新高考數(shù)學一輪復習題型歸類與強化測試（新高考專用） 空間點線面之間的位置關(guān)系

專題42空間點、線、面之間的位置關(guān)系

知考綱要求

識考點預測

梳常用結(jié)論

理方法技巧

題型一：平面的基本性質(zhì)

題型二：空間兩直線的位置關(guān)系

題題型三：求兩條異面直線所成的角

型題型四：空間幾何體的切割（截面）問題

歸題型五：

類題型六：

題型七：

題型八：

題型九：

訓練一：

培訓練二：

優(yōu)訓練三：

訓訓練四：

練訓練五：

訓練六：

強單選題：共8題

化多選題：共4題

測填空題：共4題

試解答題：共6題

一、【知識梳理】

【考綱要求】

1.借助長方體，在直觀認識空間點、直線、平面的位置關(guān)系的基礎(chǔ)上抽象出空間點、直線、平

面的位置關(guān)系的定義.

2.了解四個基本事實和一個定理，并能應用定理解決問題.

【考點預測】

1.與平面有關(guān)的基本事實及推論

(1)與平面有關(guān)的三個基本事實

基本事實內(nèi)容圖形符號

A,B,。三點不共

基本過不在一條直線上的三

線今存在唯一的a使

事實1個點，有且只有一個平面

A,B,CGa

如果一條直線上的兩個

基本4日,8曰，且ZGa,

點在一個平面內(nèi)，那么這

事實2BGanlua

條直線在這個平面內(nèi)

如果兩個不重合的平面

基本有一個公共點，那么它們PGa,且Pe^臺a

事實3有且只有一條過該點的n￡=/,且pe/

公共直線

(2)基本事實1的三個推論

推論內(nèi)容圖形作用

經(jīng)過一條直線和這條直線外

推論1

一點，有且只有一個平面心/

經(jīng)過兩條相交直線，有且只確定平面的

推論2

有一個平面依據(jù)

經(jīng)過兩條平行直線，有且只

推論3

有一個平面

2.空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系

直線與直線直線與平面平面與平面

圖形------a//

平行語言一4A___/好~~7

關(guān)系符號

a//ba//aa//[i

語言

圖形

1xa/

相交語言

關(guān)系符號

aP\b=AaClaC0=l

語言

圖形/b

獨有語言J-------,

關(guān)系符號a,b是

aua

語言異面直線

3.基本事實4和等角定理

平行公理：平行于同一條直線的兩條直線互相平行.

等角定理：如果空間中兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補.

4.異面直線所成的角

(1)定義：已知6是兩條異面直線，經(jīng)過空間任意一點。作直線優(yōu)〃mh'//b,把優(yōu)與"所

成的角叫做異面直線a與b所成的角(或夾角).

(2)范圍：叵

【常用結(jié)論】

1.證明點共線與線共點都需用到基本事實3.

2.兩異面直線所成的角歸結(jié)到一個三角形的內(nèi)角時，容易忽視這個三角形的內(nèi)角可能等于兩異

面直線所成的角，也可能等于其補角.

【方法技巧】

1.共面、共線、共點問題的證明

(1)證明共面的方法：先確定一個平面，然后再證其余的線(或點)在這個平面內(nèi).

(2)證明共線的方法：先由兩點確定一條直線，再證其他各點都在這條直線上.

(3)證明共點的方法：先證其中兩條直線交于一點，再證其他直線經(jīng)過該點.

2.點、直線、平面位置關(guān)系的判定，注意構(gòu)造幾何體(長方體、正方體)模型來判斷，常借助正

方體為模型.

3.求異面直線所成的角的三個步驟

一作：根據(jù)定義作平行線，作出異面直線所成的角.

二證：證明作出的角是異面直線所成的角.

三求：解三南形，求出所作的南.

4.作截面應遵循的三個原則：

①在同一平面上的兩點可引直線；

②凡是相交的直線都要畫出它們的交點；

③凡是相交的平面都要畫出它們的交線.

5.作交線的方法有如下兩種：

①利用基本事實3作交線；

②利用線面平行及面面平行的性質(zhì)定理去尋找線面平行及面面平行，然后根據(jù)性質(zhì)作出交線.

二、【題型歸類】

【題型一】平面的基本性質(zhì)

【典例1】如圖所示，在正方體中，E，E分別是和44i的中點，求證：E，

C，Di，E四點共面.

【證明】如圖所示，連接CDi，EF'A\B，

因為E，尸分別是48和441的中點，所以￡尸〃/山且￡尸=1/山.

2

又因為小平行8c且小。1=8。，

所以四邊形力山。|是平行四邊形，

所以48〃C7）i，所以石廠〃。。，

所以EF與C￡>i確定一個平面a，

所以E'F'C'OiCa，

即E，C，。，產(chǎn)四點共面.

【典例2】（多選）如圖，在長方體中，。是的中點，直線4。交平面。山。

于點M，則下列結(jié)論正確的是（）

A.G，M，。三點共線

B.C，M，O，。四點共面

C.Ci，。，小，M四點共面

D.DrD，O，"四點共面

【解析】連接小G，ZC，則4CC8O=。>又小cn平面C1BD=M，所以三

點C\'M'O在平面CiBD與平面NCG4的交線上，所以Ci，M，O三點共

線，所以選項A，B，C均正確，選項D錯誤.

A'R

故選ABC.

【典例3］如圖，空間四邊形/BCD中，E，尸分別是4?的中點，6，冃分別在8。。。

上，且8G：GC=DH:HC=1:2.

（1）求證：E，F(xiàn)，G，”四點共面；

⑵設(shè)EG與可交于點P，求證：P，/，C三點共線.

【解析】（1）因為E，尸分別為48>AD的中點，即以EF〃BD.在LBCD中，—>所

GCHC2

以GH〃BD，就以EF〃GH、所以￡，尸，G，”四點共面.

（2）因為EGCFH=P，PGEG，EGU平面ABC，

所以PG平面/8C.同理PC平面力0c.

所以「為平面N8C與平面/DC的公共點，

又平面Z8Cn平面ADC=AC，

所以PGZC，所以P，A，。三點共線.

【題型二】空間兩直線的位置關(guān)系

【典例1】如圖，點N為正方形/8C0的中心，△ECD為正三角形，平面ECQ丄平面

M是線段E。的中點，則（）

A.BM=EN,且直線BM,EN是相交直線

B.BM手EN,且直線8M,EN是相交直線

C.BM=EN,且直線EN是異面直線

D.BMWEN,且直線BM,EN是異面直線

【解析】如圖，取CD的中點、F,連接EE,EB,BD,FN,因為△?）￡是正三角形，所以EF工CD.

設(shè)CD=2,則因為點N是正方形的中心，所以BD=23,NF=1,BC±CD.

因為平面ECO丄平面480,所以EE丄平面Z8CD,8C丄平面ECO,所以EF：LNF,BCLEC,

所以在RtAEFN中，EN=2,在RSCE中，EB=2&所以在等腰三角形BDE中，BM=?

所以BM手EN.易知BM,EN是相交直線.

故選B.

【典例2】已知空間三條直線/,m,n,若/與加異面，且/與〃異面，則（）

A.機與〃異面

B.m與“相交

C.加與〃平行

D.m與"異面、相交、平行均有可能

【解析】在如圖所示的長方體中，加，〃1與/都異面，但是〃,所以A,B錯誤；m,tn

與/都異面，且”?，〃2也異面，所以C錯誤.

故選D.

【典例3］如圖，正方體/BCD-481coi中，M,N分別為棱C0i,GC的中點，有以下四個

結(jié)論：

①直線ZM與CG是相交直線；

②直線與8N是平行直線；

③直線8N與是異面直線；

④直線AM與DD\是異面直線.

其中正確的結(jié)論是（注：把你認為正確的結(jié)論的序號都填上）.

【解析】直線4M與CG是異面直線，直線與8N也是異面直線，故①②錯誤.

答案：③④

【題型三】求兩條異面直線所成的角

【典例1】如圖，在底面為正方形，側(cè)棱垂直于底面的四棱柱NBC。-45GB中，AA,=2AB

=2,則異面直線48與/人所成角的余弦值為（）

A.-B.-

55

?3八4

D.一

55

【解析】連接8G,易證則/力山。即為異面直線48與NA所成的角.連接4G,

由48=1,441=2,易得小。=/，AiB=BC尸?故cos/NiBC：4"4G=4,

2XA1BXBQ5

即異面直線48與ADx所成角的余弦值為:.故選D.

【典例2】在長方體中，AB=BC=1,AAI=3,則異面直線ZOi與。田所成

角的余弦值為（）

1/「小八啦

A.一B.C.——D.一

5652

【解析】如圖，連接8n，交。81于0,取48的中點連接。M,O"易知。為8。的中

點，所以4）i〃OA/,則NM。。為異面直線與。S所成角或其補角.因為在長方體

中，AB=BC=\,44尸3,

AD\=：y]AD2+DD^=2,

DM=\I4D21A4=當

DB\=W￥+/02+D濟=在

所以O(shè)M=1/￡)i=1,OD=~DB\=—,

222

于是在△OMO中，由余弦定理,

得cosZMOD=2X1*5

即異面直線ZA與。81所成角的余弦值為g.

【典例3】在正方體/BCD—/山iG。中，P為81。的中點，則直線必與/0所成的角為

()

A-2BiC4D6

【解析】如圖，連接GP,因為Z8CD—是正方體，且P為囪。?

的中點，所以GP丄囪A,又CiP工BB\,BiDSBB尸Bi,B\D\,平

面BiBP,所以CP丄平面6山尸.又8Pu平面6山尸，所以有CiP丄8P.連接

6G,則所以NP8C為直線P8與/。?所成的角.設(shè)正方體/8CO

一/山iGDi的棱長為2,則在Rt^GPB中，CIP=LBQ尸亞,8a=2/，sinZPBC\=-=

2BC\

所以NP8G=￡

26

故選D.

【題型四】空間幾何體的切割（截面）問題

【典例1】在正方體48。。一48|。。1中，M,N分別是棱。。1和85上的點，MD=；DDi,

NB=^BB\,那么正方體中過M,N,G的截面圖形是（）

A.三角形B.四邊形

C.五邊形D.六邊形

【解析】先確定截面上的已知邊與幾何體上和其共面的邊的交點，再確定截面與幾何體的棱的

交點.

如圖，設(shè)直線GM,C。相交于點P,直線GN,C3相交于點。，連接P0交直線/。于點E,

交直線N8于點色則五邊形GME/W為所求截面圖形.

故選C.

【典例2】（多選）正方體/BCD一小囪GA的棱長為2,已知平面a丄/。，則關(guān)于a截此正方體

所得截面的判斷正確的是（）

A.截面形狀可能為正三角形

B.截面形狀可能為正方形

C.截面形狀可能為正六邊形

D.截面面積最大值為33

【解析】易知A,C正確，B不正確，下面說明D正確，

如圖，截面為正六邊形，當六邊形的頂點均為棱的中點時，其面積最大，MN=2&GH=^2,

OE=、OO,2+0￡2={+圖2=遍,

所以5=2義3義（啦+2啦）X?=3S,

故D正確.

故選ACD.

【典例3]如圖，正方體4c的棱長為1,點/在棱4A上，A\M=2MD\,過〃的平面a與

平面48G平行，且與正方體各面相交得到截面多邊形，則該截面多邊形的周長為.

【解析】在平面4OD4中尋找與平面46a平行的直線時，只需要ME〃BC\,如圖所示，

因為4M=2MA,故該截面與正方體的交點位于靠近Oi,A,。的三等分點處，故可得截面

為MIHGFE,

設(shè)正方體的棱長為3a,

則ME=2也7,MI=\[2a,

IH=2\l2a,HG=0a,EG=2/a,EF=^2a,

所以截面MIHGFE的周長為ME+EF+FG+GH-\-Hl+lM=9^2a,

又因為正方體ZC的棱長為1,即3a=1,

故截面多邊形的周長為3s.

三、【培優(yōu)訓練】

【訓練一】平面a過正方體/6CLM囚CQ1的頂點/>a〃平面CB\D\'an平面ABCD=m，

aD平面，則加，〃所成角的正弦值為（）

【解析】如圖所示）設(shè)平面CBiDiC平面4BCD=mi，

因為a〃平面C8Q，則加|〃加，又因為平面/8C?！ㄆ矫?肉。。|呼面C8QH平面

—B\D\>

所以B\D\//m\'

所以9。1〃加，同理可得。

故m'n所成角的大小與B\D\'CD\所成角的大小相等，即NCTJ/i的大小.

又因為8C=8Q=CDi（均為面對角線），

所以NCDI8I=工，

3

得sinZC￡>i5i=-，故選A.

2

【訓練二】已知直四棱柱的棱長均為2，NA4D=60°.以Di為球心，近為半

徑的球面與側(cè)面3CG81的交線長為

【解析】如圖，連接8Q，易知△SGQi為正三角形，所以8。產(chǎn)GOi=2.分別取BQ，88i，

CCi的中點M，G，〃，連接。'D\G，DiH，則易得DIG=DIH=F^

=3，'且。iM=S.由題意知G，”分別是881，CC\與球

面的交點.在側(cè)面BCC\B\內(nèi)任取一點P，使MP=yl2，連接D\P，則D\P

="必+叱=7（偽2+（啦）2=3，連接MG，MH，易得MG

=MH=6，故可知以M為圓心也為半徑的圓弧G，為球面與側(cè)面8CC山?的交線.由NSMG

=NGM〃=45°知NGA/〃=90°，所以曲的長為丄X2n乂/=加工

42

【訓練三】如圖，E,F,G,"分別是空間四邊形各邊上的點，且AE：EB=AH：HD

=ni,CF：FB=CG:GD=n.

（1）證明：E,F,G,〃四點共面；

（2而，“滿足什么條件時，四邊形EFGH是平行四邊形？

（3）在（2）的條件下，若ZC丄80,試證明：EG=FH.

【解析】（1）證明：因為/￡：EB=AH：HD,所以EH//BD.

又CF：FB=CG：GD,

所以尸G〃BD.所以EH//FG.

所以E,F,G,"四點共面.

(2)當E”〃尸G,且時，四邊形ENG”為平行四邊形.

因為旦g=4g=，一,所以E“=亠—BD

BDAE+EB"?+1加+1

同理可得產(chǎn)G=-4-6。，由EH=FG,得/?=〃.

〃+1

故當加=〃時，四邊形EFG”為平行四邊形.

(3)證明：當m=n時，AE：EB=CF:FB,

所以EF〃AC,

又EH//BD,

所以NEE"是ZC與8。所成的角(或其補角)，

因為4C丄8。，所以NFEH=90°,

從而平行四邊形EFGH為矩形，所以EG=FH.

【訓練四】如圖1，在邊長為4的正三角形/8C中，D,產(chǎn)分別為〃6,ZC的中點，E為AD

的中點.將△8C。與分別沿CO,￡尸同側(cè)折起，使得二面角工一律一。與二面角3一

8—E的大小都等于90。，得到如圖2所示的多面體.

⑴在多面體中，求證：A,B,D,E四點共面；

(2)求多面體的體積.

【解析】⑴證明因為二面角4一￡尸一。的大小等于90。，

所以平面AEFA.平面DEFC,

XAE±EF,NEU平面平面/EFC平面DEFC=EF,

所以花丄平面DEFC,

同理，可得8。丄平面OE/C,

所以4E〃BD,故4B,D,￡四點共面.

(2)解因為ZE丄平面OEfC,BD上平面DEFC而F〃CD,AE//BD,DELCD,

所以是四棱錐4一。QEF的高，點/到平面BCD的距離等于點E到平面BCD的距離，

又4E=DE=1,CD=20EF=?BD=2,

所以V=V*-CDEF+VA-BCD=~S*彩CDEF-AE+\S^BCD-DE=

【訓練五】如圖1,在邊長為4的正三角形N8C中，D,/分別為48,ZC的中點，E為AD

的中點.將△68與分別沿C。，跖同側(cè)折起，使得二面角工一跖一。與二面角8一

CD—E的大小都等于90。，得到如圖2所示的多面體.

圖1圖2

⑴在多面體中，求證：A,B,D,E四點共面；

(2)求多面體的體積.

【解析】(1)證明因為二面角4一跖一。的大小等于90。，所以平面NEb丄平面?！晔?。,

又AE丄EF,NEU平面ZEE,平面4EEA平面。EFC=E6所以ZE丄平面。EEC,

同理，可得8。丄平面OEFC,

所以故4,B,D,E四點共面.

(2)解因為ZE丄平面。EEC,8。丄平面OEFC,EF//CD,AE//BD,DE1CD,

所以4E是四棱錐4一8￡斤的高，點A到平面BCD的距離等于點E到平面BCD的距離，

又AE=DE=1,CD=2?EF=?BD=2,

所以V=VA-CDEF~\~匕-8CQ=：S*杉CDEF'AE+^-S^BCD'DE=.

336

【訓練六】如圖，在四棱錐P—N8C。中，底面/BCD為正方形，邊長為4,E為4s的中點,

PE丄平面N6CDP&

(1)若△刃8為等邊三角形，求四棱錐尸一/3。。的體積；

(2)若8的中點為冗Pb與平面所成角為45。，求PC與所成角\%D

的正切值.6'C

【解析】(1)：正方形/BCD的邊長為4,且為等邊三角形，E為48的中點，

：.PE=PBsinZPBE=AB-sin60°=2^3,

又PE丄平面ABCD,

二四棱錐P-ABCD的體積VP-ABCD=1X42X2^5=

(2y：AD//BC,

，/PCB即PC與所成的角.

如圖，連接EE,?.,PE丄平面/BCD,EF,8Cu平面4SCO,

：.PELEF,PELBC,

又PF與平面ABCD所成角為45°,

即NPFE=45。，

:.PE=EFtan/PFE=4,

.?.尸8=立西康=在百=2五

XBCLAB,PECAB=E,PE,Z8u平面必8,

丄平面PAB,

又PBu平面PAB,:.BCJLPB,

..tanZ-PCB———亠，

BC2

：.PC與AD所成角的正切值為苴.

2

四、【強化測試】

【單選題】

1.已知直線a和平面a，B，an￡=/，Ra，而￡，且a在a，￡內(nèi)的射影分別為直線b和

c，則直線b和c的位置關(guān)系是（）

A.相交或平行B.相交或異面

C.平行或異面D.相交、平行或異面

【解析】依題意，直線/，和c的位置關(guān)系可能是相交、平行或異面.

故選D.

2.在四面體Z8C。中，點E，E，G，〃分別在直線，AB，CD，BC1.，若直線EE和GH

相交，則它們的交點一定（）

A.在直線上B.在直線上

C.在直線C3上D.都不對

【解析】直線所和G”相交，設(shè)其交點為因為EFU平面4BD，//GU平面CBD，所以

平面且MS平面C8D因為平面ZBOn平面BCD=BD，所以，所以EF與HG的

交點在直線80上.

故選A.

3.如圖所示，平面aC平面夕=/，A^a，BRa，ABCl=D，CG￡，C莊/,則平面NBC與平

面夕的交線是（）

A.直線ZCB.直線Z8

C.直線CDD.直線8c

【解析】由題意知，DGl，lu°，所以。e4，

又因為DGAB，所以O(shè)G平面Z8C，

所以點。在平面/3C與平面外的交線上.

又因為CG平面ABC，CG￡，所以點C在平面0與平面N8C的交線上，所以平面48Cn平面

尸CD.

故選C.

4.如圖，在三棱柱48cl中，底面三角形48iG是正三角形，E是5c的中點，則下列

敘述正確的是（）

A.CG與BE是異面直線

B.GC與ZE共面

C./￡與SG是異面直線

D.ZE與BCi所成的角為60°

【解析】由于CG與81E都在平面C'B'BC內(nèi)，故CC與B\E是共面的，所以A錯誤；由于

GC在平面。山18c內(nèi)，而ZE與平面GB8C相交于￡點，點￡不在GC上，故GC與AE

是異面直線，B錯誤；同理/￡與81G是異面直線，C正確；而4E與81c所成的角就是

與8c所成的角，E為BC中點，△Z8C為正三角形，所以ZE丄8C，D錯誤.

故選C.

5.已知直線平面a'直線/?u平面a'給出下面四個結(jié)論：①若I與m不垂直，則/與a一定

不垂直；②若/與m所成的角為30°，則/與a所成的角也為30°；③/〃加是/〃a的必要不充

分條件；④若/與a相交，則/與機一定是異面直線.其中正確結(jié)論的個數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【解析】對于①，當/與加不垂直時，假設(shè)/丄a，那么由/丄a一定能得到/丄〃？，這與已知條

件矛盾，因此/與a—■定不垂直，故①正確；對于②1易知/與m所成的角為30°時，/與a所

成的角不一定為30°，故②不正確；對于③，/〃加可以推出/〃a，但是/〃a不能推出/〃m，

因此/〃加是/〃a的充分不必要條件，故③不正確；對于④，若/與a相交，則/與加相交或異

面，故④不正確.故正確結(jié)論的個數(shù)為1，

選A.

6.如圖，在正方體ABCDWBCD，中，平面a垂直于對角線AC>且平面a截得正方體的六個表

面得到截面六邊形，記此截面六邊形的面積為S，周長為/，則（）a____

A.S為定值，/不為定值B.S不為定值，/為定值

C.S與/均為定值D.S與/均不為定值

【解析】設(shè)平面a截得正方體的六個表面得到截面六邊形①，3與正方體的棱的交點分別為/，

J，N，M，L，K（如圖）.

將正方體切去兩個正三棱錐8。和C-3'C。，得到一個幾何體/，則『的上、下底面夕

CD,與48?；ハ嗥叫?，每個側(cè)面都是等腰直角三角形，截面六邊形0的每一條邊分別與『的

底面上的每一條邊平行.設(shè)正方體的棱長為a>-=7，則IK=yBD=電的，KL={\-y）A'B

A'B'

=旭。（1-7），故IK+KL=\fiay+啦a（l-y）=^a.同理可證LM+MN=NJ+IJ=Qa，故六邊

形3周長為3亞a，即周長為定值.

當/，J，N，A/，L，K都在對應棱的中點時，3是正六邊形.其面積S=

6X^X惇[2X'=乎/,BD的面積為3義（価a?X?=*a2,當①

無限趨近于8。時，3的面積無限趨近于日経，故。的面積一定會發(fā)生

變化，不為定值.故選B.

7.如圖，已知線段垂直于定圓所在的平面，B,。是圓上的兩點，”是點8在/C上的射

影，當點C運動時，點”運動的軌跡（）

A.是圓B.是橢圓

C.是拋物線D.不是平面圖形

【解析】如圖，過點8作圓的直徑8。，連接CD,AD,Pl']BCA.CD,再過點3作8E丄/。于

點、E,毘接HE,因為丄平面8C。，所以丄CD又8c丄。，且ABCBC=B,所以C。丄

平面/6C,所以CDLBH.

叉BHtAC,且/CACO=C,所以8"丄平面/CD,所以8〃丄BH±HE.

又注意到過點8與直線垂直的直線都在同一個平面內(nèi)，于是結(jié)合點8,E位置，可知，當

點C運動時，點H運動的軌跡是以8E為直徑的圓.

故選A.

8.如圖，點N為正方形N3C。的中心，AECD為正三角形,平面EC。丄平面48cD,M是

線段的中點，則（）

A.且直線8M,EN是相交直線

B.BM豐EN,且直線EN是相交直線

C.BM=EN,且直線EN是異面直線

D.BMWEN,且直線EN是異面直線

【解析】如圖，取CO的中點。，連接ON,EO,因為△EC。為正三角形，所以丄8,又

平面EC。丄平面平面EC￡>n平面N8CD=CD,所以EO丄平面/BCD設(shè)正方形48。

的邊長為2,則EO=g,ON=1,所以EI^=EO2+ON2=4,得EN=2.過M作CD的垂線，

垂足為尸，連接8P,則〃P=退，CP=-,所以8必二加戸+^戶二口2+0+22=7,得8M

22

=布,所以8MWEN.連接80,BE,因為四邊形/8GD為正方形，所以N為8。的中點，即

EN,M3均在平面8OE內(nèi)，所以直線EN是相交直線.故選B.

【多選題】

9.四棱錐尸一Z8CZ）的所有棱長都相等，M,N分別為PA,8的中點，下列說法正確的是

（）

A.MN與尸。是異面直線

B.M7V〃平面PBC

C.MN//AC

D.MNUB

【解析】如圖所示，取P8的中點冃，連接“冃，HC,

由題意知，四邊形MHCN為平行四邊形，KMN//HC,所以〃N〃平面P8C,設(shè)四邊形

確定平面a,又。Wa,故〃，N,。共面，但Pa平面a,D^MN,因此MN與PO是異面直線;

故A,B說法均正確.

若MN〃AC,由于C"〃1W,貝I」C4〃/C,

事實上zcnc"=c,C說法不正確；

因為PC=BC,”為P8的中點，所以CHVPB,又CH//MN,所以MNLPB,

D說法正確.

故選ABD.

10.下圖中，G,N,M,//分別是正三棱柱（兩底面為正三角形的直棱柱）的頂點或所在棱的中

點，則表示直線G4,是異面直線的圖形有（）

【解析】圖A中，直取GH//MN；

圖B中，G,H,N三點共面，但M與平面GUN,NaGH,因此直線G4與MN異面；

圖C中，連接MG,GM//HN,因此G//與共面；

圖D中，G,M,N共面，但朋平面GMN,G6MN,

因此GH與MN異面.

故選BD.

11.如圖所示，在正方體中，。是BD的中點，直線4c交平面/囪。于

點M,則下列結(jié)論正確的是（）

A.Z,M,。三點共線B.A,M,O,4共面

C.A,M,C,O共面D.B,Bi,O,M共面

【解析】???A/W4C,/Cu平面/MCG,

...A/e平面A\ACC\,

又平面ABiDi,

：.M在平面AB\D\與平面A\ACC\的交線NO上,

即aM,。三點共線，

：.A,M,O,4共面且4M,C,。共面，

?.?平面58101。n平面451D1=5101,

在平面BBQiD外,

即8,Si,O,“不共面，故選ABC.

12.如圖，已知二面角/一8。一。的大小為；，G,〃分別是8C,CD的中點，E,F分別在

AD,AB1.,窮=箒=；，且ZC丄平面8C。，則以下說法正確的是（）

A.E,F,G,"四點共面式

B.FG//平面ADC

C.若直線/G,HE交于點P,則P,A,。三點共線交0

BGC

D.若△43。的面積為6,則△3CO的面積為3

【解析】由絲="=丄知EE平行丄8。，且EF」BD

ADAB333

又G"平行-BD,且GH'BD：.EF//GH,

22

因此E,F,G,"共面，A項正確；

假設(shè)bG〃平面ZOC成立，因為平面ZBCn平面。4C=/C,

A171

所以FG〃4C,又G是8C的中點，所以F是的中點，與矛盾，B項不正確；

AB3

因為EGu平面Z3C,PSFG,所以PG平面/6C,同理PW平面/DC,

因為平面/BCn平面/OC=NC,所以尸e/C,所以尸，A,。三點共線，因此C正確；

7T1

易知5Afico=cosj-SA/isp=-X6=3,D正確.

故選ACD.

【填空題】

13.已知在直三棱柱NBC—481G中，ZABC=120°,AB=2,BC=CC\=\,則異面直線ZB

與BCi所成角的余弦值為.

【解析】如圖所示，補成直四棱柱/8CO—4囪。1。1,

則所求角為N3G。或其補角，

'：BC\=^2,5Z)=\<22+1-2X2X1Xcos60°,C\D=AB\=^5,

易得CI￡)2=BD2+8G,即BC丄8。，

因此cosN8GD=g=*=遞.

C\DV55

14.在空間中，給出下面四個命題，其中假命題為.(填序號)

①過平面a外的兩點，有且只有一個平面與平面a垂直；

②若平面夕內(nèi)有不共線三點到平面a的距離都相等，則a〃夕；

③若直線/與平面a內(nèi)的任意一條直線垂直，則/丄a；

④兩條異面直線在同一平面內(nèi)的射影一定是兩條相交直線.

【解析】對于①，當平面a外兩點的連線與平面a垂直時，此時過兩點有無數(shù)個平面與平面a垂

直，所以①不正確；

對于②，若平面6內(nèi)有不共線三點到平面a的距離都相等，平面a與夕可能平行，也可能相交，所

以②不正確；

對于③，直線/與平面內(nèi)的任意直線垂直時，得到/丄a,所以③正確；

對于④，兩條異面直線在同一平面內(nèi)的射影可能是兩條相交直線或兩條平行直線或直線和直線

外的一點，所以④不正確.

15.在正方體中，E,F,P,。分別為/山，B\D\,A\D,的中點，則直

線EF與PQ所成角的大小是.

【解析】如圖，連接4G,5G,則E是4G的中點，

又E為/山的中點，所以EF〃BQ,連接QG,則0是OCi的中點，

又尸為4。的中點，所以

于是N4C山是直線EF與PQ所成的角或其補角.

易知△小。山是正三角形，所以/4。山=扌

16.在棱長為4的正方體中，P,。分別為棱〃CG的中點，過尸，Q,

工作正方體的截面，則截面多邊形的周長是.

【解析】如圖所示，

過。作QM//AP交8c于

由4P=CQ=2,tanZJ7Mi=2,

CQ

則tanNCMQ=2,CM=

tanZCMQ

延長交囪G的延長線于E點，連接PE,交。Ci于N點,

則多邊形AMQNP即為截面，

根據(jù)平行線性質(zhì)有GE=CM=1,

C\N=CiE=T

ND\~PD\~1'

4Q

則C\N=±,D\N=J

33

因此NQ=

NP=m費

又AP=\；'42+22=23，AM=\,l42+32=5,

MQ=\j\2+22-\5,

所以多邊形ZMQNP的周長為

AM+MQ+QN+NP+PA

=5+V5+^^+—+2^/5

33

=25+9^5+2^13

3°

【解答題】

17.如圖，在正方體/8C。-4中，0為正方形ABCD的中心，〃為直線B\D與平面ZC。

的交點.求證：Di,H,。三點共線.

【解析】如圖，連接BO,BiDi，則8OC4C=O,

因為BB\幺DDi，

所以四邊形BBiDiD為平行四邊形，

入HRB\D,

6|Z)U平面BB\D\D,

則HG平面BBiDiD,

因為平面NC。D平面BB\D\D=OD\,

所以"GO0.即。i,H,O三點共線.

18.如圖，在三棱錐P-48C中，H丄底面48C,。是PC的中點.已知N84C=n，AB=2,

2

AC=2\[3,%=2.求：

(1)三棱錐P-48C的體積；

(2)異面直線BC與AD所成角的余弦值.

【解析】(1)品枇=亠2X23=23，

三棱錐P-ABC的體積為V=XS^ABC-PA=1X2\/3X2=4%(3.

333

(2)如圖，取P8的中點E,連接OE,AE,Pl']ED//BC,所以N/OE(或其補角)是異面直線8C

與AD所成的角.

[―22+2?—23

在中，￡>￡=2,AE=y)2,AD=29cosZADE=---------=".

2X2X24

a

故異面直線BC與AD所成角的余弦值為丄

19.