北京第四中學(xué)順義分校2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)理知識點(diǎn)試題含解析

北京第四中學(xué)順義分校2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)理知識點(diǎn)試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有是一個符合題目要求的1.在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC,將矩形折疊，使O點(diǎn)落在線段BC上，設(shè)折痕所在直線的斜率為，則的范圍是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：D2.在極坐標(biāo)系中，過點(diǎn)（1,0）并且與極軸垂直的直線方程是（

）A．

B.

C.

D.

參考答案：C3.實(shí)半軸長等于，并且經(jīng)過點(diǎn)B（5，﹣2）的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A．或B．C．D．參考答案：C【考點(diǎn)】雙曲線的簡單性質(zhì)．【分析】若實(shí)軸在x軸上，可設(shè)其方程為=1，b＞0，若實(shí)軸在y軸上，可設(shè)其方程為=1，b＞0，分別把B（5，﹣2）代入，能求出結(jié)果．【解答】解：由題設(shè)，a=2，a2=20．若實(shí)軸在x軸上，可設(shè)其方程為=1，b＞0，把B（5，﹣2）代入，得b2=16；若實(shí)軸在y軸上，可設(shè)其方程為=1，b＞0，把B（5，﹣2）代入，得b2=﹣（舍），故所求的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為．故選：C．4.已知函數(shù)f（x）=，g（x）=ax，則方程g（x）=f（x）恰有兩個不同的實(shí)根時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）（注：e為自然對數(shù)的底數(shù)）A． B． C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】54：根的存在性及根的個數(shù)判斷．【分析】作出f（x）與g（x）的函數(shù)圖象，根據(jù)圖象和交點(diǎn)個數(shù)判斷a的范圍．【解答】解：作出f（x）與g（x）的函數(shù)圖象，如圖所示：設(shè)直線y=ax與y=lnx相切，切點(diǎn)坐標(biāo)為（x0，y0），則，解得x0=e，y0=1，a=．由圖象可知當(dāng)≤a＜時(shí)，兩圖象有2個交點(diǎn)，故選B．5.早上從起床到出門需要洗臉?biāo)⒀?5min)、刷水壺(2min)、燒水(8min)、泡面(3min)、吃飯(10min)、聽廣播(8min)幾個步驟、從下列選項(xiàng)中選最好的一種算法（）A．S1洗臉?biāo)⒀?、S2刷水壺、S3燒水、S4泡面、S5吃飯、S6聽廣播B．刷水壺、S2燒水同時(shí)洗臉?biāo)⒀?、S3泡面、S4吃飯、S5

聽廣播C．刷水壺、S2燒水同時(shí)洗臉?biāo)⒀馈3泡面、S4吃飯同時(shí)聽廣播D．吃飯同時(shí)聽廣播、S2泡面、S3燒水同時(shí)洗臉?biāo)⒀?、S4刷水壺參考答案：C6.若圓的方程為（為參數(shù)），直線的方程為（t為參數(shù)），則直線與圓的位置關(guān)系是（

）A

相交過圓心

B相交而不過圓心

C

相切

D

相離參考答案：B7.（5分）“x=1”是“x2﹣1=0”的（） A．充要條件 B． 必要不充分條件 C．既非充分也非必要條件 D． 充分不必要條件參考答案：D8.各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}中，Sn為前n項(xiàng)和，，且，則tanS4=（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B9.在極坐標(biāo)系中,已知點(diǎn),則過點(diǎn)P且平行于極軸的直線的方程是(

)A.B.C.D.參考答案：A【分析】將點(diǎn)化為直角坐標(biāo)的點(diǎn)，求出過點(diǎn)且平行于軸的直線的方程，再轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程，屬于簡單題?！驹斀狻恳?yàn)辄c(diǎn)的直角坐標(biāo)為，此點(diǎn)到軸的距離是，則過點(diǎn)且平行于軸的直線的方程是，化為極坐標(biāo)方程是故選A.【點(diǎn)睛】本題考查極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化，屬于簡單題。10.如圖所示，在邊長為1的正方形OABC中任取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P恰好取自陰影部分的概率為()參考答案：C略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)數(shù)列{an},{bn}都是等差數(shù)列，若a1+b1=7，a3+b3=21，則a5+b5=_________參考答案：3512.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（1，1，1）關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為B，則點(diǎn)A與點(diǎn)B的距離是．參考答案：【考點(diǎn)】空間兩點(diǎn)間的距離公式．【專題】數(shù)形結(jié)合；定義法；空間向量及應(yīng)用．【分析】求出點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)B的坐標(biāo)，計(jì)算|AB|即可．【解答】解：∵A（1，1，1）關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為B，∴B（1，﹣1，﹣1），∴|AB|==2．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查了空間中的對稱與兩點(diǎn)間距離公式的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．13.函數(shù)的反函數(shù)是則

。參考答案：214.一個均勻的小正方體的六個面中，三個面上標(biāo)以數(shù)0，兩個面上標(biāo)以1，一個面上標(biāo)以2，將這個小正方體拋擲兩次，則向上的數(shù)之積的數(shù)學(xué)期望是

．參考答案：略15.給出下列命題：（1）“若x＞2，則x＞0”的否命題（2“?a∈（0，+∞），函數(shù)y=ax在定義域內(nèi)單調(diào)遞增”的否定（3）“π是函數(shù)y=sinx的一個周期”或“2π是函數(shù)y=sin2x的一個周期”（4）“x2+y2=0”是“xy=0”d的必要條件其中真命題的序號是

．參考答案：（2）（3）考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用．專題：對應(yīng)思想；定義法；簡易邏輯．分析：（1）求出否命題，直接判斷；（2）命題和命題的否定真假相對；（3）或命題，有真則真；（4）x2+y2=0”可推出x=0，y=0．解答：解：（1）“若x＞2，則x＞0”的否命題為若x≤2，則x≤0，顯然錯誤；（2“?a∈（0，+∞），函數(shù)y=ax在定義域內(nèi)單調(diào)遞增”為假命題，則它的否定為真命題，故正確；（3）“π是函數(shù)y=sinx的一個周期”，命題為假命題，“2π是函數(shù)y=sin2x的一個周期”命題為真命題，故或命題為真；（4）“x2+y2=0”可推出xy=0，故錯誤．故答案為（2）（3）．點(diǎn)評：考查了命題和命題的否定的邏輯關(guān)系，或命題的邏輯關(guān)系．屬于基礎(chǔ)題型，應(yīng)熟練掌握

16.設(shè)滿足約束條件，若目標(biāo)函數(shù)的最大值為，則的最小值為________________.參考答案：17.已知集合A={1,3,m}，B={3,4}，A∪B={1,2,3,4}，則實(shí)數(shù)m=

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．參考答案：2三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知在的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)和為256．（1）求展開式中常數(shù)項(xiàng)；（2）求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)．參考答案：（1）；（2）試題分析：（1）借助題設(shè)條件運(yùn)用通項(xiàng)公式待定求解；（2）借助題設(shè)條件運(yùn)用二項(xiàng)式展開式中的組合數(shù)性質(zhì)求解.試題解析：（1）二項(xiàng)式系數(shù)和為，（，）當(dāng)時(shí)，常數(shù)項(xiàng)為（2）第5項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)為19.已知函數(shù)（1）若，是否存在，使得為偶函數(shù)，如果存在，請舉例并證明，如果不存在，請說明理由；（2）若，判斷在上的單調(diào)性，并用定義證明；（3）已知，存在，對任意，都有成立，求a的取值范圍.參考答案：（1）見解析；（2）見解析；（3）.【分析】（1）將代入證明為偶函數(shù)即可。（2）代入，先判斷函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，再根據(jù)定義法代入作差即可證明為單調(diào)遞減函數(shù)。（3）去絕對值化簡不等式，根據(jù)全稱命題與特稱命題的成立關(guān)系可得，分兩段不等式求解即可?！驹斀狻浚?）存在使為偶函數(shù)，此時(shí)：，證明：的定義域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對稱，且為偶函數(shù)。（2），且，，在上為減函數(shù)證明：任取，且，

，即在上為減函數(shù)（3）,,對任意，存在，使得成立，即存在，使得，當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)或常函數(shù)，此時(shí)，則有恒成立當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，綜上所述：.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的綜合英語，恒成立與存在性成立問題的綜合應(yīng)用，討論過程復(fù)雜，需要很強(qiáng)的數(shù)學(xué)思維能力，屬于難題。20.已知橢圓（a＞b＞0）的離心率為，橢圓的四個頂點(diǎn)所圍成菱形的面積為．（Ⅰ）求圓的方程；（Ⅱ）四邊形ABCD的頂點(diǎn)在橢圓C上，且對角線AC，BD均過坐標(biāo)原點(diǎn)O，若．（1）求的取值范圍；（2）證明：四邊形ABCD的面積為定值．參考答案：【考點(diǎn)】橢圓的簡單性質(zhì)．【分析】（I）由橢圓的離心率和橢圓的四個頂點(diǎn)所圍成菱形的面積，列出方程組求出a，b，由此能求出橢圓的方程．（II）（1）當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，=2．當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y=kx+m，與橢圓聯(lián)立，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0，由此利用根的判別式、向量的數(shù)量積運(yùn)算法則，結(jié)合已知條件能求出的取會晤范圍．）（2）設(shè)原點(diǎn)到直線AB的距離為d，由此利用點(diǎn)到直線的距離公式、弦長公式能證明四邊形ABCD的面積為定值．【解答】（本小題滿分14分）解：（I）∵橢圓（a＞b＞0）的離心率為，橢圓的四個頂點(diǎn)所圍成菱形的面積為，∴由已知，，，a2=b2+c2，解得a=2，b=c=2，∴橢圓的方程為．（II）（1）當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，=2．當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y=kx+m，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0，△=（4km）2﹣4（1+2k2）（2m2﹣8）=8（8k2﹣m2+4）＞0，，（m2≠4）∵kOA?kOB=kAC?kBD，∴=﹣，∴=﹣，y1y2=（kx1+m）（kx2+m）==+km?+m2=，∴﹣=，∴﹣（m2﹣4）=m2﹣8k2，∴4k2+2=m2，=x1x2+y1y2===2﹣，∴﹣2=2﹣4≤＜2，且的最大值為2∴∈[﹣2，0）∪（0，2]．證明：（2）設(shè)原點(diǎn)到直線AB的距離為d，則S△AOE=|AB|?d=?|x2﹣x1|?====2=2，∴S四邊形ABCD=4S△AOB=8為定值．21.甲、乙兩人約定于6時(shí)到7時(shí)之間在某地會面，并約定先到者應(yīng)等候另一個人一刻鐘，過時(shí)即可離去．求兩人能會面的概率．參考答案：【考點(diǎn)】幾何概型．【分析】由題意知本題是一個幾何概型，試驗(yàn)發(fā)生包含的所有事件對應(yīng)的集合是Ω={（x，y）|0＜x＜60，0＜y＜60}做出集合對應(yīng)的面積是邊長為60的正方形的面積，寫出滿足條件的事件A═{（x，y）|0＜x＜60，0＜y＜60，|x﹣y|≤15}對應(yīng)的集合和面積，根據(jù)面積之比得到概率．【解答】解：由題意知本題是一個幾何概型，∵試驗(yàn)發(fā)生