【導(dǎo)數(shù)】函數(shù)放縮本質(zhì)是？55個常見函數(shù)放縮不等式你知道多少

【導(dǎo)數(shù)】函數(shù)放縮本質(zhì)是？55個常見函數(shù)放縮不等式你知道多少？何謂函數(shù)放縮？函數(shù)放縮本質(zhì)就是用代數(shù)函數(shù)近似代替超越函數(shù)（非代數(shù)函數(shù)）罷了！近似代替，即不等關(guān)系，也即所謂的函數(shù)放縮不等式。這里有兩個概念，代數(shù)函數(shù)和超越函數(shù)，代數(shù)函數(shù)：包括我們熟知的一次、二次、三次等多項(xiàng)式函數(shù)、反比例函數(shù)等分式函數(shù)和開方等分?jǐn)?shù)冪函數(shù)。n次多項(xiàng)式函數(shù)通式為R其中，an分式函數(shù)，例如R一般指真分式，即m>n，如果m<n則可以通過多項(xiàng)式除法將其化成Rx=ψx+PxQx的形式，其中Q超越函數(shù)：指的是變量之間的關(guān)系不能用有限次加、減、乘、除、乘方、開方運(yùn)算表示的函數(shù)，如三角函數(shù)、反三角函數(shù)，指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等。另外，函數(shù)近似替代的一個非常高效的方法便是擬合，函數(shù)擬合包括一次擬合（切割線擬合）、二次擬合、三次擬合以及更高觀點(diǎn)的三種擬合方式——泰勒展開、帕德逼近、洛朗級數(shù)。55個常見函數(shù)放縮不等式以下總結(jié)的是常見函數(shù)放縮不等式，證明很簡單，移項(xiàng)作差求導(dǎo)即可，圖像和具體證明可參考\h導(dǎo)數(shù)找點(diǎn)技巧中常用的放縮不等式1、指數(shù)ex（1）ex≥x（2）ex≥ex（3）ex≥x（4）ex?1（5）ex?1（6）e（7）e（8）ex≤x（9）e（10）e（11）e（12）e（13）x（14）e（15）ex≥e（16）ex（17）e（18）e（19）e……2、對數(shù)lnx（20）lnx≤x（21）xlnx≥（22）xe≥lnx（23）lnx≤1（24）lnx≤2x（25）lnx≤1（26）x（27）2（28）xlnx≥ln（29）ln2x≤（30）lnx≥?1（31）lnx≤1（32）lnx≤2（33）ln（34）1（35）ln（36）ln……3、三角函數(shù)sinx、cosx、tan（37）sin（38）sin（39）x（40）sin（41）1（42）sin（43）sin（44）sinxn+cos（45）sinxn+cos注：當(dāng)n<?1時，y=sinxn+cosx圖像類似于?sinx；當(dāng)?1≤……4、指對混合（46）（兩個放縮不等式不同時取等號，所以最后只?。?7）ex+1（48）ex+ex（49）（處取等）注：（49）式為朗博不等式，常出現(xiàn)在導(dǎo)數(shù)壓軸中，不過現(xiàn)在已經(jīng)爛大街了。。。（50）x（51）exlnx（52）e（53）e……5、指對三角混合（54）e（55）2x≥sinx+ln……一些典例【例1．【例1．（廣東一模T22）】已知函數(shù)（1）求的極值；（2）當(dāng)時，，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】（2）當(dāng)時，由朗博不等式，所以（當(dāng)時，可以取到等號）因此，即【點(diǎn)睛】這樣作答時，一定要再證明存在的解【例【例2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）】已知，，．(1)當(dāng)時，求函數(shù)的極值；(2)當(dāng)時，求證：．【解析】（1），當(dāng)時，，即在上單調(diào)遞減，故函數(shù)不存在極值；當(dāng)時，令，得，x+0-增函數(shù)極大值減函數(shù)故，無極小值.綜上，當(dāng)時，函數(shù)不存在極值；當(dāng)時，函數(shù)有極大值，，不存在極小值．（2）顯然，要證：，即證：，即證：，即證：．（關(guān)注公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）令，故只須證：．設(shè)，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，即，所以，從而有．故，即．【例【例3．（2023·湖南常德·常德市一中?？级＃恳阎瘮?shù)（，為自然對數(shù)的底數(shù)）．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)當(dāng)時，求證：.【解析】（1），（?。┊?dāng)時，，所以，，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（ⅱ）當(dāng)時，令，得，①時，，所以或，，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；②時，，則在上單調(diào)遞增；③時，，所以或，，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．綜上，時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；時，在上單調(diào)遞增；時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（2）方法一：等價(jià)于，當(dāng)時，，則當(dāng)時，，則，令，令，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上都是增函數(shù)，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，∵，∴存在，使得，即，當(dāng)時，