歷年高考數(shù)學（文）知識清單-專題07 三角恒等變換與解三角形（考點解讀）（原卷+解析版）

專題7三角恒等變換與解三角形考情解讀和差角公式、二倍角公式是高考的熱點，常與三角函數(shù)式的求值、化簡交匯命題．既有選擇題、填空題，又有解答題，難度適中，主要考查公式的靈活運用及三角恒等變換能力.重點知識梳理1．和差角公式(1)cos(α±β)＝cosαcosβ?sinαsinβ;(2)sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ;(3)tan(α±β)＝.2．倍角公式(1)sin2α=2sinαcosα;(2)cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1＝1－2sin2α;(3)tan2α=.3．半角公式1－cosα2(1)sin1－cosα21＋cosα21－cosα1＋cosα21－cosα1＋cosα(3)tan=±(4)tan＝=.4．正弦定理2R(2R為△ABC外接圓的直徑).5．余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC.6．面積公式S△ABC＝bcsinA＝acsinB＝absinC.7．解三角形(1)已知兩角及一邊，利用正弦定理求解；(2)已知兩邊及一邊的對角，利用正弦定理或余弦定理求解，解的情況可能不唯一，需討論；(3)已知兩邊及其夾角，利用余弦定理求解；(4)已知三邊，利用余弦定理求解.8．“變”是解決三角問題的主題，變角、變名、變表達形式、變換次數(shù)等比比皆是，強化變換意識，抓住萬變不離其宗——即公式不變，方法不變，要通過分析、歸類把握其規(guī)律.高頻者點突破高頻考點一三角恒等變換與求值例1．(2019·高考全國卷Ⅱ)已知α∈0，,2sin2α=cos2α+1，則sinα=() 5D.【方法技巧】三角恒等變換的“4大策略”(1)常值代換：特別是“1”的代換，1＝sin2θ+cos2θ=tan45°等；(2)項的分拆與角的配湊：如sin2α+2cos2α=(sin2α+cos2α)＋cos2α,α=(α-β)+β等；(3)降次與升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次；(4)弦、切互化：一般是切化弦.【特別提醒】(1)要特別注意二倍角余弦公式升降冪的作用.(2)要注意角的范圍.【舉一反三】(2018·高考全國卷Ⅲ)若sinα=，則cos2α=()8A7BD【變式探究】(2018·高考全國卷Ⅱ)已知sinα+cosβ=1，cosα+sinβ=0，則sin(α+β)＝.高頻考點二三角形中邊與角的簡單計算31．(2018·高考全國卷Ⅱ)在△ABC中，cosBC＝1，AC＝5，則AB＝()【方法技巧】1．利用正、余弦定理求三角形的角，常見形式：(1)已知兩邊及其夾角，先由余弦定理求第三邊，再由正弦定理求角；(2)已知三邊，直接由余弦定理求角；(3)已知兩邊及其中一邊的對角，先由正弦定理求另一邊的對角，再由三角形內(nèi)角和求第三角，注意此類問題有一解、兩解或無解的情況.2．利用余弦定理求邊，一般是已知三角形的兩邊及其夾角．利用正弦定理求邊，必須知道兩角及其中一邊，如該邊為其中一角的對邊，要注意解的多樣性與合理性．而三角形的面積主要是利用兩邊與其夾角的正弦值求解.【舉一反三】(2018·高考全國卷Ⅰ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知bsinC＋csinB=4asinBsinC，b2＋c2－a2＝8，則△ABC的面積為.【變式探究】(2018·高考全國卷Ⅲ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若△ABC的面積為a2＋b2－c24AπCπDπ高頻考點三解三角形例3、(2019·高考全國卷Ⅰ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，設(sinB－sinC)2＝sin2A－sinBsinC.(1)求A；【方法技巧】1.求解平面圖形中的計算問題，關(guān)鍵是梳理條件和所求問題的類型，然后將數(shù)據(jù)化歸到三角形中，利用正弦定理或余弦定理建立已知和所求的關(guān)系.2.三角形中已知一邊和其對角求解三角形面積的最值問題時，可以先利用余弦定理建立三邊關(guān)系，然后根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特征，直接利用基本不等式構(gòu)造關(guān)于三角形面積的不等式求解.4【舉一反三】在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且＝2cb.π0<φ<π(1)將函數(shù)f(x)＝sin(2x+φ)2的圖象向右平移A個單位可得到函數(shù)g(x)cos2x的圖象，求φ的值；(2)若△ABC的外接圓半徑為1，求△ABC面積的最大值.【變式探究】(2018·高考全國卷Ⅰ)在平面四邊形ABCD中，∠ADC＝90°,∠A＝45°,AB＝2，BD＝5.(1)求cos∠ADB；(2)若DC＝2，求BC.真題感悟1．(2019·高考全國卷Ⅱ)已知α∈0，,2sin2α=cos2α+1，則sinα=() 5D.2．【2019年高考全國Ⅰ卷文數(shù)】tan255°=cosA=?，則=A．64．【2019年高考全國Ⅱ卷文數(shù)】已知a∈（02sin2α=cos2α+1，則sinα=5．【2019年高考全國Ⅱ卷文數(shù)】△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知bsinA+acosB=0，則B=.6．【2019年高考浙江卷】在△ABC中，ABC=90。，AB=4，BC=3，點D在線段AC上，若5（1）求B；（2）若△ABC為銳角三角形，且c=1，求△ABC面積的取值范圍.8．【2019年高考北京卷文數(shù)】在△ABC中，a=3，b–c=2，cosB=-.（2）求sin（B+C）的值.9．【2019年高考天津卷文數(shù)】在△ABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知b+c=2a，3csinB=4asinC.（1）求cosB的值；10．【2019年高考江蘇卷】在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c.（1）若a=3c，b=，cosB=，求c的值；1．(2018·高考全國卷Ⅲ)若sinα=，則cos2α=()8A-7B2．(2018·高考全國卷Ⅱ)已知sinα+cosβ=1，cosα+sinβ=0，則sin(α+β)＝.α-5π5________3．(2018·高考全國卷Ⅱ)已知tan4＝1，則tanα-5π5________4．(2018·高考全國卷Ⅱ)在△ABC中，cosBC＝1，AC＝5，則AB＝()5．(2018·高考全國卷Ⅰ)△ABC的內(nèi)角A6．(2018·高考全國卷Ⅲ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若△ABC的面積為，6CπDπa=2，c=，則C=AπBπCπDπ2.【2017課標3，文6】函數(shù)f(x)=sin(x+)+cos(x-)的最大值為()3.【2017課標II，文3】函數(shù)f(x)=sin(2x+)的最小正周期為A.4πB.2πC.πD.4.【2017課標3，文4】已知sinc-cosc=，則sin2c=()5.【2017山東，文4】已知cosx=,則cos2x=A.-B.C.-D.5.【2017山東，文7】函數(shù)y=sin2x+cos2x最小正周期為A.B.C.πD.2π7.【2017浙江，13】已知△ABC，AB=AC=4，BC=2．點D為AB延長線上一點，BD=2，連結(jié)CD，則△BDC的面積是，cos∠BDC=.8.【2017北京，文9】在平面直角坐標系xOy中，角c與角β均以Ox為始邊，它們的終邊關(guān)于y軸對稱.若sinc=，則sinβ=.9.【2017課標3，文15】△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別A=.71.【2016高考新課標2文數(shù)】若cos(一c)=72.【2016高考新課標3文數(shù)】若tanc=，則cos2c+2sin2c=()(A)(B)(C)1(D)3.【2016年高考四川文數(shù)】cos2一sin2=.4.【2016高考新課標3文數(shù)】在△ABC中，B=，BC邊上的高等于BC,則cosA=()（ABC）-（D）-455.【2016高考新課標2文數(shù)】ΔABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c，若cos456.【2016高考天津文數(shù)】在△ABC中，若AB=,BC=3，經(jīng)C=120。,則AC=( ,（A）1（B）2（C）3（D）44.【2016高考江蘇卷】在銳角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，則tanAtanBtanC的最小值7.【2016年高考四川文數(shù)】（本小題滿分12分）在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,且+=.（II）若b2+c2a2=bc，求tanB.8.【2016高考浙江文數(shù)】（本題滿分14分）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知b+c=2acosB.（I）證明：A=2B；（II）若△ABC的面積S=，求角A的大小.9.【2016高考山東文數(shù)】（本小題滿分12分）(Ⅰ)證明：a+b=2c;(Ⅱ)求cosC的最小值.專題7三角恒等變換與解三角形考情解讀和差角公式、二倍角公式是高考的熱點，常與三角函數(shù)式的求值、化簡交匯命題．既有選擇題、填空題，又有解答題，難度適中，主要考查公式的靈活運用及三角恒等變換能力.重點知識梳理1．和差角公式(1)cos(α±β)＝cosαcosβ?sinαsinβ;(2)sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ;(3)tan(α±β)＝.2．倍角公式(1)sin2α=2sinαcosα;(2)cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1＝1－2sin2α;(3)tan2α=.3．半角公式1－cosα2(1)sin1－cosα21＋cosα21－cosα1＋cosα21－cosα1＋cosα(3)tan=±(4)tan＝=.4．正弦定理2R(2R為△ABC外接圓的直徑).5．余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC.6．面積公式S△ABC＝bcsinA＝acsinB＝absinC.7．解三角形(1)已知兩角及一邊，利用正弦定理求解；(2)已知兩邊及一邊的對角，利用正弦定理或余弦定理求解，解的情況可能不唯一，需討論；(3)已知兩邊及其夾角，利用余弦定理求解；(4)已知三邊，利用余弦定理求解.8．“變”是解決三角問題的主題，變角、變名、變表達形式、變換次數(shù)等比比皆是，強化變換意識，抓住萬變不離其宗——即公式不變，方法不變，要通過分析、歸類把握其規(guī)律.高頻考點突攻高頻考點一三角恒等變換與求值例1．(2019·高考全國卷Ⅱ)已知α∈0，,2sin2α=cos2α+1，則sinα=() 5D.【解析】由2sin2α=cos2α+1，得4sinαcosα=2cos2α.2525【答案】B【方法技巧】三角恒等變換的“4大策略”(1)常值代換：特別是“1”的代換，1＝sin2θ+cos2θ=tan45°等；(2)項的分拆與角的配湊：如sin2α+2cos2α=(sin2α+cos2α)＋cos2α,α=(α-β)+β等；(3)降次與升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次；(4)弦、切互化：一般是切化弦.【特別提醒】(1)要特別注意二倍角余弦公式升降冪的作用.(2)要注意角的范圍.【舉一反三】(2018·高考全國卷Ⅲ)若sinα=，則cos2α=()8A【解析】7BD∵sinα=，∴cos2α=1－2sin2α=1－2×32＝.故選B.【答案】B【變式探究】(2018·高考全國卷Ⅱ)已知sinα+cosβ=1，cosα+sinβ=0，則sin(α+β)＝.【解析】∵sinα+cosβ=1，①cosα+sinβ=0，②∴①2+②2得1＋2(sinαcosβ+cosαsinβ)＋1＝1.∴sinαcosβ+cosαsinβ=-，∴sin(α+β).【答案】－高頻考點二三角形中邊與角的簡單計算1．(2018·高考全國卷Ⅱ)在△ABC中，cosBC＝1，AC＝5，則AB＝()【解析】∵cos-3在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cosC＝52＋12－2×5×1×5-3故選A.【答案】A【方法技巧】1．利用正、余弦定理求三角形的角，常見形式：(1)已知兩邊及其夾角，先由余弦定理求第三邊，再由正弦定理求角；(2)已知三邊，直接由余弦定理求角；(3)已知兩邊及其中一邊的對角，先由正弦定理求另一邊的對角，再由三角形內(nèi)角和求第三角，注意此類問題有一解、兩解或無解的情況.2．利用余弦定理求邊，一般是已知三角形的兩邊及其夾角．利用正弦定理求邊，必須知道兩角及其中一邊，如該邊為其中一角的對邊，要注意解的多樣性與合理性．而三角形的面積主要是利用兩邊與其夾角的正弦值求解.【舉一反三】(2018·高考全國卷Ⅰ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知bsinC＋csinB=4asinBsinC，b2＋c2－a2＝8，則△ABC的面積為.【解析】∵bsinC＋csinB＝4asinBsinC，∴由正弦定理得sinBsinC＋sinCsinB=4sinAsinBsinC.2bc2bcbc，【答案】【變式探究】(2018·高考全國卷Ⅲ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若△ABC的面積為a2＋b2－c24A.C.π3Dπ=＝abcosC，∵C∈(0，π)，∴C=.故選C.【答案】C高頻考點三解三角形例3、(2019·高考全國卷Ⅰ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，設(sinB－sinC)2＝sin2A－sinBsinC.(1)求A；【解析】(1)由已知得sin2B＋sin2C－sin2A＝sinBsinC，由余弦定理得cosA＝b2＋c2－a2＝14分＝－=sin(C＋60°)cos60°-cos(C＋60°)sin60°=.……………12分【方法技巧】1.求解平面圖形中的計算問題，關(guān)鍵是梳理條件和所求問題的類型，然后將數(shù)據(jù)化歸到三角形中，利用正弦定理或余弦定理建立已知和所求的關(guān)系.2.三角形中已知一邊和其對角求解三角形面積的最值問題時，可以先利用余弦定理建立三邊關(guān)系，然后根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特征，直接利用基本不等式構(gòu)造關(guān)于三角形面積的不等式求解.【舉一反三】在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且＝2cb.π0<φ<π(1)將函數(shù)f(x)＝sin(2x+φ)2的圖象向右平移A個單位可得到函數(shù)g(x)cos2x的圖象，求φ的值；(2)若△ABC的外接圓半徑為1，求△ABC面積的最大值.【解析】(1)由＝2cb及正弦定理得，sinAcosB＝2sinC－sinBcosAsinBsinB，整理得，sinAcosB＝2sinCcosA－sinBcosA，即sinC＝2sinCcosA，因為sinC≠0，而A∈(0，π)，所以A=，0<φ<π函數(shù)f(x)＝sin(2x+φ)2的圖象向右平移個單位可得，2x－2π+φy＝sin3，2x－2π+φ由題意sin3cos2x，對任意x∈R恒成立，2π不妨令x=，有sinφ=-cos32π(2)因為A=，外接圓半徑R＝1，又由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，所以3＝b2＋c2－2bccos＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc，于是S△ABC＝bcsinA≤×3×＝.【變式探究】(2018·高考全國卷Ⅰ)在平面四邊形ABCD中，∠ADC＝90°,∠A＝45°,AB＝2，BD＝5.(1)求cos∠ADB；(2)若DC＝2，求BC.【解析】(1)在△ABD中，由正弦定理得＝，即=，(2)由題設及(1)知，cos∠BDC＝sin∠ADB＝.在△BCD中，由余弦定理得BC2＝BD2＋DC2－2BD·DC·cos∠BDC＝25＋8－2×5×2×＝25，真題感悟1．(2019·高考全國卷Ⅱ)已知α∈0，,2sin2α=cos2α+1，則sinα=()C.D.【解析】由2sin2α=cos2α+1，得4sinαcosα=2cos2α.又∵α∈2，∴tanα=，∴sinα=.【答案】B2．【2019年高考全國Ⅰ卷文數(shù)】tan255°=【答案】DcosA=?，則=A．6【答案】A【解析】由已知及正弦定理可得a2一b4．【2019年高考全國Ⅱ卷文數(shù)】已知a∈（02sin2α=cos2α+1，則sinα=【答案】B2C故選B. ,55．【2019年高考全國Ⅱ卷文數(shù)】△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知bsinA+acosB=0，則B=.【答案】【解析】由正弦定理，得sinBsinA+sinAcosB=0Ae(0,π),Be(0,π)【答案】，【解析】如圖，在△ABD中，由正弦定理有：sinDB=sinAC，而AB=4,經(jīng)ADB=,AC=ABAB2+BC2BCACBCAC5（1）求B；（2）若△ABC為銳角三角形，且c=1，求△ABC面積的取值范圍.【解析】（1）由題設及正弦定理得sinAsin=sinBsinA.（2）由題設及（1）知△ABC的面積S△ABC= 4 1 +.（2）求sin（B+C）的值.【解析】（1）由余弦定理b2=a222accosB，得b2222x3xcx().222x3xcx().C 9．【2019年高考天津卷文數(shù)】在△ABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知b+c=2a，（1）求cosB的值；【解析】（1）在△ABC中，由正弦定理=，得bsinC=csinB，22a2=.cos2B=cos2B-sin2B=-，故10．【2019年高考江蘇卷】在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c.（1）若a=3c，b=，cosB=，求c的值；2,3由余弦定理cosB=a2+c2-b2，得2=(3c)2+c2-()2，即c2=1.sinAcosBsinAcosB 1．(2018·高考全國卷Ⅲ)若sinα=，則cos2α=()A.B.CD【解析】∵sinα=，∴cos2α=1－2sin2α=1－2×32＝.故選B.【答案】B2．(2018·高考全國卷Ⅱ)已知sinα+cosβ=1，cosα+sinβ=0，則sin(α+β)＝.【解析】∵sinα+cosβ=1，①cosα+sinβ=0，②∴①2+②2得1＋2(sinαcosβ+cosαsinβ)＋1＝1.∴sinαcosβ+cosαsinβ=-，∴sin(α+β).【答案】－α-5π3．(2018·高考全國卷Ⅱ)已知tan4則tanα=α-5π【解析】tanα-＝tanα-αα=.232【答案】4．(2018·高考全國卷Ⅱ)在△ABC中，cosBC＝1，AC＝5，則AB＝()B.【解析】∵cos-3在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cosC＝52＋12－2×5×1×5＝32，故選A.【答案】A5．(2018·高考全國卷Ⅰ)△ABC的內(nèi)角A【解析】∵bsinC＋csinB＝4asinBsinC，∴由正弦定理得sinBsinC＋sinCsinB=4sinAsinBsinC.由余弦定理得cosA0，【答案】6．(2018·高考全國卷Ⅲ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若△ABC的面積為，AπBπCπDπ=＝abcosC，∵C∈(0，π)，∴C=.故選C.【答案】Ca=2，c=，則C=AπBπCπDπ【答案】B44因為c<a，所以C<A，所以C=，故選B.2.【2017課標3，文6】函數(shù)f(x)=sin(x+)+cos(x-)的最大值為()【答案】A函數(shù)的最大值為.所以選A.3.【2017課標II，文3】函數(shù)f(x)=sin(2x+)的最小正周期為A4πB2πCπDπ【答案】C【解析】由題意，故選C.4.【2017課標3，文4】已知sina-cosa=，則sin2a=()【答案】A【解析】sin2a=2sinacosa==-.所以選A.345.【2017山東，文4】已知cosx34,則cos2x=A.-B.C.-D.【答案】D5.【2017山東，文7】函數(shù)y=sin2x+cos2x最小正周期為A.B.C.πD.2π【答案】C7.【2017浙江，13】已知△ABC，AB=AC=4，BC=2．點D為AB延長線上一點，BD=2，連結(jié)CD，則△BDC的面積是，cos∠BDC=.【答案】,【解析】取BC中點E，DC中點F，由題意：AE」BC,BF」CD， △ABE中，cosZABC==，:cosZDBC=-,sinZDBC==5，:S△BCD=根BD又:cosZDBC=1-2sin2ZDBF=-,:sinZDBF=，:cosZBDC=sinZDBF=，綜上可得，△BCD面積為，cosZBDC=.8.【2017北京，文9】在平面直角坐標系xOy中，角a與角β均以Ox為始邊，它們的終邊關(guān)于y軸對稱.若sinc=，則sinβ=.【答案】的終邊關(guān)于…9.【2017課標3，文15】△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別A=.【答案】75°1.【2016高考新課標2文數(shù)】若cos(-c)=，則sin2c=()（ABC）-（D）-【答案】D【解析】cos2-c=2cos2-c-1=2.2-1=-，且cos2-c=cos-2c|=sin2c，故選D.32.【2016高考新課標3文數(shù)】若tanc=4，則cos2c+2sin2c=()3(A)(B)(C)1(D)【答案】