BM與Cz）夾

角的余弦值為（）

A.—B.巫C.—D.—

3434

【正確答案】C

【分析】建立空間直角坐標系，利用向量法可以求得向量夾角的余弦值，再根據(jù)向量夾角與

異面直線夾角的關系可以求得異面直線夾角的余弦值.

【詳解】畫出四面體A-BcD,建立坐標系，利用向量法求異面直線所成角的余弦值即可.

解：四面體A-88是由正方體的四個頂點構成的，如下圖所示

建立如下圖所示的空間直角坐標系，設正方體的棱長為2

B(0,0,0),C(2,0,0),0(2,2,0),M(1,1,1)

BM=(1,1,1),CD=(0,2,0)

EBMCD2√3

-

cos(tBM,CDy=---------；r=?=—=—

∣BM∣?∣CD∣√3×23

因為異面直線夾角的范圍為(θ,g],所以異面直線與C。夾角的余弦值為立

I2」3

故選：C

三、解答題

x=a+cosθ

.,(6為參數(shù)).以坐標原點

{y=Sin夕n

為極點，X軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，直線/的極坐標方程為PSin(。-；)=告.若

直線/與圓C相切，求實數(shù)。的值.

【正確答案】a=-l+√2.

【分析】將圓的參數(shù)方程轉化為直角坐標方程，將直線的極坐標方程轉化為直角坐標方程，

結合點到直線的距離公式即可求解.

I九-a+COS。

【詳解】圓C的參數(shù)方程為一.八(。為參數(shù))，化為普通方程(x-α)2+V=ι.

[y=Sin夕

直線/的極坐標方程為「sin("?)=孝，即白夕sin。-[夕CoSe=辛，所以直角坐標方程

χ-y+l=0.

因為直線/與圓C相切，所以%1=1,

解得”=-l±√L

18.如圖，在四棱錐P-ABC￡＞中，已知棱AB,AD,AP兩兩垂直且長度分別為1,2,2,

ABHCD,AB=-DC.

2

（1）若PC中點為M,證明：BM〃平面PAD；

（2）求點A到平面PCO的距離.

【正確答案】（1）證明見解析；（2）√2.

【分析】（1）建立空間直角坐標系，求出所需點的坐標，求出直線BM的方向向量和平

面PAD的法向量”，證明8M?"=0即可；

（2）利用待定系數(shù)法求出平面尸DC的法向量，求出Ao的坐標，然后利用點到直線的距離

公式求解即可.

【詳解】解：（1）證明：分別以A8,AD,AP所在直線為X軸，V軸，Z軸建立空間直角

坐標系如圖所示，

因為AB,AD,AP的長度分別為1,2,2,S.AB=DC,

則4(0,0,1),8(1,0,0),D(0,2,0),P(0,0,2),C(2,2,0),

又M是尸C的中點，所以M(LI,1),

所以BM=（0,1,1）,由已知可得平面PA￡＞的一個法向量為〃=（1,0,0）,

則BW?"=Oxl+lxO+lxO=O,

所以BMJ.〃，又BMa平面P4。，

所以aw//平面上M>;

UU

(2)解：設平面FoC的法向量為m=(x,y,z),

ULHI

因為CO=(-2,0,0),PD=(0,2,-2)，

rn-CD=O-2x=0

則有，,即

m?PD=O2y-2z=0

令y=l,則X=O,z=l,故5=(OJl),

又AQ=(020),

LLl.,,,AD`m0×0+l×2+l×0FT

所以t點A到平面PCZ)的距離d=———=-----------『---------=√2.

?m?√2

方法點睛：空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當?shù)目臻g直角

坐標系；（2）寫出相應點的坐標，求出相應直線的方向向量：（3）設出相應平面的法向量,

利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關系轉化為向量關系；

（5）根據(jù)定理結論求出相應的角和距離.

19.如圖，在四棱錐P—ABC。中，底面ABCO為菱形，P4，平面ABC。，ZABC=60o,E

為BC的中點，f為PC的中點.

（1）求證：平面AEf"L平面PAz）;

（2）若R4=AB=2,求二面角A-EF-C的余弦值.

【正確答案】（1）證明見解析

⑵一返

35

【分析】（1）通過證明A￡_LA。和PAj.AE得AE_L平面RAQ,再利用面面垂直判定定理

求解；

（2）建立空間直角坐標系求兩個平面的法向量代入二面角公式求解?

【詳解】（1）因為底面ABCO是菱形，ZABC=60。，所以△ABC為等邊三角形,

所以AE平分ZBAC,所以ZEAD=（180°-60°）-半=90°,

所以AE_LAD,

又因為PAl.平面ABCQ,所以B4J_AE,且∕?cAD=A,

所以AE_L平面PAD,又AEU平面AEF,

所以平面AEF±平面PAD；

（2）據(jù)題意，建立空間直角坐標系如圖所示：

因為B4=ΛB=2,所以

4（0,0,0）,網(wǎng)后,0,0）,尸（0,0,2）,《在1,0）,所以/件3』），

LU

設平面AE戶一個法向量為4=α,y∣,zj,平面￡FC一個法向量為n2=（x2,y2,z2）,

因為AEMO，°)，AH.M，H

?/???=0..

所以r，取y=2,所以4二一1,所以勺=(02-1),

√3xl+y1+2zl=0

/31EC?M=0

又因為EC=(OJO),E尸=?,-,l2

EF?H2=0

J=0

2LU

所以《√31，取再=2,則Z2=g,所以％=(2,0,網(wǎng),

一-γx2+^y2+z2=0

Tt,”，—■^3—Jl05

所以…,…麗=百萬=M

由圖形知，二面角為鈍角，故二面角夾角的余弦值為一理1.

20.如圖，6(占,)。號(占，％)，，K(x“，y“)(0<X<%<<y")是曲線C：y2=3x(y≥0)上的〃

(2)猜想點4(4,0)的橫坐標。“關于”的表達式，并用數(shù)學歸納法證明.

【正確答案】(1)4=2,%=6,“3=12；(”“--)2=2(%+q,)

(2)%="("+I),證明見解析

【分析】(1)根據(jù)幾何關系和拋物線的標準方程代入即可求解：

(2)根據(jù)數(shù)學歸納法即可求解.

【詳解】(I)解：設［卜,后),"。，貝""Y=3∕,解得"1,所以A(2,0),所以6=2,

設2(2+也"〃｝加>0,則(行〃?)-=3(2+m),解得加=2,

所以4(6,0),所以生=6,

設6+>。，則=3(6+/?),解得〃=3,

所以A(12,0),所以％=12,

設Pn(?-,+Λ√3Λ),2>O,所以4(%+240),

所以，(網(wǎng)W*+?整理得(",~/=2(%+q).

an=an^+2λ

(2)根據(jù)4=1x2,出=2x3,%=3x4,猜想="("+I).

下面用數(shù)學歸納法證明a,,=n(n+1):

①當”=1時，猜想顯然成立.

②假設當“=A(ZeN)時，猜想成立，即4=以無+1),

2

則當〃=%+1時，因為(％-alt)=2(4+%),

2

所以[ali^-k(k+1)]=2[k(k+1)+aM],

2

BP?+1-2(?+?+Da1+Mk+l)?[(?-l)(fc+2)=0,

解得%=("+1)(%+2)(4M=k(M-l)<做不合題意，舍去)

即當"=Z+1時，猜想也成立.

由①②得對一切的〃eN”猜想均成立.

21.已知公比大于1的等比數(shù)列｛4｝的前八項和為S),,且,=14,%=8?

(1)求數(shù)列伍“｝的通項公式；

⑵若數(shù)列｛〃,,｝滿足。，求使得〃川≤"成立的所有〃的值；

n--7

⑶在an與〃向之間插入n個數(shù),使這“+2