新四年級奧數(shù)

速算與巧算〔三〕專題解析：這一節(jié)，我們來學習一些比擬復雜的用湊數(shù)法和分解等方法經(jīng)行的乘除的巧算。這些計算從外表看似不能巧算，而如果把數(shù)適當?shù)姆纸夂娃D(zhuǎn)化就可以使計算簡便。對于一些較復雜的計算題，我們要善于從整體把握特征，通過對數(shù)適當?shù)姆纸夂妥冃?，找出?shù)據(jù)及算式間的聯(lián)系，靈活的運用相關(guān)的運算定律和性質(zhì)，從而使復雜的計算過程簡化。例題1：計算236×37×27思路導航：在乘除法的計算過程中，除了常常要將因數(shù)和除數(shù)“湊整”，有時為了便于口算，還要將一些算式湊成特殊的數(shù)。例如，可以將27變形為“3×9”，再將37乘以3得111，這是一個特殊的數(shù)，這樣就便于計算了。236×37×27=236×〔37×3×9〕=236×〔111×9〕=236×999=236×〔1000-1〕=236000-236=235764課堂練習：1、132×37×272、315×77×13例題2：計算：333×334+999×222思路導航：外表上，這題不能用乘除法的運算定律、性質(zhì)進行簡便計算，但只要對數(shù)據(jù)作適當變形即可簡算。333×334+999×222=333×334+333×〔3×222〕=333×〔334+666〕=333×1000=333000課堂練習：1、9999×2222+3333×33342、37×18+27×42例題3：計算：20012001×2002-20022002×2001思路導航：這道題如果直接計算，顯得比擬麻煩，根據(jù)題中的數(shù)的特點，如果把20012001變形為“2001×10001”，把20022002變形為“2002×10001”，那么計算起來就非常方便。20012001×2002-20022002×2001=2001×10001×2002-2002×1001×2001=0課堂練習：1、192192×368-368368×1922、19931993×1994-19941994×1993例題4：不用筆算，請你指出下面哪個得數(shù)大。163×167164×166思路導航：仔細觀察可以發(fā)現(xiàn)，第二個算式中的兩個因數(shù)分別于第一個算式中的兩個因數(shù)相差1，根據(jù)這個特點，可以把題中的數(shù)據(jù)作適當?shù)淖冃?，再利用乘法分配律，然后再進行比擬久方便了。因為163×167164×166=163×〔166+1〕=〔163+1〕×166=163×166+163=163×166+166所以，163×167﹤164×166。另外，當兩個數(shù)的和都為330時，這兩個數(shù)的差越小，那么積越大。163和167差4，164和166差2。所以，163×167﹤164×166。課堂練習：不用筆算，比擬下面每道題中兩個積的大小。1、242×248243×2472、A=987654321×123456789B=987654322×123456788例題5：888……8×999……9的積是多少？1993個91993個81993個91993個8思路導航：將“999……9”變形為“100……0-1888……8×999……9=888……8×〔100……0-1〕=888……800……0-888……8=888……7111……12課堂練習：2001個92001個61、666……6×999……9的積是多少？2001個92001個62、999……9×999……9+1999……9的末尾有多少個0？1988個91988個91988個91988個91988個91988個9課后練習：1、6666×66662、46×28+24×633、9990999×3998-59975997×6664、計算：8353×363-8354×3621992個91992個91992個95、999……9×999……9+199……9的末尾有多少個0？1992個91992個91992個9配對求和專題簡析：被人稱為“數(shù)學王子”的高斯在年僅8歲時，就以一種非常巧妙的方法又快又好地算出了1+2+3+4+……+99+100的結(jié)果。小高斯是用什么方法算得這么快呢？原來，他用了一種簡便的方法：先配對再求和。數(shù)列的第一個數(shù)〔第一項〕叫首項，最后一個數(shù)〔最后一項〕叫末項，如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與前一項的差是一個不變的數(shù)，這樣的數(shù)列叫做等差數(shù)列，這個不變的數(shù)那么稱為這個數(shù)列的公差。計算等差數(shù)列的和，可以用以下關(guān)系式：等差數(shù)列的和＝〔首項＋末項〕×項數(shù)÷2末項＝首項＋公差×〔項數(shù)－1〕項數(shù)＝〔末項－首項〕÷公差＋1例題1：你有好方法算一算嗎？1+2+3+4+5+6+7+8+9+10＝〔〕課堂練習：(1)1+2+3+4+5+……+20(2)1+2+3+4+……+99+100例題2：計算。(1)21+23+25+27+29+31課堂練習：(1)48+50+52+54+56+58+60+62(2)108+128+148+168+188例題3：有一堆木材疊堆在一起，一共是10層，第1層有16根，第2層有17根，……下面每層比上層多一根，這堆木材共有多少根？課堂練習：(1)體育館的東區(qū)共有30排座位，呈梯形，第1排有10個座位，第2排有11個座位，……這個體育館東區(qū)共有多少個座位？(2)有一串數(shù)，第1個數(shù)是10，以后每個數(shù)比前一個數(shù)大4,最后一個數(shù)是90，這串數(shù)連加的和是多少？例題4：計算992+993+994+995+996+997+998+999。課堂練習：(1)95+96+97+98+99(2)2006+2007+2008+2009例題5：計算1000-11-89-12-88-13-87-14-86-15-85-16-84-17-83-18-82-19-81課堂練習：(1)1000-1-9-2-8-3-7-4-6-5-5-6-4-7-3-8-2-9-1(2)1000-81-11-82-12-83-13-84-14-85-15-86-16-87-17-88-18-89-19課后練習：1、計算：21+22+23+24+……+1002、計算：312+315+318+321+3243、有一個鐘，一點鐘敲1下，兩點鐘敲2下，……十二點鐘敲12下，分鐘指向6敲1下，這個鐘一晝夜敲多少下？4、計算：(1)9997+9998+9999(2)100-1-3-5-7-9-11-13-15-17-195、計算：2001-1+2-3+4-5+6-7+8-9+10-11+12-13+14-15+16乘法速算專題解析：我們已經(jīng)學會了整數(shù)乘法的計算方法，但計算多位數(shù)乘法要一位一位地乘，運算起來比擬麻煩。其實，多位數(shù)與一些特殊的數(shù)相乘，也可以用簡便的方法來計算。計算乘法時，如果一個因數(shù)是25，另一個因數(shù)考慮可拆成4×幾，這樣可“先拆數(shù)再擴整”。兩位數(shù)、三位數(shù)及更高位數(shù)乘以11，可采用“兩頭一拉，中間相加”的方法，但要注意相鄰兩位相加作積的中間數(shù)時，哪一位上滿十要向前一位進一。比方兩位數(shù)乘以11，我們有“兩位數(shù)與11相乘，首尾不變中間變，左右相加放中間，滿十進一頭就變?！崩?：試著計算以下各題，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？〔1〕26×11=286〔2〕57×11=627〔3〕253×11=2783〔4〕247×11=2717思路導航：通過計算、觀察可以發(fā)現(xiàn)，一個數(shù)與11相乘，所得的結(jié)果就是將這個數(shù)的首位和末位拉開分別作為積的最高位和最低位，再依次將這個數(shù)相鄰兩位由個位加起，和寫在十位、百位……，哪一位上滿十就向前一位進一?！?〕26×11=286〔2〕57×11=627〔3〕253×11=2783〔4〕247×11=2717課堂練習：很快算出下面各題的結(jié)果?！?〕12×11〔2〕34×11〔3〕25×11〔4〕11×44〔5〕48×11〔6〕65×11例2：下面的乘法計算有規(guī)律嗎？〔1〕25×24〔2〕21×25〔3〕25×427〔4〕1998×25思路導航：因為25×4=100，因此，一個數(shù)與25相乘，我們就看這個數(shù)里有幾個4，有幾個4就有幾個100，余1就加25，余2就加50，余3就加75?！?〕25×24=100×6=600〔2〕21×25=100×5+25=525〔3〕25×427=100×106+75=10600+75=10675〔4〕1998×25=100×499+50=49900+50=49950課堂練習：速算。〔1〕12×25〔2〕34×25〔3〕25×121〔4〕25×46例3：很快算出下面各題的結(jié)果?！?〕24×15〔2〕248×15〔3〕5678×15思路導航：因為15=10+5，那么24×15就可以寫成24×〔10+5〕，也就是用24加上它的一半再乘以10，24+12=36，再用36×10=360。一個因數(shù)乘以15，也就是用這個數(shù)加上它的一半再乘以10。具體過程如下：〔1〕24×15〔2〕248×15〔3〕5678×15=〔24+12〕×10=〔248+124〕×10=〔5678+2839〕×10=36×10=360=372×10=3720=8517×10=85170課堂練習：很快算出下面各題的結(jié)果?！?〕34×15〔2〕436×15例4：很快算出下面各題的結(jié)果?！?〕45×9〔2〕32×99〔3〕78×999思路導航：〔1〕我們可以先用45×10=450，這樣就多加了一個45，因此我們還要從450中減去1個45，即450-45=405?！?〕我們可以先用32×100=3200，這樣就多加了一個32，因此我們還要從3200中減去1個32，即3200-32=3168?！?〕我們可以先用78×1000=78000，這樣就多加了一個78，因此我們還要從78000中減去1個78，即78000-78=77922。從上面幾題可以看出，一個數(shù)與9相乘，就用這個數(shù)乘以10，再減去這個數(shù)；一個數(shù)與99相乘，就用這個數(shù)乘以100，再減去這個數(shù)；一個數(shù)與999相乘，就用這個數(shù)乘以1000，再減去這個數(shù)?！?〕45×9〔2〕32×99〔3〕78×999=45×10-45=32×100-32=78×1000-78=450-45=405=3200-32=3168=78000-78=77922課堂練習：計算。〔1〕32×9〔2〕461×9〔3〕1234×9〔4〕45×99例5：下面的乘法計算有規(guī)律嗎？〔1〕15×15〔2〕25×25〔3〕35×35〔4〕45×45〔5〕65×65〔6〕95×95思路導航：通過計算我們發(fā)現(xiàn)，個位是5的兩個相同的兩位數(shù)相乘，積的末尾兩位都是25，25前面的數(shù)是這個兩位數(shù)首位數(shù)與首位數(shù)加1的積，例如：課堂練習：速算?！?〕55×55〔2〕75×75〔3〕85×85課后練習：1、很快算出下面各題的結(jié)果?！?〕872×11〔2〕11×75〔3〕87×11〔4〕124×11〔5〕305×11〔6〕439×112、速算。〔1〕148×25〔2〕643×25〔3〕25×7252〔4〕5678×253、〔1〕476×15〔2〕8472×154、〔1〕85×99〔2〕728×99〔3〕24×999〔4〕3×999〔5〕56×9995、速算?！?〕105×105〔5〕125×125〔6〕995×995有余除法專題解析：把一些書平均分給幾個小朋友，要使每個小朋友分得的本數(shù)最多，這些書分到最后會出現(xiàn)什么情況呢？一種是全局部完，還有一種是有剩余，并且剩余的本數(shù)必須比小朋友的人數(shù)少，否那么還可以繼續(xù)分下去。每次除得的余數(shù)必須比除數(shù)小，這就是有余數(shù)除法計算中特別要注意的。解這類題的關(guān)鍵是要先確定余數(shù)，如果余數(shù)，就可以確定除數(shù)，然后再根據(jù)被除數(shù)與除數(shù)、商和余數(shù)的關(guān)系求出被除數(shù)。在有余數(shù)的除法中，要記?。骸?〕余數(shù)必須小于除數(shù)；〔2〕被除數(shù)＝商×除數(shù)＋余數(shù)。例1：[]÷6＝8……[]，根據(jù)余數(shù)寫出被除數(shù)最大是幾？最小是幾？思路導航：除數(shù)是____，根據(jù)____________，余數(shù)可填_____________.根據(jù)____________，又商、除數(shù)、余數(shù)，可求出最大的被除數(shù)為6×8＋5＝53，最小的被除數(shù)為______________。列式如下：________________________________________答：被除數(shù)最大是53，最小是______。課堂練習：1、下面題中被除數(shù)最大可填________，最小可填_______。[]÷8＝3……[]2、下面題中被除數(shù)最大可填________，最小可填_______。[]÷4＝7……[]例2：算式[]÷[]＝8……［］中，被除數(shù)最小是幾？思路導航：1、下面算式中，被除數(shù)最小是幾？①[]÷[]＝4……［］②[]÷[]＝7……［］③[]÷[]＝9……［］2、下面算式中商和余數(shù)相等，被除數(shù)最小是幾？①[]÷[]＝3……［］②[]÷[]＝6……［］例3：算式28÷[]＝[]……4中，除數(shù)和商分別是______和______。思路導航：根據(jù)“被除數(shù)＝商×除數(shù)＋余數(shù)”，可以得知“商×除數(shù)＝被除數(shù)－余數(shù)”，所以此題中商×除數(shù)＝28－4＝24。這兩個數(shù)可能是1和24，____和____，____和____，____和____，又因為余數(shù)為4，因此除數(shù)可以是24,12,8,6,商分別為:_________________________________________________________________答：除數(shù)和商分別是24，1；____，____；____，____；____，____。課堂練習：1、下面算式中，除數(shù)和商各是幾？①22÷[]＝[]……4②65÷[]＝[]……2③37÷[]＝[]……7④48÷[]＝[]……62、149除以一個兩位數(shù)，余數(shù)是5,請寫出所有這樣的兩位數(shù)。_________________________________________________________________例4：算式[]÷7＝[]……[]中，商和余數(shù)相等，被除數(shù)可以是哪些數(shù)？思路導航：題目中告訴我們除數(shù)是7，商和余數(shù)相等，因為余數(shù)必須比除數(shù)小，所以余數(shù)和商可為1,2,3,4,5,6,這樣被除數(shù)就可以求出來了。7×1＋1＝87×2＋2＝167×3＋3＝247×4＋4＝327×5＋5＝407×6＋6＝48答：被除數(shù)可以是8,16,24,32,40,48。課堂練習：1、以下算式中，商和余數(shù)相等，被除數(shù)可以是哪些數(shù)？①[]÷6＝[]……[]②[]÷5＝[]……[]③[]÷4＝[]……[]④[]÷3＝[]……[]2、一個三位數(shù)除以15，商和余數(shù)相等，請你寫出五個這樣的除法算式。例5：算式[]÷[]＝[]……4中，除數(shù)和商相等，被除數(shù)最小是幾？思路導航：題目中告訴我們余數(shù)是4,除數(shù)和商相等，因為余數(shù)必須比除數(shù)小，所以除數(shù)必須比4大，但其中要求最小的被除數(shù)，因而除數(shù)應(yīng)填_______，商也是______。由算式____________________，所以被除數(shù)最小是__________。課堂練習：下面算式中，除數(shù)和商相等，被除數(shù)最小是幾？(1)[]÷[]＝[]……6(2)[]÷[]＝[]……8(3)[]÷[]＝[]……3課后練習：下題中要使除數(shù)最小，被除數(shù)應(yīng)為________。[]÷[]＝12……42、算式[]÷8＝[]……［］中，商和余數(shù)都相等，那么被除數(shù)最大是幾？3、算式[]÷4＝[]……[]中，商和余數(shù)相等，被除數(shù)可以是哪些數(shù)？_________________________________________________________________4、算式[]÷9＝[]……[]中，商和余數(shù)相等，被除數(shù)最大是____。5、下面算式中，除數(shù)和商相等，被除數(shù)最小是幾？(1)[]÷[]＝[]……9(2)[]÷[]＝[]……7平均數(shù)問題專題簡析：我們經(jīng)常用各科成績的平均分數(shù)來比擬班級之間，同學之間成績的上下，求出各科成績的平均數(shù)就是求平均數(shù)。平均數(shù)在日常生活中和工作中應(yīng)用很廣泛，例如，求平均身高問題，求某天的平均氣溫等。求平均數(shù)問題的根本數(shù)量關(guān)系是：總數(shù)量÷總份數(shù)=平均數(shù)解答平均數(shù)問題的關(guān)鍵是要確定“總數(shù)量”以及與“總數(shù)量”相對應(yīng)的“總份數(shù)”，然后用總數(shù)量除以總份數(shù)求出平均數(shù)。例題1：二〔1〕班學生分三組植樹，第一組有8人，共植樹80棵；第二組有6人，共植樹66棵；第三組有6人，共植樹54棵。平均每人植樹多少棵？思路導航：因為二〔1〕班學生分三組植樹，由問題可知“平均范圍”是三個組，是按人數(shù)平均，因此所需條件是三個組植樹的總棵數(shù)和三個組的總?cè)藬?shù)。三個組植樹的總棵數(shù)為：80+66+54=200棵，總?cè)藬?shù)為：8+6+6=20人，所以平均每人植樹200÷20=10棵。課堂練習：1、電視機廠四月份前10天共生產(chǎn)電視機3300臺，后20天共生產(chǎn)電視機6300臺。這個月平均每天生產(chǎn)電視機多少臺？2、小明參加數(shù)學考試，前兩次的平均分是85分，后三次的總分是270分。求小明這五次考試的平均分數(shù)是多少。例題2：王老師為四年級羽毛球隊的同學測量身高。其中兩個同學身高153厘米，一個同學身高152厘米，有兩個同學身高149厘米思路導航：這道題可以按照一般思路解，即用身高總和除以總?cè)藬?shù)。這道題還可以采用假設(shè)平均數(shù)的方法求解，容易發(fā)現(xiàn)，同學們的身高都在150厘米左右，可以假設(shè)平均身高為150厘米，把它當作基準數(shù)，用“基數(shù)+各數(shù)與基數(shù)的差之和÷份數(shù)=平均數(shù)〔153×2＋152＋149×2＋147×2〕÷〔2＋1＋2＋2〕=150或：150＋〔3×2＋2－1×2－3×2〕÷〔2＋1＋2＋2〕=150課堂練習：1、五〔1〕班有7個同學參加數(shù)學競賽，其中有兩個同學得了99分，還有三個同學得了96分，另外兩個同學分別得了97、89分。這7個同學的平均成績是多少？2、氣象小組每天早上8點測得的一周氣溫如下：13℃、13℃、13℃、14℃、15℃例題3：從山頂?shù)缴侥_的路長36千米，一輛汽車上山，需要4小時到達山頂，下山沿原路返回，只用2思路導航：求往返的平均速度，要用往返的路程除以往返的時間，往返的路程是36×2=72千米，往返的時間是4+2=6小時。所以，這輛汽車往返的平均速度是每小時行72÷6=12課堂練習：1、小強家離學校有1200米，早上上學，他家到學校用了15分鐘，從學校到家用了102、李大伯上山采藥，上山時他每分鐘走50米，18分鐘到達山頂；下山時，他沿原路返回，每分鐘走75例題4：李華參加體育達標測試，五項平均成績是85分，如果投擲成績不算在內(nèi)，平均成績是83分。李華投擲得了多少他？思路導航：先求出五項的總得分：85×5=425分，再算出四項的總分：83×4=332分，最后用五項總分減去四項總分，就等于李華投擲的成績：425－332=93分。課堂練習：1、小軍參加了3次數(shù)學競賽，平均分是84分。前兩次平均分是82分，他第三次得了多少分？2、小麗在期末考試時，數(shù)學成績公布前她四門功課的平均分數(shù)是92分；數(shù)學成績公布后，她的平均成績下降了1分。小麗的數(shù)學考了多少分？例題5：如果四個人的平均年齡是23歲，四個人中沒有小于18歲的。那么年齡最大的人可能是多少歲？思路導航：因為四個人的平均年齡是23歲，那么四個人的年齡和是23×4=92歲；又知道四個人中沒有小于18歲的，如果四個人中三個人的年齡都是18歲，就可去求另一個人的年齡最大可能是92－18×3=38歲。課堂練習：1、如果三個人的平均年齡是22歲，且沒有小于18歲的，那么三個人中年齡最大的可能是多少歲？2、如果四個人的平均年齡是28歲，且沒有大于30歲的。那么最小的人的年齡可能是多少歲？課后練習：1、二〔1〕班學生分三組植樹，第一組有8人，平均每人植樹10棵；第二組有6人，平均每人植樹11棵；第三組有6人，平均每人植樹9棵。二〔1〕班平均每人植樹多少棵？2、敬老院有8個老人，他們的年齡分別是78歲、76歲、77歲、81歲、78歲、78歲、76歲、80歲。求這8個老人的平均年齡。3、小亮上山時的速度是每小時走2千米，下山時的速度是每小時走64、某班一次外語考試，李星因病沒有參加。其他同學的平均分是95分，第二天他的補考成績是65分，如果加上李星的成績后，全班的平均分是94分。這個班有多少人？5、如果四個人的平均年齡是25歲，四個人中沒有小于16歲的，且這四個人的年齡互不相等。那么年齡最大的可能是多少歲？植樹問題專題解析：爸爸給晶晶出了一道題：“小朋友們在路的一邊植樹，先植一棵樹，以后每隔3米植一棵，已經(jīng)植了9棵，問第一棵和第九棵樹相距多少米？”晶晶一看，隨口答題：“27米?！蓖瑢W們，晶晶答對了嗎？這一類應(yīng)用題我們通常稱為“植樹問題”。解答這類問題的關(guān)鍵是要弄清總距離、間隔長和棵數(shù)三者之間的關(guān)系。解答植樹問題先要考慮植樹的方式，一般在不封閉的線路上植樹，棵數(shù)＝總距離÷間隔長＋1；在封閉的線路上植樹，棵數(shù)＝總距離÷間隔長。另外，生活中還有一些問題，可以用植樹問題的方法來解答。比方鋸木頭、爬樓梯問題等等，這時解題的關(guān)鍵是要將題目中的條件和問題與植樹問題中的“總距離”、“間隔長”、“棵數(shù)”對應(yīng)起來。例1：小朋友們在路的一邊植樹，先植一棵樹，以后每隔3米植一棵，已經(jīng)植了9棵，問第一棵和第九棵樹相距多少米？思路導航：要得出正確的結(jié)果，我們可以畫出如下的示意圖：根據(jù)“已經(jīng)植了9棵”，從圖中可以看出，第一棵樹和第九棵樹之間的間隔是9-1=8〔個〕，每個間隔是3米，所以第一棵和第九棵相距3×8=24〔米〕，具體列式如下：3×〔9-1〕=3×8=24〔米〕答：第一棵和第九棵樹相距24米。課堂練習：1、在路的一側(cè)插彩旗，每隔5米插一面，從起點到終點共插了20面，這條道路有多長？2、在學校的走廊兩邊，每隔4米放一盆菊花，從起點到終點一共放了20盆，這條走廊長多少米？例2：在一條長42米的大路兩側(cè)栽樹，從起點到終點一共栽了14棵，相鄰兩棵樹之間的距離都相等，問相鄰兩棵樹之間的距離是多少米？：思路導航：根據(jù)“在路的兩側(cè)共栽了14棵樹”這個條件，我們可以先求出每一側(cè)栽了14÷2=7〔棵〕樹，那么從第1棵樹到第7棵樹之間的間隔是7-1=6〔個〕。42米長的大路平均分成6段，每段是42÷6=7〔米〕。列式如下：42÷〔14÷2-1〕=42÷〔7-1〕=42÷6=7〔米〕答：相鄰兩棵樹之間的距離是7米。課堂練習：1、在公園一條長30米的路的兩側(cè)放椅子，從起點到終點共放了12把椅子，相鄰兩把椅子的距離相等，相鄰兩把椅子之間相距多少米？2、紅領(lǐng)巾公園內(nèi)一條林蔭大道全長800米,在它的一側(cè)從頭到尾等距離地放著41個垃圾桶,每兩個垃圾桶之間相距多少米？例3：把一根鋼管鋸成小段，一共花了28分鐘，每鋸開一段需要4分鐘，這根鋼管被鋸成了多少段？思路導航：我們先求出鋼管被鋸開了28÷4=7〔處〕，因而被鋸開的段數(shù)有7+1=8〔段〕。列式如下：28÷4+1=7+1=8〔段〕答：這根鋼管被鋸成了8段。課堂練習：1、一根圓木鋸成2米長的小段，一共花了12分鐘。每鋸下一段要3分鐘，這根圓木長多少米？2、有一根木料，打算把每根鋸成3段，每鋸開一處，需要5分鐘，全部鋸完需要多少分鐘?例4：甲、乙兩人比賽爬樓梯，甲跑到4樓時，乙恰好跑到3樓，照這樣計算，甲跑到16樓時，乙跑到了多少樓？思路導航：解答爬樓梯問題時，不能以樓層進行計算，而要用樓梯段數(shù)進行計算，因為第一層樓是不用爬的，“樓層數(shù)-1”才是要走的“樓梯段數(shù)”，根據(jù)題意“甲跑到4樓時，乙恰好跑到3樓”，實際上是說“甲跑3段樓梯與乙跑2段樓梯所用的時間相同?！薄?-1〕×[〔16-1〕÷〔4-1〕]+1=2×5+1=11〔樓〕答：甲跑到16樓時，乙跑到了11樓。課堂練習：1、小明和小紅兩人爬樓梯比賽，小明跑到第4層時，小紅跑到第5層，照這樣計算，當小明跑到第16層時，小紅跑到了第幾層？2、業(yè)務(wù)員小李要到六樓聯(lián)系工作，他從1樓到4樓走了54級臺階，照這樣計算，小李走到6樓要走多少臺階?例5：一個圓形跑道長300米，沿跑道周圍每隔6米插一面紅旗，每兩面紅旗中間插一面黃旗，跑道周圍各插了多少面紅旗和黃旗？思路導航：在圓周上插旗，插的面數(shù)正好等于分成的段數(shù)，所以插了紅旗300÷6=50〔面〕，由于每兩面紅旗中間插一面黃旗，所以黃旗的面數(shù)就等于紅旗的面數(shù)，也是50面。300÷6=50〔面〕答：跑道周圍插了50面紅旗和50面黃旗。課堂練習：1、有一個正方形水池，周長是200米。如果沿著水池周圍每隔10米裝一盞紅燈，再在相鄰的兩盞紅燈中間等距離地裝4盞黃燈。問水池周圍一共裝了幾盞紅燈？幾盞黃燈？2、一條公路長480米，在兩旁植樹，兩端都植。每隔12米植一棵樟樹，兩棵樟樹中間又等距離地栽了3棵柳樹。問樟樹和柳樹各栽了多少棵？課后練習：1、在一段公路的一邊栽95棵樹，兩頭都栽，每兩棵樹之間相距5米，這段公路全長多少米？2、有320盆菊花，排成8行，每行中相鄰兩盆菊花之間相距1米，每行菊花長多少米？3、街心公園一條甬道長200米,在甬道的兩旁從頭到尾等距離栽種美人蕉,共栽種美人蕉82棵,每兩棵美人蕉相距多少米？4、在一條長250米的路兩旁栽樹，起點和終點都栽，一共栽了101棵，每兩棵相鄰的樹之間的距離都相等，你知道是多少米嗎？5、一個木工鋸一根長13米的木條。他先把一頭損壞局部鋸下1米，然后鋸了5次，鋸成許多一樣長的短木條。每根短木條長多少米。6、有一根木料長20米，先鋸下2米長的損壞局部，然后把剩下的木料鋸成一樣長的木條，又鋸了5次，每根短木條長多少米？7、從1樓走到4樓共要走48級臺階，如果每上一層樓的臺階數(shù)都相同，那么從1樓到6樓共要走多少級臺階？8、一座樓房每上1層要走16級臺階，到小英家要走64級臺階，小英家住在幾樓？9、從一樓跑到五樓有96個臺階，小芳從一樓跑到20樓供需邁多少個臺階？10、張大伯在承包的正方形池塘四周種上樹，池塘邊長為60米，每隔5米種一課，四個角上各種一棵，張大伯買了50棵樹苗夠嗎？11、現(xiàn)有60個小朋友圍城一個正方形做游戲，那么每邊要站幾個學生？如果圍城五邊形呢？六邊形呢？盈虧問題專題簡析：在日常生活中常有這樣的問題：一定數(shù)量的物品分給一定數(shù)量的人，沒人多一些，物品就不夠；沒人少一些，物品就有余。盈虧問題就是在盈虧的情況下來確定物品總數(shù)和參加分配的人數(shù)。解答盈虧問題的關(guān)鍵是弄清盈、虧與兩次分得差的關(guān)系。盈虧問題的數(shù)量關(guān)系是：〔1〕〔盈+虧〕÷兩次分配差=份數(shù)〔大盈-小盈〕÷兩次分配差=份數(shù)〔大虧-小虧〕÷兩次分配差=份數(shù)〔2〕每次分的數(shù)量×份數(shù)+盈=總數(shù)量每次分的數(shù)量×份數(shù)-虧=總數(shù)量例題1：一個植樹小組植樹。如果沒人栽5棵，還剩14棵；如果每人栽七棵，就缺4棵。這個植樹小組有多少人？一共有多少棵樹？思路導航：列出條件：每人栽5棵，多14棵；每人栽7棵，少4棵。由題意可知，植樹的人數(shù)和植樹的棵樹是不變的。比擬兩種分配方案，結(jié)果相差14+4=18〔棵〕，即第一種方案的結(jié)果比第二種多18棵。這是因為兩種分配方案每人植樹的棵數(shù)相差7-5=2〔棵〕。所以，植樹小組有18÷2=9〔人〕，一共有5×9+14=59〔棵〕樹?！?4+4〕÷〔7-5〕=9〔名〕5×9+14=59〔棵〕答：這個植樹小組有9人，一共有59棵樹。課堂練習：1、幼兒園把一些積木分給小朋友，如果每人分2個，那么剩下20個；如果每人分3個，那么差40個。幼兒園有多少小朋友？一共有多少積木？2、某校安排分宿舍，如果每間6人，那么16人沒有床位，；如果每間8人，那么多出10個床位。問宿舍有多少間？學生有多少人？例題2：學校將一批鉛筆獎給三好學生。如果沒人獎9支，那么缺45支；如果每人將7支，那么缺7支。三好學生有多少人？鉛筆有多少支？思路導航：列出條件：每人9支，那么少45支；每人7支，那么少7支。這是兩虧的問題。有題意可知：三好學生人數(shù)和鉛筆支數(shù)是不變的。比擬兩種分配方案，結(jié)果相差45-7=38〔支〕。這是因為兩種分配方案每人得到的鉛筆相差9-7=2〔支〕。所以，三好學生有38÷2=19〔人〕，鉛筆有9×19-45=126〔支〕?！?5-7〕÷〔9-7〕=19〔人〕9×19-45=126〔支〕答：三好學生有19人，鉛筆有126支。課堂練習：1、將月季花插入一些花瓶中。如果每瓶花插8朵，那么缺少15朵；如果每瓶該為插6朵，那么缺少1朵。求花瓶的只數(shù)和月季花的朵數(shù)。2、王老師給美術(shù)興趣小組的同學分發(fā)圖畫紙。如果每人發(fā)5張，那么少32張；如果每人發(fā)3張，那么少2張。美術(shù)興趣小組有多少名同學？王老師一共有多少張圖紙？例題3：有一些少先隊員到山上去種一批樹。如果每人種16棵，還有24棵沒種；如果每人種19棵，還有6棵沒有種。問有多少名少先隊員？有多少棵樹？思路導航：列出條件：每人16棵，那么多24棵；每人19棵，那么多6棵。這是兩盈的的問題。有題意可知：少先隊員的人數(shù)和樹的棵數(shù)是不變的。比擬兩種分配方案，結(jié)果相差24-6=18〔棵〕。這是因為兩種分配方案每人種的樹相差19-16=3〔棵〕。所以，少先隊員有18÷3=6〔名〕，樹有16×6+24=120〔棵〕。〔24-6〕÷〔19-16〕=6〔名〕16×6+24=120〔棵〕答：有6名少先隊員，有120棵樹。課堂練習：1、小虎在敵人窗外聽里邊在分子彈：一人說每人背45發(fā)還多260發(fā)；另一人說每人背50發(fā)還多200發(fā)。求有多少敵人？多少發(fā)子彈？2、楊老師將一疊練習本分給第一小組同學。如果每人分7本還多7本；如果每人分8本那么正好分完。請算一算，第一小組有幾個學生？這疊練習本一共有多少本？例題4：學校給一批新入學的學生分配宿舍。如果每個房間住12人，那么34人沒有位置；如果每個房間住14人，那么空出4個房間。求學生宿舍有多少間？住宿學生有多少人？思路導航：把“每個房間住14人，那么空出4個房間”轉(zhuǎn)化為“每間住14人，那么少14×4=56〔人〕”比擬兩種分配方案，結(jié)果相差34+56=90〔人〕，而每個房間相差14-12=2〔人〕，所以，房間數(shù)為90÷2=45〔間〕，學生人數(shù)為12×45+34=574〔人〕34+〔14×4〕÷〔14-12〕=45〔間〕12×45+34=574〔人〕答：學生宿舍有45間，住宿學生有574人。課堂練習：1、某校有假設(shè)干個學生寄宿學校，假設(shè)每間宿舍住6人，那么多出34人；假設(shè)每間住宿7人，那么多出4間宿舍。問宿舍有多少間？寄宿的學生有多少？2、育才小學學生乘汽車去春游。如果每車坐65人，那么有15人不能乘車；如果每車多坐5人，恰好多余了一輛車。問一共有幾輛汽車？有多少學生？例題5：少先隊員去植樹，如果每人挖5個坑，還有3個樹坑沒人挖；如果其中2人各挖4個，其余的人各挖6個樹坑，就恰好挖完所有樹坑。少先隊員一共挖多少樹坑？思路導航：如果每人都挖6個樹坑，那么少〔6-4〕×2=4〔個〕樹坑，兩次相差4+3=7〔個〕樹坑。這是因為兩種分配方案每人挖的相差6-5=1〔個〕樹坑。所以，少先隊員一共有7+1=7〔人〕，一共挖5×7+3=38〔個〕樹坑。5×｛〔3+〔4-2〕×2〕÷〔6-5〕｝+3=38〔個〕答：一共挖了38個樹坑。課堂練習：1、老師給幼兒園的小朋友分蘋果。如果每個小朋友分2個，還多30個；如果其中的12個小朋友每人分3個，剩下的每人分4個，那么正好分完。一共有多少個蘋果？2、在一次大掃除中，老師分配假設(shè)干人擦玻璃。如果其中2人各擦4塊，其余每人擦5塊，那么余22塊；如果每人擦7塊，正好擦完。求擦玻璃的人數(shù)和玻璃的塊數(shù)。課后練習：1、有一個班的同學去劃船，他們算了一下，如果增加一條船，正好每條船坐6人；如果減少一條船，正好每條船坐9人。問：這個班共有多少學生？2、老師將一些練習本發(fā)給班上的學生。如果每人發(fā)10本，那么有兩個學生沒分到；如果每人發(fā)8本，那么正好發(fā)完。有多少個學生？多少本練習本？3、崔老師給美術(shù)興趣小組的同學分假設(shè)干支彩色筆。如果每人分5支那么多12支；如果每人分8支還多3支。請問每人分多少支剛好把彩色筆分完？4、學校分配學生宿舍。如果每個房間住6人，那么少2間宿舍；如果每個房間住9人，那么空出2個房間。問學生宿舍有多少間？住宿學生有多少人？5、小紅家買來一籃橘子分給全家人。如果其中二人每人分4只，其余每人分2只，那么多出4只；如果其中一人分6只，其余每人分4只，那么又缺12只。小紅家買來多少只橘子？小紅家一共有多少人？圖形問題專題簡析：解答有關(guān)“圖形面積”問題時，應(yīng)注意以下幾點：1.細心觀察，把握圖形特點，合理地進行切拼，從而使問題得以順利地解決；2.從整體上觀察圖形特征，掌握圖形本質(zhì)，結(jié)合必要的分析推理和計算，使隱蔽的數(shù)量關(guān)系明朗化。例題1：人民路小學操場長90米，寬45米。改造后，長增加10米思路導航：用操場現(xiàn)在的面積減去操場原來的面積，就得到增加的面積。操場現(xiàn)在的面積是〔90+10〕×〔45+5〕=5000平方米，操場原來的面積是90×45=4050平方米。所以，現(xiàn)在的面積比原來增加5000－4050=課堂練習：1.有一塊長方形的木板，長22分米，寬8分米。如果長和寬分別減少10分米、3分米，面積比原來減少多少平方分米？2.一塊長方形鐵板，長18分米，寬13分米。如果長和寬各減少2分米，面積比原來減少多少平方分米？例題2：一個長方形，如果寬不變，長增加6米，那么它的面積增加54平方米；如果長不變，寬減少3米思路導航：由“寬不變，長增加6米，面積增加54平方米”可知，它的寬為54÷6=9米；由“長不變，寬減少3米，面積減少36平方米”可知，它的長為36÷3=12米課堂練習：1.一個長方形，如果寬不變，長減少3米，那么它的面積減少24平方米；如果長不變，寬增加4米，那么它的面積增加2.一個長方形，如果寬不變，長增加5米，那么它的面積增加30平方米；如果長不變，寬增加3米，那么它的面積增加例題3：以下圖是一個養(yǎng)禽專業(yè)戶用一段16米的籬笆圍成的一個長方形養(yǎng)雞場，求它的占地面積。思路導航：根據(jù)題意，因為一面利用著墻，所以兩條長加一條寬等于16米。而寬是4米，那么長是〔16－4〕÷2=6米，占地面積是6×4=課堂練習：1.右圖是某個養(yǎng)禽專業(yè)戶用一段長13米56米長的木欄圍成長或?qū)捠?0例題4：街心花園中一個正方形的花壇四周有1米寬的水泥路，如果水泥路的總面積是12思路導航：把水泥路分成四個同樣大小的長方形〔如以下圖〕。因此，一個長方形的面積是12÷4=3平方米。因為水泥路寬1米，所以小長方形的長是3÷1=3米。從圖中可以看出正方形花壇的邊長是小長方形長與寬的差，所以小正方形的邊長是3－1=2米。中間花壇的面積是2課堂練習：1.有一個正方形的水池，如以下圖的陰影局部，在它的周圍修一個寬8米的花池，花池的面積是480平方米，求水池的邊長。

2.四個完全相同的長方形和一個小正方形拼成了一個大正方形〔如圖〕，大正方形的面積是64平方米，小正方形的面積是4平方米，長方形的短邊是多少米？例題5：一塊正方形的鋼板，先截去寬5分米的長方形，又截去寬8分米的長方形〔如圖〕，面積比原來的正方形減少181平方分米。原正方形的邊長是多少？思路導航：把陰影局部剪下來，并把剪下的兩個小長方形拼起來〔如圖〕，再被上長、寬分別是8分米、5分米的小長方形，這個拼合成的長方形的面積是181+8×5=221平方分米，長是原來正方形的邊長，寬是8+5=13分米。所以，原來正方形的邊長是221÷13=17分米。課堂練習：1.一個正方形一條邊減少6分米，另一條邊減少10分米后變?yōu)橐粋€長方形，這個長方形的面積比正方形的面積少260平方米，求原來正方形的邊長。2.一個長方形的木板，如果長減少5分米，寬減少2分米，那么它的面積就減少66平方分米，這時剩下的局部恰好是一個正方形。求原來長方形的面積。課后練習：1.一塊長方形地，長是80米，寬是45米。如果把寬增加2.一個長方形，如果它的長減少3米，或它的寬減少2米，那么它的面積都減少3.用15米4.大正方形比小正方形的邊長多4厘米，大正方形的面積比小正方形面積大96平方厘米〔如以下圖〕。問大小正方形的面積各是多少？5.一塊正方形的的玻璃，長、寬都截去8厘米后，剩下的正方形比原來少448平方厘米，這塊正方形玻璃原來的面積是多大？行程問題〔一〕專題簡析：追及問題是指兩個物體同向運動，后一個速度快的物體追前一個慢得物體的一種行程問題。它的根本特點是兩個物體在相同時間內(nèi)所走的路程一個比另一個多。這其中運動時間相同是一個重要特征，一般我們從追及時間、速度差、路程差等環(huán)節(jié)入手，它們之間關(guān)系是：路程差÷速度差=追及時間〔時間〕例題1：貨車和客車同時從東西兩地相向而行，貨車每小時行48千米，客車每小時行42千米，兩車在離中點18千米處相遇，求東西兩地相距多少千米？思路導航：有條件“貨車每小時行48千米，客車每小時行42千米”可知貨、客車的速度和是48+42=90〔千米〕，由于貨車比客車速度快，當貨車過中點18千米時，客車距離中點還有18千米，因此貨車比客車多行18×2=36〔千米〕，因為貨車每小時比客車多行了48-42=6〔千米〕，這樣貨車多行36千米需要36÷6=6〔小時〕，即兩車相遇的時間。所以，兩地相距90×6=540〔千米〕。行程圖解：〔48+42〕×﹝18×2÷〔48-42〕﹞=540〔千米〕答：東西兩地相距540千米。課堂練習：1、甲、乙兩人同時分別從兩地騎車相向而行，甲每小時行20千米，乙每小時行18千米。兩人相遇時距全程中點3千米。求全程長多少米？2、甲、乙兩輛汽車同時從東西兩城相向開出，甲車每小時行60千米，乙車每小時行56千米，兩車距中點16千米處相遇。求東西兩城相距多少千米？例題2：甲乙兩人分別從相距24千米的兩地同時向東而行，甲騎自行車每小時行13千米，乙步行每小時走5千米，幾小時后甲可以追上乙？思路導航：這是一道追及問題。根據(jù)題意，甲追上乙時，比乙多行了24千米〔路程差〕。甲騎自行車每小時行13千米，乙步行每小時行5千米，甲每小時比乙多行：13-5=8〔千米〕〔速度差〕，即甲每小時可追上乙8千米，所以要求追上所用的時間，就是求24千米里有幾個8千米。因此，24÷8=3〔小時〕甲可以追上乙。行程圖解：24÷〔13-5〕=3〔小時〕答：3小時后甲可以追上乙。課堂練習：1、甲乙兩人同時從相距36千米的A、B兩城同時相向而行，乙在前甲在后，甲每小時行15千米，乙每小時行6千米，幾小時后甲可以追上乙？2、解放軍某部從營地出發(fā)，以每小時6千米的速度向目的地前行，8小時后部隊有急事，派通訊員騎摩托車以每小時54千米的速度前去聯(lián)絡(luò)，多長時間后，通訊員能趕上隊伍？例題3：甲、乙兩人沿運動場的跑道跑步，甲每分鐘跑290米，乙每分鐘跑290米，乙每分鐘跑270米，跑道一圈長400米。如果兩人同時從起跑線上同方向跑，那么甲經(jīng)過多長時間才能第一次追上乙？思路導航：這是一道封閉線路上的追及問題。甲和乙同時同地起跑，方向一致，因此，當甲都一次追上乙時，比乙多跑了一圈，也就是甲與乙的路程差是400米，根據(jù)“路程差÷速度差=追及時間”即可求出甲追上乙所需的時間：400÷〔290-270〕=20〔分鐘〕。行程圖解：400÷〔290-270〕=20〔分鐘〕。答：甲經(jīng)過20分鐘后第一次追上乙。課堂練習：1、一條環(huán)形跑道長400米，小強每分鐘跑300米，小星每分鐘跑250米，兩人同時同地同向出發(fā)，經(jīng)過多長時間小強第一次追上小星？2、光明小學有一條長200米的環(huán)形跑道，亮亮和晶晶同時從起跑線起跑。亮亮每秒跑4米，問：亮亮第一次追上晶晶時兩人各跑了多少米？例題4：甲、乙二人同時從A地去B地，甲每分鐘行250米，乙每分鐘行90米，甲到達B地后立即返回A地，在離乙地1200米處于乙相遇。A、B兩地相距多少千米？思路導航：由題意可知，路程差是1200×2=2400〔米〕，而每分鐘甲與乙的速度差是250-90=160〔米〕、幾分鐘后會相差2400米，2400÷160=15〔分〕也就是共同行2個全程的時間。行程圖解：1200×2=2400〔米〕250-90=160〔米〕(250+90〕×〔2400÷160)÷2=2250〔米〕答：A、B兩地相距2250米。課堂練習：1、甲、乙二人同時從A地去B地，甲每分鐘走60米，乙每分鐘走90米，乙到達B地后立即返回，在離B地180米處與甲相遇。A、B兩地相距多少千米？2、甲騎自行車每小時行15千米，乙步行每小時行5千米。如果兩人同時同地同一方向出發(fā)，甲行30千米到達某地，馬上從原路返回，在途中與乙相遇，從出發(fā)到相遇，共經(jīng)歷幾個小時?例題5：甲、乙、丙三人行得速度分別是30米、40米、50米，甲、乙在A地，而丙在B地同時相向而行，丙遇乙后10分鐘和甲相遇。求A、B兩地間的路長多少米？思路導航：由題意可知，丙和乙相遇后又經(jīng)過10分鐘和甲相遇，10分鐘內(nèi)甲和丙兩人共行〔30+50〕×10=800〔米〕。這800米就是乙、丙相遇時乙比甲多行得路程。乙每分鐘比甲多行40-30=10〔米〕，現(xiàn)在乙比甲多行800米，也就是行了800÷10=80〔分鐘〕。因此，A、B兩地間的路程為〔50+40〕×80=7200〔米〕行程圖解：〔50+40〕×﹝〔30+50〕×10÷〔40-30〕﹞=7200〔米〕答：A、B兩地間的路長7200米。課堂練習：1、甲每分鐘走75米，乙每分鐘走80米，丙每分鐘走100米，甲、乙從東鎮(zhèn)，丙從西鎮(zhèn)，同時相向出發(fā)，丙遇到乙后3分鐘才遇到甲。求兩鎮(zhèn)之間距離多少米？2、有三輛客車，甲、乙兩車從東站，丙車從西站同時相向而行，甲車每分鐘行1000米，乙車每分鐘行800米，丙車每分鐘行700米，丙車遇到甲車后20分鐘遇到乙車。求東西兩站之間的距離？課后練習:1、快車和慢車同時從南北兩地相對開出，快車每小時行40千米，經(jīng)過3小時后，快車已駛過中點25千米。這時與慢車還相距7千米。慢車每小時行多少千米？2、小華和小亮的甲相距380米，兩人同時從家中出發(fā)，在同一條筆直的路上行走，小華每分鐘走65米，小亮每分鐘走55米。三分鐘后兩人可能相距多少米？3、甲、乙兩人繞周長為1000米的環(huán)形廣場競走，甲每分鐘走125米，乙的速度是甲的2倍，現(xiàn)在甲在乙后面250米，乙追上甲需要多少分鐘？4、甲、乙二人同時從A地去B地，甲每小時12千米，乙每小時9千米，甲行至18千米處又回去取東西，因此比乙遲1小時到B地。A、B兩地相距多少千米？5、甲、乙、丙三人，甲每分鐘走60米，乙每分鐘走67米，丙每分鐘走73米，甲、乙從南鎮(zhèn)，丙從北鎮(zhèn)同時相向而行，丙遇乙后10分鐘遇到甲。求兩鎮(zhèn)相距多少千米。行程問題〔二〕專題簡析：行程應(yīng)用題是專門講物體運動的速度、時間、路程的關(guān)系的應(yīng)用題。行程問題的主要數(shù)量關(guān)系是：路程=速度×時間。知道三個中的兩個量就能求出第三個量。例題1：甲、乙兩輛汽車同時從東、西兩地相向開出，甲車每小時行56千米，乙車每小時行48千米。兩車在距中點32千米出相遇。東、西兩地相距多少千米？思路導航：兩車在距離中點32千米處相遇，由于甲車的速度大于乙車的速度，所以相遇時，甲車應(yīng)行了全程的一半多32千米，乙車行了全程的一半少32千米，因此兩車相遇時甲車比乙車多行了32×2=64〔千米〕。兩車同時出發(fā)，又相遇了，兩車所行得時間是一樣的，為什么甲車會比乙車多行64千米？因為甲車每小時比乙車多行56-48=8〔千米〕。64÷8=8所以兩車各行駛了8小時，求東、西的路程只要用〔56+48〕×8即可。行程圖解：32×2÷〔56-48〕=8〔小時〕〔56+48〕×8=832〔千米〕答：東、西兩地相距832千米。課堂練習：1、小玲每分行100米，小平?jīng)]分行80米，兩人同時從學校和少年宮相向而行，并在離中點120米處相遇，學校到少年宮有多少米？2、一輛汽車和一輛摩托車同時從甲、乙兩地相對開出、汽車每小時行40千米，摩托車每小時行65千米，當摩托車每小時行到兩地中點處時，汽車還相距75千米，甲、乙兩地相距多少千米？例題2：快車和慢車同時從甲、乙兩地相向開出，快車每小時行40千米，經(jīng)過3小時，快車已行駛過中點25千米，這時快車和慢車還相距7千米。慢車每小時行多少千米？思路導航：快車3小時行駛了40×3=120〔千米〕，這時快車已駛過中點25千米，說明甲、乙兩地間路程的一半是120-25=95〔千米〕。此時，慢車行了95-25-7=63〔千米〕。因此，慢車每小時行63÷3=21〔千米〕。行程圖解：〔40×3-25×2-7〕÷3=21〔千米〕答：慢車每小時行21千米。課堂練習：1、兄、弟二人同時從學校和家中出發(fā)，相向而行。哥哥每分鐘行120米，5分鐘后哥哥已超過中點50米，這時兄弟二人還相距30。弟弟每分鐘行多少米？2、汽車從甲地開往乙地，每小時行32千米，4小時后，剩下的路比全程的一半少8千米，如果改用每小時56千米的速度行駛，再行幾小時到達？例題3：甲、乙二人上午8時同時從東村汽車到西村去，甲每小時比乙快6千米。中午12時甲到西村后立即返回東村，在距西村15千米處遇到乙。求東、西兩村相距多少千米？思路導航：二人相遇時，甲比乙多行15×2=30〔千米〕，說明二人已行30÷6=5〔小時〕，上午8時至中午12時是4小時，所以，甲的速度是15÷〔5-4〕=15〔千米〕。因此，東、西兩村的距離是15×〔5-1〕=60〔千米〕。行程圖解：上午8時至中午12時是4小時。15×2÷6=5〔小時〕15 ÷〔5-4〕=15〔千米〕15×〔5-1〕=60〔千米〕答：東、西兩村相距60千米。課堂練習：1、甲、乙兩人同時從A地到B地，甲每分鐘走250米，乙每分鐘走90米。甲到達B地后立即返回A地，在離B地3.2千米處與乙相遇。A、B兩地的距離是多少千米？2、小平和小紅同時從學校出發(fā)步行去小平家，小平每分鐘比小紅多走20米。30分鐘后小平到家，到家后立即原路返回，在離家350米處遇到小紅。小紅每分鐘走多少千米？例題4：甲、乙兩隊學生從距離18千米的兩地出發(fā)，相向而行。一個同學騎自行車以每小時14千米的速度，在兩隊之間不停的往返聯(lián)絡(luò)。甲隊每小時行5千米，乙隊每小時行4千米。兩隊相遇時騎自行車的同學行了多少千米？思路導航：要求騎自行車的同學一共行了多少千米，就要知道他得速度和所行時間。騎自行車同學的速度是每小時14千米，而他所行的時間就是甲、乙兩隊從出發(fā)到相遇的這段時間。因此，用18÷〔4+5〕=2〔小時〕，用這個時間和騎車同學的速度相乘就得到他一共行得千米數(shù)。行程圖解：18÷〔4+5〕=2〔小時〕14×2=28〔千米〕答：騎自行車的同學共行28千米。課堂練習：1、兩支隊伍從相距55千米的兩地相向而行。通訊員騎馬以每小時16千米的速度在兩支隊伍間不斷往返聯(lián)絡(luò)。一支隊伍每小時行5千米，另一支隊伍每小時行6千米，兩隊相遇時，通訊員共行多少千米？2、甲、乙兩人同時從兩地出發(fā)，相向而行，距離是100千米。甲每小時行6千米，乙每小時行4千米。甲帶一只狗，狗每小時行10千米。這只狗同甲一道出發(fā)，碰到乙的時候它就掉頭朝甲這邊走，碰到甲時又掉頭往乙那邊走，直到兩人相遇時。這只狗一共走了多少千米？例題5：甲、乙早上8時分別從A、B兩地相向出發(fā)，到10時兩車相距112.5千米。兩車繼續(xù)行駛到下午1時，兩車相距還是112.5千米。A、B兩地間的距離是多少千米？思路導航：從10時到下午1時共經(jīng)過3小時，3小時里，甲、乙兩車從相距到又相距×2=225〔千米〕。兩車的速度和是每小時行225÷3=75〔千米〕。從早上8時到10時共經(jīng)過了2小時，2小時共行75×2=150〔千米〕，因此，A、B兩地間的距離是150+=262.5〔千米〕行程圖解：×2÷3×2=150〔千米〕150+=262.5〔千米〕答：A、B兩地間的距離是262.5千米。課堂練習：1、甲、乙兩車同時從A、B兩地相向出發(fā)，3小時后，兩車還相距120千米，又行3小時，兩車又相距120千米。A、B兩地相距多少千米？2、快、慢兩車早上6時同時從甲、乙兩地相向開出，中午12時兩車還相距50千米，繼續(xù)行駛到14時，兩車又相距170米。甲、乙兩地相距多少千米？課后練習:1、小轎車每小時行60千米，比客車每小時多行5千米，兩車同時從A、B兩地相向而行，在距中點20千米處相遇，求A、B兩地的路程。2、學校運來一批樹苗，五〔一〕班的40個同學都去參加植樹活動，如果每人植3棵，全班同學能植這批樹的一半還多20棵。如果這批樹苗全部給五〔一〕班同學去植，平均每人植多少棵樹？3、甲、乙二人上午7時同時從A地去B地，甲每小時比乙快8千米。上午11時甲到達B地后立即返回，在距離B地24千米處與乙相遇。求A、B兩地相距多少千米？4、兩隊同學同時從相距30千米的甲、乙兩地相向出發(fā)，一只鴿子以每小時20千米的速度在兩隊同學之間不斷的往返送信。如果鴿子從同學們出發(fā)到相遇共飛行了30千米，而甲隊同學比乙隊同學每小時多走0.4千米，求兩隊同學的行走速度？5、甲、乙兩車分別從A、B兩地同時相向而行，8小時相遇，相遇后兩車繼續(xù)行駛，3小時后兩車相距360千米，求A、B兩地的距離。應(yīng)用題〔一〕專題簡析：應(yīng)用題是小學數(shù)學中非常重要的一局部內(nèi)容，它需要我們小朋友用學到的數(shù)學知識來解決生產(chǎn)、生活中的一些實際問題。學好應(yīng)用題的關(guān)鍵在于認真分析題意，掌握數(shù)量關(guān)系，找到問題的突破口。在分析應(yīng)用題的數(shù)量關(guān)系時，我們可以從條件出發(fā)，逐步推出所求的問題；也可以從問題出發(fā)，找到必須的兩個條件。在實際解答時，我們可以根據(jù)題目中的數(shù)量關(guān)系，靈活運用這兩種方法。有時，借助線段圖來分析應(yīng)用題的數(shù)量關(guān)系，解答就更容易了。例題1：學校里有排球24只，足球的只數(shù)比排球的2倍少5只，學校有排球、足球共多少只？思路導航：根據(jù)題意畫出線段圖從上圖可以看出，把24只排球看作1倍數(shù)，足球的只數(shù)比這樣的2倍還少5只，用24×2－5=43〔只〕可以求出足球的只數(shù)，再用43＋24=67只可以求出兩種球的總只數(shù)。課堂練習：1.小紅每分鐘跳繩25下，小軍每分鐘跳的下數(shù)比小紅的3倍少16下，小軍每分鐘比小紅多跳幾下？2.王奶奶家養(yǎng)雞12只，養(yǎng)鵝的只數(shù)比雞的只數(shù)的4倍還多7只。王奶奶家共養(yǎng)雞、鵝多少只？例題2：人民廣場花圃中有180盆郁金香，比月季花盆數(shù)的3倍少15盆。月季花有多少盆？思路導航：從上圖可以看出，把月季花的盆數(shù)看作1倍數(shù)，郁金香的盆數(shù)是這樣的3倍少15盆。如果郁金香再增加15盆，就正好是月季花盆數(shù)的3倍。因此用〔180＋15〕÷3=65〔盆〕就可求出月季花的盆數(shù)。課堂練習：1.小明的父親每月工資1000元，比小明母親每月工資的2倍少200元。小明母親每月工資多少元？2.飼養(yǎng)場養(yǎng)母鴨400只，比公鴨只數(shù)的7倍還多36只。飼養(yǎng)場養(yǎng)公鴨多少只？例題3：小林家養(yǎng)了一些雞，黃雞比黑雞多13只，白雞比黃雞多12只，白雞的只數(shù)正好是黑雞的2倍。白雞、黃雞、黑雞各多少只？思路導航：根據(jù)“黃雞比黑雞多13只，白雞比黃雞多12只”，從線段圖上我們可以看出白雞比黑雞多13＋12=25只，這相當于黑雞的2－1=1倍，這樣也就求出黑雞的只數(shù)為25÷1=25只，黃雞的只數(shù)是25＋13=38只，白雞的只數(shù)是25×2=50只。課堂練習：1.商店里有紅、白、藍三種圍巾，其中紅圍巾比白圍巾多12條，藍圍巾比紅圍巾多20條，藍圍巾的條數(shù)正好是白圍巾的5倍。紅圍巾、白圍巾、藍圍巾各多少條？2.有甲、乙、丙三筐蘋果，甲筐比乙筐多12只蘋果，丙筐比甲筐多15只蘋果，丙筐蘋果個數(shù)是乙筐的4倍。甲、乙、丙筐各有多少只蘋果？例題4：用一批紙裝訂同樣大小的練習本，如果每本16頁，可裝訂400本。如果每本20頁，可以少裝訂多少本？思路導航：根據(jù)“如果每本16頁，可裝訂400本”，可得這批紙的總頁數(shù)16×400=6400頁；再用總頁數(shù)6400÷20=320本求出如果每本20頁可裝訂的本數(shù)，400－320=80本那么表示少裝訂的本數(shù)。課堂練習：1.水果市場要將一些水果裝箱，如果每箱10千克，可裝30箱。如果每箱15千克，可少裝多少箱？2.服裝廠有一些布料加工窗簾，如果把窗簾做成3米長，可做140幅。如果每幅窗簾做成2米長，那么可多做多少幅？例題5：李師傅原方案6小時加工零件480個，實際2小時加工192個。照這樣的效率，可以提前幾小時完成？思路導航：根據(jù)“實際2小時加工192個”，可以求出李師傅的實際工作效率為192÷2=96〔個/小時〕，再用要加工的零件總數(shù)除以實際工作效率，即480÷96=5小時，求出實際完成的時間。6－5=1小時，那么表示提前完成的時間。課堂練習：1.王奶奶方案10小時做紙盒400個，實際3小時已加工150個。照這樣的效率，可以提前幾小時完成？2.暑假中，小寧30天共要寫大字600個，實際12天已寫大字360個。照這樣的速度，小寧可以提前幾天寫完同樣多的字？課后練習：1.少先隊員種柳樹30棵，種的楊樹的棵數(shù)比柳樹棵數(shù)的3倍多14棵。少先隊員種的楊樹、柳樹共多少棵？2.水果店賣出9筐水果，平均每筐重45千克。賣出水果的千克數(shù)比剩下的3倍還多27千克，還剩多少千克水果？3.男女學生參加小組交流會，如果少去1名女生，男女生人數(shù)相等；如果少去一名男生，女生人數(shù)是男生的2倍。參加交流會的男女生各多少人？4.同一批紙裝訂同樣大小的練習本，如果每本16頁，可裝訂400本。如果每本多裝訂9頁，那么少裝訂多少本？5.自行車制造廠四月份〔30天〕共生產(chǎn)自行車3600輛，五月份改良技術(shù)后9天已生產(chǎn)自行車1350輛。照這樣的效率，可以提前幾天完成四月份的任務(wù)？應(yīng)用題〔二〕.專題簡析：一般應(yīng)用題的條件和問題變換的形式多，數(shù)量關(guān)系也比擬復雜，但只要善于分析，善于思考，善于抓住關(guān)鍵，不管什么問題都能迎刃而解。解答一般應(yīng)用題的關(guān)鍵是要掌握數(shù)量關(guān)系，了解應(yīng)用題中條件和條件、條件和問題之間的聯(lián)系，找出解題方法，靈活解題。例題1：一列火車早上5時從甲地開往乙地，按原方案每小時行駛120千米，下午3時到達乙地，但實際到達時間是下午5時整，晚點2思路導航：由“這列火車早上5時出發(fā)，方案下午3時到達”可知，這列火車原方案行駛12＋3－5=10小時，用原方案每小時行駛120千米×方案行駛的10小時，便可得到甲地到乙地的距離為120×10=1200千米；火車晚點2小時，說明火車實際行駛了10＋2=12小時，用1200÷12=100千米就可得到火車實際每小時行的千米數(shù)。課堂練習：1.一輛汽車早上8點從甲地開往乙地，按原方案每小時行駛60千米，下午4時到達乙地。但實際晚點2小時到達，這輛汽車實際每小時行駛多少千米？2.一列火車早上6時從甲城開往乙城，方案每小時行駛100千米，下午6時到達乙城。但實際到達時間是下午4時，提前2小時。問火車實際每小時行駛多少千米？例題2：小寧、小紅、小佳去買鉛筆，小寧買了7枝，小紅買了5枝，小佳沒有買?；丶液?，三個人平均分鉛筆，小佳拿出8角錢，小佳應(yīng)給寧多少錢？給小紅多少錢？思路導航：小寧和小紅一共買了7＋5=12枝鉛筆，三個人平均分，每人應(yīng)得12÷3=4枝，所以小佳拿出的8角錢就相當于4枝鉛筆的價錢，那么每枝鉛筆的價錢應(yīng)是8÷4=2角。小佳應(yīng)給小寧2×〔7－4〕=6角錢，應(yīng)給小紅2×〔5－4〕=2角錢。課堂練習：1.三個好朋友去買飲料，小亮買了5瓶，小華買了4瓶，陽陽沒有買。到家后，三個人平均喝完飲料，陽陽拿出6元錢，他應(yīng)給小亮多少錢？給小華多少錢？2.甲、乙、丙3人一起買了6個面包分著吃，甲、乙各拿出3個面包的錢，丙沒有帶錢。那么吃完后，丙應(yīng)拿出4元8角錢，他應(yīng)分別給甲、乙多少錢？例題3：用一個杯子向空瓶里倒牛奶，如果倒進去2杯牛奶，連瓶共重450克；如果倒進去5杯牛奶，連瓶共重750克。一杯牛奶和一個空瓶各重多少克？思路導航：根據(jù)題目的條件，我們可以寫出兩個關(guān)系式：2杯牛奶重量＋1個空瓶重量=450克〔1〕5杯牛奶重量＋1個空瓶重量=750克〔2〕比擬〔1〕、〔2〕兩個式子，可發(fā)現(xiàn)用〔2〕－〔1〕可消去空瓶重量，并可得到5－2=3瓶牛奶重量是750－450=300克，那么1瓶牛奶重量是300÷3=100克，然后可求出空瓶重量是450－100×2=250克。課堂練習：1.有12筐蘋果，它們重量相等，我們把它們裝入一個大箱子里，如果裝進2筐蘋果，連箱共重量220千克；如果裝進5筐蘋果，連箱共重520千克。1筐蘋果和大箱子各重多少千克？2.有一個木桶向一個水缸中倒水，如果倒進4桶水，連缸共重240千克；如果倒進7桶水，連缸共重390千克。一桶水和一個水缸各重多少千克？例題4：一共有紅、黃、綠三種顏色的珠子120粒。如果把紅色珠子分放在9個盒子里，把黃色珠子分放在6個盒子里，把綠色珠子分放在5個盒子里，那么每個盒子里的珠子粒數(shù)相等。三種顏色的珠子各多少粒？思路導航：把120粒珠子分放到盒子里以后，每個盒子里的珠子粒數(shù)相等，那么就可以120÷〔6＋9＋5〕=6粒，求出每個盒子里珠子的粒數(shù)，然后再求三種顏色的珠子各幾粒。紅色珠子：6×9=54粒；黃色珠子：6×6=36粒；綠色珠子：6×5=30粒。課堂練習：1.一共有蘋果、梨、橘子共105個，如果把蘋果分放到4個盤中，把梨分放到5個盤中，把橘子分放到6個盤中，那么每個盤子的水果個數(shù)相等。三種水果各多少個？2.一共有白兔、灰兔、黑兔共250只，如果把白兔分放到5個籠中，把灰兔分放到11個籠中，把黑兔分放到9個籠中，這樣每個籠中的兔子的只數(shù)相等。三種兔子各多少只？例題5：在6個筐里放著同樣多的雞蛋，如果從每個筐里拿出50個雞蛋，那么6個筐里剩下的雞蛋個數(shù)的總和等于原來兩個筐里雞蛋個數(shù)的總和。原來每個筐里有雞蛋多少個？思路導航：根據(jù)“6個筐里剩下的雞蛋個數(shù)的總和等于原來5個筐里雞蛋個數(shù)的總和”，說明6個筐里取出的雞蛋個數(shù)的總和等于原來〔6－2〕=4個筐里雞蛋的總和，用取出的50×6=300個雞蛋除以4就可求出原來每個筐里的雞蛋個數(shù)：300÷4=75個。課堂練習：1.在6個紙箱中放著同樣多的蘋果。如果從每個紙箱里拿出50個蘋果，那么6個箱里剩下的蘋果個數(shù)的總和等于原來2個箱子的蘋果個數(shù)的總和。原來每個箱里有多少個蘋果？2.某商店有5箱皮球，如果從每箱里取出15個，那么5個箱里剩下皮球的個數(shù)正好等于原來2箱皮球的個數(shù)。原來每箱裝了多少個皮球？課后練習：1.王叔叔駕駛一輛摩托車，上午11時從城東開到城西，方案每小時行駛60千米，下午2時到達城西，實際到達時間是下午3時，晚到1小時。問實際每小時比方案少行多少千米？2.張、王、李三家合用一個爐灶，他們燒的柴同樣多，張家出了4擔柴，李家出了5擔柴，王家因無柴付18元。張、李家各得多少錢？3.有一瓶水，向幾個相同的杯子里注水，如果注滿3杯水，連瓶重550克；如果注滿6杯水，連瓶共重2504.共有科技書、文藝書和故事書共360本，假設(shè)把科技書分放到2個書架上，把文藝書分放到3個書架上，把故事書分放到4個書架上，那么每個書架上的本數(shù)相等。三種書各有多少本？5.有3個水桶，如果從每桶中倒出4千克水，那么3桶里剩下的水的重量正好等于原來1桶的重量。原來每桶裝多少千克水？應(yīng)用題〔三〕專題解析：這節(jié)課，我們來學習一些較復雜的典型問題，如平均數(shù)問題、和倍問題、差被問題等。這些問題的數(shù)量關(guān)系比擬隱蔽，往往需要通過適當?shù)霓D(zhuǎn)化，使數(shù)量關(guān)系明朗化，從而找到解題思路。例題1：甲、乙、丙三個公司到汽車制造廠訂購了18輛汽車，按合同三個公司平均分配，付款時丙沒有帶錢，甲公司付出10輛的錢，乙公司付出8輛的錢，丙公司應(yīng)付款90萬元。甲、乙兩公司應(yīng)收回多少錢？思路導航：根據(jù)題意，把18輛汽車平均分給三個公司，每個公司應(yīng)得18÷3=6〔輛〕。丙公司6輛汽車應(yīng)付款90萬元，每輛汽車應(yīng)是90÷6=15〔萬元〕。因為甲公司多付出10-6=4〔輛〕的錢，所以，甲公司應(yīng)收回15×4=60〔萬元〕；乙多付出8-6=2〔輛〕的錢，應(yīng)收回15×2=30〔萬元〕。90÷〔18÷3〕×〔10-18÷3〕=60〔萬元〕90÷〔18÷3〕×〔8-18÷3〕=30〔萬元〕答：甲公司應(yīng)收回60萬元，乙公司應(yīng)收回30萬元。課堂練習：1、甲、乙、丙3人一起買了12個面包平分著吃，甲拿出7個面包的錢，乙付了5個面包的錢，丙沒有帶錢，等吃完后一算，丙應(yīng)該拿出4元錢。甲應(yīng)收回多少？2、王叔叔和李叔叔去江邊釣魚，王叔叔釣了7條魚，李叔叔釣了11條魚。中午來了位游客，王叔叔和李叔叔把釣得的魚烤熟后平均分成3份。餐后，游客付了6元錢給王叔叔和李叔叔兩人。問王叔叔和李叔叔各應(yīng)得多少元？例題2：兩個數(shù)的和是94，有人計算時將其中一個加數(shù)個位上的0漏掉了，結(jié)果算出的和是31。求這兩個數(shù)。思路導航：根據(jù)題意，正確算式中的一個加數(shù)是錯誤算式中的一個加數(shù)的10倍，即比它多了9倍。而這兩個結(jié)果相差94-31=63，因此，誤加上的數(shù)是63÷9=7，應(yīng)該加的數(shù)是7×10=70，另一個加數(shù)為94-70=24。所以，這兩個數(shù)分別是24和70.94-31=6363÷9=77×10=7094-70=24答：這兩個數(shù)分別是70和24。課堂練習：1、楠楠和鋒鋒同算兩數(shù)之和，楠楠得982，計算正確，鋒鋒得577，計算錯誤。鋒鋒算錯的原因是將其中一個加數(shù)個位的0漏掉了。兩個加數(shù)各是多少？2、小龍和小虎同算兩數(shù)之和，小龍得2467，計算正確，小虎得388，計算錯誤。小虎算錯的原因是將其中一個加數(shù)個