2023年山東省濟(jì)南市槐蔭區(qū)中考數(shù)學(xué)一模試卷（含答案）

2023年山東省濟(jì)南市槐蔭區(qū)中考數(shù)學(xué)一模試卷

一、選擇題（本大題共10個(gè)小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的.）

1.（4分）6的平方根是（）

A.6B.+6C.√6D.±√6

2.（4分）從正面看如圖所示的正三棱柱得到的形狀圖為（）

則”為（）

A.~5B.^6C.5D.6

4.（4分）如圖，PNLOB于點(diǎn)N,且PM〃O8,/OPM=30°,則/OPN的度數(shù)為（）

/

ONB

A.70oB.60°C.50oD.45°

5.（4分）下列幾種著名的數(shù)學(xué)曲線中，既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是（）

A.（??笛卡爾爰心曲線

B.夕蝴蝶曲線

7.（4分）“二十四節(jié)氣”是中華上古農(nóng)耕文明的智慧結(jié)晶，被國際氣象界譽(yù)為“中國第五

大發(fā)明”.小文購買了“二十四節(jié)氣”主題郵票，他要將“立春”“立夏”“秋分”“大寒”

四張郵票中的兩張送給好朋友小樂.小文將它們背面朝上放在桌面上（郵票背面完全相

同），讓小樂從中隨機(jī)抽取一張（不放回），再從中隨機(jī)抽取一張，則小樂抽到的兩張郵

票恰好是“立春”和“立夏”的概率是（）

A.2B.Ac.?D.A

3268

8.（4分）一輛經(jīng)營(yíng)長(zhǎng)途運(yùn)輸?shù)呢涇囋诟咚俟纺臣佑驼炯訚M油后勻速行駛，下表記錄了該

貨車加滿油之后油箱內(nèi)剩余油量y（升）與行駛時(shí)間X（小時(shí)）之間的相關(guān)對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)，則

y與X滿足的函數(shù)關(guān)系是（）

行駛時(shí)間X（小時(shí)）0122.5

剩余油量y（升）100806050

A.正比例函數(shù)關(guān)系B.一次函數(shù)關(guān)系

C.反比例函數(shù)關(guān)系D.二次函數(shù)關(guān)系

9.（4分）如圖，兩個(gè)半徑長(zhǎng)均為I的直角扇形的圓心分別在對(duì)方的圓弧上，扇形CFO的

圓心C是弧AB的中點(diǎn)，且扇形CFQ繞著點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，半徑AE、CF交于點(diǎn)G,半徑BE、

CD交于點(diǎn)H,則圖中陰影面積等于（）

AB

C

A.?-iBC.π-1D.π-2

2??4

10.（4分）在平面直角坐標(biāo)系中，正方形AlBIc1。、A2B2C2C?,A3B3C3C2…，按如圖的方

式放置.點(diǎn)Ai、A2、A3…A”在直線y=-X-1,點(diǎn)Ci、C2、C3…Cn在X軸上.拋物線

Ll過點(diǎn)Ai、Bi,且頂點(diǎn)在直線），=-X-1上，拋物線L2過點(diǎn)42、Bi,且頂點(diǎn)在直線y

=-X-1上，…按此規(guī)律，拋物線品過點(diǎn)4”、Bn,且頂點(diǎn)也在直線y=-X-1上.拋物

B.(3×2n^l-1,-3×2,,^2)

C.(3×2Π^2-1,-3X2*1)D.(3×2n^2-1,-3×2,,^2)

二、填空題（本大題共6個(gè)小題.每小題4分,共24分.把答案填在答題卡的橫線上.）

11.（4分）分解因式：Λ2-1=

12.（4分）如圖，一個(gè)圓形轉(zhuǎn)盤被平均分成6個(gè)全等的扇形，任意旋轉(zhuǎn)這個(gè)轉(zhuǎn)盤1次，則

當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，指針指向陰影部分的概率是

14.（4分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，44BC與aAbC關(guān)于點(diǎn)P成位似圖形，則該位似

中心點(diǎn)尸的坐標(biāo)是

15.（4分）若菱形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)是方程7-7x+12=0的兩個(gè)根，則該菱形的周長(zhǎng)等

于.

三、解答題（本大題共10個(gè)小題，共86分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）

I-I

17?（6分）計(jì)算:-（-2）+（π-3.14）0+27+（-y）?

?（y+4'j

18.（6分）解不等式組：2'.

χ-3（χ-l）>5

19.（6分）已知：如圖，在平行四邊形ABC。中，E、尸是對(duì)角線AC上的兩點(diǎn)，并且AE

=CF.求證：BE=DF.

20.（8分）為培養(yǎng)學(xué)生的閱讀習(xí)慣，某中學(xué)利用學(xué)生課外時(shí)間開展了以“走近名著”為主

題的讀書活動(dòng).為了有效了解學(xué)生課外閱讀情況，現(xiàn)隨機(jī)調(diào)查了部分學(xué)生每周課外閱讀

的總時(shí)間，（單位：小時(shí)），將它分為A、B、C、。四個(gè)等級(jí)，并根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了如

下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖（圖1,圖2）.

等級(jí)時(shí)間/小時(shí)

A0≤r<2

B2≤r<4

C4≤∕<6

D6≤∕<8

學(xué)生課外閱讀總時(shí)間

學(xué)生課外閱讀總時(shí)間

扇形統(tǒng)計(jì)圖

圖2

請(qǐng)你根據(jù)以上統(tǒng)計(jì)圖表提供的信息，解決下列問題：

（1）本次共調(diào)查了名學(xué)生，請(qǐng)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；

（2）在扇形統(tǒng)計(jì)圖中，等級(jí)。所對(duì)應(yīng)的扇形的圓心角為度;

（3）若該校有2000名學(xué)生，則每周課外閱讀總時(shí)間不少于4小時(shí)的學(xué)生大約有多少名？

21.（8分）圭表（如圖1）是我國古代度量日影長(zhǎng)度的天文儀器，它包括一根直立的桿（稱

為“表”）和一把南北方向水平放置且與桿垂直的標(biāo)尺（稱為“圭”）.當(dāng)正午的陽光照射

在“表”上時(shí)，“表”的影子便會(huì)投射在“圭”上.我國古代歷法將一年中白晝最短的那

一天（當(dāng)日正午“表”在“圭”上的影子長(zhǎng)度為全年最長(zhǎng)）定為冬至；白晝最長(zhǎng)的那一

天（當(dāng)日正午“表”在“圭”上的影子長(zhǎng)度為全年最短）定為夏至.

某地發(fā)現(xiàn)一個(gè)圭表遺跡（如圖2）,但由于“表”已損壞，僅能測(cè)得“圭”上記錄的夏至

線與冬至線間的距離（即48的長(zhǎng)）為11.3米.現(xiàn)已知該地冬至正午太陽高度角（即/

CBD)為35°34',夏至正午太陽高度角(即/CAD)為82°26,請(qǐng)通過計(jì)算推測(cè)損壞

的''表"原來的高度(即CZ)的長(zhǎng))約為多少米？(參考數(shù)據(jù)：sin35°34,≈0.58;cos35o

,o,ooo

34≈0.81;tan3534≈0.72:sin8226'≈?0.99icos8226'仁0.13；tan8226'心7.5)

22.(8分)如圖，點(diǎn)E是C)O中弦AB的中點(diǎn)，過點(diǎn)E作。。的直徑CC,點(diǎn)P是。0上一

點(diǎn)，過點(diǎn)P作OO的切線，與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F,與CO的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G,連接

CP與AB交于點(diǎn)M.

(1)求證：FM=FP;

(2)若COS/尸=工，G)O半徑長(zhǎng)為3,求OG長(zhǎng).

2

23.(10分)某班學(xué)生計(jì)劃在社區(qū)內(nèi)開展圖書義賣活動(dòng)，并將所得善款捐給希望工程，擬購

進(jìn)A、B兩種暢銷書，經(jīng)調(diào)查，購進(jìn)4本4種圖書所需費(fèi)用與購進(jìn)5本B種圖書所需費(fèi)

用相同，若購進(jìn)IOO本A種圖書與200本8種圖書共需費(fèi)用6500元.

(1)求A、B兩種圖書的進(jìn)價(jià)分別是多少元？

(2)若義賣活動(dòng)中，A種圖書的定價(jià)為30元/本，B種圖書的定價(jià)為28元/本，本班研

究決定需要采購兩種圖書共500本，且A種圖書的數(shù)量不低于B種圖書數(shù)量的2倍，為

能獲得最大利潤(rùn)，請(qǐng)問本班需要采購A、B兩種圖書各多少本？

24.(10分)如圖1,一次函數(shù)>=工+1的圖象與反比例函數(shù)y=K(χ>0)的圖象交于點(diǎn)

2X

ACa,3),與y軸交于點(diǎn)8.

(1)求a,Z的值；

(2)直線CD過點(diǎn)A,與反比例函數(shù)圖象交于點(diǎn)C,與X軸交于點(diǎn)力，與y軸交于點(diǎn)E,

AC=AD,連接CB.求AABC的面積；

(3)如圖2,以線段AB為對(duì)角線作正方形AFBG,〃是線段BF(不與點(diǎn)8、F重合)

上的一動(dòng)點(diǎn)，M是"G的中點(diǎn)，MNlGH交AB于點(diǎn)、N,當(dāng)點(diǎn)”在B尸上運(yùn)動(dòng)時(shí)?，請(qǐng)直

接寫出線段MN長(zhǎng)度的取值范圍.

25.(12分)小辰有如圖1所示，含30°,60°角的三角板各兩個(gè)，其中大小三角板的最短

邊分別為12c機(jī)和6cm,現(xiàn)小辰將同樣大小的兩個(gè)三角板等長(zhǎng)的兩邊重合，進(jìn)行如下組合

和旋轉(zhuǎn)操作.

(1)當(dāng)小辰把四個(gè)三角板如圖2拼接組合，繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接BZXCE.在

旋轉(zhuǎn)過程中，線段20、CE的數(shù)量關(guān)系是,這兩條線段的夾角中，銳角的度數(shù)

是度；

(2)當(dāng)小辰把四個(gè)三角板如圖3拼接組合，繞4點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接BD.CE.在

旋轉(zhuǎn)過程中，線段B。、CE的數(shù)量關(guān)系是,請(qǐng)說明理由；

(3)當(dāng)小辰把四個(gè)三角板如圖4拼接組合，XMyE繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接CD,取

C。中點(diǎn)N,連結(jié)GMFN,求GN+/W的最小值.

E

Sl圖2

圖4

26.(12分)拋物線y=-χ2+?r+c與X軸交于點(diǎn)A(3,0),8(-1,0),與)，軸交于點(diǎn)C.

(1)求拋物線解析式;

(2)如圖，連接AC,點(diǎn)P在線段AC上，作直線PQLX軸，與拋物線交于點(diǎn)Q.以線

段PQ為邊構(gòu)造矩形PQMN,邊MN在y軸上.

①當(dāng)矩形PQMN周長(zhǎng)最大時(shí)，求點(diǎn)P坐標(biāo).

②在①的條件下，點(diǎn)T在第四象限內(nèi)，作射線AT,當(dāng)/7λQ=3∕∕?N時(shí)，求tan∕7λθ

備用圖

2023年山東省濟(jì)南市槐蔭區(qū)中考數(shù)學(xué)一模試卷

（參考答案）

一、選擇題（本大題共10個(gè)小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的.）

1.（4分）6的平方根是（）

A.6B.±6C.√6D.±√6

【解答】解：6的平方根為土√E?

故選：D.

【解答】解：從正面看有1個(gè)長(zhǎng)方形，中間有1條棱,

即這個(gè)幾何體的主視圖為：

故選：C.

3.（4分）“白日不到處，青春恰自來.苔花如米小，也學(xué)牡丹開.”這是清朝袁枚的一首詩

《苔》.若苔花的花粉直徑約為0.0000084,”,用科學(xué)記數(shù)法表示0.0000084=8.4X10",

則〃為（）

A.-5B.-6C.5D.6

【解答】解:0.0000084=8.4X10-6,

則〃為-6.

故選：B.

4.（4分）如圖，PN工OB于懸N,且PM〃OB,NOPM=30°,則NOPN的度數(shù)為（）

4

【解答】解：'：PM//OB,NoPM=30°,

...NBOC=NOPM=30°,

，：PNLoB于點(diǎn)、N,

ΛZOTVP=90°,

：.NOPN+NBOC=90°,

ΛZOPTV=60°.

故選：B.

5.（4分）下列幾種著名的數(shù)學(xué)曲線中，既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是（）

【解答】解：A.是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱的圖形，故本選項(xiàng)不符合題意;

B.是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱的圖形，故本選項(xiàng)不符合題；

C.不是軸對(duì)稱圖形，是中心對(duì)稱的圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；

D.既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱的圖形，故本選項(xiàng)符合題意意.

故選：D.

6.（4分）化簡(jiǎn)」_-g—的結(jié)果是（）

2

a-3a-g

A.—?—B.a~3C.α+3D.------

a+3a*^3

【解答】解：?--^-

&-3a2-9

=a+3_6

（a÷3）（a-3）（a+3）（a~3）

=a+3-6

（a÷3）（a-3）

=____a-3____

（a÷3）（a-3）

=1

a+3

故選：A.

7.（4分）“二十四節(jié)氣”是中華上古農(nóng)耕文明的智慧結(jié)晶，被國際氣象界譽(yù)為“中國第五

大發(fā)明”,小文購買了“二十四節(jié)氣”主題郵票，他要將“立春”“立夏”“秋分”“大寒”

四張郵票中的兩張送給好朋友小樂.小文將它們背面朝上放在桌面上（郵票背面完全相

同），讓小樂從中隨機(jī)抽取一張（不放回），再從中隨機(jī)抽取一張，則小樂抽到的兩張郵

票恰好是“立春”和“立夏”的概率是（）

A.2B.?C.AD.A

3268

【解答】解：設(shè)立春用A表示，立夏用B表示，秋分用C表示，大寒用。表示，樹狀圖

如下，

開始

BCDACDABDARC.

由上可得，一共有12種可能性，其中小樂抽到的兩張郵票恰好是“立春”和“立夏”的

可能性2種，

二小樂抽到的兩張郵票恰好是“立春”和“立夏”的概率是2=工，

126

故選：C.

8.（4分）一輛經(jīng)營(yíng)長(zhǎng)途運(yùn)輸?shù)呢涇囋诟咚俟纺臣佑驼炯訚M油后勻速行駛，下表記錄了該

貨車加滿油之后油箱內(nèi)剩余油量y（升）與行駛時(shí)間X（小時(shí)）之間的相關(guān)對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)，則

y與X滿足的函數(shù)關(guān)系是（）

行駛時(shí)間X（小時(shí)）O122.5

剩余油量y（升）IOO806050

A.正比例函數(shù)關(guān)系B.一次函數(shù)關(guān)系

C.反比例函數(shù)關(guān)系D.二次函數(shù)關(guān)系

【解答】解：從表格可看出，貨車每行駛一小時(shí)，耗油量為20升，即余油量y與行駛時(shí)

間X成一次函數(shù)關(guān)系.

故選：B.

9.（4分）如圖，兩個(gè)半徑長(zhǎng)均為I的直角扇形的圓心分別在對(duì)方的圓弧上，扇形CF。的

圓心C是弧AB的中點(diǎn)，且扇形CFO繞著點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，半徑AE、CF交于點(diǎn)G,半徑BE、

CZ）交于點(diǎn)H,則圖中陰影面積等于（）

JTJT1

A.-L-IB.—JL.C.π-1D.π-2

222

【解答】解：兩扇形的面積和為：?θ5.=l,

360x22π

過點(diǎn)C作CMlAE,作CNlBE,垂足分別為M、N,

則四邊形EMCN是矩形，

；點(diǎn)C是弧AB的中點(diǎn)，

.?.EC平分NAE8,

.,.CM=CN,

二矩形EMCN是正方形,

；NMCG+NFCN=90°,NNCH+NFCN=W,

NMCG=ZNCH,

在aCMG與ACNH中，

'NMCG=NNCH

<CM=CN，

NCMG=NCNB=90°

.?.∕?CMG咨ACNH(ASA),

???中間空白區(qū)域面積相當(dāng)于對(duì)角線是1的正方形面積，

，空白區(qū)域的面積為：A×ι×ι=A,

22

.?.圖中陰影部分的面積=兩個(gè)扇形面積和-2個(gè)空白區(qū)域面積的和=π-I.

10.（4分）在平面直角坐標(biāo)系中，正方形AlBlC1。、A2B2C2C?,A383C3C2…，按如圖的方

式放置.點(diǎn)Al、A2、A3???A"在直線y=-X-1,點(diǎn)。、C2、C3…Cn在X軸上.拋物線

Ll過點(diǎn)4、Bi,且頂點(diǎn)在直線y=-X-1上，拋物線L2過點(diǎn)42、82,且頂點(diǎn)在直線y

=-X-1上，…按此規(guī)律，拋物線“過點(diǎn)4”、B1,,且頂點(diǎn)也在直線y=-X-1±.拋物

A.(3×2,,^'-1,-3X2"7)B.(3×2,,^l-1,-3×2H^2)

C.(3×2,,^2-1,-3X2"7)D.(3×2n^2-1,-3×2n'2)

【解答】解：對(duì)于直線y=-χ-l,設(shè)x=0,可得y=-1,

ΛAι(0,-1),

???西邊形48IaO是正方形,

Ci(I>0)>又點(diǎn)A2在直線y=-X-1上,

ΛA2(1,-2),

又?.?B2(3,-2),

.?.拋物線L2的對(duì)稱軸為直線x=2,

，拋物線上的頂點(diǎn)為(2,-3),

設(shè)拋物線上的解析式為：y="(x-2)2-3,

?.12過點(diǎn)B2(3,-2),

-2=a×<3-2)2-3,解得α=l,

二拋物線上的解析式為y=(X-2)2-3；

將x=3代入y=-X-1中，y--4,

.?.A3(3,-4),

,/四邊形A3B3C3C2是正方形，

ΛA3B3=4,

???明(7,-4),

.?.拋物線L3的對(duì)稱軸為直線x=5,

把x=5代入y=-X-1,得y=-6,

拋物線L3的頂點(diǎn)為(5,-6),

；?設(shè)拋物線心的解析式為y=a'G-5)2-6,

將點(diǎn)B3(7,-4)代入，可得"=L

2

二拋物線乙3的解析式為y=』(X-5)2-6；

2

?.?拋物線Ll的頂點(diǎn)為(工，-3),

22

拋物線上的頂點(diǎn)為(2,-3),

拋物線43的頂點(diǎn)為(5,-6),

M2n2

.?.拋物線Ll的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(3×2^-1,-3×2').

故選：D.

二、填空題(本大題共6個(gè)小題.每小題4分，共24分.把答案填在答題卡的橫線上.)

11.(4分)分解因式：Λ2-1=(X+1)(X-I).

【解答】解：x2-l=(Λ+1)(X-1).

故答案為：(x+l)(χ-1).

12.(4分)如圖，一個(gè)圓形轉(zhuǎn)盤被平均分成6個(gè)全等的扇形，任意旋轉(zhuǎn)這個(gè)轉(zhuǎn)盤1次，則

當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，指針指向陰影部分的概率是?

-3-

指針指向陰影部分的概率是2=1.

63

故答案為：1.

3

13.（4分）分式方程工正工=4的解是x=-

χ-33-χ5

【解答】解：去分母得：5-χ=4（χ-3）,

解得：X=JL

5

檢驗(yàn)：把X=?i??代入得：X-3≠0,

5

.?.分式方程的解為X=J工.

5

故答案為：X=JL

5

14.（4分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，448C與a4EC關(guān)于點(diǎn)P成位似圖形，則該位似

【解答】解：如圖所示：位似中心點(diǎn)P的坐標(biāo)是（12,0）.

故答案為：(12,0).

15.(4分)若菱形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)是方程√-7x+12=0的兩個(gè)根，則該菱形的周長(zhǎng)等于

IO.

【解答】解：X2-7X+12=0

(X-3)(x-4)=O

Λx=3或x=4,

?.?菱形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)是方程Λ2-7x+12=0的兩個(gè)根，

，菱形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)為3,4,

???菱形的邊長(zhǎng)為:√(f)2÷(f)2^?

菱形的周長(zhǎng)為：4X2.5=10,

故答案為：10.

三、解答題(本大題共10個(gè)小題，共86分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.)

I~1

0

17?(6分)計(jì)算:-(-2)+(π-3.14)+27+(-?)-

【解答】解：原式=2+1+27+(^3)

=3+27+(-3)

=30-3

=27.

18.(6分)解不等式組：2',飛.

χ-3(χ-l)>5

fl

【解答】解：.萬"4)<2①，

χ-3(X-I)>5②

由①得，XW0,

由②得，X<-?,

所以，不等式組的解集是X<-1.

19.（6分）已知：如圖，在平行四邊形ABC。中，E、F是對(duì)角線AC上的兩點(diǎn)，并且AE

=CF.求證：BE=DF.

【解答】證明：四邊形A8C。是平行四邊形，

J.AB∕∕CD,AB=CD.

：.NBAE=ZDCF.

在aABE和△CO尸中，

'AB=CD

?ZBAE=ZDCF-

AE=CF

Λ?ABE^?CDF（SAS）,

.?.BE=DF.

20.（8分）為培養(yǎng)學(xué)生的閱讀習(xí)慣，某中學(xué)利用學(xué)生課外時(shí)間開展了以“走近名著”為主

題的讀書活動(dòng).為了有效了解學(xué)生課外閱讀情況，現(xiàn)隨機(jī)調(diào)查了部分學(xué)生每周課外閱讀

的總時(shí)間f（單位：小時(shí)），將它分為A、B、C、。四個(gè)等級(jí)，并根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了如

下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖（圖1,圖2）.

等級(jí)時(shí)間/小時(shí)

AOWy2

B2≤r<4

C4≤r<6

D6≤r<8

學(xué)生課外閱讀總時(shí)間

條形統(tǒng)計(jì)圖學(xué)生課外閱讀總時(shí)間

請(qǐng)你根據(jù)以上統(tǒng)計(jì)圖表提供的信息，解決下列問題：

（I）本次共調(diào)查了50名學(xué)生,請(qǐng)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；

（2）在扇形統(tǒng)計(jì)圖中，等級(jí)。所對(duì)應(yīng)的扇形的圓心角為108度:

（3）若該校有2000名學(xué)生，則每周課外閱讀總時(shí)間不少于4小時(shí)的學(xué)生大約有多少名？

【解答】解：（1）本次共調(diào)查學(xué)生13÷26%=50（名），

C等級(jí)人數(shù)為50-（4+13+15）=18（名），

補(bǔ)全統(tǒng)計(jì)圖如下：

(2)360oXK=IO8°.

50

故答案為：108.

（3）2000X18+15=1320（名）.

50

答：每周課外閱讀總時(shí)間不少于4小時(shí)的學(xué)生大約有1320名.

21.（8分）圭表（如圖1）是我國古代度量日影長(zhǎng)度的天文儀器，它包括一根直立的桿（稱

為“表”）和一把南北方向水平放置且與桿垂直的標(biāo)尺（稱為“圭”）.當(dāng)正午的陽光照射

在“表”上時(shí)，“表”的影子便會(huì)投射在“圭”上.我國古代歷法將一年中白晝最短的那

一天（當(dāng)日正午“表”在“圭”上的影子長(zhǎng)度為全年最長(zhǎng)）定為冬至；白晝最長(zhǎng)的那一

天（當(dāng)日正午“表”在“圭”上的影子長(zhǎng)度為全年最短）定為夏至.

某地發(fā)現(xiàn)一個(gè)圭表遺跡（如圖2）,但由于“表”已損壞，僅能測(cè)得“圭”上記錄的夏至

線與冬至線間的距離（即4B的長(zhǎng)）為11.3米.現(xiàn)已知該地冬至正午太陽高度角（即N

CBD）為35°34',夏至正午太陽高度角（即NC4O）為82°26,請(qǐng)通過計(jì)算推測(cè)損壞

的“表”原來的高度（即8的長(zhǎng)）約為多少米?（參考數(shù)據(jù)：sin35°34,QO.58；cos35°

34,≈?0.81;tan35034,≈?0.72;sin82o26's?0.99；cos82o26'七0.13；tan82026'≡≡7.5）

【解答】解：設(shè)AD=X米，

VAB=11.3米，

：.BD^AD+AB=（X+11.3）米，

在RtAAOC中，NcAO=82°26,,

ΛCD=AD?tan82o26,=7.5X（米），

在RtZXCCB中，NCBD=35°34,,

.?.tan35°34,=型=l''?5x心0.72,

BDx+11.3

解得：X=I.2,

經(jīng)檢驗(yàn)：JV=I.2是原方程的根,

ΛCD=7.5x=9(米)，

??.損壞的“表”原來的高度約為9米.

22.(8分)如圖，點(diǎn)E是。。中弦AB的中點(diǎn)，過點(diǎn)E作。O的直徑CZ),點(diǎn)P是0。上一

點(diǎn)，過點(diǎn)P作。。的切線，與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)尸，與CO的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G,連接

CP與48交于點(diǎn)M.

(1)求證：FM=FP;

(2)若COSNF=?1,G)O半徑長(zhǎng)為3,求Z)G長(zhǎng).

2

LJ

【解答】(1)證明：連接OP,OB,OAf

OA=OB,E是AB中點(diǎn)，

OELAB1

TFG與圓相切于尸，

?,.半徑PoJ_FG,

?.?OC=OP,

：.ZC=ZOPC,

???NEMC+NC=NFPM+NOPC=90°,

"FPM=NEMC,

?：NFMP=/EMC,

：?/FMP=4FPM,

：.FM=FP;

(2)解：VcosZF=-I,

2

ΛZF=60o，

VZOEB=90o,

ΛZG=90o-NF=30°,

?.?∕OPG=90°,

.?.OP=I.OG,

2

?.?。。半徑長(zhǎng)為3,

OG=2X3=6,

.".DG=OG-OD=6-3=3.

23.(10分)某班學(xué)生計(jì)劃在社區(qū)內(nèi)開展圖書義賣活動(dòng)，并將所得善款捐給希望工程，擬購

進(jìn)A、B兩種暢銷書，經(jīng)調(diào)查，購進(jìn)4本A種圖書所需費(fèi)用與購進(jìn)5本8種圖書所需費(fèi)

用相同，若購進(jìn)IOO本A種圖書與200本B種圖書共需費(fèi)用6500元.

(1)求A、8兩種圖書的進(jìn)價(jià)分別是多少元？

(2)若義賣活動(dòng)中，A種圖書的定價(jià)為30元/本，8種圖書的定價(jià)為28元/本，本班研

究決定需要采購兩種圖書共500本，且A種圖書的數(shù)量不低于8種圖書數(shù)量的2倍，為

能獲得最大利潤(rùn)，請(qǐng)問本班需要采購4、B兩種圖書各多少本？

【解答】解：(1)設(shè)A種圖書的進(jìn)價(jià)是X元，B種圖書的進(jìn)價(jià)是y元，

根據(jù)題意得：卜x=5y,

100x+200y=6500

解得：(X=25.

ly=20

答：A種圖書的進(jìn)價(jià)是25元，8種圖書的進(jìn)價(jià)是20元；

(2)設(shè)本班采購了〃1本4種圖書，則采購了(500-M?)本B種圖書，

根據(jù)題意得：根》2(500-M,

解得：、絲

3

設(shè)購進(jìn)的兩種圖書全部售出后獲得的總利潤(rùn)為VV元，則W=(30-25)m+(28-20)(500

-m)=-3AW+4000,

???-3<0,

.?.W隨〃7的增大而減小,

又且M為正整數(shù),

3

,當(dāng)m=334時(shí)，W取得最大值，此時(shí)500-,“=500-334=166.

答：本班需要采購334本A種圖書，166本8種圖書.

24.(10分)如圖1,一次函數(shù)y=L+l的圖象與反比例函數(shù)y=K(x>0)的圖象交于點(diǎn)

2X

A(α,3),與)，軸交于點(diǎn)艮

(1)求α,女的值;

(2)直線CO過點(diǎn)A,與反比例函數(shù)圖象交于點(diǎn)C,與X軸交于點(diǎn)￡>,與y軸交于點(diǎn)E,

AC=AO,連接C8.求aABC的面積;

(3)如圖2,以線段AB為對(duì)角線作正方形4FBG,”是線段BF(不與點(diǎn)8、/重合)

上的一動(dòng)點(diǎn)，M是HG的中點(diǎn)，MNLGH交AB于點(diǎn)、N,當(dāng)點(diǎn)”在8尸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，請(qǐng)直

【解答】解：(1)將A(α,3)代入丫卷乂+1，

.?-a+?=3,

2

解得。=4,

ΛA(4,3),

將A(4,3)代入y=X(χ>0),

X

Λfc=12;

(2)過點(diǎn)C作CGLX軸交于點(diǎn)G,連接BD,

VAC=ADf

???A點(diǎn)是CD的中點(diǎn)，

VA(4,3),。點(diǎn)在X軸上，

???。點(diǎn)的縱坐標(biāo)是6,

YC點(diǎn)在反比例函數(shù)上，

X

：.C(2,6),

：.D(6,O),

直線>=2+1與〉軸的交點(diǎn)為8(0,1),

2

.??52\6。0=5梯形406。+52\。。6-SABOD

=A×(1+6)X2+Lχ4X6-aX6Xl

222

=16,

/.S八ABC=XS,ΛBCD=8;

2

(3)過點(diǎn)A作AL?r軸交于點(diǎn)￡,連接NF,NG,NE,

???四邊形A"/是正方形，

：.AE=BE,NAE3=90°,

ΛZAEL+ZBEO=90o,

VZAEL+ZEAL=90o,

：.ABEO=AEAL,

Λ?BEO^ΔEAL(A4S),

：.AL=BE,BO=EL,

VOB=I,AL=3,

：.E(3,O),

λ

:AF=AE9NFAN=NNAE=45°,AN=AN,

：.∕?AFN^∕?AEN(SAS),

LFN=NE,

OM是GE的中點(diǎn),MNLGE,

：.GN=NE9

：.FN=GN,

?：∕FGN=45°+/BNG,

：.ZFNG=90°-2∕BNG,

/.ZFNB=90o-NBNG,

'：ZFNB=ZENBf

：?/GNE=NBNG+900-NJBNG=90°,

??.△GNE是等腰直角三角形，

；.MN=LGE,

2

過點(diǎn)尸作尸K_Ly軸交于點(diǎn)凡

同理可證43"0Z?E05(SAS),

.?BK=3,KF=I,

：.F(1,4),

?.?8E=√75,EF=2√5,

Λj∕ZΣ<Λ∕∕V<√5.

2

y

B

OI^^GDX

25?(12分)小辰有如圖1所示，含30°,60°角的三角板各兩個(gè)，其中大小三角板的最短

邊分別為12?！焙?cm現(xiàn)小辰將同樣大小的兩個(gè)三角板等長(zhǎng)的兩邊重合，進(jìn)行如下組合

和旋轉(zhuǎn)操作.

(1)當(dāng)小辰把四個(gè)三角板如圖2拼接組合，AADE繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接8￡＞、CE.在

旋轉(zhuǎn)過程中，線段BZXCE的數(shù)量關(guān)系是CE=BD,這兩條線段的夾角中，銳角的

度數(shù)是60度:

(2)當(dāng)小辰把四個(gè)三角板如圖3拼接組合，AADE繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接BD,CE.在

旋轉(zhuǎn)過程中，線段80、CE的數(shù)量關(guān)系是BD=JCAC,請(qǐng)說明理由；

(3)當(dāng)小辰把四個(gè)三角板如圖4拼接組合，E繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接CZX取

CZ)中點(diǎn)M連結(jié)GN、FN,求GN+FN的最小值.

圖1

圖4

【解答】解：(1)如圖2中，設(shè)BO交4C于點(diǎn)。，EC交AO于點(diǎn)J.

E

圖2

由題意4AQE,ZXABC都是等邊三角形，

：.AE=AD,AC=A