第六章二次型與對稱矩陣第一講

第六章二次型與對稱矩陣第一講第1頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月

(1)的左邊是一個(gè)二次齊次多項(xiàng)式,從代數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)看，化標(biāo)準(zhǔn)型的過程就是通過變量的線性變換化簡一個(gè)二次齊次多項(xiàng)式，使它只有平方項(xiàng)。這樣的問題，在許多理論問題或是實(shí)際問題中常會(huì)遇到?，F(xiàn)在我們把這類問題一般化，討論n個(gè)變量的二次齊次多項(xiàng)式的化簡問題。4.1二次型概念定義1.1含有n個(gè)變量x1,x2,…xn的二次齊次函數(shù)其中（1）第2頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月1、二次型的矩陣形式第3頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月其中1）稱A為二次型f的矩陣，顯然

A=AT;2）A=(aij),若aij

為復(fù)數(shù)，稱f為復(fù)二次型；3）A=(aij),若aij

為實(shí)數(shù)，稱f為實(shí)二次型；4）稱為R(A)為二次型f的秩。（2）第4頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月例1.把下面的二次型寫成矩陣形式：第5頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月2、線性變換定義1.2把變量x1,x2,…,xn化為變量y1,y2,…,yn的一組線性關(guān)系式叫做由變量x1,x2,…,xn化為變量y1,y2,…,yn的一個(gè)線性變換。若記則線性變換可表示為x=Py。（3）第6頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月上式中的矩陣P稱為該變換的系數(shù)矩陣。當(dāng)P可逆時(shí)，（3）稱為可逆的線性變換；當(dāng)P不可逆時(shí)，（3）稱為不可逆的線性變換。當(dāng)線性變換（3）可逆時(shí)，線性變換y=P-1x(4)

稱為（3）式的逆變換。設(shè)x=Py是可逆的線性變換將二次型化為f=(Py)TA(Py)=yT(PTAP)y。令B=PTAP，則B是對稱矩陣，yTBy是新變量y1,y2,…,yn的一個(gè)二次型。變換前后兩個(gè)二次型矩陣A、B間的這種關(guān)系稱為合同關(guān)系。定義1.3對于n階矩陣A、B,如果有n階可逆矩陣P使得PTAP=B則稱矩陣A、B是合同（或相合），記為A

B。對方陣A進(jìn)行的運(yùn)算PTAP稱為對A的合同變換，P稱為合同因子。第7頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月顯然，合同矩陣具有如下性質(zhì)：2）對稱性：若A

B，則B

A；1）反身性：若A

A

；3）傳遞性：若A

B，B

C,則A

C;4）若A

B，則R(A)=R(B);5）若A

B，且A為對稱矩陣，則B亦為對稱矩陣?！贤c相似是兩個(gè)互相獨(dú)立的概念。合同的矩陣未必相似，相似的矩陣也未必合同。但是，對于實(shí)對稱矩陣A，當(dāng)合同因子P是正交矩陣時(shí)，由于P-1=PT，所以對A的合同變換與相似變換是一致的。顯然，如果二次型xTAx經(jīng)可逆的線性變換x=Py化為二次型yTBy，則必有A

B，即f(x)=xTAx=(Py)TA(Py)=yTPTAPy=yTBy。綜上所述，二次型f(x)=xTAx能用可逆的線性變換x=Py化為yTBy的充分必要條件是有可逆矩陣P，使PTAP=B。第8頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月§2二次型的標(biāo)準(zhǔn)形定義2.1稱只含有平方項(xiàng)的二次型為二次型的標(biāo)準(zhǔn)型（或法式）。顯然，一個(gè)二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的充分必要條件是它的矩陣為對角矩陣。（5）第9頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月所謂一般二次型的化簡問題，就是尋找一個(gè)可逆的線性變換：定理2.1設(shè)A為n階對稱矩陣，二次型f(x)=xTAx能用可逆線性變換x=Py化為標(biāo)準(zhǔn)形（5）的充分必要條件是存在

n階可逆矩陣P使PTAP=B=ding(λ1,λ2,…，λn).定理2.1告訴我們，二次型經(jīng)可逆線性變換化為標(biāo)準(zhǔn)形的問題與對稱矩陣化為對角矩陣的問題實(shí)質(zhì)上是同一問題。第10頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月顯然，經(jīng)可逆變換x=Cy把f化成yTC

TACy，C

TAC

仍為對稱矩陣，且二次型的秩不變。2.1用正交變換化實(shí)二次型為標(biāo)準(zhǔn)形定理2.2對于任意的n元二次型f(x)=xTAx，必有正交變換x=Py，使f化為標(biāo)準(zhǔn)形其中λ1,λ2,…，λn恰是A的全部特征值。證明由于A為n階對稱矩陣。由第五章定理5.3知有n階正交矩陣P，使得PTAP=P-1AP=ding(λ1,λ2,…，λn)，其中λ1,λ2,…，λn恰是A的全部特征值。由定理2.1便知定理成立。應(yīng)用定理2.2求實(shí)二次型f(x)=xTAx標(biāo)準(zhǔn)型問題，其實(shí)質(zhì)上就是用正交變換化實(shí)對稱矩陣A為對角矩陣的問題。第11頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月

經(jīng)過上面的討論，總結(jié)用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型的一般步驟：1、將二次型寫成矩陣形式；2、由|A-λE|=0，求出A的全部特征值；4．把求出的n個(gè)兩兩正交的單位向量，拼成正交矩陣P,作正交變換x=Py;第12頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月5、用x=Py，把f化成標(biāo)準(zhǔn)型解1）二次型的矩陣為例2.求一個(gè)正交變換x=Py，把二次型第13頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月第14頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月得A的特征值為λ1=-3，λ2=λ3=λ4=1，由(A-λE)x=0,求A的全部特征向量，當(dāng)λ1=-3時(shí)，解方程(A-3E)x=0.第15頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月得基礎(chǔ)解系單位化，得第16頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月k2,k3,k4不同時(shí)為零.第17頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月取單位化，得第18頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月（4）令P=(p1,p2,p3,p4),于是得正交變換x=Py,即5）用正交變換x=Py將f化成標(biāo)準(zhǔn)形第19頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月2.2用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形

解由于f中含有的平方項(xiàng)，故把含有x1的項(xiàng)歸為一類，配方得：第20頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月所用的線性變換為則該變換把f化成標(biāo)準(zhǔn)形為例2用配方法化