微考點(diǎn)6-5利用二級(jí)結(jié)論秒殺拋物線中的選填題

微考點(diǎn)65利用二級(jí)結(jié)論秒殺拋物線中的選填題【考點(diǎn)目錄】考點(diǎn)一：拋物線中焦半徑焦點(diǎn)弦三角形面積秒殺公式考點(diǎn)二：過(guò)焦點(diǎn)的直線與拋物線相交坐標(biāo)之間的關(guān)系秒殺公式考點(diǎn)三：過(guò)焦點(diǎn)的兩條相互垂直的弦的和及構(gòu)成四邊形面積最小值秒殺公式考點(diǎn)四：拋物線中點(diǎn)弦求斜率秒殺公式考點(diǎn)五：拋物線中以焦半徑焦點(diǎn)弦為直徑的圓相切問(wèn)題考點(diǎn)六：拋物線中阿基米德三角形相關(guān)秒殺結(jié)論【考點(diǎn)分類】考點(diǎn)一：拋物線中焦半徑焦點(diǎn)弦三角形面積秒殺公式已知傾斜角為直線的經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，且與拋物線交于兩點(diǎn)，則①.②.③,.【精選例題】【例1】?jī)A斜角為的直線經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，且與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，則（

）A． B．4 C．6 D．8【答案】D【分析】根據(jù)已知條件，先求出直線的方程，聯(lián)立直線與拋物線方程可得，，再結(jié)合拋物線的定義，以及韋達(dá)定理，即可求解.【詳解】直線的傾斜角為，直線的斜率為1，拋物線，焦點(diǎn)，直線的方程為，設(shè)，聯(lián)立直線與拋物線方程，化簡(jiǎn)整理可得，，，由韋達(dá)定理可得，，故.故選：D.【例2】已知是拋物線上的兩點(diǎn)，且直線經(jīng)過(guò)的焦點(diǎn)，若，則（

）A．12 B．14 C．16 D．18【答案】C【分析】結(jié)合拋物線的弦長(zhǎng)公式計(jì)算即可.【詳解】.故選：C.【例3】已知拋物線，弦過(guò)拋物線的焦點(diǎn)且滿足，則弦的中點(diǎn)到軸的距離為（

）A． B．3 C． D．4【答案】C【分析】根據(jù)可得，再根據(jù)韋達(dá)定理即可求出的坐標(biāo)，進(jìn)而可求解.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)，設(shè)，假設(shè)，顯然弦所在的直線的斜率存在且不等于零，設(shè)弦所在的直線方程為，聯(lián)立，消去可得，，所以，因?yàn)?，所以，則，所以，解得，所以，所以，所以弦的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以弦的中點(diǎn)軸的距離為，故選:C.【例4】已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)（在第一象限），為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則（

）A．B．直線的斜率是C．線段的中點(diǎn)到軸的距離是D．的面積是【答案】ACD【分析】設(shè)直線，與拋物線方程聯(lián)立，根據(jù)、韋達(dá)定理得出，再由求出可判斷A；求出可得直線的斜率，再由點(diǎn)在第一象限可判斷B；設(shè)線段的中點(diǎn)為，根據(jù)求出線段的中點(diǎn)到軸的距離可判斷C；利用求出的面積可判斷D.【詳解】由題意可得直線的斜率不為0，則可設(shè)直線，聯(lián)立整理得，則，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，則，即，解得，因?yàn)?，所以，解得，則A正確；對(duì)于B，因?yàn)?，所以，則直線的斜率是，因?yàn)辄c(diǎn)在第一象限，所以直線的斜率大于0，所以直線的斜率是，則B錯(cuò)誤；對(duì)于C，設(shè)線段的中點(diǎn)為，則，即線段的中點(diǎn)到軸的距離是，則C正確；對(duì)于D，因?yàn)?，所以，則的面積，故D正確.故選：ACD.【跟蹤訓(xùn)練】1．已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)焦點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，．若弦長(zhǎng)，則直線的斜率為．【答案】【分析】設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理求出，再根據(jù)拋物線的弦長(zhǎng)公式即可得解.【詳解】由題意，直線的斜率不等于零，，設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立，消得，恒成立，則，所以，解得，所以直線的斜率為.故答案為：.2．在直角坐標(biāo)系中，已知拋物線：的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的傾斜角為的直線與相交于，兩點(diǎn)，且點(diǎn)在第一象限，的面積是，則（）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】聯(lián)立直線與拋物線方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系和焦半徑公式求出弦長(zhǎng)，由點(diǎn)到直線的距離公式結(jié)合的面積求解，從而利用焦半徑公式求解，逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，設(shè)過(guò)焦點(diǎn)的直線方程為設(shè)直線：，，，聯(lián)立直線與拋物線方程得消元得，由韋達(dá)定理可得，，所以，又點(diǎn)到直線的距離是，所以，得，所以，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，B正確；由知，解得，所以，故選項(xiàng)C正確；，故選項(xiàng)D正確；故選：BCD.3．已知直線l：過(guò)拋物線C：的焦點(diǎn)F，且與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，則（

）A．B．C．D．拋物線C上的動(dòng)點(diǎn)到直線距離的最小值為【答案】BD【分析】求得拋物線的焦點(diǎn)代入直線的方程，求得，可判定A錯(cuò)誤；聯(lián)立方程組，根據(jù)韋達(dá)定理和拋物線的焦點(diǎn)弦的性質(zhì)，求得，可判定B正確；結(jié)合拋物線的定義，求得的值，可判定C錯(cuò)誤；設(shè)設(shè)是拋物線上的任意一點(diǎn)，利用點(diǎn)到直線的距離公式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，可判定D正確.【詳解】由拋物線，可得焦點(diǎn)為，因?yàn)檫^(guò)拋物線的焦點(diǎn)，可得，解得，所以A錯(cuò)誤；聯(lián)立方程組，整理得，設(shè)，則，，由拋物線的焦點(diǎn)弦的性質(zhì)，可得，所以B正確；又由，解得，根據(jù)拋物線的定義，可得，所以，所以C錯(cuò)誤；設(shè)是拋物線上的任意一點(diǎn)，可得，則點(diǎn)到直線的距離為，當(dāng)時(shí)，，所以D正確.故選：BD.4．已知直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，且與拋物線交于兩點(diǎn)，點(diǎn)為的準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則B．過(guò)的焦點(diǎn)的最短弦長(zhǎng)為4C．當(dāng)時(shí)，直線的傾斜角為D．存在2條直線，使得成立【答案】AB【分析】由拋物線的定義,可判定A正確；根據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)，可判定B正確；設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，得到，結(jié)合時(shí)，求得，可判定C錯(cuò)誤；分別求得，結(jié)合，化簡(jiǎn)代入，得到恒成立，可判定D錯(cuò)誤.【詳解】由拋物線的定義可得，所以A正確；當(dāng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)且與軸垂直時(shí)弦長(zhǎng)最短，此時(shí)弦長(zhǎng)為4，所以B正確；設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，整理得，可得，當(dāng)時(shí)，，則，，解得，所以傾斜角不是，所以C錯(cuò)誤；由，則，，，，由，則，可得，化簡(jiǎn)可得，由，則，將，代入，則恒成立，所以D錯(cuò)誤.故選：AB.考點(diǎn)二：過(guò)焦點(diǎn)的直線與拋物線相交坐標(biāo)之間的關(guān)系秒殺公式①拋物線的焦點(diǎn)為F，是過(guò)的直線與拋物線的兩個(gè)交點(diǎn)，求證：.②一般地，如果直線恒過(guò)定點(diǎn)與拋物線交于兩點(diǎn)，那么.③若恒過(guò)定點(diǎn).【精選例題】【例1】已知拋物線：的的焦點(diǎn)為，、是拋物線上兩點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．點(diǎn)的坐標(biāo)為B．若直線過(guò)點(diǎn)，則C．若，則的最小值為D．若，則線段的中點(diǎn)到軸的距離為【答案】BCD【分析】由拋物線方程確定焦點(diǎn)坐標(biāo)知A錯(cuò)誤；直線與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理可知B正確；根據(jù)過(guò)焦點(diǎn)可知最小值為通徑長(zhǎng)，知C錯(cuò)誤；利用拋物線焦半徑公式，結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式可求得點(diǎn)縱坐標(biāo)，知D正確.【詳解】拋物線，即，對(duì)于A，由拋物線方程知其焦點(diǎn)在軸上，焦點(diǎn)為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，依題意，直線斜率存在，設(shè)其方程為，由，消去整理得，則，，，故B正確；對(duì)于C，若，則直線過(guò)焦點(diǎn)，所以，所以當(dāng)時(shí)，，所以的最小值為，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)?，則，即點(diǎn)縱坐標(biāo)為，所以到軸的距離為，故D正確.故選：BCD.【例2】已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)且傾斜角為的直線交拋物線于，兩點(diǎn)（

）A．直線的方程為 B．原點(diǎn)到直線的距離為C． D．【答案】ABC【分析】先求得拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)斜式、點(diǎn)到直線的距離公式、弦長(zhǎng)公式、根與系數(shù)關(guān)系等知識(shí)確定正確答案.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)為，所以過(guò)且傾斜角為的直線的斜率為，所以直線的方程為，A選項(xiàng)正確，原點(diǎn)到直線的距離為，B選項(xiàng)正確.由消去并化簡(jiǎn)得，設(shè)，則，所以，C選項(xiàng)正確.，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：ABC【例3】已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A，B是拋物線C上不同兩點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的是（

）A．若AB中點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為3，則的最大值為8B．若AB中點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為2，則直線AB的傾斜角為C．設(shè)，則的最小值為D．若，則直線AB過(guò)定點(diǎn)【答案】ABD【分析】對(duì)于A：利用A，B，F(xiàn)三點(diǎn)的位置與的關(guān)系及拋物線的定義求的最大值；對(duì)于B：利用點(diǎn)A，B在拋物線上及直線的斜率公式，將斜率轉(zhuǎn)化為A，B兩點(diǎn)縱坐標(biāo)間的關(guān)系；對(duì)于C：利用點(diǎn)A在拋物線上及兩點(diǎn)間的距離公式，將轉(zhuǎn)化為點(diǎn)A縱坐標(biāo)的代數(shù)式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求的最小值；對(duì)于D：設(shè)直線AB的方程，與拋物線方程聯(lián)立，轉(zhuǎn)化為關(guān)于點(diǎn)A，B縱坐標(biāo)的一元二次方程，結(jié)合及一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求解直線AB方程中的參數(shù)，確定直線AB所過(guò)的定點(diǎn)【詳解】設(shè)．對(duì)于選項(xiàng)A：若AB中點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為3，則，可得，當(dāng)且僅當(dāng)A，B，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立，所以的最大值為8，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：若AB中點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為2，則，由題意可知直線AB的斜率存在，則，所以直線AB的傾斜角為，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：設(shè)直線AB的方程，代入拋物線，得，則，可得，因?yàn)椋?，因?yàn)椋獾?，滿足，則直線AB的方程為，所以直線AB過(guò)定點(diǎn)，故D正確．故選：ABD．【跟蹤訓(xùn)練】1．過(guò)拋物線（）焦點(diǎn)F的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，則說(shuō)法正確的是（）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】根據(jù)拋物線的定義求解判斷A；當(dāng)直線垂直于軸時(shí)可判斷B；聯(lián)立直線與拋物線方程，結(jié)合韋達(dá)定理計(jì)算判斷CD.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線為，根據(jù)拋物線的定義，點(diǎn)，到焦點(diǎn)的距離分別等于其到準(zhǔn)線的距離，∴所以，故A正確；當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，不妨設(shè)，故，故B錯(cuò)誤；當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，不妨設(shè)，故，所以.當(dāng)直線不垂直于軸時(shí)，設(shè)直線，，聯(lián)立方程，可得，所以恒成立，，.綜上，，故C正確；當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，不妨設(shè)，，當(dāng)直線不垂直于軸時(shí)，，綜上，，故D正確.故選：ACD.2．已知點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上，過(guò)拋物線的焦點(diǎn)作直線交于、兩點(diǎn)，則（

）A．拋物線的方程是 B．C．當(dāng)時(shí)， D．【答案】ABD【分析】求出的值，可得出拋物線的方程，可判斷A選項(xiàng)；設(shè)直線的方程為，將該直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理可判斷B選項(xiàng)；根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算，結(jié)合韋達(dá)定理求出的值，再結(jié)合拋物線的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式可判斷C選項(xiàng)；計(jì)算出直線、的斜率之和，可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，拋物線的準(zhǔn)線方程為，因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上，則，可得，所以拋物線的方程為，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，拋物線的焦點(diǎn)為，若直線與軸重合，此時(shí)，直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，不合乎題意，所以直線不與軸重合，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，可得，，則，所以，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)?，即，則，因?yàn)椋傻?，則，則，此時(shí)，，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，，同理可得，所以，所以，D對(duì).故選：ABD.3．已知是拋物線上不同于原點(diǎn)的兩點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的是（

）A．點(diǎn)的坐標(biāo)為B．C．若，則直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)D．若點(diǎn)為拋物線的兩條切線，則直線的方程為【答案】ACD【分析】根據(jù)拋物線的方程可得焦點(diǎn)坐標(biāo)可判斷A，根據(jù)焦點(diǎn)弦的性質(zhì)可判斷B，根據(jù)垂直關(guān)系得，由兩點(diǎn)坐標(biāo)求解直線方程即可判斷C，根據(jù)切線方程求出切點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)兩點(diǎn)求解直線方程即可求解D.【詳解】因?yàn)閽佄锞€，故的坐標(biāo)為故A正確；由于當(dāng)直線過(guò)焦點(diǎn)時(shí)，由拋物線定義可得，但直線不一定過(guò)焦點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；若，故，即或（舍去），因?yàn)橹本€，即，得，故直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，故C正確；設(shè)過(guò)點(diǎn)的切線方程為，聯(lián)立，所以，故或，所以方程的根為，故切線方程中分別為和，故，，可得直線，即，故D正確.故選：ACD.考點(diǎn)三：過(guò)焦點(diǎn)的兩條相互垂直的弦的和及構(gòu)成四邊形面積最小值秒殺公式①已知是拋物線中過(guò)焦點(diǎn)的兩條相互垂直的弦，存在最小值，且最小值為.②已知是拋物線中過(guò)焦點(diǎn)的兩條相互垂直的弦，則四邊形的面積的最小值為.【精選例題】【例1】過(guò)拋物線C：的焦點(diǎn)F作兩條互相垂直的直線和，設(shè)直線交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，直線交拋物線C于D，E兩點(diǎn)，則可能的取值為（

）A．18 B．16 C．14 D．12【答案】AB【分析】由題意可知直線，的斜率均存在且均不為0，所以不妨設(shè)的斜率為k，則：，：，然后將兩直線方程分別代入拋物線方程化簡(jiǎn)，利用根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合弦長(zhǎng)公式表示出，再利用基本不等式可求得結(jié)果.【詳解】由題意可知直線，的斜率均存在且均不為0．因?yàn)閽佄锞€C的焦點(diǎn)為，所以不妨設(shè)的斜率為k，則：，：．由消去y得．設(shè)，，則．由拋物線的定義，知．同理可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以，故選：AB．【例2】在平面直角坐標(biāo)系中，已知?jiǎng)訄A與圓內(nèi)切，且與直線相切，設(shè)動(dòng)圓圓心的軌跡為曲線.(1)求曲線的方程；(2)過(guò)點(diǎn)作兩條互相垂直的直線與曲線相交于，兩點(diǎn)和，兩點(diǎn)，求四邊形的面積的最小值.【答案】(1)；(2)32【分析】（1）利用圓和圓，圓和直線的位置關(guān)系的性質(zhì)和拋物線的定義即可求解.（2）設(shè)直線的方程為，,聯(lián)立方程組得，再利用拋物線的的性質(zhì)求，同理求，最后利用基本不等式求解即可.【詳解】（1）設(shè)圓的半徑為，圓的圓心，半徑為1，因?yàn)閳A與圓內(nèi)切，且與直線相切，所以圓心到直線的距離為，因此圓心到直線的距離為，且，故圓心到點(diǎn)的距離與到直線的距離相等，據(jù)拋物線的定義，曲線是以為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線，所以曲線的方程為.（2）設(shè)直線的方程為，，，.聯(lián)立方程組整理得，故所以.因?yàn)椋本€的方程為，同理可得.所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào).所以四邊形面積的最小值為32.【跟蹤訓(xùn)練】1．已知F為拋物線的焦點(diǎn)，過(guò)F作兩條互相垂直的直線，，直線與C交于A，B兩點(diǎn)，直線與C交于D，E兩點(diǎn)，則的最小值為【答案】16【分析】設(shè)直線方程，由兩直線垂直可得方程，聯(lián)立與拋物線方程可得根與系數(shù)關(guān)系式，利用弦長(zhǎng)公式可得表達(dá)式，同理可得的表達(dá)式，結(jié)合基本不等式即可求得答案.【詳解】由題意知拋物線的焦點(diǎn)為，焦準(zhǔn)距，過(guò)F作兩條互相垂直的直線，，直線與C交于A，B兩點(diǎn)，直線與C交于D，E兩點(diǎn)，則，的斜率都存在且不為0，故設(shè)，則直線，設(shè)，聯(lián)立，則，，則，同理，故，同理可得,故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故的最小值為16.2．已知拋物線.其焦點(diǎn)為F，若互相垂直的直線m，n都經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F，且與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)和C，D兩點(diǎn)，則四邊形面積的最小值為．【答案】32【詳解】依題意知,直線的斜率存在且不為0,設(shè)直線的方程為,與拋物線方程聯(lián)立,得，消去,整理得,設(shè)其兩根為,則.由拋物線的定義可知，,同理可得,四邊形的面積.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,此時(shí)所求四邊形面積的最小值為32.考點(diǎn)四：拋物線中點(diǎn)弦求斜率秒殺公式設(shè)直線與拋物線相交所得的弦的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則【精選例題】【例1】已知拋物線的一條弦恰好以點(diǎn)為中點(diǎn)，弦的長(zhǎng)為，則拋物線的準(zhǔn)線方程為（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】設(shè)，，得到，，結(jié)合“點(diǎn)差法”求得，得到直線的方程為，聯(lián)立方程組，利用弦長(zhǎng)公式，列出方程，求得，進(jìn)而求得拋物線的準(zhǔn)線方程．【詳解】設(shè)，，弦所在直線方程為，則，，也點(diǎn)A，B在拋物線上，可得，兩式相減可得，所以，即，所以弦所在直線的方程為，聯(lián)立方程組，整理得，可得，，所以，所以，即，可得，解得，所以拋物線的準(zhǔn)線方程為．故選：B．【例2】直線與拋物線交于兩點(diǎn)，中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，則為（

）A． B．2 C．或2 D．以上都不是【答案】B【分析】設(shè)，得到，求得，再由，兩式相減，得到，得出方程，即可求解.【詳解】設(shè)，因?yàn)橹悬c(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則，可得，又由，兩式相減得到，可得，可得，解得或，聯(lián)立方程組，整理得，由，解得，所以.故選：B.【例3】直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，且與拋物線交于兩點(diǎn)，線段中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則O到直線的距離為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)，，代入拋物線方程，兩式相減后結(jié)合線段中點(diǎn)的縱坐標(biāo)得出，再結(jié)合焦點(diǎn)的坐標(biāo)得出直線的方程，由點(diǎn)到直線距離公式計(jì)算即可．【詳解】由拋物線得焦點(diǎn)，設(shè)，，則，兩式相減得，即，因?yàn)榫€段中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1，即，所以，即，所以直線的方程為，即，顯然此時(shí)直線與拋物線有兩交點(diǎn)，所以到直線的距離，故選：A．【跟蹤訓(xùn)練】1．已知直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則直線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用點(diǎn)差法可求得直線斜率，由直線點(diǎn)斜式方程可整理得到結(jié)果.【詳解】設(shè)，由得：，線段的中點(diǎn)為，，，，即直線的斜率為，直線的方程為：，即.故選：A.2．已知拋物線的焦點(diǎn)為，第一象限的、兩點(diǎn)在拋物線上，且滿足，.若線段中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4，則拋物線的方程為.【答案】【分析】先根據(jù)焦半徑公式得到的關(guān)系，然后根據(jù)弦長(zhǎng)公式求解出，結(jié)合兩點(diǎn)間斜率公式以及點(diǎn)在拋物線上求解出的值，則拋物線方程可求.【詳解】設(shè)，因?yàn)?，所以，所以，又因?yàn)?，所以，因?yàn)槎荚诘谝幌笙?，所以，又因?yàn)榍?，所以，所以，所以拋物線方程為，故答案為：.3．已知拋物線，過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，若為的中點(diǎn)，則直線的方程為.【答案】【分析】設(shè)出，的坐標(biāo)，代入拋物線方程，利用作差法，結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式代入先求出直線的斜率，再利用點(diǎn)斜式方程即可得到結(jié)論.【詳解】設(shè)，，由題意，因?yàn)?，在拋物線上，所以，，兩式相減得，，整理得，，即直線的斜率，直線的中點(diǎn)為，，，所以直線的方程為，化簡(jiǎn)得.故答案為：.考點(diǎn)五：拋物線中以焦半徑焦點(diǎn)弦為直徑的圓相切問(wèn)題設(shè)AB是過(guò)拋物線y2＝2px(p＞0)焦點(diǎn)F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則①以弦AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切．②以AF或BF為直徑的圓與y軸相切.【精選例題】【例1】已知是拋物線上的兩動(dòng)點(diǎn)，是拋物線的焦點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的是（

）A．直線過(guò)焦點(diǎn)時(shí)，以為直徑的圓與的準(zhǔn)線相切B．直線過(guò)焦點(diǎn)時(shí)，的最小值為6C．若坐標(biāo)原點(diǎn)為，且，則直線過(guò)定點(diǎn)D．與拋物線分別相切于兩點(diǎn)的兩條切線交于點(diǎn)，若直線過(guò)定點(diǎn)，則點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上【答案】ABD【分析】對(duì)于A：根據(jù)拋物線的定義分析判斷；對(duì)于B：設(shè)方程為，聯(lián)立方程，根據(jù)拋物線的定義結(jié)合韋達(dá)定理分析求解；對(duì)于C：設(shè)方程為，設(shè)，，聯(lián)立方程，根據(jù)垂直關(guān)系可得，結(jié)合韋達(dá)定理分析求解；對(duì)于D：可知拋物線在點(diǎn)處的切線方程為，根據(jù)切線方程求交點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合選項(xiàng)B分析判斷.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：如圖1，設(shè)中點(diǎn)為，分別過(guò)點(diǎn)向準(zhǔn)線作垂線，垂足為，則由拋物線的定義可得，，.因?yàn)橹悬c(diǎn)為，所以有，所以以為直徑的圓與的準(zhǔn)線相切，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：由拋物線，可得，由題意可知直線斜率不為，設(shè)方程為，設(shè)，，聯(lián)立直線與拋物線的方程，消去x可得，則恒成立。可得，，則，所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取到最小值6，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)D：先證拋物線在點(diǎn)處的切線方程為，聯(lián)立方程，消去x得，可知方程組只有一個(gè)解，即直線與拋物線相切，可知拋物線在點(diǎn)處的切線方程分別為，，聯(lián)立方程，解得，即點(diǎn)，結(jié)合選項(xiàng)B可得：，所以點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上，故D正確；對(duì)于選項(xiàng)C：由題意可知直線斜率不為，設(shè)方程為，設(shè)，，，則，，若，則，解得或（舍去），聯(lián)立直線與拋物線的方程，消去x可得，則，解得，此時(shí)，符合題意，所以，則直線過(guò)定點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；故選：ABD.【例2】已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過(guò)焦點(diǎn)F的直線l交拋物線于A，B兩點(diǎn)（其中點(diǎn)A在x軸上方），則（

）A．B．弦AB的長(zhǎng)度最小值為lC．以AF為直徑的圓與y軸相切D．以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切【答案】ACD【分析】由弦長(zhǎng)公式計(jì)算可得選項(xiàng)A、B；C、D選項(xiàng)，可以利用圓的性質(zhì)，圓心到直線的距離等于半徑判定直線與圓相切.【詳解】

由題，焦點(diǎn)，設(shè)直線,聯(lián)立，，，同理可得，，，故A選項(xiàng)正確；，故弦AB的長(zhǎng)度最小值為4，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；記中點(diǎn)，則點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離為，由拋物線的性質(zhì)，，所以以AF為直徑的圓與y軸相切，故C選項(xiàng)正確；，記中點(diǎn)，則點(diǎn)N到拋物線的準(zhǔn)線的距離，故以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切，D選項(xiàng)正確.故選：ACD.【跟蹤訓(xùn)練】1．設(shè)是坐標(biāo)原點(diǎn)，直線經(jīng)過(guò)拋物線C：的焦點(diǎn)F，且與C交于A，B西點(diǎn)，是以為底邊的等腰三角形，是拋物線C的準(zhǔn)線，則（

）A．以直徑的圓與準(zhǔn)線相切 B．C． D．的面積是【答案】ACD【分析】根據(jù)拋物線的定義及直線與圓的位置關(guān)系判斷A；由條件求得的坐標(biāo)，利用斜率公式判斷B；根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算判斷C；根據(jù)三角形面積公式求解判斷D.【詳解】直線與軸的交點(diǎn)為，即焦點(diǎn)，則，故拋物線C的方程，設(shè)，由題意可知點(diǎn)在第四象限，點(diǎn)在第一象限，設(shè)的中點(diǎn)，過(guò)作，垂足為，過(guò)作，垂足為，過(guò)作，垂足為，則，則以直徑的圓與準(zhǔn)線相切，故A正確；∵是以為底邊的等腰三角形，∴，得，聯(lián)立，得，易知，則，則，得，，故B錯(cuò)誤；∵，∴，故C正確；的面積為，故D正確.故選：ACD.2．已知拋物線的焦點(diǎn)在直線上，直線與拋物線交于點(diǎn)（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則下列說(shuō)法中正確的是（

）A．B．準(zhǔn)線方程為C．以線段為直徑的圓與的準(zhǔn)線相切D．直線的斜率之積為定值【答案】ACD【分析】由直線過(guò)定點(diǎn)，得到，可判定A正確；根據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)，可得判定B錯(cuò)誤；過(guò)點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，根據(jù)拋物線的定義得到，可判定C正確；聯(lián)立方程組，結(jié)合韋達(dá)定理，得到，求得，可判定D正確.【詳解】對(duì)于A中，由直線，可化為，可得直線過(guò)定點(diǎn)，因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)在直線上，可得，則，所以A正確；對(duì)于B中，由拋物線的準(zhǔn)線方程為，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C中，過(guò)點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，的中點(diǎn)為點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，可得，所以C正確；對(duì)于D中，設(shè)，聯(lián)立方程組，整理得，可得，則，所以D正確.故選：ACD.考點(diǎn)六：拋物線中阿基米德三角形相關(guān)秒殺結(jié)論①知識(shí)要點(diǎn)：如圖，假設(shè)拋物線方程為，過(guò)拋物線準(zhǔn)線上一點(diǎn)向拋物線引兩條切線，切點(diǎn)分別記為，其坐標(biāo)為.則以點(diǎn)和兩切點(diǎn)圍成的三角形中，有如下的常見(jiàn)結(jié)論:結(jié)論1.直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn).結(jié)論2.直線的方程為.結(jié)論3.過(guò)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，以分別為切點(diǎn)做兩條切線，則這兩條切線的交點(diǎn)的軌跡即為拋物線的準(zhǔn)線.證明：過(guò)點(diǎn)的切線方程為，過(guò)點(diǎn)的切線方程為，兩式相除可得：.這就證明了該結(jié)論.結(jié)論4..證明：由結(jié)論3，，.那么.結(jié)論5..證明：,則.由拋物線焦點(diǎn)弦的性質(zhì)可知，代入上式即可得，故.結(jié)論6.直線的中點(diǎn)為，則平行于拋物線的對(duì)稱軸.證明：由結(jié)論3的證明可知，過(guò)點(diǎn)的切線的交點(diǎn)在拋物線準(zhǔn)線上.且的坐標(biāo)為，顯然平行于拋物線的對(duì)稱軸.【精選例題】【例1】已知拋物線C：，（）的焦點(diǎn)為F，為C上一動(dòng)點(diǎn)，若曲線C在點(diǎn)M處的切線的斜率為，則直線FM的斜率為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】∵，∴，，∴，由題意知，，解得：，又∵M(jìn)在上，∴，解得：，∴，∴.故選：B.【例2】設(shè)拋物線C：的焦點(diǎn)為F，過(guò)F的直線交C于A，B兩點(diǎn)，分別以A，B為切點(diǎn)作C的切線，，若與交于點(diǎn)P，且滿足，則（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】D【詳解】，設(shè)直線AB的方程為，顯然m是存在的，設(shè)，顯然，求導(dǎo)：，在A點(diǎn)處的切線方程…①，同理可得在B點(diǎn)處的切線方程為：；聯(lián)立方程，解得，，，聯(lián)立方程解得，，即P點(diǎn)在準(zhǔn)線上，設(shè)，，考慮拋物線關(guān)于x軸對(duì)稱，不妨取，代入①得：，解得或，由圖可知，再代入拋物線方程得，；故選：D.【例3】（多選題）已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)且斜率為的直線交拋物線于兩點(diǎn)，在第一象限，過(guò)分別作拋物線的切線，且相交于點(diǎn)，若交軸于點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的有（

）A．點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上 B．C． D．若，則的值為【答案】ACD【詳解】由題意知，故l：，與拋物線聯(lián)立，可得，則，設(shè)，，則．對(duì)于A，由拋物線可得，所以直線的斜率，則直線的方程為，同理可得直線的方程為，聯(lián)立解得．又，故點(diǎn)P在拋物線的準(zhǔn)線上，故A正確；對(duì)于B，，故，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，直線l的方程為，則，直線的方程為，可得所以，故則FQ⊥BQ，故C正確；對(duì)于D，由，直線l的方程為，與拋物線聯(lián)立可得，解得，則，則，得，故D正確．故選：ACD.【例4】已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過(guò)F的直線l傾斜角為，交C于兩點(diǎn)，過(guò)兩點(diǎn)分別作C的切線，，其交點(diǎn)為，，與x軸的交點(diǎn)分別為，則四邊形的面積為_(kāi)_______.【答案】4【詳解】如圖，設(shè),，易知過(guò)兩點(diǎn)的拋物線C的切線，斜率均存在，不妨設(shè)，，聯(lián)立，消得到，即，所以，又，所以，得到，所以，即，也即，同理可得直線為，又因?yàn)橹本€與交于，所以可得，，從而得到直線的方程為，又因?yàn)橹本€過(guò)焦點(diǎn)且傾斜角為，所以得到，即，且直線直線的方程為又由，令，得到，即，由，令，得到，即，又由，消得到，由韋達(dá)定理得，所以，又易知，所以四邊形的面積為，故答案為：4.【跟蹤訓(xùn)練】1.已知拋物線的焦點(diǎn)為，若拋物線上一點(diǎn)滿足，則過(guò)點(diǎn)的切線方程為（

）A．或 B．或C．或 D．或【答案】B【詳解】由已知得，準(zhǔn)線方程為.設(shè)，P點(diǎn)到準(zhǔn)線距離為d.則由拋物線定義有，即.將代入得，，所以.注意到，則當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)為時(shí)，過(guò)點(diǎn)的切線斜率為，所以過(guò)點(diǎn)的切線方程為，即，當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)為時(shí)，過(guò)點(diǎn)的切線斜率為，所以過(guò)點(diǎn)的切線方程為，即，綜上，過(guò)點(diǎn)的切線方程為或．故選：B2．（多選題）設(shè)拋物線C：的焦點(diǎn)為F，過(guò)拋物線C上不同的兩點(diǎn)A，B分別作C的切線，兩條切線的交點(diǎn)為P，AB的中點(diǎn)為Q，則（

）A．軸 B． C． D．【答案】AC【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)：設(shè),,,過(guò)點(diǎn)A切線為：①,過(guò)點(diǎn)B切線為:②,①②得化簡(jiǎn)可得，軸,A選項(xiàng)正確.設(shè)過(guò)A點(diǎn)的切線為,過(guò)B點(diǎn)的切線為,交點(diǎn)為AB的中點(diǎn)為，所以不垂直,B選項(xiàng)錯(cuò)誤；,所,D選項(xiàng)錯(cuò)誤;作拋物線準(zhǔn)線的垂線,連接則顯然,所以又因?yàn)橛蓲佄锞€定義,得,故知是線段的中垂線,得到則，同理可證：,，所以，即,所以,即.故選:AC.3.已知拋物線的焦點(diǎn)為，且與圓上的點(diǎn)的距離的最小值4．(1)求；(2)若點(diǎn)在圓上，是的兩條切線，是切點(diǎn)，求面積的最大值．【答案】(1)2；(2)【詳解】（1）圓的圓心，半徑，由點(diǎn)到圓上的點(diǎn)的距離的最小值為，解得；（2）拋物線的方程為，即，對(duì)該函數(shù)求導(dǎo)得，設(shè)點(diǎn)、、，直線的方程為，即，即，同理可知，直線的方程為，由于點(diǎn)為這兩條直線的公共點(diǎn)，則，所以點(diǎn)A、的坐標(biāo)滿足方程，所以直線的方程為，聯(lián)立，可得，由韋達(dá)定理可得，，所以，點(diǎn)到直線的距離為，所以，，由已知可得，所以當(dāng)時(shí)，的面積取最大值.1．已知拋物線：（），過(guò)點(diǎn)且垂直于軸的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若的面積為9，則（

）A． B．2 C． D．3【答案】A【分析】將代入拋物線方程，求出線段長(zhǎng)，結(jié)合三角形面積求解即得.【詳解】將代入，得，由對(duì)稱性不妨設(shè)在軸上方，則點(diǎn)，，，，因此，所以.故選：A2．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)拋物線焦點(diǎn)的直線與交于A，B兩點(diǎn)，若，則（

）A．5 B．9 C．10 D．18【答案】B【分析】由及拋物線方程可求出A點(diǎn)坐標(biāo)，從而得直線的方程，聯(lián)立拋物線和直線方程，結(jié)合韋達(dá)定理求出，由拋物線定義可得結(jié)果.【詳解】如圖：由拋物線可知焦點(diǎn)坐標(biāo)，取線段中點(diǎn)D，即，又，所以,故設(shè)，因點(diǎn)A在拋物線上，得，根據(jù)對(duì)稱性取，又因直線過(guò)焦點(diǎn)F，所以直線的方程為：，聯(lián)立，得

①，設(shè)，則為①式兩根，所以，由拋物線定義可知，故選：B.3．已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線交拋物線于兩點(diǎn)，若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，作出拋物線與直線AB的圖像，利用拋物線的定義將曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為曲線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，借助幾何圖形可判斷直線AB的傾斜角，從而可得答案．【詳解】如圖，當(dāng)點(diǎn)在第一象限時(shí)，過(guò)點(diǎn)分別向準(zhǔn)線作垂線，垂足為，作，垂足為，則軸，設(shè)，則，，由拋物線的定義得