級數(shù)的收斂性

級數(shù)的收斂性第1頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月§1級數(shù)的收斂性第十二章數(shù)項級數(shù)第2頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月1.計算圓的面積正六邊形的面積正十二邊形的面積正形的面積一、問題的提出第3頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月1.無窮級數(shù)的定義設有數(shù)列{un}:u1,u2,…,un,…,則稱表達示為一個無窮級數(shù)，簡稱為級數(shù).其中，un稱為級數(shù)的一般項或通項.無窮級數(shù)的概念第4頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月若級數(shù)的每一個項un均為常數(shù)，則稱該級數(shù)為常數(shù)項級數(shù)；若級數(shù)的每一項均為同一個變量的函數(shù)un=un(x),則稱級數(shù)為函數(shù)項級數(shù).第5頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月例1.

下列各式均為常數(shù)項級數(shù)第6頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月例2.

下列各式均為函數(shù)項級數(shù)第7頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月2.級數(shù)的斂散性定義無窮級數(shù)的前n項之和：稱為級數(shù)的部分和.若存在，則稱級數(shù)收斂，S稱為級數(shù)的和：第8頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月若不存在(包括為

)，則稱級數(shù)發(fā)散.第9頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月觀察雪花分形過程第一次分叉：依次類推播放第10頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月觀察雪花分形過程第一次分叉：依次類推第11頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月觀察雪花分形過程第一次分叉：依次類推第12頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月觀察雪花分形過程第一次分叉：依次類推第13頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月觀察雪花分形過程第一次分叉：依次類推第14頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月觀察雪花分形過程第一次分叉：依次類推第15頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月觀察雪花分形過程第一次分叉：依次類推第16頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月周長為面積為第次分叉：第17頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月于是有結論：雪花的周長是無界的，而面積有界．雪花的面積存在極限（收斂）．第18頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月例3.

討論等比級數(shù)的斂散性.解：等比級數(shù)的部分和為：當公比|r|<1時，即第19頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月當公比|r|>1時，當公比r=1時，當公比r=

1時，Sn=a,n為奇數(shù)0,n為偶數(shù),故不存在.

綜上所述，當公比|r|<1時,等比級數(shù)收斂；當公比|r|

1時，等比級數(shù)發(fā)散.第20頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月例4.

討論級數(shù)的斂散性.解：

第21頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月而故，即該級數(shù)收斂.第22頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月3.收斂級數(shù)的余項收斂級數(shù)稱為收斂級數(shù)的余項，記為的和S與其部分和Sn的差S

Sn顯然第23頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月二、級數(shù)收斂的必要條件定理：若級數(shù)收斂，則必有證設第24頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月例5.

判別的斂散性.解：由于故該級數(shù)發(fā)散.第25頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月例6.

證明調和級數(shù)是發(fā)散的.證

調和級數(shù)的部分和有：第26頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月第27頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月由數(shù)學歸納法，得

k=0,1,2,

而故不存在，即調和級數(shù)發(fā)散.第28頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月若c0為常數(shù)，則有相同的斂散性，且三、無窮級數(shù)的性質性質1第29頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月證的部分和為的部分和為故從而同時收斂或同時發(fā)散.第30頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月若其和分別為S1和S2，則級數(shù)且性質2第31頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月證的部分和為：故第32頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月即級數(shù)收斂，且第33頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月例7.

因為等比級數(shù)所以級數(shù)第34頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月例8.

問題(1)一個收斂級數(shù)與一個發(fā)散級數(shù)的和是收斂的還是發(fā)散的？答：是發(fā)散的.問題(2)兩個發(fā)散的級數(shù)之和是收斂的還是發(fā)散的？答：不一定.第35頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月

在一個級數(shù)的前面加上或者去掉有限項后，所得到的新的級數(shù)與原級數(shù)的斂散性相同.(但對收斂級數(shù)來說，它的和將改變.)性質3第36頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月證

設級數(shù)的部分和為Sn,去掉級數(shù)的前面m項后得到的級數(shù)的部分和為S'k:第37頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月由于Sm當m固定時為一常數(shù)，所以故級數(shù)與級數(shù)第38頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月

對收斂的級數(shù)加括號后所得到的新級數(shù)仍然收斂，且其和不變.性質4第39頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月例9.

考慮一下幾個問題：(1)收斂的級數(shù)去掉括號后所成的級數(shù)仍收斂嗎？答：不一定.(2)發(fā)散的級數(shù)加括號后所成的級數(shù)是否仍發(fā)散？答：不一定發(fā)散.(3)如果加括號后的級數(shù)仍發(fā)散，原級數(shù)是否也發(fā)散？答：原級數(shù)也發(fā)散.第40頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月證明四、級數(shù)收斂的必要條件：第41頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月注意1.如果級數(shù)的一般項不趨于零,則級數(shù)發(fā)散;

發(fā)散2.必要條件不充分.第42頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月討論第43頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月8項4項2項2項項由性質4推論,調和級數(shù)發(fā)散.第44頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月五、小結常數(shù)項級數(shù)的基本概念基本審斂法第45頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月思考題第46頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月思考題解答能．由柯西審斂原理即知．第47頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月練習題第48頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月第49頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月練習題答案第50頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月§2正項級數(shù)第十二章數(shù)項級數(shù)第51頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月正項級數(shù)及其審斂法1.定義:這種級數(shù)稱為正項級數(shù).2.正項級數(shù)收斂的充要條件:定理部分和數(shù)列為單調增加數(shù)列.第52頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月證明即部分和數(shù)列有界3.比較審斂法第53頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月不是有界數(shù)列定理證畢.比較審斂法的不便:須有參考級數(shù).第54頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月解由圖可知第55頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月重要參考級數(shù):幾何級數(shù),P-級數(shù),調和級數(shù).第56頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月證明第57頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月4.比較審斂法的極限形式:設?￥=1nnu與?￥=1nnv都是正項級數(shù),如果則(1)當時,二級數(shù)有相同的斂散性;(2)當時，若收斂,則收斂;(3)當時,若?￥=1nnv發(fā)散,則?￥=1nnu發(fā)散;第58頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月證明由比較審斂法的推論,得證.第59頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月第60頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月解原級數(shù)發(fā)散.故原級數(shù)收斂.第61頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月證明第62頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月收斂發(fā)散第63頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月比值審斂法的優(yōu)點:不必找參考級數(shù).兩點注意:第64頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月第65頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月解第66頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月比值審斂法失效,改用比較審斂法第67頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月級數(shù)收斂.第68頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月思考題第69頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月思考題解答由比較審斂法知收斂.反之不成立.例如：收斂,發(fā)散.第70頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月練習題第71頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月第72頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月練習題答案第73頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月§3一般項級數(shù)第十二章數(shù)項級數(shù)第74頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月任意項級數(shù)的斂散性1.交錯級數(shù)及其斂散性交錯級數(shù)是各項正負相間的一種級數(shù)，它的一般形式為或其中，un0(n=1,2,…)第75頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月定理(萊布尼茲判別法)若交錯級數(shù)滿足條件(1)(2)un

un+1(n=1,2,…)

則交錯級數(shù)收斂，且其和S的值小于u1.(級數(shù)收斂的必要條件)第76頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月證只需證明級數(shù)部分和Sn當n時的極限存在.1)取交錯級前2m項之和由條件(2)：un

un+1，un0,得S2m以及由極限存在準則：第77頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月2)取交錯級數(shù)的前2m+1項之和由條件1):綜上所述，有第78頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月例1.討論級數(shù)的斂散性.解：這是一個交錯級數(shù)，又由萊布尼茲判別法，該級數(shù)是收斂.第79頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月例2.判別級數(shù)的斂散性.解：這是一個交錯級數(shù)，又令x[2,+)，則x[2,+)，故f(x)

[2,+)，即有un

un+1成立，由萊布尼茲判別法，該級數(shù)收斂.第80頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月解原級數(shù)收斂.第81頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月2.任意項級數(shù)及其斂散性(1)級數(shù)的絕對斂和條件收斂定義：若級數(shù)對收斂的；若級數(shù)但級數(shù)第82頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月定理：若(即絕對收斂的級數(shù)必定收斂)證：

un|un|

從而第83頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月上定理的作用：任意項級數(shù)正項級數(shù)第84頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月解故由定理知原級數(shù)絕對收斂.第85頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月定理(達朗貝爾判別法)設有級數(shù)若(1)<1時,級數(shù)絕對收斂；(2)>1(包括=)時，級數(shù)發(fā)散；(3)=1時，不能由此斷定級數(shù)的斂散性.第86頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月例5.判別級數(shù)的斂散性.解：由P一級數(shù)的斂散性，即原級數(shù)絕對收斂.第87頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月例6.判別的斂散性，其中，x1為常數(shù).解：記第88頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月當|x|<1時，=|x|<1,原級數(shù)絕對收斂.當|x|>1時，=1,此時不能判斷其斂散性.由達朗貝爾判別法：但|x|>1時，從而，原級數(shù)發(fā)散.第89頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月例6.級數(shù)是否絕對收斂?解：由調和級數(shù)的發(fā)散性可知，故發(fā)散.但原級數(shù)是一個收斂的交錯級數(shù)：故原級數(shù)是條件收斂，不是絕對收斂的.第90頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月(2)絕對收斂級數(shù)的性質性質1.任意交換絕對斂級數(shù)中各項的位置，其斂散性不變，其和也不變.

性質2.兩個絕對收斂的級數(shù)的積仍是一個絕對收斂的級數(shù)，且其和等于原來兩個級數(shù)的和之積.第91頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月(3)任意項級數(shù)斂散性的一個判別法定理(迪利赫勒判別法)設有級數(shù)任意的n1,有un

un+1,且又n=1,2,…,M>0為與n無關的常數(shù)，則級數(shù)若對收斂.第92頁，課件共96頁，創(chuàng)作于2023年2月例8.判別級數(shù)的斂散性,其中,x