隨機(jī)變量及其分布函數(shù)

關(guān)于隨機(jī)變量及其分布函數(shù)§2.1隨機(jī)變量及其分布函數(shù)一、隨機(jī)變量的引入二、隨機(jī)變量的概念三、隨機(jī)變量的分布函數(shù)四、隨機(jī)變量的分類第2頁(yè),共27頁(yè)，2024年2月25日，星期天1.為什么引入隨機(jī)變量?一、隨機(jī)變量的概念引入2.隨機(jī)變量的引入

概率論是從數(shù)量上來(lái)研究隨機(jī)現(xiàn)象內(nèi)在規(guī)律性的，為了更方便有力的研究隨機(jī)現(xiàn)象，就要用數(shù)學(xué)分析的方法來(lái)研究，因此為了便于數(shù)學(xué)上的推導(dǎo)和計(jì)算，就需將任意的隨機(jī)事件數(shù)量化．當(dāng)把一些非數(shù)量表示的隨機(jī)事件用數(shù)字來(lái)表示時(shí)，就建立起了隨機(jī)變量的概念．第3頁(yè),共27頁(yè)，2024年2月25日，星期天實(shí)例1袋中有3只黑球，2只白球，從中任意取出3只球，觀察取出的3只球中的黑球的個(gè)數(shù)．我們將3只黑球分別記作1，2，3號(hào)，2只白球分別記作4，5號(hào)，則該試驗(yàn)的樣本空間為我們記取出的黑球數(shù)為X，則X

的可能取值為1，2，3．因此，X

是一個(gè)變量．但是，X取什么值依賴于試驗(yàn)結(jié)果，即X的取值帶有隨機(jī)性，所以，我們稱X為隨機(jī)變量．第4頁(yè),共27頁(yè)，2024年2月25日，星期天X

的取值情況可由下表給出：

由上表可以看出，該隨機(jī)試驗(yàn)的每一個(gè)結(jié)果都對(duì)應(yīng)著變量X

的一個(gè)確定的取值，因此變量X是樣本空間?上的函數(shù).第5頁(yè),共27頁(yè)，2024年2月25日，星期天

由上表可以看出，該隨機(jī)試驗(yàn)的每一個(gè)結(jié)果都對(duì)應(yīng)著變量X

的一個(gè)確定的取值，因此變量X是樣本空間?上的函數(shù)：

我們定義了隨機(jī)變量后，就可以用隨機(jī)變量的取值情況來(lái)刻劃隨機(jī)事件．例如表示取出2個(gè)黑球這一事件；表示至少取出2個(gè)黑球這一事件，等等．第6頁(yè),共27頁(yè)，2024年2月25日，星期天實(shí)例2

在一裝有紅球、白球的袋中任摸一個(gè)球,觀察摸出球的顏色.?={紅色、白色}

非數(shù)量將?

數(shù)量化可采用下列方法紅色白色即有X(紅色)=1,X(白色)=0.這樣便將非數(shù)量的?={紅色，白色}數(shù)量化了.第7頁(yè),共27頁(yè)，2024年2月25日，星期天實(shí)例3

拋擲骰子,觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù).S={1，2，3，4，5，6}樣本點(diǎn)本身就是數(shù)量恒等變換且有則有第8頁(yè),共27頁(yè)，2024年2月25日，星期天二、隨機(jī)變量的概念1.定義設(shè)E是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，?是其樣本空間．為一個(gè)隨機(jī)變量，我們稱樣本空間上的函數(shù)：Rω?隨機(jī)事件數(shù)量化第9頁(yè),共27頁(yè)，2024年2月25日，星期天說(shuō)明(4)隨機(jī)變量與普通的函數(shù)不同

隨機(jī)變量是一個(gè)函數(shù),但它與普通的函數(shù)有著本質(zhì)的差別,普通函數(shù)是定義在實(shí)數(shù)軸上的,而隨機(jī)變量是定義在樣本空間上的(樣本空間的元素不一定是實(shí)數(shù)).即隨機(jī)事件數(shù)量化.第10頁(yè),共27頁(yè)，2024年2月25日，星期天(5)隨機(jī)變量的取值具有一定的概率規(guī)律

隨機(jī)變量隨著試驗(yàn)的結(jié)果不同而取不同的值,由于試驗(yàn)的各個(gè)結(jié)果的出現(xiàn)具有一定的概率,因此隨機(jī)變量的取值也有一定的概率規(guī)律.(6)隨機(jī)變量與隨機(jī)事件的關(guān)系

隨機(jī)事件包容在隨機(jī)變量這個(gè)范圍更廣的概念之內(nèi).或者說(shuō):隨機(jī)事件是從靜態(tài)的觀點(diǎn)來(lái)研究隨機(jī)現(xiàn)象,而隨機(jī)變量則是從動(dòng)態(tài)的觀點(diǎn)來(lái)研究隨機(jī)現(xiàn)象.第11頁(yè),共27頁(yè)，2024年2月25日，星期天實(shí)例4

擲一個(gè)硬幣,觀察出現(xiàn)的面,共有兩個(gè)結(jié)果:若用X表示擲一個(gè)硬幣出現(xiàn)正面的次數(shù),則有即X(ω)是一個(gè)隨機(jī)變量.隨機(jī)事件數(shù)量化2.例子第12頁(yè),共27頁(yè)，2024年2月25日，星期天實(shí)例5

在有兩個(gè)孩子的家庭中,考慮其性別,共有4個(gè)樣本點(diǎn):若用X表示該家女孩子的個(gè)數(shù)時(shí),則有可得隨機(jī)變量X(ω),第13頁(yè),共27頁(yè)，2024年2月25日，星期天實(shí)例6

設(shè)盒中有5個(gè)球(2白3黑),從中任抽3個(gè),則是一個(gè)隨機(jī)變量.實(shí)例7

設(shè)某射手每次射擊打中目標(biāo)的概率是0.8,現(xiàn)該射手射了30次,則是一個(gè)隨機(jī)變量.且X(e)的所有可能取值為:且X(ω)的所有可能取值為:第14頁(yè),共27頁(yè)，2024年2月25日，星期天稱為

X

的分布函數(shù)．對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x1,x2(x1<x2)，有：x1

x2

xXo0xxX三、隨機(jī)變量的分布函數(shù)1.概念定義設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量，x

是任意實(shí)數(shù)，函數(shù)注意到X的分布函數(shù)是一個(gè)普通函數(shù).第15頁(yè),共27頁(yè)，2024年2月25日，星期天0２xX３-1x2.例子例1

設(shè)隨機(jī)變量X

的為：解：當(dāng)

x<-1

時(shí)，滿足求

X的分布函數(shù).滿足第16頁(yè),共27頁(yè)，2024年2月25日，星期天滿足２x３-1xX例1

設(shè)隨機(jī)變量X

的為：求

X的分布函數(shù).滿足滿足第17頁(yè),共27頁(yè)，2024年2月25日，星期天總之-10123

x1第18頁(yè),共27頁(yè)，2024年2月25日，星期天例2

一個(gè)靶子是半徑為2

米的圓盤，設(shè)擊中靶上任一同心圓盤上的點(diǎn)的概率與該圓盤的面積成正比，并設(shè)射擊都能中靶，以X表示彈著點(diǎn)與圓心的距離.試求隨機(jī)變量X的分布函數(shù).解：X（1）若

x<0,滿足（2）滿足據(jù)題意第19頁(yè),共27頁(yè)，2024年2月25日，星期天01231F(x)x例2

一個(gè)靶子是半徑為2

米的圓盤，設(shè)擊中靶上任一同心圓盤上的點(diǎn)的概率與該圓盤的面積成正比，并設(shè)射擊都能中靶，以X表示彈著點(diǎn)與圓心的距離.試求隨機(jī)變量X的分布函數(shù).解：（1）若

x<0,（2）（3）滿足是必然事件，于是總之第20頁(yè),共27頁(yè)，2024年2月25日，星期天3.性質(zhì)從以上分布函數(shù)的圖象可以看出，分布函數(shù)

F(x)具有以下基本性質(zhì)：10

F(x)是一個(gè)不減的函數(shù)．事實(shí)上，01231F(x)x2030性質(zhì)20，30不加證明了,可以直觀理解.第21頁(yè),共27頁(yè)，2024年2月25日，星期天3.性質(zhì)10

F(x)是一個(gè)單調(diào)不減的函數(shù)．01231F(x)x2030-101231xF(x)另外，可以證明:(1)分布函數(shù)必須滿足以上三個(gè)性質(zhì).(2)滿足以上三個(gè)性質(zhì)的函數(shù)一定是某一個(gè)隨機(jī)變量的分布函數(shù).第22頁(yè),共27頁(yè)，2024年2月25日，星期天4.用分布函數(shù)計(jì)算某些事件的概率則F(x)是一個(gè)單調(diào)不減的函數(shù)，單側(cè)極限一定存在.第23頁(yè),共27頁(yè)，2024年2月25日，星期天例3第24頁(yè),共27頁(yè)，2024年2月25日，星期天例4由分布函數(shù)的性質(zhì)，我們有解：解方程組得第25頁(yè),共27頁(yè)，2024年2月25日，星期天四、隨機(jī)變量的分類離散型隨機(jī)變量連續(xù)型非離散型其它

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