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向量的數(shù)量積的課件向量的夾角OABOABOAB已知兩個非零向量
和,作,,則叫做向量和的夾角.OAB三、點撥精講(25分鐘)思考:如果我們將公式中的力與位移類比推廣到兩個一般向量,其結(jié)果又該如何表述?兩個向量的大小及其夾角余弦的乘積。
功是力與位移的大小及其夾角余弦的乘積;平面向量的數(shù)量積的定義規(guī)定:零向量與任意向量的數(shù)量積為0,即
已知非零向量與,我們把數(shù)量叫作與的數(shù)量積(或內(nèi)積),記作,即規(guī)定夾角思考:向量的數(shù)量積是一個數(shù)量,那么它什么時候為正,什么時候為負?當0°≤θ<
90°時為正;當90°<θ≤180°時為負。當θ=90°時為零。數(shù)量積符號由cos
的符號所決定(1)兩向量的數(shù)量積是一個數(shù)量,而不是向量,符號由夾角決定.
(3)在運用數(shù)量積公式解題時,一定要注意兩向量夾角的范圍是[0°,180°].說明:
(2)a·b中間的“·”在向量的運算中不能省略,也不能寫成a×b
,a×b
表示向量的另一種運算(外積).例1.已知解:=-10解:由得因為所以。ABCDA1B1這種變換為向量向向量投影,叫做向量在向量上的投影向量
OMNM1叫做向量在向量上的投影向量
投影向量OMNM1探究:如圖,設(shè)與方向相同的單位向量為,與的夾角為,那么與之間有怎樣的關(guān)系?當為銳角時,所以,當為直角時,所以,當為鈍角(如圖(3))時,即當時,所以當時,所以綜上,對任意的都有探究:兩個非零向量相互平行或垂直時,投影向量具有特殊性,你能得出向量的數(shù)量積的特殊性質(zhì)嗎?
(3)當向量與共線同向時,;當向量與共線反向時,.特別地,或(4)θ=90oθ=0oθ=180o︱cosθ︱≤1設(shè)是非零向量,它們的夾角是,是與方向相同的單位向量,則課堂素養(yǎng)達標1.若非零向量a,b滿足|a|=|b|,(2a+b)·b=0,則a與b的夾角為(
)
A.30° B.60° C.120° D.150°【解析】選C.因為(2a+b)·b=0,所以2a·b+b2=0.所以2|a||b|cosθ+|b|2=0.又因為|a|=|b|,所以cosθ=-,即θ=120°.2.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,則= (
)A.16 B.-8 C.8 D.-16【解析】選A.3.已知菱形ABCD的邊長為a,∠ABC=60°,則= (
)
【解析】選D.在菱形ABCD中,所以=a2+a×a×cos60°=a2+a2=a2.4.設(shè)非零向量a和b,它們的夾角為θ.(1)若|a|=5,|b|=4,θ=150°,求向量a與b的數(shù)量積;(2)若a·b=9,|a|=6,|b|=3,求向量a與b的夾角θ.【解析】(1)
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