高三數(shù)學(xué)三輪復(fù)習(xí)-解答題之?dāng)?shù)列講義（解析版）（兩年高考一年模擬）

高中數(shù)學(xué)三輪復(fù)習(xí)講義—兩年高考一年模擬

第14講解答題之?dāng)?shù)列

力命題探究‘為

從近三年高考狀況來看，等差數(shù)列和等比數(shù)列始終是高考的熱點(diǎn)，尤其是等差數(shù)列和等比數(shù)列的通

項(xiàng)公式及其性質(zhì)，等差數(shù)列和等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和等為考查重點(diǎn)，有時(shí)會(huì)將等差數(shù)列和等比的通項(xiàng)、前〃

項(xiàng)和及性質(zhì)綜合考查，題型有選擇題、填空題，也有解答題，解題時(shí)要留意性質(zhì)的應(yīng)用，充分結(jié)合函數(shù)與

方程、分類爭論、化歸與方程等數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用.

，真題歸納W

L(2022年全國新高考II卷數(shù)學(xué)試題)｛冊(cè)｝為等差數(shù)列，｛b｝是公比為2的等比數(shù)列，且。2-人2=。3-3=

?

⑴證明：%=也；

(2)求集合伏|瓦=dm+ai，l<m<500｝中元素個(gè)數(shù).

【答案】⑴證明見解析；

(2)9.

【分析】(1)設(shè)數(shù)列｛an｝的公差為d,依據(jù)題意列出方程組即可證出；

(2)依據(jù)題意化簡可得小=242,即可解出.

【詳解】(1)設(shè)數(shù)列｛%｝的公差為d,所以，，二4?｝，即可解得，須=%=3所

-rd—-rSCI)乙

以原命題得證.

(2)由(1)知，61=%=；,所以瓦=am+Qx2&T=%+(m—l)d+的，即=2m,亦即

m=2kTe[1,500],解得2WkW10,所以滿意等式的解k=2,3,4,…,10,故集合｛川瓦=+%，1<m<

500｝中的元素個(gè)數(shù)為10-2+1=9.

2.（2022年全國高考甲卷數(shù)學(xué)（理）試題）記5?為數(shù)列｛%｝的前“項(xiàng)和.^+n=2an+l.

⑴證明：｛為｝是等差數(shù)列；

（2）假設(shè)&4，。7摳9成等比數(shù)列，求S”的最小值.

【答案】（1）證明見解析；

⑵一78.

【分析】⑴依題意可得2S”+/=2嗎+幾，依據(jù)冊(cè)=［<）甘,：？，作差即可得到a”—=

從而得證；

（2）法??：由11）及等比中項(xiàng)的性質(zhì)求出內(nèi),即可得到｛冊(cè)｝的通項(xiàng)公式與前71項(xiàng)和，再依據(jù)二次函數(shù)的性

質(zhì)計(jì)算可得.

2

【詳解】（1）由于§+n=2an+1,即2Sn+n=2nan+九①,

2

當(dāng)九N2時(shí)，2Sn_i+（n-l）=2（n-l）an_i4-（n-1）（2）,

-

①一②得，2Sn+/一2s”一1—（n-1）2=2ncLn+TI-2（n—l）Qn_i（n-1）,

即2Q八+2n-1=2nan-2（n—1）冊(cè)_1+1,

即2（九一1）即一2（九一l）%_i=2（幾一1）,所以0n—%T=1,九工2且九WN*,

所以｛即｝是以1為公差的等差數(shù)列.

（2）［方法一］:二次函數(shù)的性質(zhì)

由（1）可得%.=。1+3,劭=。1+6,的=%+8,

又。4,07，。9成等比數(shù)列，所以。72=04，。9，

即（。1+6）2=（%+3）?@+8）,解得由=—12,

所以0=71—13,所以S九=一121+'（?。?=；（幾一］）一等，

nZ乙L4XC./O

所以，當(dāng)九=12或n=13時(shí)，⑸）min=-78.

【方法二］:【最優(yōu)解】鄰項(xiàng)變號(hào)法

由（1）可得。4=a1+3,。7=。1+6,的=。1+8，

又。4，。7,@9成等比數(shù)列，所以。72=。4，。9，

即（。1+6）2=@+3）?@4-8）,解得%=—12,

所以即=n—13,即有的<a2<…<a12<0"i3=0.

那么當(dāng)n=12或相=13時(shí);（SQmin=-78.

【整體點(diǎn)評(píng)】(2)法一：依據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出S”的最小值，適用于可以求出5?的表達(dá)式;

法二：依據(jù)鄰項(xiàng)變號(hào)法求最值，計(jì)算量小，是該題的最優(yōu)解.

3.(2022年全國新高考I卷數(shù)學(xué)試題)記S”為數(shù)列｛斯｝的前n項(xiàng)和，％=1,｛￡｝是公差為g的等差數(shù)列.

⑴求｛冊(cè)｝的通項(xiàng)公式；

(2)證明：—+—+?-?+—<2.

。2斯

【答案】(1)須=及手

(2)見解析

【分析1(1)利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求得^=1+55-1)=等，得到5.=如普，利用和與項(xiàng)的關(guān)系

得到當(dāng)"22時(shí)，%,=S,-Sn_!=空2-("+?*,進(jìn)而得:工=上|,利用累乘法求得時(shí)=妁獸，檢驗(yàn)

33an—in—1L

對(duì)于n=1也成立，得到｛%｝的通項(xiàng)公式時(shí)=竽；

(2)由(1)的結(jié)論，利用裂項(xiàng)求和法得到工+工+…+^=2(1—1),進(jìn)而證得.

Qi。2an\n+1/

【詳解】(1)'.'ai=1,「S=%=1,.'.——1,

又；倒是公差為押等差數(shù)列，

嚕=l+l(n-l)=爭.￡=

...當(dāng)nN2時(shí)，S"_i=S+I)T,

._Q_(n+2)a?(n+l)an-i

?'an——―^n-1.3g，

整理得：(n-l)an=(n+l)an_lz

即2_n+1

?n-ln-1

an=atX—X—X...XX

。2O-n-2O,n-1

r一3、4—n一n+17t（7l+l）

=1X-X-X...X-----X-------=

12n-2n-12

明顯對(duì)于n=1也成立,

.?.5｝的通項(xiàng)公式%=嘩蟲;

12

⑵—=------2GT)，

?nn(n+l)

4.(2021年全國新高考II卷數(shù)學(xué)試題)記是公差不為0的等差數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和，假設(shè)(13=S5,a2a.=S4.

(1)求數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式冊(cè)；

(2)求使Sn>%成立的"的最小值.

【答案】(l)an=2n-6；(2)7.

【分析】(1)由題意首先求得。3的值，然后結(jié)合題意求得數(shù)列的公差即可確定數(shù)列的通項(xiàng)公式；

(2)首先求得前n項(xiàng)和的表達(dá)式，然后求解二次不等式即可確定n的最小值.

【詳解】⑴由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：$5=5。3,那么:。3=5。3,???。3=0，

2

設(shè)等差數(shù)列的公差為d,從而有：a2a4=(a3-d)(a3+d)=-d,

S4-a-i+a2+a3+a4=(a3-2d)+(a3-d)+a3+(a3+d)=—2d,

從而：-d2=-2d,由于公差不為零，故：d=2,

數(shù)列的通項(xiàng)公式為：an=a3+(n-3)d=2n-6.

，l(，i1)2

(2)由數(shù)列的通項(xiàng)公式可得：的=2-6=—4,那么：Sn=nx(-4)+-x2=n-5n,

2

那么不等式S“>an即：n-5n>2n-6,整理可得：(九一l)(n-6)>0,

解得：n<l或n>6,又n為正整數(shù)，故n的最小值為7.

【點(diǎn)睛】等差數(shù)列根本量的求解是等差數(shù)列中的一類根本問題，解決這類問題的關(guān)鍵在于嫻熟把握等差數(shù)

列的有關(guān)公式并能敏捷運(yùn)用.

5.(2021年全國高考乙卷數(shù)學(xué)(理)試題)記區(qū)為數(shù)列｛冊(cè)｝的前n項(xiàng)和，為為數(shù)列｛Sn｝的前n項(xiàng)積9=2.

(1)證明：數(shù)列出n｝是等差數(shù)列；

(2)求｛冊(cè)｝的通項(xiàng)公式.

[2,n=1

【答案】(1)證明見解析；(2〕冊(cè)=2]

卜訴T

【分析】⑴由9戶2得S―備旦b/0,取n=l,得瓦=|,由題意得給?若…懸=%消積

得到項(xiàng)的遞推關(guān)系蕓擔(dān)7=空進(jìn)而證明數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列；

(2)由(1)可得垢的表達(dá)式，由此得到S”的表達(dá)北然后利用和與項(xiàng)的關(guān)系求得斯=〈2］

I-n7(—n-+7l7),幾—2

【詳解】(1)［方法一］：

由2得S”=券，且30.bn豐

Snbn2bn-l2

取n=1,由Si=匕得b］=I，

由于與為數(shù)列｛Sn｝的前n項(xiàng)積，

所以券?券…券=%,

zoi—12b2—12bn—l

所以券.券…券='b.i，

LD\—1—L，。"+1—1

所以白色7=4，

由于垢+1*0

所以而y=9即bn+i-b”與其中ne/v*

2加+1-1bn2

所以數(shù)列｛“｝是以劣=I為首項(xiàng)，以d=3為公差等差數(shù)列；

［方法二］【最優(yōu)解】：

由條件知bn=S1-52-S3??…S“_「Sn①

于是勾_1=S「52-S3,?…sn_1(n>2').②

由①②得盧=Sn.③

bn-l

又9+9=2,④

5n

由③④得勾一垢_1=/

令71=1,由Si=如得=g.

所以數(shù)列｛勾｝是以?為首項(xiàng)，T為公差的等差數(shù)列.

［方法三］:

由9+*=2,得6“=#7,且S.k0,bn0,Sn^l.

又由于“=SnS_i....Si=S『%_i，所以勾_1=自=3^，所以垢一%-1=念7-==

5n25n-225n—2ZSn-2，(3n

1(n>2).

在怖+；=2中，當(dāng)n=l時(shí)，瓦=Si=；.

sn42

故數(shù)列出“｝是以I為首項(xiàng)，T為公差的等差數(shù)列.

［方法四］:數(shù)學(xué)歸納法

由￡+*=2,得S一言、，厲=2,b3=l，猜測數(shù)列也｝是以，為首項(xiàng)，；為公差的等差數(shù)列，

DnDn￡Dn-lLLZZ

且b”=1+1.

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明.

當(dāng)71=1時(shí)明顯成立.

假設(shè)當(dāng)幾=卜時(shí)成立，即玩=gk+l,Sk=詈.

那么當(dāng)n=k+l時(shí)，bk+1=bkSk+1=Qfc+1).翳=等="4+1)+L

綜上，猜測對(duì)任意的neN都成立.

即數(shù)列｛b｝是以|為首項(xiàng)，T為公差的等差數(shù)列.

(2)

由(1)可得，數(shù)列｛%｝是以比=|為首項(xiàng)，以d=g為公差的等差數(shù)列，

：?%=g+(nT)Xg=1+］

S_2bzi_2+n

n

-2bn-l-1+z?

當(dāng)n=l時(shí)，Qi=Si=g,

當(dāng)n>2時(shí),a=S-S_i-=—，明顯對(duì)于=i不成立，

nnnl+nnn(n+l)n

aJ,"I

n(n+l)1-

【整體點(diǎn)評(píng)】(1)方法一從言+9=2得Sn=12、，然后利用垢的定義，得到數(shù)列出“｝的遞推關(guān)系，進(jìn)而替

換相除消項(xiàng)得到相鄰兩項(xiàng)的關(guān)系，從而證得結(jié)論；

方法二先從九的定義，替換相除得到A=Sn，再結(jié)合言+白=2得到垢-與t=；,從而證得結(jié)論，為最

優(yōu)解；

方法三由怖+止=？，得勾=占，由3的定義得匕…=會(huì)=五一，進(jìn)而作差證得結(jié)論；方法四利用歸納

3nbn以一/%

猜測得到數(shù)列bn=1n+l,然后利用數(shù)學(xué)歸納法證得結(jié)論.

(2)由(1)的結(jié)論得到勾=^n+l，求得S”的表達(dá)式,然后利用和與項(xiàng)的關(guān)系求得｛即｝的通項(xiàng)公式;

6.(2021年全國高考甲卷數(shù)學(xué)(理)試題)數(shù)列｛%｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，記S"為｛%｝的前n項(xiàng)和，從下面①②③

中選取兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立.

①數(shù)列｛即｝是等差數(shù)列：②數(shù)列｛圖是等差數(shù)列；③。2=3%.

注：假設(shè)選擇不同的組合分別解答，那么按第一個(gè)解答計(jì)分.

【答案】證明過程見解析

【分析】選①②作條件證明③時(shí)，可設(shè)出國，結(jié)合冊(cè)3”的關(guān)系求出“，利用｛%｝是等差數(shù)列可證a?=3%；

也可分別設(shè)出公差，寫出各自的通項(xiàng)公式后利用兩者的關(guān)系，對(duì)比系數(shù)，得到等量關(guān)系，進(jìn)行證明.

選①③作條件證明②時(shí)，依據(jù)等差數(shù)列的求和公式表示出代，結(jié)合等差數(shù)列定義可證；

選②③作條件證明①時(shí)，設(shè)出=an+b,結(jié)合%,Sn的關(guān)系求出即，依據(jù)a?=3al可求b,然后可證｛冊(cè)｝

是等差數(shù)列；也可利用前兩項(xiàng)的差求出公差，然后求出通項(xiàng)公式，進(jìn)而證明出結(jié)論.

【詳解】選①②作條件證明③：

［方法一］:待定系數(shù)法+時(shí)與Sn關(guān)系式

設(shè)=an+b(a>0),那么Sn=(an+b)2,

當(dāng)n=1時(shí)，a1=Si=(a+b)2；

當(dāng)nN2時(shí)，斯=-Snr=(an+b)2—(cm—a+b)2=a(2an-a4-2b)；

由于｛冊(cè)｝也是等差數(shù)列，所以(a+b)2=a(2a—a+2b),解得匕=0；

所以即=a2(2n—1),%=a2,故做=3a2=3al.

［方法二］:待定系數(shù)法

設(shè)等差數(shù)列｛斯｝的公差為d,等差數(shù)列｛圖的公差為由，

那么=V^i+(九一1)心，將=71al+"7)d代入=“7+(九一1)由，

化簡得以2+(即一g)幾=d"+(2"7心一2d^)n+("7-dj2對(duì)于VTI6N+恒成立.

(d=2埠

那么有(201—d=4"7dl—4dj,解得出=y［a［,d=2al.所以J2=3al.

(眄一￡=0,

選①③作條件證明②：

由于劭=3%,｛斯｝是等差數(shù)列，

—a=

所以公差d=a2i2的，

2

所以%=n0i+d=nalf即=y[a[n,

由于JS72+I—yjSn=.Q](71+1)—yJd1Tl=y]d\f

所以｛63是等差數(shù)列.

選②③作條件證明①：

[方法一]:定義法

設(shè)於i=cm+b(a>0),那么=(an+h)2,

當(dāng)九=1時(shí)，a1=S]=(a+b)2；

22

當(dāng)九Z2時(shí)，an=Sn-S〃_i=(an+6)-(an—a4-6)=a(2an—a+2b)；

由于02=3ji,所以a(3a4-2b)=3(a+b)2,解得b=0或b=—修；

z2

當(dāng)b=0時(shí)，Q]=a,an=a(2n-1),當(dāng)nN2時(shí),a?-an4=2a2滿意等差數(shù)列的定義,此時(shí)｛%｝為等差數(shù)

列；

當(dāng)人=一半時(shí)，=an+b=an巡7=—：<0不合題意，舍去.

綜上可知｛aj為等差數(shù)列.

[方法二]【最優(yōu)解】：求解通項(xiàng)公式

由于。2=3。1，所以J&=g7，7^2=Val+a2=2V^1?由于｛巡力也為等差數(shù)列，所以公差心=/五一

y/~S^-"7，所以+(九一1)由=小伍7，故=幾2%,當(dāng)九N2時(shí)，an=Sn-Sy1=幾2%—(n—

1)2%=(2n-1)%，當(dāng)九=1時(shí)，滿意上式，故｛%｝的通項(xiàng)公式為冊(cè)=(2n-1)^,所以0n=(2n-3)的，

0n-。所1=2%,符合題意.

【整體點(diǎn)評(píng)】這類題型在解答題中較為罕見，求解的關(guān)鍵是牢牢抓住條件，結(jié)合相關(guān)公式，逐步推演，選

①②時(shí)，法」利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是關(guān)于九的一次函數(shù)，直接設(shè)出6；=Qn+b(a>0),平方后得

到S”的關(guān)系式，利用a“=L3n?得到?。耐?xiàng)公式，進(jìn)而得到(12=3%,是選擇①②證明③

的通式通法；法二：分別設(shè)出｛冊(cè)｝與｛5”｝的公差，寫出各自的通項(xiàng)公式后利用兩者的關(guān)系，對(duì)比系數(shù)，得到

等量關(guān)系小=炳，d=2%,進(jìn)而得到。2=3%；選①③時(shí)，依據(jù)正常的思維求出公差，表示出％及后,

進(jìn)而由等差數(shù)列定義進(jìn)行證明；選②③時(shí)，法-：利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是關(guān)于n的一次函數(shù)，直接設(shè)

出=an+b(a>。)，結(jié)合即,5.的關(guān)系求出M，依據(jù)&2=3的可求b,然后可證｛%｝是等差數(shù)列；法二：

利用戶是等差數(shù)列即前兩項(xiàng)的差%=醫(yī)-"7求出公差，然后求出后的通項(xiàng)公式，利用冊(cè)=

c求出｛%｝的通項(xiàng)公式，進(jìn)而證明出結(jié)論.

7.（2021年全國高考乙卷數(shù)學(xué)（文）試題）設(shè)&｝是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，數(shù)列%｝滿意刈=詈.即,3a2,

9a3成等差數(shù)列.

⑴求｛%｝和｛"｝的通項(xiàng)公式;

（2）記S”和7\分別為｛%｝和｛%｝的前”項(xiàng)和.證明：Tn＜

【答案】（1）斯=（?-1,⑥=品⑵證明見解析.

【分析】（1）利用等差數(shù)列的性質(zhì)及以得到9q2-6q+l=0,解方程即可;

（2）利用公式法、錯(cuò)位相減法分別求出S”,Tn,再作差比擬即可.

【詳解】（1）由于｛為｝是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列且色,3a2,9a3成等差數(shù)列，

所以6a2=%+9a3，所以6aiq=%+9?^2,

即9q2-6q+l=0,解得q=g所以%=（'"t，

所以勾=詈=春

（2）［方法一］:作差后利用錯(cuò)位相減法求和

T__1I2.?，-1?72

7n=三+運(yùn)+…+后+了'

B*仔+/+/+…+*)

^一寺二^+1+或+…+①一乂*+/+a+…+備）=￥+￥+￡+,”+

設(shè)、=尋+#+%..+*⑧

那么黑=導(dǎo)+與+暮+???+亨?⑨

由⑧⑨得手小一打6+今+…+備）一暮—凄

3

所以「”=一洋一洋=一金?

因此〃一字=*_云扣?一點(diǎn)＜8

故乙＜J.

［方法二］【最優(yōu)解】：公式法和錯(cuò)位相減求和法

證明：由（1）可得Sn=2苧=|（1一/），

1-3

n3十32十3n-1十3nD

I3Tn=-324.-33+...4--3?4-3"-i',a②

1

①一②得17n=專+…+去一券=3（_f）一向=*1一向，

1-3

所以〃=久1一點(diǎn)）一媒，

所以〃一字=久1一同一募一汽1一分=一端＜。，

所以7n（學(xué)

［方法三］:構(gòu)造裂項(xiàng)法

由（I）知bn=n（J”,令人=（an+￡）《）”，且b“=cn-Cn+i，即陪）”=（an+0）。"一［a（n+1）+

碉"I,

通過等式左右兩邊系數(shù)比對(duì)易得a="=；,所以品=gn+I）-g）n.

那么7\=bi+b2+…+勾=Cl-C“+1=［-（：+］）（§"，下同方法二.

［方法四］:導(dǎo)函數(shù)法

設(shè)f(x)-x+X2+X3-----Xn-"11),

由于［當(dāng)?shù)?卬1一廿）了（1一幻一似l-”）］x（lryl+W+i-O+i*

（1-x）2(1-X)2

l+nxn+1-(n+l)xn

那么尸（X）=2+??1+nxn-1

1+2x+3x(W,

又垢

71==x

所以Tn=b]+歷+%+…+bn=g1+2x[+3x0+…+.G)3(3)3

】+?“-（也）（「

儲(chǔ)）2

4+M曠-5+】例十（那）削下同方法二

【整體點(diǎn)評(píng)】此題主要考查數(shù)列的求和，涉及到等差數(shù)列的性質(zhì)，錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和，考查同學(xué)的數(shù)

學(xué)運(yùn)算力量，是一道中檔題，其中證明不等式時(shí)采納作差法，或者作商法要依據(jù)式子得結(jié)構(gòu)類型敏捷選擇,

關(guān)鍵是要看如何消項(xiàng)化簡的更為簡潔.

(2)的方法始終接作差后利用錯(cuò)位相減法求其局部和，進(jìn)而證得結(jié)論；

方法二依據(jù)數(shù)列的不同特點(diǎn)，分別利用公式法和錯(cuò)位相減法求得Sn，T”,然后證得結(jié)論，為最優(yōu)解;

方法三采納構(gòu)造數(shù)列裂項(xiàng)求和的方法，關(guān)鍵是構(gòu)造Cn=(an+。)?',使與=7-G+1，求得7\的表達(dá)式,

這是錯(cuò)位相減法的一種替代方法，

方法四利用導(dǎo)數(shù)方法求和，也是代替錯(cuò)位相減求和法的一種方法.

8.(吉林省長春市其次中學(xué)20222023學(xué)年高三下學(xué)期第七次調(diào)研測試數(shù)學(xué)試卷)數(shù)列｛冊(cè)｝滿意的=g,(2-

an)an+l=L

⑴證明：數(shù)歹u｛士｝是等差數(shù)列，并求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)數(shù)列｛即｝的前n項(xiàng)的積為Tn，證明：T1T2+T2T3+…+7/+1

【答案】(1)證明見解析，an=~

(2)證明見解析.

【分析】(1)把給定的遞推公式變形整理，再利用等差數(shù)列的定義推斷，并求出通項(xiàng)公式作答.

(2)由(1)的結(jié)論求出7\,再利用裂項(xiàng)相消法求和即可作答.

【詳解】(1)由(2-aQ0n+i=1，得即+1=，明顯neN*,an^1,否那么的=1,沖突,

_=上止=與=1+—即」——L_=1,

lf+1F2f-lIfIfl-?n+1If

因此數(shù)列｛士｝是首項(xiàng)為士=|,公差為1的等差數(shù)列，

那么士=|+5-1)'1=.,整理得即=需,

所以數(shù)列｛士｝是等差數(shù)列，數(shù)列｛即｝的通項(xiàng)公式是即=需.

⑵由(1)知，an=Tn=aia2a3-an=1x|x|x-x|^-=^?.

于是7/n+l=獲不爾=式萬石一右^），

所以32+T2T3+…+T"Tn+l。嗎T)+--?)+…+(熹一熹)]=X卜熹)嗎

9.1河南省鄭州市2023屆高三三模文科數(shù)學(xué)試題）數(shù)列5｝滿意:%=3,%=0nT+2"T（n>2,nEN*）.

⑴求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式;

n

(2)令九=a?-1+(-l)log2(an-1),求數(shù)列｛九｝的前n項(xiàng)和7n.

n

【答案】(1)0n=2+l(neN*)

2n+1-2--,n=2/c-l

(2)G=42且keN*

2n+1-2+-,n=2k

【分析】(1)由即一瑪_1=2nT(nN2),利用累加法求數(shù)列通項(xiàng)公式，留意驗(yàn)證n=l；

(2)由題設(shè)得垢=2"+(-1尸71,爭論般的奇偶性分別求出對(duì)應(yīng)前n項(xiàng)和即可.

n-1

【詳解】(1)van-an_x=2(n>2),

???當(dāng)九N2時(shí)時(shí)=%+(壩一%)+(。3一。2)+…+(冊(cè)-1-%-2)+(冊(cè)-即-1)

=3+2+22+...+2n-2+2“T=2+若=2"+1,檢驗(yàn)知：當(dāng)兀=1時(shí)上式也成立，

1—2

故斯=2n+l(nGN*).

nn

(2)???bn=2+(-l)n.

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),7\=2+22+…+2"+(-1)+2+(-3)+4+…+(-l)nn=g=2n+1-2+g

1—222

nn+1

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Tn=7\_i+2"+(—l)n=2"-2+?+2=—?1=2-2-?且n>3,

又n=1時(shí)7\=九=2-1=1滿意上式，此時(shí)7\=2"+】-2一等;

*-2-q=2”1

Tn=\且k€N*.

2n+1-2+^,n=2k

10.（浙江省金麗衢十二校2023屆高三下學(xué)期其次次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）設(shè)數(shù)列｛即｝滿意：冊(cè)+1=

i,二#二1（卜GN*）,a2是由儲(chǔ)3的等比中項(xiàng)?

⑴求％的值；

（2）求數(shù)列｛即｝的前20項(xiàng)的和.

【答案】（1）1;

(2)6108.

【分析】(1)由求得&2，。3,然后由等比中項(xiàng)定義求解；

(2)由式得特別數(shù)項(xiàng)加2后成等比數(shù)列，而偶數(shù)項(xiàng)等于它前面的奇數(shù)項(xiàng)加1,因此結(jié)合分組求和法、等比

數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求解.

【詳解】(1)由。2=。1+1，03=2。2=2。1+2,

又。2是。1以3的比例中項(xiàng)，所以埼=即(。1+1)2=+2),明顯由H0且內(nèi)工一1,故解得=1；

(2)九是奇數(shù)時(shí)，斯=2冊(cè)―1=2(即-1+1)=2an_24-2,n>3,

冊(cè)+2=2(an_2+2),而%+2=3,

所以數(shù)列%+2,的+2,…以2九-1+2,…是等比數(shù)列,

Si。=+。2+@3+。4+…+019+。20=+(。1+1)+。3+(。3+1)+…+。19+(。19+D

=2[(@i+2)+(%+2)+…+(。駕+2)]—30

=2X3X(1-21)))-30=6108.

1-2

11.(黑龍江省齊齊哈爾市2023屆高三一模數(shù)學(xué)試題)在①%=2,q+1-*=3(斯>0/6/7*),②S”=

n2-2n+3(neJV*)-為｛斯｝的前n項(xiàng)和，這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，并解答以下問題.

數(shù)列｛%｝滿意.

⑴求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)對(duì)大于1的正整數(shù)"，是否存在正整數(shù)m,使得內(nèi),冊(cè)，成等比數(shù)列？假設(shè)存在，求m的最小值；假

設(shè)不存在，請(qǐng)說明理由.

注：假如選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

【答案】⑴即=歷言

⑵答案見解析

【分析】⑴選擇條件①：可得｛碎｝是首項(xiàng)為%公差為3的等差數(shù)列，即可求出數(shù)列｛冊(cè)｝的通項(xiàng)公式：選

擇條件②：當(dāng)nN2時(shí)，an=Sn-Sn_1=2n-3,兩式相減，即可得出答案；

(2)選擇條件①：假設(shè)存在滿意題意的正整數(shù)m,那么有碌=%時(shí)，即3n+1=2俯E，即帆=療”

由二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出m的最小值；

選擇條件②：分1和M22兩種狀況，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出m的最小值；

【詳解】(1)選擇條件①：

由說+1一碎=3,%=2,得｛碌｝是首項(xiàng)為4,公差為3的等差數(shù)歹U，

那么%=3n+l,又0n>0,所以即=V3n+1.

選擇條件②：

由5?="一2九+3,可得當(dāng)九N2時(shí)，斯=-S—i=2九一3,

又當(dāng)n=l時(shí)，刖=2不滿意上式，所以即=(一

(2)選擇條件①：

假設(shè)存在滿意題意的正整數(shù)m,使得％,an,a.成等比數(shù)列，

那么有a,=a-iam,即3n+1=273m+1,

由于n€N*且n>l,m€N*,

所以當(dāng)n=3時(shí)，rnmin-8.

所以存在正整數(shù)m,使得小,an,而成等比數(shù)列，m的最小值為8

選擇條件②：

假設(shè)存在滿意題意的正整數(shù)m,使得內(nèi),即，成等比數(shù)列，那么有成二的時(shí),,

當(dāng)m=l時(shí)，有點(diǎn)=4,即(2n—3尸=4,此時(shí)"無正整數(shù)解，

當(dāng)m22時(shí)，(2n-3)2=2(2m—3),即m=n2—3n+?

由于n€N",所以?i2—3n+芋不行能為正整數(shù)，

所以不存在正整數(shù)m,使得%,an,0m成等比數(shù)列

3

12.(海南省瓊海市2023屆高三模擬考試數(shù)學(xué)試題)數(shù)列｛即｝,｛b｝滿意即=3%+(n+-n,bn+1

4九以1=19.

⑴求數(shù)列｛勾｝的通項(xiàng)公式；

⑵求數(shù)列｛即｝的前n項(xiàng)和S”.

【答案】(1)九=4"

(2)Sn=4"+i+(n+一5

【分析】(1)依據(jù)等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比即可求解；

(2)由等比數(shù)列的求和公式以及裂項(xiàng)求和即可.

【詳解】(1)由%=3與+(n+I)3—n3,當(dāng)n=1時(shí)，a[=19=3瓦+8-1,得⑦=4,

由于%+l=4bn,所以｛九｝是首項(xiàng)為4,公比也為4的等比數(shù)列，

所以bn=4n.

(2)由(1)知a”=3x4"+(n+一n3,

所以S"=3x(4+42+…+4n)+23-l3+33-23+…+(n+I)3-n3

4—4nx4

=3X,“"+(n+l)3_i3

1—4

=4n+1+(n+-5

13.(安徽省黃山市2023屆三模數(shù)學(xué)試題〕數(shù)列｛冊(cè)｝的前n項(xiàng)和為Sn，ar=4,Sn=1an+1+n-2(ne/V*).

⑴求證：數(shù)列｛冊(cè)-1｝為等比數(shù)列，并求出數(shù)列｛即｝的通項(xiàng)公式；

(2)假設(shè)求數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和7\.

從①%=(??--1)和②勾=信意需±1y這兩個(gè)條件中任意選擇一個(gè)填入上面橫線

上，并完成解答.注:假設(shè)選擇多個(gè)條件作答，那么按第一個(gè)解答計(jì)分.

n

【答案】⑴證明見解析，an=3+1

(2)答案見解析

【分析】(1)通過Sn=gan+i+n-2消去S”，得到即+[=3冊(cè)—2從而得到證明；

(2)假設(shè)選①，那么要運(yùn)用錯(cuò)位相減法求和，假設(shè)選②，先化簡與，然后分奇數(shù)偶數(shù)，利用分組求和計(jì)

算.

【詳解】(1)依題意可得2szi=冊(cè)+i+2九一4,???2Sn_i=%+2n-6(幾N2)

兩式相減并化簡得%+1=30n—2,所以%+i-1=3(an-l)(n>2)

又即=4,2sl=做+2—4,解得做=10.

所以。2—1=3(0i-1)=9,故an+i-1=3(c1n—l)(nEN*)

由于4-1=9HO,所以0n-1HO,于是包土!：=3.

an-l

故數(shù)列｛冊(cè)-1｝是首項(xiàng)為3,公比為3的等比數(shù)列

n-1n

???an-1=3x3=33即冊(cè)=3+1

(2)選①：由(1)得為=3“+1,那么%=I)log3(a2n+i-l)=(2n+1)X3”

7\=3x31+5x32+7x33+…+(2n+1)x3n

37\=3x32+5x33+…+(2n-1)x3"+(2n+1)x3n+1

兩式相減得：

nn+1

-2Tn=3x31+2x(32+33+…+3)-(2n+1)x3

nn+1

=9+2x誓；1)-(2n+1)x3+1=-2nx3

所以=nx3n+1

選②：由⑴得%=3"+1,所以%n=2尸)"雷+；戶1廣(T)；”y：器加=(-1)"昌1z+z

log^(an+1-l)log^(an+2-l)(n+l)'(n+2)z'/L(n+l)(n+2)J

(i)當(dāng)九為偶數(shù)時(shí)，

7n=+(*+/)+???(一今一高)+(贏+儡)=儡一：

(ii)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，

T_T_h_]_1__J________1一1_1

nn+12

~九+1--(n+3)-45+2)2-(計(jì)3)2-(n+2)2-4

綜上所述y倦H

14.(黑龍江省哈爾濱市第學(xué)2023屆高三其次次模擬考試數(shù)學(xué)試題)數(shù)列｛斯｝中，%=1,冊(cè)+1=鬻?,

數(shù)列｛九｝的前n項(xiàng)和為B”,2Bn+3=bn+1,%=3.

⑴求證：數(shù)列｛1｝為等差數(shù)列，并求｛冊(cè)｝,｛勾｝的通項(xiàng)公式；

⑵假設(shè)品=誓見，且數(shù)列｛cn｝的前n項(xiàng)和為7n,求7”.

71%

【答案】⑴即=，彳；bn=3?

【分析】(1)將冊(cè)+1=空膂取倒數(shù)，繼而整理為我■-2=2,依據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求得an；依據(jù)

n+Zanan+i0n

數(shù)列前n項(xiàng)和和第"項(xiàng)的關(guān)系2Bn+3=bn+i，可得2B「1+3=%，522),兩式相減可求得垢：

(2)由(1)的結(jié)果可求出金=竺空衛(wèi)的表達(dá)式，利用裂項(xiàng)求和的方法即可求得答案.

nbn

【詳解】(1)由于冊(cè)+1="&,所以,=寄工，；.也=2+2,

n+20nan+i(n+l)anan+1an

即比一2=2,故｛2｝是以工=1為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列，

an

故:=1+2(幾一1),???an=-^7；

anZn-1

由2Bn+3=bn+1,可得2Bn_r+3=bn,(n>2),

兩式相減可得2bn=b九+i-bn,bn+1=3bn,(n>2),

又2B1+3=%，瓦=3,可得歷=9,?,.善=3,

故｛九｝是以瓦=3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，故垢=3".

n_Ji+1_

fn,l由⑴可得廣=4。眄1+1_A4_4(用)

nn

田竹九nbnn-