完全平方公式-教學(xué)設(shè)計(幾何)（郭建華）

完全平方公式本溪市試驗中學(xué)郭建華一、內(nèi)容與內(nèi)容解析1．內(nèi)容完全平方公式2．內(nèi)容解析本節(jié)內(nèi)容主要探討的是完全平方公式的推導(dǎo)和公式在整式乘法中的應(yīng)用．它是在學(xué)習(xí)了代數(shù)式的概念、整式的加減法、積的乘方、冪的運算和整式的乘法后學(xué)習(xí)的，也是在因式分解、分式的加減乘除混合運算中有廣泛的應(yīng)用．一些具有特別形式的多項式相乘，可以寫成公式的形式．當遇到特別形式的多項式相乘時，可以干脆運用公式寫出結(jié)果，具有簡化計算的功能．完全平方公式的推導(dǎo)，從代數(shù)的角度來推導(dǎo)，是以多項式乘法與合并同類項的學(xué)問為基礎(chǔ)，通過計算、視察、歸納，抽象概括出的特別形式的等式；讓學(xué)生構(gòu)造幾何圖形，用不同方式表示圖形的面積，進行代數(shù)恒等變形來推導(dǎo)完全平方公式的結(jié)果，則體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想方法和讓學(xué)生動手操作進行數(shù)學(xué)活動探究模式．完全平方公式是多項式的乘法公式的一種，即兩數(shù)和(或差)的平方，等于它們的平方和，加上(或者減去)它們乘積的2倍．而公式的符號表示及語言表述則揭示了公式的結(jié)構(gòu)特征，公式(a＋b)2=a2＋2ab＋b2，(a－b)2=a2－2ab＋b2中的字母a，b可以是詳細的數(shù)、單項式、多項式、分式等等，體現(xiàn)了從一般到特別的思想方法；通過乘法公式的學(xué)習(xí)對簡化某些整式的運算，還能夠培育學(xué)生的求簡意識．基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)重點：完全平方公式的發(fā)覺和推導(dǎo)過程，理解公式的本質(zhì)，并會運用公式進行簡潔的計算．三、教學(xué)目標和目標解析1．教學(xué)目標(1)．學(xué)問與技能：理解公式及公式的推導(dǎo)過程，了解公式的幾何背景，會應(yīng)用公式進行簡潔的計算．(2)．過程與方法：通過讓學(xué)生經(jīng)驗完全平方公式的探究過程，使學(xué)生體會數(shù)、形結(jié)合的優(yōu)勢，駕馭完全平方公式的特征，培育學(xué)生的發(fā)覺實力、求簡意識、應(yīng)用意識、解決問題的實力和創(chuàng)新實力2．目標解析達成目標(1)的標記是：學(xué)生知道由多項式乘法到完全平方公式是一般到特別的過程，能依據(jù)多項式的乘法法則推導(dǎo)出完全平方公式；學(xué)生理解可以構(gòu)造幾何圖形利用面積的不同表示方式來完成公式的推導(dǎo)，了解驗證完全平方公式的詳細方法.理解公式中的字母可以表示詳細的數(shù)、單項式、多項式等，能夠正確地運用公式進行簡潔計算．達成目標(2)的標記是：學(xué)生在探究完全平方公式的過程中，能夠更好地發(fā)覺公式、體會和理解公式及公式的基本結(jié)構(gòu)與特征，會用符號表示公式，能用文字語言表述公式內(nèi)容；在利用幾何圖形的面積驗證公式的過程中，感知數(shù)形結(jié)合的思想．一些特別形式的多項式乘法，可以利用完全平方公式進行計算，能夠體會利用公式計算帶來的便利性；一些數(shù)字平方的計算，讓學(xué)生體會應(yīng)用公式解決問題的方法；而對公式進行拓展探究，利用圖形解決問題，則體現(xiàn)了學(xué)生的創(chuàng)新意識.四、教學(xué)問題診斷分析由于學(xué)生受2(a＋b)=2a＋2b，(ab)2=a2b2的影響，很簡潔產(chǎn)生(a＋b)2=a2＋b2，(a－b)2=a2－b2的錯誤結(jié)論并無意識的記憶這個結(jié)論；由于公式(a＋b)2=a2＋2ab＋b2，(a－b)2=a2－2ab＋b2中的字母a，b本身可以是詳細的數(shù)、整式、分式等，狀況比較困難，尤其是字母a，b是帶有數(shù)字系數(shù)的單項式時，簡潔遺忘將數(shù)字系數(shù)平方，或者做計算時中間項漏乘公式的2倍，因此對于學(xué)生來說，運用公式有時會有困難．而作為完全平方公式的應(yīng)用，教材中引入數(shù)字平方計算題，將數(shù)字分解成兩個數(shù)和(或差)的平方，而且這兩個數(shù)的平方與這兩個數(shù)乘積2倍必需簡潔計算是解題的關(guān)鍵．因此，駕馭完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征，是運用公式、解決詳細問題的關(guān)鍵．因此本節(jié)課的教學(xué)難點是：完全平方公式的變式運用．五、教學(xué)支持條件分析為了幾何圖形面積驗證公式，可以用幾何畫板軟件演示拼圖：大正方形面積=(a＋b)2大正方形面積=a2＋ab＋ab＋b2=a2＋2ab＋b2因此：(a＋b)2=a2＋2ab＋b2(圖1)大正方形面積=a2大正方形面積=(a－b)2＋b(a－b)＋b(a－b)＋b2=(a－b)2＋2ab－b2因此：a2=(a－b)2＋2ab－b2(圖2)所以：(a－b)2=a2－2ab＋b2大正方形面積=(a＋b＋c)2大正方形面積=a2＋2ab＋2ac＋2bc＋b2＋c2因此：(a＋b＋c)2=a2＋2ab＋2ac＋2bc＋b2＋c2(圖3)立方體=(a＋b)3立方體=a3＋3a2b＋3ab2＋b3因此：(a＋b)3=a3＋3a2b＋3ab2＋b3(圖4)六、教學(xué)過程設(shè)計：(一)．小組合作，拼圖引課．你能將下面四個紙板拼成一個正方形嗎？師生活動：老師提出問題，學(xué)生先獨立思索，然后學(xué)生代表展示拼圖過程．若學(xué)生感到困難和有懷疑，老師可以指導(dǎo)學(xué)生完成．設(shè)計意圖：通過探究活動，讓學(xué)生主動熱忱地參加課堂教學(xué)活動。(二)．數(shù)形結(jié)合，探究公式．1．拼成的正方形中隱含著一個簡潔的等式，你能發(fā)覺它嗎？或者師生活動：老師提出問題，學(xué)生先獨立思索，然后同座(或者小組)溝通，學(xué)生代表展示結(jié)果．若學(xué)生有困難，老師可以引導(dǎo)學(xué)生解答問題．設(shè)計意圖：通過探究活動，讓學(xué)生成為學(xué)習(xí)的主體。讓學(xué)生相識完全平方和公式的幾何意義，能夠使學(xué)生更好地理解完全平方和公式．2．你還能用其他的方法得出(a+b)2=a2+2ab+b2嗎？師生活動：學(xué)生視察和思索，會發(fā)覺可以運用多項式乘法法則及合并同類項可以推導(dǎo)出公式．結(jié)合活動1的幾何圖形的拼圖，讓學(xué)生在此過程中體會數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想．設(shè)計意圖：通過活動1和活動2，讓學(xué)生經(jīng)驗動手操作(拼圖)、視察和比較(幾何圖形面積的不同的表示方法)、驗證(多項式乘法法則及合并同類項)、概括(得出完全平方和公式)的過程，從中加深對“數(shù)形結(jié)合的思想”的理解．(三)．類比遷移，深化探究1．如何計算：(a－b)2=？（要求：同座間計算方法不一樣．）師生活動：學(xué)生獨立完成后，同座間比較，要求計算方法不一樣．同座間進行探討，用不同方法解決問題．設(shè)計意圖：讓學(xué)生用多項式乘法法則及合并同類項得出結(jié)論；讓學(xué)生提高變更完全平方和公式的符號，進行計算．通過比較，讓學(xué)生體會通過公式計算帶來的便利性，以此培育學(xué)生的求簡意識．2．你能設(shè)計一個圖形說明公式(a－b)2=a2－2ab＋b2嗎？師生活動：學(xué)生先獨立設(shè)計圖形，然后同座(或者小組)探討，完成圖形設(shè)計．設(shè)計意圖：通過探究活動，讓學(xué)生相識完全平方差公式的幾何意義，使學(xué)生能夠更加深刻地理解公式，再一次讓學(xué)生在探究過程中體會數(shù)形結(jié)合的思想．(四)．總結(jié)公式，奇妙記憶(a＋b)2=a2＋2ab＋b2(a－b)2=a2－2ab＋b2兩數(shù)和(或差)的平方，等于它們的平方和，加上(或者減去)它們的積的2倍．速記口訣：首平方，尾平方，乘積2倍放中心，符號確定看前方！師生活動：師生共同分析兩個公式的特征；并用語言表述公式的內(nèi)容．設(shè)計意圖：讓學(xué)生視察兩個公式的異同點，總結(jié)記憶公式的方法；讓學(xué)生將符號語言轉(zhuǎn)化為文字語言，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)語言的表達實力；學(xué)生在用語言表述公式內(nèi)容時，可以加深對公式結(jié)構(gòu)特征的理解．(五)．例題學(xué)習(xí)，運用鞏固．例1．運用完全平方公式計算：(4m＋n)2師生活動：師生共同分析解答，老師板書例1，學(xué)生板書練習(xí)．在解答例1的過程中，老師指導(dǎo)學(xué)生要明確本題中的哪一個式子相當于公式中的a，b，然后依照公式，寫出完全平方和公式中對應(yīng)的每一項，在化簡得出結(jié)果；在解答練習(xí)1的過程中，同樣留意上述問題．解:(4m＋n)2=(4m)2＋2?(4m)?n＋n2=16m2＋8mn＋n2(a＋b)2=a2＋2?a?b＋b2練習(xí)1：（學(xué)生板演）(1)(4a－b)2(2)老師假如做錯了第一題，猜一猜老師可能錯哪了．設(shè)計意圖：讓學(xué)生熟識公式的結(jié)構(gòu)特征，找準哪個數(shù)或哪個式子相當于公式中的a，b，并運用公式進行計算．同時讓學(xué)生總結(jié)運用公式的閱歷，以及運用公式解決問題應(yīng)留意的事項．練習(xí)2：指出下列各式中的錯誤，并加以改正：(1)(2a?1)2＝2a2?2a＋1;(2)(2a＋1)2＝4a2＋1；(3)(-a?1)2＝-a2?2a?1．師生活動：學(xué)生獨立思索，并說明答案，對錯誤的問題相互溝通、訂正答案．設(shè)計意圖：通過正誤辨析及糾錯、改錯，讓學(xué)生進一步理解完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征，并能正確運用公式進行計算．(六)．學(xué)生編題，創(chuàng)新培育師生活動：學(xué)生自編題目，要求其他同學(xué)解答并能給出正確答案！但老師要引導(dǎo)學(xué)生可以自編出數(shù)字平方進行簡捷計算題目．設(shè)計意圖：讓學(xué)生活動成為課堂的主體，老師起到引導(dǎo)作用．對于學(xué)生自編題目，賜予充分的確定，讓學(xué)生有成就感；但又要引導(dǎo)他們自編題目多樣性，例如數(shù)字的平方計算，讓學(xué)生體會運用公式計算的簡捷性，同時使學(xué)生將完全平方公式的學(xué)問遷移到新的問題情景中，既鞏固新知，有培育學(xué)生的創(chuàng)新實力，分析實力和解決問題的實力．(七)學(xué)問拓展，思維提升猜想：(1).(a＋b＋c)2=？(2).(a＋b)3=？你能設(shè)計一個幾何圖形說明它們嗎？師生活動：老師提出問題，學(xué)生先獨立思索，然后同座(或者小組)探討給出代數(shù)計算結(jié)果和設(shè)計幾何圖形．學(xué)生有困難，老師指導(dǎo)．設(shè)計意圖：讓學(xué)生體會利用公式的求簡意識和數(shù)形結(jié)合的思想方法．體會線段、面積、體積分別對應(yīng)的代數(shù)式的意義．升華主題，培育學(xué)生的創(chuàng)建意識，并加深學(xué)生對完全平方公式的理解與運用．(八)歸納小結(jié)老師與學(xué)生一起回顧本節(jié)課所學(xué)的主要內(nèi)容，歸納：(1)本節(jié)課學(xué)習(xí)那些內(nèi)容？(2)完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征？(3)運用完全平方公式的主要事項？設(shè)計意圖：通過總結(jié)歸納，能夠讓學(xué)生歸納本節(jié)課的內(nèi)容，進一步記憶完全平方公式和相識公式的特征，為運用公式積累閱歷．(九)布置作業(yè)教材習(xí)題14．2第2、4、6、7題．六、目標檢測設(shè)計1．下列變形中，錯誤的是()(1)(b－4c)2=b2－16c2；(2)(a－2bc)2=a2＋2abc＋4b2c2；(3)(x＋y)2=x2＋xy＋y2；(4)(4m－n)2=16m2－8mn＋n2．A．(1)(2)(