江蘇省南京師范大學附屬中學2023-2024學年高一上學期1月期末考試數(shù)學

南京師大附中2023—2024學年度第1學期高一年級期末考試數(shù)學試卷班級：__________學號：__________姓名：__________得分：__________注意事項：1.本試卷共4頁，包括單項選擇題：（第1題~第8題）、多項選擇題（第9題~第12題）、填空題（第13題~第16題）、解答題（第17題~第22題）四部分.本試卷滿分為150分，考試時間為120分鐘.2.答題前，請務(wù)必將自己的姓名、班級、學號寫在答題紙的相應區(qū)域內(nèi).試題的答案寫在答題紙上相應題目的答題區(qū)域內(nèi).考試結(jié)束后，交回答題紙.一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1集合，集合，則（）A. B. C. D.2.已知角的終邊過點，其中，則的值為（）A. B. C. D.3.設(shè)點是正三角形的中心，則向量，，是（）A.共起點的向量 B.模相等的向量 C.共線向量 D.相等向量4.若，則（）A. B. C. D.5.已知是定義在上的偶函數(shù)，對任意，且，都有，，則不等式的解集是（）A. B.C. D.6.設(shè)為實數(shù)，則關(guān)于的不等式的解集不可能是（）A. B.C. D.7.已知定義在上的函數(shù)滿足，當時，.若對任意，都有，則實數(shù)的最大值為（）A. B. C. D.8.已知常數(shù)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，則不可能等于（）A. B.2 C. D.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.若函數(shù)滿足：①對定義域內(nèi)的任意，，都有；②當時，，則稱為“函數(shù)”.下列函數(shù)是“函數(shù)”的是（）A. B. C. D.10.已知函數(shù)滿足，則（）A.的最小正周期為 B.的圖象關(guān)于直線對稱C.在區(qū)間上單調(diào)遞增 D.在區(qū)間上有兩個零點11.已知為定義在上的偶函數(shù)，當時，有，且當時，.下列命題正確的是（）A. B.是周期為2的周期函數(shù)C.直線與圖象有且僅有2個交點 D.的值域為12.設(shè)，都是定義域為區(qū)間的函數(shù)，若存在，使得對任意，，都有成立，則稱在上相對于滿足條件.下列命題正確的是（）A.若，，在區(qū)間上相對于滿足條件，則的最小值為B.若，，則在區(qū)間上相對于滿足條件C.設(shè)為實數(shù)，若，，在區(qū)間上相對于滿足條件，則的最大值為D.若，，在上相對于滿足條件，則三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.__________.14.“數(shù)摺聚清風，一捻生秋意”是宋代朱翌描寫折扇詩句.一般情況下，折扇可看作是從一個圓面中剪下的扇形制作而成.如圖，設(shè)扇形的面積為，其圓心角為，圓面中剩余部分的面積為，當與的比值為時，扇面為“美觀扇面”.若扇面為“美觀扇面”，扇形的半徑，則此時的扇形面積為__________.15.若a，b，c均為正數(shù)，且，則的最小值是_________.16.設(shè)為實數(shù)，若實數(shù)是關(guān)于的方程的解，則_________.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知集合，集合.（1）當時，求；（2）若，求實數(shù)的取值范圍.18.已知函數(shù)（，，）部分圖象如圖所示.若將函數(shù)的圖象上所有點的縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，則所得圖象為函數(shù)的圖象.（1）求的解析式；（2）當時，求的單調(diào)遞減區(qū)間.19已知函數(shù)，函數(shù).（1）求不等式的解集；（2）如果對于任意，都存在，使得，求實數(shù)的取值范圍.20.中國政府在第七十五屆聯(lián)合國大會上提出.“中國將努力爭取在2060年前實現(xiàn)碳中和.”隨后，國務(wù)院印發(fā)了《關(guān)于加快建立健全綠色低碳循環(huán)發(fā)展經(jīng)濟體系的指導意見》.某企業(yè)去年消耗電費50萬元，預計今年若不作任何改變，則今年消耗電費與去年相同.為了響應號召，節(jié)能減排，該企業(yè)決定安裝一個可使用20年的太陽能供電設(shè)備，并接入本企業(yè)的電網(wǎng).安裝這種供電設(shè)備的費用（單位：萬元）與太陽能電池板的面積（單位：）成正比，比例系數(shù)約為0.6.為了保證正常用電，安裝后采用太陽能和電能互補供電的模式.設(shè)在此模式下，安裝太陽能供電設(shè)備后該企業(yè)每年消耗的電費（單位：萬元）與安裝的這種太陽能電池板的面積（單位：）之間的函數(shù)關(guān)系是（，k為常數(shù)）.記該企業(yè)安裝這種太陽能供電設(shè)備的費用與20年所消耗的電費之和為（單位：萬元）.（1）求常數(shù)，并寫出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；（2）當太陽能電池板的面積為多少平方米時，取得最小值？最小值是多少萬元？21.已知函數(shù)是偶函數(shù).（1）求實數(shù)的值；（2）若函數(shù)的最小值為，求實數(shù)的值.22.設(shè)為常數(shù)，函數(shù).（1）當時，求的值域；（2）討論在區(qū)間上的零點的個數(shù)；（3）設(shè)為正整數(shù)，在區(qū)間上恰有個零點，求所有可能的正整數(shù)的值.南京師大附中2023—2024學年度第1學期高一年級期末考試數(shù)學試卷班級：__________學號：__________姓名：__________得分：__________注意事項：1.本試卷共4頁，包括單項選擇題：（第1題~第8題）、多項選擇題（第9題~第12題）、填空題（第13題~第16題）、解答題（第17題~第22題）四部分.本試卷滿分為150分，考試時間為120分鐘.2.答題前，請務(wù)必將自己的姓名、班級、學號寫在答題紙的相應區(qū)域內(nèi).試題的答案寫在答題紙上相應題目的答題區(qū)域內(nèi).考試結(jié)束后，交回答題紙.一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.集合，集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由交集的定義直接求解.【詳解】集合，集合，則.故選：D2.已知角的終邊過點，其中，則的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由三角函數(shù)的定義直接求解.【詳解】角的終邊過點，其中，則點到原點的距離，所以.故選：C3.設(shè)點是正三角形的中心，則向量，，是（）A.共起點的向量 B.模相等的向量 C.共線向量 D.相等向量【答案】B【解析】【分析】利用平面向量的相關(guān)概念判斷.【詳解】因為點是正三角形的中心，所以，，是模相等的向量；向量只有大小與方向兩個要素，沒有起點之說；這三個向量方向不同，不是共線向量；這三個向量方向不同，不是相等向量.故選：B4.若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用三角函數(shù)的誘導公式求解.【詳解】解：因為，所以，故選：A5.已知是定義在上的偶函數(shù)，對任意，且，都有，，則不等式的解集是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】判斷出函數(shù)在上的單調(diào)性以及函數(shù)值正負情況，結(jié)合奇偶性，可判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，以及函數(shù)值的正負情況，由此可得不等式的解集.【詳解】由題意知對任意，且，都有，，則在上單調(diào)遞減，且當時，；當時，；又是定義在上的偶函數(shù)，則在上單調(diào)遞增，，且當時，；當時，；不妨畫出圖象示意圖如圖：則不等式的解集是，故選：A6.設(shè)為實數(shù)，則關(guān)于的不等式的解集不可能是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】分類討論解不等式，判斷不可能的解集.【詳解】關(guān)于的不等式，若，不等式為，解得，此時解集為；若，方程，解得或，時，不等式解得或，此時解集為；時，，不等式解得，此時解集為；時，，不等式解集為，時，，不等式解得，此時解集為；所以不等式的解集不可能是.故選：B7.已知定義在上的函數(shù)滿足，當時，.若對任意，都有，則實數(shù)的最大值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)已知利用正弦函數(shù)圖象與性質(zhì)、函數(shù)的周期性，結(jié)合函數(shù)圖象進行求解即可.【詳解】當時，，且定義在上的函數(shù)滿足，所以函數(shù)的大致圖象為因為，，所以，，所以由，可得，當時，由的，所以對任意，都有，得實數(shù)的取值范圍為，則實數(shù)的最大值為.故選：B.8.已知常數(shù)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，則不可能等于（）A. B.2 C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性，由的單調(diào)區(qū)間得的取值范圍，驗證各選項中的值.【詳解】常數(shù)，當，有，正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間為，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，則有，解得，時，，滿足；時，，滿足；時，，滿足；不等式，解得，因為，則無解，則時，函數(shù)在區(qū)間不單調(diào)；故選：C【點睛】方法點睛：依題意有，區(qū)間包含于正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，可求出的取值范圍.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.若函數(shù)滿足：①對定義域內(nèi)的任意，，都有；②當時，，則稱為“函數(shù)”.下列函數(shù)是“函數(shù)”的是（）A. B. C. D.【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)“函數(shù)”的定義，逐項驗證即可求解.【詳解】對A：由，對定義域內(nèi)的任意，，不滿足條件①，故A錯誤；對B：由，對定義域內(nèi)的任意，，，滿足條件①，當時，因在其定義域上是增函數(shù)，所以，滿足條件②，故B正確.對C：由，對定義域內(nèi)的任意，，，不滿足條件①，故C錯誤；對D：由，對定義域內(nèi)的任意，，，滿足條件①，當時，因在其定義域上是增函數(shù)，所以，滿足條件②，故D正確.故選：BD.10.已知函數(shù)滿足，則（）A.的最小正周期為 B.的圖象關(guān)于直線對稱C.在區(qū)間上單調(diào)遞增 D.在區(qū)間上有兩個零點【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)滿足，得到的圖象關(guān)于對稱，從而求得，然后逐項判斷.【詳解】解：因為函數(shù)滿足，所以的圖象關(guān)于對稱，所以，則，即，因為，則，所以，則，故A錯誤；，故B正確；由，得，因為在上不單調(diào)，故C錯誤；由，得，易知在上有兩個零點，故D正確.故選：BD11.已知為定義在上的偶函數(shù)，當時，有，且當時，.下列命題正確的是（）A. B.是周期為2的周期函數(shù)C.直線與的圖象有且僅有2個交點 D.的值域為【答案】AD【解析】【分析】由已知判斷出時，函數(shù)的周期，結(jié)合當時的解析式，即可作出時圖象，結(jié)合奇偶性，可得整個定義域上圖象，由此利用周期性以及奇偶性求值，判斷A；結(jié)合圖象，數(shù)形結(jié)合，可判斷B，C，D.【詳解】由題意知當時，有，則，即時，2為的周期，由，得，當時，，則，結(jié)合為定義在上的偶函數(shù)，可作出的圖象如圖：對于A，,,故，A正確；對于B，由以上分析可知時，2為的周期，結(jié)合圖象，在整個定義域上不是周期函數(shù)，B錯誤；對于C，在同一坐標系再作出的圖象，可知直線與的圖象有且僅有1個交點，C錯誤；對于D，結(jié)合圖象可知的值域為，D正確，故選：AD12.設(shè)，都是定義域為區(qū)間的函數(shù)，若存在，使得對任意，，都有成立，則稱在上相對于滿足條件.下列命題正確的是（）A.若，，在區(qū)間上相對于滿足條件，則的最小值為B.若，，則在區(qū)間上相對于滿足條件C.設(shè)為實數(shù)，若，，在區(qū)間上相對于滿足條件，則的最大值為D.若，，在上相對于滿足條件，則【答案】AC【解析】【分析】利用參變分離法求函數(shù)最值可判斷AC，舉反例即可說明B，由題可得為增函數(shù)，利用復合函數(shù)單調(diào)性判斷D．【詳解】對于A，由題知,,均有成立，當時顯然成立，不妨設(shè)，則，即，又，，，，所以，故A正確；令，，，而，，此時，故不符合要求，B錯誤，對于C，由題知,，均有成立，當時顯然成立，當時，即，故則恒成立，又，,所以，，即，所以的最大值為，故C正確；對于D，由題可得在非空數(shù)集上恒成立，當時顯然成立，不妨設(shè)，則，成立，令，則函數(shù)非空數(shù)集上單調(diào)遞增，，當,時，，單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以單調(diào)遞減，所以在,上單調(diào)遞減，故D錯誤．故選：AC三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.__________.【答案】【解析】【分析】利用對數(shù)和指數(shù)運算求解.【詳解】解：，故答案為：14.“數(shù)摺聚清風，一捻生秋意”是宋代朱翌描寫折扇的詩句.一般情況下，折扇可看作是從一個圓面中剪下的扇形制作而成.如圖，設(shè)扇形的面積為，其圓心角為，圓面中剩余部分的面積為，當與的比值為時，扇面為“美觀扇面”.若扇面為“美觀扇面”，扇形的半徑，則此時的扇形面積為__________.【答案】【解析】【分析】由題意結(jié)合圓的面積公式，列式求解，即得答案.【詳解】由題意知，即,即，解得（）,故答案為：15.若a，b，c均為正數(shù)，且，則的最小值是_________.【答案】##【解析】【分析】由推出，將化為，展開后利用基本不等式，即可求得答案.【詳解】由題意知a，b，c均為正數(shù)，且，故，則，當且僅當，結(jié)合，即時等號成立，故的最小值是，故答案為：16.設(shè)為實數(shù)，若實數(shù)是關(guān)于的方程的解，則_________.【答案】##【解析】【分析】將已知等式變?yōu)?，?gòu)造函數(shù)，結(jié)合其單調(diào)性推出，即得，由此可化簡求值，即得答案.【詳解】由題意知，得，即，設(shè)，則在上單調(diào)遞增，則由可得，而實數(shù)是關(guān)于的方程的解，即，故，故答案為：【點睛】關(guān)鍵點睛：解答本題的關(guān)鍵是能夠變形得到，從而結(jié)合的單調(diào)性推出，即，即可求解.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知集合，集合.（1）當時，求；（2）若，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先化簡集合A，B，再利用集合的交集運算求解；（2）由，得到，分，，，討論集合A求解.【小問1詳解】當時，集合,，，所以；【小問2詳解】因為，所以，當時，，則，解得，此時；當時，，符合題意；當時，，則，解得，此時無解；綜上：實數(shù)的取值范圍是.18.已知函數(shù)（，，）的部分圖象如圖所示.若將函數(shù)的圖象上所有點的縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，則所得圖象為函數(shù)的圖象.（1）求解析式；（2）當時，求的單調(diào)遞減區(qū)間.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由函數(shù)圖象可確定A，根據(jù)最小正周期求出，利用特殊點坐標求出，即可得的解析式；（2）根據(jù)三角函數(shù)的平移變換可得的解析式，求出其單調(diào)遞減區(qū)間，和求交集，即得答案.【小問1詳解】由圖象可知，函數(shù)最小正周期，由，得，則,則，結(jié)合，可得，故；【小問2詳解】由題意可得，令，解得，當時，的單調(diào)遞減區(qū)間為，k取其它值時與區(qū)間無交集，故當時，的單調(diào)遞減區(qū)間為.19.已知函數(shù)，函數(shù).（1）求不等式的解集；（2）如果對于任意，都存在，使得，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用函數(shù)單調(diào)性解不等式；（2）分別求出在上和在上的值域，利用包含關(guān)系求實數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】函數(shù)，定義域R，，函數(shù)為奇函數(shù)，時，，則上單調(diào)遞增，所以在R上單調(diào)遞增，不等式，即，得，解得，所以不等式的解集為.【小問2詳解】函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，，則時；在上單調(diào)遞增，當時，，依題意有：，解得.所以實數(shù)的取值范圍為.20.中國政府在第七十五屆聯(lián)合國大會上提出.“中國將努力爭取在2060年前實現(xiàn)碳中和.”隨后，國務(wù)院印發(fā)了《關(guān)于加快建立健全綠色低碳循環(huán)發(fā)展經(jīng)濟體系的指導意見》.某企業(yè)去年消耗電費50萬元，預計今年若不作任何改變，則今年消耗電費與去年相同.為了響應號召，節(jié)能減排，該企業(yè)決定安裝一個可使用20年的太陽能供電設(shè)備，并接入本企業(yè)的電網(wǎng).安裝這種供電設(shè)備的費用（單位：萬元）與太陽能電池板的面積（單位：）成正比，比例系數(shù)約為0.6.為了保證正常用電，安裝后采用太陽能和電能互補供電的模式.設(shè)在此模式下，安裝太陽能供電設(shè)備后該企業(yè)每年消耗的電費（單位：萬元）與安裝的這種太陽能電池板的面積（單位：）之間的函數(shù)關(guān)系是（，k為常數(shù)）.記該企業(yè)安裝這種太陽能供電設(shè)備的費用與20年所消耗的電費之和為（單位：萬元）.（1）求常數(shù)，并寫出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；（2）當太陽能電池板的面積為多少平方米時，取得最小值？最小值是多少萬元？【答案】20.3000；21.94平方米；116.4萬元【解析】【分析】（1）根據(jù)，即可求得k的值；結(jié)合題意即可求得關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；（2）將關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式整理變形為，利用基本不等式即可求得答案.【小問1詳解】由題意知，解得；則；【小問2詳解】由于，故（萬元），當且僅當，即（）時，取得等號，即當太陽能電池板的面積為94平方米時，取得最小值，最小值是萬元.21.已知函數(shù)是偶函數(shù).（1）求實數(shù)的值；（2）若函數(shù)的最小值為，求實數(shù)的值.