四川省內江市第四中學高二數(shù)學理期末試卷含解析

四川省內江市第四中學高二數(shù)學理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.某船開始看見燈塔A時，燈塔A在船南偏東30°方向，后來船沿南偏東60°的方向航行45km后，看見燈塔A在船正西方向，則這時船與燈塔A的距離是（）A．15km B．30km C．15km D．15km參考答案：D【考點】解三角形的實際應用．【分析】根據題意畫出圖形，如圖所示，求出∠CAB與∠ACB的度數(shù)，在三角形ABC中，利用正弦定理列出關系式，將各自的值代入即可求出BC的長．【解答】解：根據題意畫出圖形，如圖所示，可得∠DAB=60°，∠DAC=30°，AB=45km，∴∠CAB=30°，∠ACB=120°，在△ABC中，利用正弦定理得：∴BC=15（km），則這時船與燈塔的距離是15km．故選：D．2.七巧板是我們祖先的一項創(chuàng)造，被譽為“東方魔板”，它是由五塊等腰直角三角形（兩塊全等的小三角形、一塊中三角形和兩塊全等的大三角形）、一塊正方形和一塊平行四邊形組成的．如圖是一個用七巧板拼成的正方形，在此正方形中任取一點，則此點取自陰影部分的概率是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D如圖所示，設，所以，所以點取自陰影部分的概率為，故選D．

3.已知函數(shù)f（x）的導函數(shù)為f′（x），且滿足f（x）=2xf′（1）+lnx，則f′（1）=（）A．﹣e B．﹣1 C．1 D．e參考答案：B【考點】導數(shù)的乘法與除法法則；導數(shù)的加法與減法法則．【分析】已知函數(shù)f（x）的導函數(shù)為f′（x），利用求導公式對f（x）進行求導，再把x=1代入，即可求解；【解答】解：∵函數(shù)f（x）的導函數(shù)為f′（x），且滿足f（x）=2xf′（1）+lnx，（x＞0）∴f′（x）=2f′（1）+，把x=1代入f′（x）可得f′（1）=2f′（1）+1，解得f′（1）=﹣1，故選B；4.已知雙曲線﹣=1的一個焦點與拋物線y2=﹣4x的焦點重合，且雙曲線的離心率為，則此雙曲線的方程為（） A．5x2﹣=1 B．5x2﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1參考答案：B【考點】雙曲線的簡單性質． 【專題】計算題；圓錐曲線的定義、性質與方程． 【分析】根據拋物線的方程算出其焦點為（﹣1，0），從而得出左焦點為F（﹣1，0），再設出雙曲線的方程，利用離心率的公式和a、b、c的平方關系建立方程組，解出a、b的值即可得到該雙曲線的方程． 【解答】解：∵拋物線方程為y2=﹣4x，∴2p=4，得拋物線的焦點為（﹣1，0）． ∵雙曲線的一個焦點與拋物y2=﹣4x的焦點重合， ∴雙曲線的左焦點為F（﹣1，0）， 設雙曲線的方程為（a＞0，b＞0），可得a2+b2=1…① ∵雙曲線的離心率等，∴=，即…② 由①②聯(lián)解，得a2=，b2=， ∴該雙曲線的方程為5x2﹣=1． 故選B． 【點評】本題重點考查雙曲線的幾何性質，考查拋物線的幾何性質，正確計算雙曲線的幾何量是解題的關鍵． 5.函數(shù)f（x）=（x﹣3）ex的單調遞增區(qū)間是（）A．（﹣∞，2）B．（0，3）C．（1，4）D．（2，+∞）參考答案：D

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性．分析：若求解函數(shù)f（x）的單調遞增區(qū)間，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性的性質，對f（x）求導，令f′（x）＞0，解出x的取值區(qū)間，要考慮f（x）的定義域．解答：解：f′（x）=（x﹣3）′ex+（x﹣3）（ex）′=（x﹣2）ex，求f（x）的單調遞增區(qū)間，令f′（x）＞0，解得x＞2，故選D．點評：本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性的這一性質，值得注意的是，要在定義域內求解單調區(qū)間．6.若（是常數(shù)），且，則

（

）A、6

B、

C、5

D、參考答案：C略7.如圖所示曲線是函數(shù)的大致圖象，則（

）

A、

B、

C、

D、參考答案：C8.某產品分為甲、乙、丙三級，其中乙、丙兩級均屬次品，若生產中出現(xiàn)乙級品的概率為0.03,出現(xiàn)丙級品的概率為0.01,則對產品抽查一次抽得正品的概率是(

)(A)0.99

(B)0.98

(C)0.97

(D)0.96參考答案：D略9.已知函數(shù)f(x)在R上滿足f(x)=2f(2－x)－x2+8x－8，則曲線y=f(x)在點（1，f(1)）處的切線方程是（

）A.y=2x－1

B.y=x

C.y=3x－2

D.y=－2x+3參考答案：A10.已知F1、F2為雙曲線C：x2﹣y2=1的左、右焦點，點P在C上，∠F1PF2=60°，則|PF1|?|PF2|=（）A．2 B．4 C．6 D．8參考答案：B【考點】雙曲線的定義；余弦定理．【專題】圓錐曲線的定義、性質與方程．【分析】解法1，利用余弦定理及雙曲線的定義，解方程求|PF1|?|PF2|的值．解法2，由焦點三角形面積公式和另一種方法求得的三角形面積相等，解出|PF1|?|PF2|的值．【解答】解：法1．由雙曲線方程得a=1，b=1，c=，由余弦定理得cos∠F1PF2=

∴|PF1|?|PF2|=4．法2；

由焦點三角形面積公式得：∴|PF1|?|PF2|=4；故選B．【點評】本題主要考查雙曲線定義、幾何性質、余弦定理，考查轉化的數(shù)學思想，查考生的綜合運用能力及運算能力．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.下列說法正確的是①已知定點F1（﹣1，0）、F2（1，0），則滿足||PF1|﹣|PF2||=3的動點P的軌跡不存在；②若動點P到定點F的距離等于動點P到定直線l的距離，則動點P的軌跡為拋物線；③命題“?x＜0，都有x﹣x2＜0”的否定為“?x0≥0，使得”；④已知定點F1（﹣2，0）、F2（2，0），則滿足|PF1|+|PF2|=4的動點P的軌跡為線段F1F2；⑤表示焦點在x軸上的雙曲線．參考答案：①④【考點】命題的真假判斷與應用．【分析】由構成三角形的條件，兩邊之差小于第三邊，即可判斷①；由拋物線的定義，即可判斷②；由命題的否定形式，即可判斷③；由構成三角形或線段的條件，判斷④；討論m＞0，n＞0或m＜0，n＜0，即可判斷⑤．【解答】解：①定點F1（﹣1，0）、F2（1，0），|F1F2|=2，則滿足||PF1|﹣|PF2||=3＞2的動點P的軌跡不存在，故①正確；②若動點P到定點F的距離等于動點P到定直線l的距離，若F在直線l上，可得P的軌跡為過F垂直于l的直線，則動點P的軌跡為拋物線錯，故②錯誤；③命題“?x＜0，都有x﹣x2＜0”的否定為“?x0＜0，使得”故③錯誤；④定點F1（﹣2，0）、F2（2，0），則滿足|PF1|+|PF2|=4=|F1F2|的動點P的軌跡為線段F1F2，故④正確；⑤，當m＞0，n＞0表示焦點在x軸上的雙曲線，當m＜0，n＜0表示焦點在y軸上的雙曲線，故⑤錯誤．故答案為：①④．12.過點且在兩坐標軸上的截距相等的直線的方程是

．參考答案：略13.已知函數(shù)，設函數(shù)，若函數(shù)在R上恰有兩個不同的零點，則a的值為________.參考答案：【分析】求得x＝0，x＞0，x＜0，y＝f（﹣x）﹣f（x）的解析式，并作出圖象，由題意可得f（﹣x）﹣f（x）＝有兩個不等實根，通過圖象觀察即可得到所求的值．【詳解】函數(shù)，當x＝0時，f（0）＝1，f（﹣x）﹣f（x）＝0；當x＞0時，﹣x＜0，f（﹣x）﹣f（x）＝﹣x+1﹣（x﹣1）2＝x﹣x2；當x＜0時，﹣x＞0，f（﹣x）﹣f（x）＝（﹣x﹣1）2﹣（x+1）＝x2+x；作出函數(shù)y＝f（﹣x）﹣f（x）的圖象，由函數(shù)g（x）在R上恰有兩個不同的零點，可得f（﹣x）﹣f（x）＝有兩個不等實根．由圖象可得＝±，即有＝±時，兩圖象有兩個交點，故答案為：±．【點睛】本題考查函數(shù)方程的轉化思想和數(shù)形結合思想方法，考查分類討論思想方法和化簡能力，屬于中檔題．14.已知橢圓的離心率，則m的值等于

．參考答案：或

當焦點在x軸上時，，，，當焦點在y軸上，解得或,故答案為或.15.原命題：“設復數(shù)（為虛數(shù)單位），若為純虛數(shù)，則”的逆命題、否命題、逆否命題中真命題共有________個.參考答案：1

16.函數(shù)f(x)＝x(1－x)，x∈(0，1)的最大值為

．參考答案：17.如果角與兩邊分別平行，則°時，

。參考答案：700或1100三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.微信是現(xiàn)代生活中進行信息交流的重要工具.據統(tǒng)計,某公司200名員工中90%的人使用微信,其中每天使用微信時間在一小時以內的有60人,其余的員工每天使用微信時間在一小時以上,若將員工分成青年(年齡小于40歲)和中年(年齡不小于40歲)兩個階段,那么使用微信的人中75%是青年人.若規(guī)定:每天使用微信時間在一小時以上為經常使用微信,那么經常使用微信的員工中都是青年人.(1).若要調查該公司使用微信員工經常使用微信與年齡的關系,列出并完成2×2列聯(lián)表:

青年人中年人合計經常使用微信

不經常使用微信

合計

(2).由列聯(lián)表中所得數(shù)據判斷,是否有99.9%的把握認為“經常使用微信與年齡有關”?(3).采用分層抽樣的方法從“經常使用微信”的人中抽取6人,從這6人中任選2人,求選出的2人均是青年人的概率.附:.參考答案：1.由已知可得,該公司員工中使用微信的有人,經常使用微信的有人,其中青年人有人,使用微信的人中青年人有人.所以列聯(lián)表為:

青年人中年人合計經常使用微信不經常使用微信合計

2.將列聯(lián)表中數(shù)據代入公式可得:,由于,所以有的把握認為“經常使用微信與年齡有關”.

3.從“經常使用微信”的人中抽取6人,其中,青年人有人,中年人有,記4名青年人的編號分別為1,2,3,4,記名中年人的編號分別為5,6,則從這6人中任選2人的基本事件有共15個

其中選出的2人均是青年人的基本事件有共6個,故所求事件的概率為.19.已知函數(shù)f（x）=x3﹣3x2﹣9x+1（x∈R）．（1）求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間．（2）若f（x）﹣2a+1≥0對?x∈[﹣2，4]恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．參考答案：【考點】6E：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；6B：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性．【分析】（1）求出函數(shù)的導數(shù)，解關于導函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調區(qū)間即可；（2）根據函數(shù)的單調性求出端點值和極值，從而求出f（x）的最小值，得到關于a的不等式，求出a的范圍即可．【解答】解：（1）f′（x）=3x2﹣6x﹣9，令f′（x）＞0，解得：x＜﹣1或x＞3，令f′（x）＜0，解得：﹣1＜x＜3，故函數(shù)f（x）的單調增區(qū)間為（﹣∞，﹣1），（3，+∞），單調減區(qū)間為（﹣1，3）；（2）由（1）知f（x）在[﹣2，﹣1]上單調遞增，在[﹣1，3]上單調遞減，在[3，4]上單調遞增，又f（﹣2）=﹣1，f（3）=﹣26，f（3）＜f（﹣2），∴f（x）min=﹣26，∵f（x）﹣2a+1≥0對?x∈[﹣2，4]恒成立，∴f（x）min≥2a﹣1，即2a﹣1≤﹣26，∴a≤﹣．20.已知雙曲線C：﹣=1（a＞0，b＞0）的離心率為，實軸長為2．（1）求雙曲線C的方程；

（2）若直線y=x+m被雙曲線C截得的弦長為，求m的值．參考答案：【考點】直線與圓錐曲線的綜合問題．【分析】（1）由離心率為，實軸長為2．可得，2a=2，再利用b2=c2﹣a2=2即可得出．（2）設A（x1，y1），B（x2，y2），與雙曲線的聯(lián)立可得x2﹣2mx﹣m2﹣2=0，利用根與系數(shù)的關系可得|AB|===4，即可得出．【解答】解：（1）由離心率為，實軸長為2．∴，2a=2，解得a=1，，∴b2=c2﹣a2=2，∴所求雙曲線C的方程為=1．（2）設A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立，△＞0，化為m2+1＞0．∴x1+x2=2m，．∴|AB|===4，化為m2=1，解得m=±1．21.（12分）設函數(shù).（1）若，求的單調區(qū)間；（2）若當時，求的取值范圍。參考答案：22.某公司為確定下一年度投入某種產品的宣傳費，需了解年宣傳費對年銷售量(單位：t)的影響.該公司對近5年的年宣傳費和年銷售量數(shù)據進行了研究，發(fā)現(xiàn)年宣傳費x(萬元)和年銷售量y(單位：t)具有線性相關關系，并對數(shù)據作了初步處理，得到下面的一些統(tǒng)計量的值.x(萬元)24536y(單位：t)2.544.536(1)根據表中數(shù)據建立年銷售量y關于年宣傳費x的回歸方程；(2)已知這種產品的年利潤z與x，y的關系為，根據(1)中的結果回答下列問題：①當年宣傳費為10萬元時，年銷售量及年利潤的預報值是多少?②估算該公司應該投入多少宣傳費，才能使得年利潤與年宣傳費的比值最大.附：回歸方程中的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為參考數(shù)據：.參考答案：(1)；（2）①銷售量為9.1，年利