期末復(fù)習(xí)（易錯60題28個考點(diǎn)）（解析版）

期末復(fù)習(xí)（易錯60題28個考點(diǎn)）一．集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用（共1小題）1．下列五個寫法：①{0}∈{1，2，3}；②??{0}；③{0，1，2}?{1，2，0}；④0∈?；⑤0∩?＝?，其中錯誤寫法的個數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解答】解：對于①，“∈”是用于元素與集合的關(guān)系故①錯；對于②，?是任意集合的子集，故②對；對于③，集合中元素的三要素有確定性、互異性、無序性，所以{0，1，2}＝{1，2，0}，所以{0，1，2}?{1，2，0}，故③對；對于④，因?yàn)?是不含任何元素的集合故④錯；對于⑤，因?yàn)椤墒怯糜诩吓c集合的關(guān)系，故⑤錯；故選：C．二．交集及其運(yùn)算（共1小題）2．設(shè)全集U＝R，集合A＝{x|x2﹣x﹣2≤0}，B＝{x|lgx＞0}，則A∩B＝（）A．{x|﹣1≤x≤2} B．{x|1＜x≤2} C．{x|1＜x＜2} D．{x|x≥﹣1}【答案】B【解答】解：解x2﹣x﹣2≤0得﹣1≤x≤2，A＝{x|﹣1≤x≤2}，由lgx＞0得x＞1，故B＝{x|x＞1}，所以A∩B＝{x|1＜x≤2}．故選：B．三．充分條件與必要條件（共1小題）3．已知命題p：|x﹣a|＜4，命題q：（x﹣2）（3﹣x）＞0．若￢p是￢q的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．[﹣1，6] B．（﹣∞，﹣1） C．（6，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（6，+∞）【答案】A【解答】解：∵|x﹣a|＜4，∴a﹣4＜x＜a+4，即p：a﹣4＜x＜a+4，∵（x﹣2）（x3﹣x）＞0，∴2＜x＜3，即q：2＜x＜3．∵￢p是￢q的充分不必要條件，∴q是p的充分不必要條件，即，（等號不能同時取得），即，∴﹣1≤a≤6，故選：A．四．全稱量詞和全稱命題（共1小題）4．若命題“?x0∈（0，+∞）使得+ax0+a+3≥0”為假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．（﹣∞，﹣2）∪（6，+∞） B．（﹣∞，﹣2） C．[﹣2，6] D．[2﹣，2+]【答案】B【解答】解：因?yàn)椤?x0∈（0，+∞），使得”為假命題，所以“?x0∈（0，+∞），使得”為真命題，即在（0，+∞）內(nèi)有解，即．因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)x0＝1時等號成立，所以，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為（﹣∞，﹣2）．故選：B．五．基本不等式及其應(yīng)用（共4小題）5．已知，則的最小值為（）A． B． C．20 D．4【答案】D【解答】解：因?yàn)閤+＝5，所以x＝5﹣＝，其中x＞0，y＞1，所以＝y(tǒng)+＝y(tǒng)++1＝（y﹣1）++2≥2+2＝4，當(dāng)且僅當(dāng)y﹣1＝，即y＝2時取“＝”，所以y+的最小值為4．故選：D．6．已知m＞n＞1，則的最小值為（）A． B．2 C．4 D．【答案】C【解答】解：因?yàn)閙＞n＞1，所以m﹣n＞0，n﹣1＞0，m﹣1＞0，所以（n﹣1）（m﹣n）≤＝，當(dāng)且僅當(dāng)n﹣1＝m﹣n時取“＝”，所以≥（m﹣1）2+≥2＝4，當(dāng)且僅當(dāng)m﹣1＝2，即m＝1+2，n＝1+時取“＝”，所以最小值為4．故選：C．7．已知正數(shù)a，b滿足：+1＝a+2b+，則以下結(jié)論中（1）a+2b＝1（2）a+2b＝2（3）的最小值為9（4）的最小值為3正確結(jié)論個數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解答】解：因?yàn)?1＝a+2b+，所以+1﹣a＝+2b，設(shè)f（x）＝+x，其中x∈（0，+∞），則f′（x）＝+1＝＞0，所以f（x）在（0，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)；所以1﹣a＝2b，即a+2b＝1，結(jié)論（1）正確、（2）錯誤；＝（+）（a+2b）＝1+4++≥5+2＝9，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝時取“＝”，所以的最小值為9，結(jié)論（3）正確、（4）錯誤．故選：B．8．已知a，b為正實(shí)數(shù)，且．（1）求a2+b2的最小值；（2）若（a﹣b）2＝4（ab）3，求ab的值．【答案】（1）a2+b2的最小值為1；（2）ab＝1．【解答】解：（1）∵2＝+≥2?，∴ab≥，∵a2+b2≥2ab，∴a2+b2≥1，（當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝時，等號成立），故a2+b2的最小值為1；（2）∵2＝+，∴a+b＝2ab，∵（a﹣b）2＝4（ab）3，∴（a+b）2﹣4ab＝4（ab）3，即（2ab）2﹣4ab＝4（ab）3，令ab＝x（x＞0），則可化為8x2﹣4x＝4x3，即x2﹣2x+1＝0，故x＝1，即ab＝1．六．一元二次不等式及其應(yīng)用（共4小題）9．已知不等式ax2+bx+2＞0的解集為{x|﹣1＜x＜2}，則不等式2x2+bx+a＜0的解集為（）A． B．{x|x＜﹣1，或x＞} C．{x|﹣2＜x＜1} D．{x|x＜﹣2，或x＞1}【答案】A【解答】解：∵不等式ax2+bx+2＞0的解集為{x|﹣1＜x＜2}，∴ax2+bx+2＝0的兩根為﹣1，2，且a＜0即﹣1+2＝﹣（﹣1）×2＝解得a＝﹣1，b＝1則不等式可化為2x2+x﹣1＜0解得故選：A．10．關(guān)于x的不等式x2+ax﹣2＜0在區(qū)間[1，4]上有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，1] C．（1，+∞） D．[1，+∞）【答案】A【解答】解：關(guān)于x的不等式x2+ax﹣2＜0在區(qū)間[1，4]上有解，等價于a＜，x∈[1，4]；設(shè)f（x）＝﹣x，x∈[1，4]，則函數(shù)f（x）在x∈[1，4]單調(diào)遞減，且當(dāng)x＝1時，函數(shù)f（x）取得最大值f（1）＝1；所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是（﹣∞，1）．故選：A．11．已知p：﹣4＜x﹣a＜4，q：（x﹣2）（3﹣x）＞0，若￢p是￢q的充分條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．[﹣1，6] B．（﹣∞，﹣1] C．[6，+∞） D．（﹣∞，﹣1]∪[6，+∞）【答案】A【解答】解：不等式（x﹣2）（3﹣x）＞0，可化為（x﹣2）（x﹣3）＜0，解得2＜x＜3，解不等式﹣4＜x﹣a＜4，得a﹣4＜x＜a+4，因?yàn)椹Vp是￢q的充分條件，由定義知￢p?￢q，它等價于q?p，所以，解得﹣1≤a≤6，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是[﹣1，6]．故選：A．12．已知不等式ax2﹣3x+6＞4的解集為{x|x＜1或x＞b}．（1）求a、b的值；（2）m為何值時，ax2+mx+3≥0的解集為R；（3）解不等式ax2﹣（ac+b）x+bc＜0．【答案】（1）a＝1，b＝2；（2）m∈[﹣2，2]；（3）c＞2時，不等式的解集為（2，c）；c＝2時，不等式的解集為?；c＜2時，不等式的解集為（c，2）．【解答】解：（1）不等式ax2﹣3x+6＞4的解集為{x|x＜1或x＞b}，所以1和b是方程ax2﹣3x+6＝4的實(shí)數(shù)解，方程可化為ax2﹣3x+2＝0，由根與系數(shù)的關(guān)系知，，解得a＝1，b＝2；（2）不等式ax2+mx+3≥0為x2+mx+3≥0，令Δ＝m2﹣12≤0，解得﹣2≤m≤2，所以m∈[﹣2，2]時，不等式的解集為R；（3）不等式ax2﹣（ac+b）x+bc＜0為x2﹣（c+2）x+2c＜0，即（x﹣2）（x﹣c）＜0；當(dāng)c＞2時，解不等式得2＜x＜c，當(dāng)c＝2時，不等式（x﹣2）2＜0，不成立，當(dāng)c＜2時，解不等式得c＜x＜2，綜上所述，c＞2時，不等式的解集為（2，c）；c＝2時，不等式的解集為?；c＜2時，不等式的解集為（c，2）．七．判斷兩個函數(shù)是否為同一函數(shù)（共1小題）13．下列各組函數(shù)f（x）與g（x）的圖象相同的是（）A．f（x）＝x，g（x）＝（）2 B．f（x）＝|x|，g（x）＝ C．f（x）＝1，g（x）＝x0 D．f（x）＝x2，g（x）＝（x+1）2【答案】B【解答】解：選項(xiàng)A：f（x）＝x，定義域?yàn)镽，圖象為一條直線，g（x）＝（）2＝x定義域?yàn)閇0，+∞），圖象為一條射線，故選項(xiàng)A不對；選項(xiàng)B：f（x）＝|x|，g（x）＝＝|x|，f（x）與g（x）的定義域和對應(yīng)關(guān)系都是一樣的，所以函數(shù)的圖象是相同的，故選項(xiàng)B是對的；選項(xiàng)C：f（x）＝1，g（x）＝x0＝1，（x≠0），兩函數(shù)的定義域不同，f（x）的圖象不一條直線，g（x）的圖象為一條直線上除去一點(diǎn)（0，1），∴兩函數(shù)的圖象不相同，故選項(xiàng)C不對；選項(xiàng)D：將f（x）＝x2，的圖象向左平移一個單位得到g（x）＝（x+1）2的圖象，所以兩函數(shù)的圖象是不一樣的，故選項(xiàng)D不對．故選：B．八．函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)與判斷（共2小題）14．已知f（x）＝是（﹣∞，+∞）上的減函數(shù)，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是[，）．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：∵f（x）是減函數(shù)，∴函數(shù)在（﹣∞，1）和[1，+∞）上都是減函數(shù)，且滿足條件，得，得≤a＜，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是[，）．故答案為：[，）．15．已知是R上的嚴(yán)格增函數(shù)，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是[，3）．【答案】[，3）．【解答】解：因?yàn)槭荝上的嚴(yán)格增函數(shù)，故，解得，故所求a的范圍是[，3）．故答案為：[，3）．九．函數(shù)的最值及其幾何意義（共2小題）16．已知函數(shù)且（a≠1）．（1）求函數(shù)f（x）的定義域；（2）是否存在實(shí)數(shù)a，使得函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上的最大值為2？若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由．【答案】（1）（0，3）；（2）存在實(shí)數(shù)a＝，使得函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上的最大值為2．【解答】解：（1）要使函數(shù)有意義，只需，解得0＜x＜3，故函數(shù)的定義域?yàn)椋?，3）；（2）結(jié)合（1）得f（x）＝，0＜x＜3，令g（x）＝，1≤x≤2，再令t＝2x∈[2，4]，則真數(shù)可化為m（t）＝﹣t2+9t﹣8，t∈[2，4]，二次函數(shù)y＝﹣t2+9t﹣8開口向下，對稱軸為t＝，所以m（t）在[2，4]上單調(diào)遞增，m（2）＝6，m（4）＝12，即m（t）∈[6，12]，則當(dāng)0＜a＜1時，g（x）的最大值為loga6＝2，解得a＝（舍）；當(dāng)a＞1時，g（x）的最大值為loga12＝2，解得a＝，符合題意；故存在實(shí)數(shù)a＝，使得函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上的最大值為2．17．已知f（x）＝2+log3x，x∈[1，9]，g（x）＝[f（x）]2+f（x2），（1）求g（x）的定義域；（2）求g（x）的最大值以及g（x）取最大值時x的值．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）f（x）的定義域?yàn)閇1，9]，要使函數(shù)g（x）＝[f（x）]2+f（x2）有意義，必須滿足：可知1≤x≤3，則g（x）的定義域?yàn)閇1，3]．（2）由f（x）的定義域?yàn)閇1，9]可得g（x）的定義域?yàn)閇1，3]，又g（x）＝（2+log3x）2+（2+log3x2）＝（log3x+3）2﹣3，∵1≤x≤3，∴0≤log3x≤1．∴當(dāng)x＝3時，g（x）有最大值13．一十．函數(shù)奇偶性的性質(zhì)與判斷（共1小題）18．已知函數(shù)f（x）＝loga（x+1）﹣loga（1﹣x），a＞0且a≠1．（1）求f（x）的定義域；（2）判斷f（x）的奇偶性并予以證明．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）由題得，使解析式有意義的x范圍是使不等式組成立的x范圍，解得﹣1＜x＜1，所以函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閧x|﹣1＜x＜1}．（2）函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，證明：由（1）知函數(shù)f（x）的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，且f（﹣x）＝loga（﹣x+1）﹣loga（1+x）＝﹣loga（1+x）+loga（1﹣x）＝﹣[loga（1+x）﹣loga（1﹣x）]＝﹣f（x）所以函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．一十一．冪函數(shù)的概念、解析式、定義域、值域（共1小題）19．已知冪函數(shù)y＝f（x）的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則的值是（）A．﹣ B．1 C． D．﹣1【答案】A【解答】解：冪函數(shù)y＝f（x）的圖象過點(diǎn)，則f（3）＝＝＝，所以＝＝﹣．故選：A．一十二．冪函數(shù)的性質(zhì)（共2小題）20．若冪函數(shù)f（x）過點(diǎn)（4，2），則滿足不等式f（2﹣a）＞f（a﹣1）的實(shí)數(shù)a的取值范圍是[1，）．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：設(shè)冪函數(shù)y＝f（x）＝xα，其圖象過點(diǎn)（4，2），則4α＝2，解得α＝；∴f（x）＝＝，∴不等式f（2﹣a）＞f（a﹣1）為＞，∴，解得1≤a＜；∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是[1，）．故答案為：[1，）．21．若冪函數(shù)f（x）＝（2m2+m﹣2）x2m+1在其定義域上是增函數(shù)．（1）求f（x）的解析式；（2）若f（2﹣a）＜f（a2﹣4），求a的取值范圍．【答案】（1）f（x）＝x3；（2）a的取值范圍是（﹣∞，﹣3）∪（2，+∞）．【解答】解：（1）由函數(shù)f（x）＝（2m2+m﹣2）x2m+1是冪函數(shù)，所以2m2+m﹣2＝1，解得m＝1或m＝﹣；當(dāng)m＝1時，f（x）＝x3，在定義域R上是增函數(shù)，滿足題意；當(dāng)m＝﹣時，f（x）＝x﹣2，在定義域（﹣∞，0）∪（0，+∞）上不是增函數(shù)，不滿足題意；所以m＝1，f（x）＝x3．（2）由f（x）＝x3，在定義域R上是增函數(shù)，所以不等式f（2﹣a）＜f（a2﹣4）等價于2﹣a＜a2﹣4，化簡得a2+a﹣6＞0，解得a＜﹣3或a＞2，所以a的取值范圍是（﹣∞，﹣3）∪（2，+∞）．一十三．對數(shù)值大小的比較（共2小題）22．已知，則（）A．b＜a＜c B．a(chǎn)＜b＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b【答案】C【解答】解：∵a＝log2ππ＝，b＝log2ee＝，c＝＝，∵0＜logπ2＜ln2＜1，∴＜＜＜1，又∵4ln2＞＝2，∴c＝＝＜，故c＜b＜a，故選：C．23．設(shè)a＝log32，b＝log64，c＝log3e（2e），則（）A．c＜b＜a B．a(chǎn)＜b＜c C．b＜a＜c D．a(chǎn)＜c＜b【答案】B【解答】解：由已知得，a﹣b＝＝，顯然ln6﹣ln9＜0，故a﹣b＜0，a＜b，排除A，C；b﹣c＝＝＝，顯然1﹣ln2＞0，ln2﹣ln3＜0，故b﹣c＜0，得b＜c，故a＜b＜c．故選：B．一十四．對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)（共1小題）24．設(shè)函數(shù)f（x）＝log2（2x）?log2．（1）解方程f（x）+6＝0；（2）設(shè)不等式≤43x﹣2的解集為M，求函數(shù)f（x）（x∈M）的值域．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）f（x）+6＝0，即（1+log2x）（log2x﹣4）+6＝0，∴，∴l(xiāng)og2x＝1或log2x＝2，解得x＝2或x＝4，∴原方程的解集為{x|x＝2或x＝4}…（4分）（2）不等式解得M＝{x|1≤x≤4}…（6分）令log2x＝t（1≤x≤4），則0≤t≤2，所以所以函數(shù)的值域．…（10分）一十五．反函數(shù)（共1小題）25．已知函數(shù)f（x）＝4x﹣a?2x+1．（Ⅰ）當(dāng)a＝2時，求f（x）的反函數(shù)f﹣1（x）；（Ⅱ）若x∈[1，2]時f（x）的最小值是g（a），求g（a）解析式．【答案】（Ⅰ）f（x）在定義域R上沒有反函數(shù)．（Ⅱ）g（a）＝．【解答】解：（Ⅰ）a＝2時，函數(shù)y＝f（x）＝4x﹣a?2x+1＝4x﹣2?2x+1＝（2x﹣1）2≥0，因?yàn)?x＞0，所以2x﹣1＞﹣1，所以（2x﹣1）2≥0，所以函數(shù)f（x）不是定義域R上的單調(diào)函數(shù)，所以函數(shù)f（x）在定義域R上沒有反函數(shù)．（Ⅱ）x∈[1，2]時，2x∈[2，4]，函數(shù)y＝f（x）＝4x﹣a?2x+1＝（2x﹣）2+1﹣的對稱軸為x＝，開口向上，當(dāng)＜2即a＜4時，函數(shù)f（x）在[1，2]上為增函數(shù)，g（a）＝f（x）min＝f（1）＝5﹣2a，當(dāng)2≤≤4即4≤a≤8時，函數(shù)f（x）在[1，2]上的最小值為g（a）＝f（x）min＝f（）＝1﹣，當(dāng)＞4，即a＞8時，函數(shù)在[1，2]上為減函數(shù)，g（a）＝f（x）min＝f（2）＝17﹣4a，所以g（a）＝．一十六．三角函數(shù)的周期性（共2小題）26．如果函數(shù)f（x）＝sinωx+cosωx（ω＞0）的兩個相鄰零點(diǎn)間的距離為2，那么f（1）+f（2）+f（3）+…+f（9）的值為（）A．1 B．﹣1 C． D．﹣【答案】A【解答】解：函數(shù)f（x）＝sinωx+cosωx＝2sin（ωx+），且f（x）的圖象兩個相鄰零點(diǎn)間的距離為2，所以f（x）的最小正周期為4，即T＝＝4，解得ω＝；所以f（x）＝2sin（x+），所以f（1）+f（2）+f（3）+…+f（9）＝2sin（+）+2sin（π+）+2sin（+）+…+2sin（+）＝2cos＝1．故選：A．27．已知函數(shù)x﹣1，x∈R（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；（2）函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間和對稱軸方程．（3）求函數(shù)f（x）在區(qū)間上的最大值和最小值．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）函數(shù)x﹣1＝sin2xcos+cos2xsin+sin2xcos﹣cos2xsin+cos2x＝sin2x+cos2x＝sin（2x+），x∈R，∴函數(shù)f（x）的最小正周期為T＝＝π；（2）令﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z，解得﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[﹣+kπ，+kπ]，k∈Z；令2x+＝+kπ，解得x＝+，k∈Z，∴f（x）對稱軸方程為x＝+，k∈Z；（3）當(dāng)x∈[﹣，]時，2x+∈[﹣，]，sin（2x+）∈[﹣，1]，∴x＝﹣時，f（x）取得最小值為f（﹣）＝×（﹣）＝﹣1；當(dāng)x＝時，f（x）取得最大值為f（）＝×1＝；∴函數(shù)f（x）在區(qū)間上的最大值是，最小值是﹣1．一十七．正弦函數(shù)的單調(diào)性（共1小題）28．已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，且存在唯一使得f（x0）＝1，則ω的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：由于函數(shù)f（x）＝sin（ωx+）（ω＞0）在[﹣，]上單調(diào)遞增；x∈[﹣，]，ωx+∈[﹣ω+，ω+]，﹣≤﹣ω+且ω+≤，解得ω≤且ω≤，所以0＜ω≤；又存在唯一使得f（x0）＝1，即x∈[0，]時，ωx+∈[，ω+]；所以≤ω+＜，解得≤ω＜3；綜上知，ω的取值范圍是[，]．故選：B．一十八．正弦函數(shù)的奇偶性和對稱性（共1小題）29．已知同時滿足下列三個條件：①T＝π；②是奇函數(shù)；③．若f（x）在[0，a）上沒有最小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：函數(shù)，由①T＝π，得＝π，解得ω＝1；由②是奇函數(shù)，得2（x+）+φ﹣＝2x++φ＝kπ，解得φ＝kπ﹣，k∈Z；由③，得sin（kπ﹣）＜sin（kπ+），k∈Z；所以k為偶數(shù)，不妨取k＝0，可得φ＝﹣；所以f（x）＝sin（2x﹣）；當(dāng)x∈[0，a）時，2x﹣∈[﹣，2a﹣），又f（x）在[0，a）上沒有最小值，所以＜2a﹣≤，解得＜a≤；所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是（，]．故選：A．一十九．正切函數(shù)的奇偶性與對稱性（共1小題）30．已知函數(shù)f（x）＝tan（2x+），則下列說法正確的是（）A．f（x）在定義域內(nèi)是增函數(shù) B．f（x）的最小正周期是π C．f（x）的對稱中心是（），k∈Z D．f（x）的對稱軸是x＝【答案】C【解答】解：函數(shù)f（x）＝tan（2x+）的定義域是（﹣+，+），k∈Z；在定義域內(nèi)的每一個區(qū)間上是單調(diào)增函數(shù)，整個定義域上沒有單調(diào)性，A錯誤；函數(shù)f（x）＝tan（2x+）的最小正周期為T＝，B錯誤；對于C，令2x+＝，k∈Z，解x＝﹣，k∈Z，∴f（x）的對稱中心是（﹣，0），k∈Z，C正確；對于D，正切函數(shù)不是軸對稱函數(shù)，f（x）＝tan（2x+）圖象沒有對稱軸，D錯誤．故選：C．二十．函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的圖象變換（共2小題）31．為了得到函數(shù)y＝sin3x+cos3x+1的圖象，可以將函數(shù)y＝sin3x的圖象（）A．向右平移個單位，向下平移1個單位 B．向左平移個單位，向下平移1個單位 C．向右平移個單位，向上平移1個單位 D．向左平移個單位，向上平移1個單位【答案】D【解答】解：函數(shù)y＝sin3x+cos3x+1＝sin（3x+）+1＝sin3（x+）+1，將函數(shù)y＝sin3x的圖象向左平移個單位，得y＝sin3（x+）的圖象；再向上平移1個單位，得y＝sin（3x+）+1的圖象．故選：D．32．為了得到函數(shù)y＝sin（x+）的圖：只需把函數(shù)y＝sinx圖象上的所有點(diǎn)（）A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度 C．向上平移個單位長度 D．向下平移個單位長度【答案】A【解答】解：顯然由y＝sinx圖象到函數(shù)y＝sin（x+）的圖象，只需將原函數(shù)圖象向左平移個單位．故選：A．二十一．由y＝Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式（共6小題）33．已知函數(shù)f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜），若g（x）?f（x）＝1，且函數(shù)g（x）的部分圖象如圖所示，則φ等于（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：由已知得g（x）＝，據(jù)圖可知是f（x）在一個周期內(nèi)的三個零點(diǎn)，且f（x）在上先增后減，在上先減后增，故，所以ω＝2，且sin（）＝0，得＝2kπ，k∈Z，又|φ|，故k＝0時，即為所求．故選：B．34．已知函數(shù)f（x）＝sinωx+cosωx（ω＞0）的圖象的一個對稱中心的橫坐標(biāo)在區(qū)間內(nèi)，且兩個相鄰對稱中心之間的距離大于，則ω的取值范圍為（）A．（0，3） B． C． D．（1，3）【答案】B【解答】解：函數(shù)f（x）＝sinωx+cosωx＝sin（ωx+），（ω＞0），令ωx+＝kπ，k∈Z；x＝，k∈Z；f（x）圖象的一個對稱中心的橫坐標(biāo)在區(qū)間內(nèi)，所以＜＜，又因?yàn)棣兀?，所以2k﹣＜ω＜4k﹣1，k∈Z；k＝1時，＜ω＜3，又因?yàn)閒（x）圖象兩個相鄰對稱中心之間的距離大于，所以＝＞，由ω＞0，所以ω＜3，所以ω的取值范圍是（，3）．故選：B．35．如圖為函數(shù)f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的圖象．則函數(shù)f（x）＝Asin（ωx+φ）的解析式是（）A．f（x）＝sin（2x﹣） B．f（x）＝sin（2x﹣） C．f（x）＝2sin（2x﹣） D．f（x）＝sin（2x+）【答案】A【解答】解：由函數(shù)f（x）＝Asin（ωx+φ）的圖象知，＝﹣＝，T＝π，所以ω＝＝2，由“五點(diǎn)法”畫圖知，f（）＝Asin（2×+φ）＝0，+φ＝0，解得φ＝﹣，又f（0）＝Asin（﹣）＝﹣A＝﹣1，解得A＝，所以函數(shù)f（x）＝sin（2x﹣）．故選：A．36．已知函數(shù)f（x）＝sin（2ωx+φ）（其中ω＞0，|φ|＜）的最小正周期為π，它的一個對稱中心為．（1）求函數(shù)y＝f（x）的解析式；（2）求時，函數(shù)f（x）的值域．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）函數(shù)f（x）＝sin（2ωx+φ）的最小正周期為T＝π，所以＝π，解得ω＝1，又因?yàn)閒（x）的一個對稱中心為，所以2×+φ＝kπ，k∈Z，解得φ＝kπ﹣，k∈Z；又因?yàn)閨φ|＜，所以φ＝﹣，所以函數(shù)y＝f（x）＝sin（2x﹣）；（2）時，2x∈[，]，2x﹣∈[，]，所以sin（2x﹣）∈[﹣，1]，即函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇﹣，1]．37．已知函數(shù)f（x）＝Asin（ωx+φ），（ω＞0，|φ|＜）的部分圖象如圖所示．（1）求f（x）的解析式；（2）若x∈（﹣），求f（x）的取值范圍．【答案】（1）f（x）＝4sin（3x+）；（2）（﹣2，4]．【解答】解：（1）由函數(shù)f（x）＝Asin（ωx+φ）的部分圖象知，＝﹣＝，所以T＝，所以ω＝＝3，又因?yàn)閒（）＝Asin（3×+φ）＝Asin（+φ）＝0，所以+φ＝π+2kπ，k∈Z，解得φ＝+2kπ，k∈Z，又因?yàn)閨φ|＜，所以φ＝，所以f（）＝Asin（+）＝A＝2，解得A＝4，所以f（x）＝4sin（3x+）；（2）因?yàn)閤∈（﹣，），所以3x+∈（，），所以sin（3x+）∈（﹣，1]，所以f（x）＝4sin（3x+）∈（﹣2，4]，即f（x）的取值范圍是（﹣2，4]．38．已知函數(shù)f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分圖像如圖所示．（1）求f（x）的解析式及對稱中心；（2）先將f（x）的圖像縱坐標(biāo)縮短到原來的倍，再向右平移個單位后得到g（x）的圖像，求函數(shù)y＝g（x）在上的單調(diào)減區(qū)間和最值．【答案】（1）f（x）＝2sin（2x﹣），f（x）的對稱中心為（+，0），k∈Z．（2）g（x）的單調(diào)減區(qū)間為[]，最小值為，最大值為1．【解答】解：（1）易知A＝2，，解得T＝π，所以，故，k∈Z，即，k∈Z，又|φ|＜π，故k＝0時，即為所求，故f（x）＝2sin（2x﹣），f（x）的對稱中心為（+，0），k∈Z．（2）易知g（x）＝＝＝sin（2x）＝﹣cos2x，要求g（x）的單調(diào)遞減區(qū)間，只需﹣π+2kπ≤2x≤2kπ，k∈Z，解得，k∈Z，令k＝1可得函數(shù)g（x）的一個單調(diào)遞減區(qū)間為[]，顯然g（x）在[]單調(diào)遞增，故y＝g（x）在上的單調(diào)減區(qū)間為[]，而＝，g（）＝1，g（）＝0，故g（x）在上的最小值為，最大值為1．二十二．三角函數(shù)的最值（共1小題）39．已知函數(shù)．（1）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）求f（x）在上的最大值與最小值．【答案】（1）[，+kπ]，k∈Z；（2）最大值與最小值分別為，．【解答】解：（1）由已知得f（x）＝sin2x﹣＝，要求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間，只需，k∈Z，解得≤x≤+kπ，k∈Z，故函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[，+kπ]，k∈Z；（2）由x∈得∈[，]，結(jié)合y＝sinx在上單調(diào)遞減，在[]上單調(diào)遞增，且，sin＝，故≤，所以f（x）在上的最大值與最小值分別為，．二十三．兩角和與差的三角函數(shù)（共2小題）40．已知定義在R上的偶函數(shù)f（x）＝對任意x∈R都有f（x）+f（x+）＝0，當(dāng)ω取最小值時，的值為（）A．1 B． C． D．【答案】A【解答】解：函數(shù)f（x）＝sin（ωx+φ）﹣cos（ωx+φ）＝2[sin（ωx+φ）﹣cos（ωx+φ）]＝2sin（ωx+φ﹣），又f（x）為偶函數(shù)，所以φ﹣＝+kπ，k∈Z；解得φ＝+kπ，k∈Z；又φ∈（0，π），所以φ＝；所以f（x）＝2sin（ωx+）＝2cosωx；又對任意x∈R都有f（x）+f（x+）＝0，所以f（0）+f（）＝2cos0+2cos＝0，解得cosω＝﹣1，所以ω＝2kπ+π，k∈Z；解得ω＝4k+2，k∈Z；又ω＞0，所以ω的最小值是2，此時＝2cos（2×）＝2×＝1．故選：A．41．，，．（1）求的值；（2）求sin（α+β）的值．【答案】（1）；（2）．【解答】解：（1）由，得﹣sinα＝﹣2cosα，所以sinα＝2cosα，所以；（2）由（1）得sinα＝2cosα，又sin2α+cos2α＝1，因?yàn)椋獾?，，因?yàn)?，，所以，所以sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ＝＝．二十四．三角函數(shù)應(yīng)用（共3小題）42．摩天輪是一種大型轉(zhuǎn)輪狀的機(jī)械建筑設(shè)施，游客坐在摩天輪的座艙里慢慢地往上轉(zhuǎn)，可以從高處俯瞰四周景色．如圖，某摩天輪的轉(zhuǎn)盤直徑為110米，摩天輪的中心O點(diǎn)距離地面的高度為80米，摩天輪勻速逆時針旋轉(zhuǎn)，每30分鐘轉(zhuǎn)一圈．若摩天輪上點(diǎn)P的起始位置在最低點(diǎn)處，下列說法中錯誤的是（）A．經(jīng)過10分鐘，點(diǎn)P上升了82.5米 B．在第20分鐘和第40分鐘時點(diǎn)P距離地面的高度相同 C．摩天輪旋轉(zhuǎn)一周的過程中，點(diǎn)P距離地面的高度不低于55米的時間大于20分鐘 D．點(diǎn)P從第5分鐘至第10分鐘上升的高度是其從第10分鐘到第15分鐘上升的高度的2倍【答案】C【解答】解：根據(jù)題意：點(diǎn)P離開地面的高度關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式為y＝﹣55cos（t）+80＝﹣55cost+80；對于A，t＝10時，y＝﹣55cos+80＝27.5+80，t＝0時，y＝﹣55+80，所以經(jīng)過10分鐘點(diǎn)P升高了27.5+55＝82.5（米），選項(xiàng)A正確；對于B，t＝20時，y＝﹣55cos+80＝27.5+80，t＝40時，y＝﹣55cos+80＝27.5+80，即點(diǎn)P在第20分鐘和40分鐘時，位置一樣高，選項(xiàng)B正確；對于C，摩天輪旋轉(zhuǎn)一周的過程中，20分鐘轉(zhuǎn)過的角度是×20＝，因?yàn)椹?5cos+80＝52.5＜55，所以點(diǎn)P距離地面的高度不低于55米的時間小于20分鐘，選項(xiàng)C錯誤；對于D，P從第5分鐘至第10分鐘上升的高度為27.5﹣（﹣27.5）＝55，從第10分鐘到第15分鐘上升的高度為55﹣27.5＝27.5，選項(xiàng)D正確．故選：C．43．如圖，一個半徑為3米的筒車按逆時針方向每4分鐘轉(zhuǎn)1圈，筒車的軸心O距離水面的高度為1.5米．設(shè)筒車上的某個盛水筒W到水面的距離為d（單位：米）（在水面下則d為負(fù)數(shù)），若以盛水筒W剛浮出水面時開始計(jì)算時間，且d與時間t（單位：分鐘）之間的關(guān)系式為：，則d與時間t之間的關(guān)系是，（t≥0）．【答案】，（t≥0）．【解答】解：根據(jù)筒車模型中各量的物理意義及題意可知，筒車按逆時針方向每4分鐘轉(zhuǎn)1圈，所以筒車旋轉(zhuǎn)的角速度；筒車的半徑為3米，所以A＝3；筒車的軸心O距離水面的高度為1.5米，所以B＝1.5．以盛水筒W剛浮出水面時開始計(jì)算時間，此時，所以筒車上的某個盛水筒W到水面的距離d（單位：米）（在水面下則d為負(fù)數(shù)），則d與時間t的關(guān)系為：，（t≥0）．故答案為：，（t≥0）．44．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2）在單位圓上，∠xOA＝α，，且，過點(diǎn)B作x軸的垂線，垂足為C，記△BOC的面積為S．（1）若，用α的三角函數(shù)表示x2并求x2的值；（2）設(shè)S＝f（α），求函數(shù)f（α）的值域．【答案】（1）x2＝cos（α+），x2＝﹣．（2）（0，）．【解答】解：（1）由三角函數(shù)定義，得x1＝cosα，x2＝cos（α+），由題意知cosα＝，α∈（，），則sinα＝＝．所以x2＝cos（α+）＝cosα﹣sinα＝﹣＝﹣．（2）因?yàn)棣痢剩ǎ?，則α+∈（，），故x2＝cos（α+）＜0，y2＝sin（α+）＞0，所以△BOC的面積為S＝|x2|y2＝[（﹣cos（α+）]?sin（α+）＝﹣sin（2α+），即f（α）＝﹣sin（2α+）．因?yàn)?α+∈（π，），所以﹣＜sin（2α+）＜0，所以0＜﹣sin（2α+）＜．所以f（α）＝﹣sin（2α+）∈（0，），所以函數(shù)f（α）的值域?yàn)椋?，）．二十五．函數(shù)零點(diǎn)的判定定理（共1小題）45．函數(shù)f（x）＝lnx+3x﹣1﹣6的零點(diǎn)所在區(qū)間為（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）【答案】C【解答】解：f（x）＝lnx+3x﹣1﹣6顯然是增函數(shù)，且x→0時，f（x）→﹣∞，f（1）＝﹣5＜0，f（2）＝ln2﹣3＜0，f（3）＝ln3+3＞0，f（2）f（3）＜0，故f（x）在區(qū)間（2，3）上存在唯一零點(diǎn)．故選：C．二十六．函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系（共5小題）46．已知函數(shù)，g（x）＝x2﹣ax+1，若y＝g（f（x））有6個零點(diǎn)，則a的取值范圍為（）A． B． C．（3，+∞） D．【答案】B【解答】解：作出函數(shù)的圖象如圖所示：根據(jù)圖像可得，當(dāng)k＝0或2＜k＜3時，f（x）＝k有兩個解；當(dāng)0＜k＜1時，f（x）＝k有4個解；當(dāng)1≤k≤2時，f（x）＝k有3個解；當(dāng)k≥3時，f（x）＝k有1個解．因?yàn)間（x）＝x2﹣ax+1＝0最多有兩個解．因此要使y＝g（f（x））有6個零點(diǎn)，則g（x）＝x2﹣ax+1＝0有兩個解，設(shè)為k1，k2．則存在下列幾種情況：①f（x）＝k1有2個解，f（x）＝k2有4個解，即k1＝0或2＜k1＜3，0＜k2＜1，顯然g（0）≠0，則此時應(yīng)滿足，即，解得＜a＜；②f（x）＝k1有3個解，f（x）＝k2有3個解，設(shè)k1＜k2即1≤k1＜2，1＜k2≤2，則應(yīng)滿足，即，解得a的值不存在；綜上，a的取值范圍是（，）．故選：B．47．已知函數(shù)，有下列兩個結(jié)論：①f（x）的值域?yàn)镽；②對任意的正有理數(shù)a，g（x）＝f（x）﹣a存在奇數(shù)個零點(diǎn)則下列判斷正確的是（）A．①②均正確 B．①②均錯誤 C．①對②錯 D．①錯②對【答案】D【解答】解：對于①，顯然x為無理數(shù)時，x2＞0，則f（x）的值域中不包含負(fù)無理數(shù)，故①錯；對于②，g（x）＝f（x）﹣a的零點(diǎn)為x＝a，當(dāng)x為有理數(shù)時，必有x＝a為解；當(dāng)x為無理數(shù)時，x2＝a，必有x＝或無解，所以g（x）＝f（x）﹣a的零點(diǎn)個數(shù)為3個或1個，故②對．故選：D．48．定義在R上的奇函數(shù)f（x），當(dāng)x≥0時，，則關(guān)于x的函數(shù)F（x）＝f（x）﹣a（0＜a＜1）的所有零點(diǎn)之和為（）A．2a﹣1 B．1﹣2a C．2﹣a﹣1 D．1﹣2﹣a【答案】B【解答】解：由題意，作出函數(shù)f（x）的圖象：函數(shù)F（x）＝f（x）﹣a（0＜a＜1）的所有零點(diǎn)，即為函數(shù)y＝f（x）與y＝a（0＜a＜1）圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，據(jù)圖可知，兩函數(shù)交于五個點(diǎn)，易知交點(diǎn)的橫坐標(biāo)滿足：x1+x2＝﹣6，x4+x5＝6，由題意知，該函數(shù)在（﹣1，0）上的解析式為y＝﹣，故，解得，故x1+x2+x3+x4+x5＝1﹣2a．故選：B．49．已知函數(shù)，當(dāng)a＞1時，方程f2（x）﹣（a2+a）f（x）+a3＝0的根的個數(shù)是（）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】A【解答】解：由對勾函數(shù)的性質(zhì)可知：f（x）＝在（0，）上單調(diào)遞減，且從+∞減小到f（）＝1，在[，+∞）上單調(diào)遞增，且從f（）＝1增大到+∞，當(dāng)x＜0時，f（x）＝ln（﹣x）是單調(diào)遞減函數(shù)，且此時f（x）∈（﹣∞，+∞），由方程f2（x）﹣（a2+a）f（x）+a3＝0得f（x）＝a或f（x）＝a2，結(jié)合a＞1，故方程f（x）＝a或f（x）＝a2，都有一個負(fù)根和兩個正根，且這兩個方程的不會重復(fù)，故原方程共有6個根．故選：A．50．已知函數(shù)，若方程f（x）＝a恰有四個不同的實(shí)數(shù)解，分別記為x1，x2，x3，x4，則x1+x2+x3+x4的取值范圍是[﹣，）【答案】[﹣，）．【解答】解：因?yàn)楹瘮?shù)，當(dāng)﹣≤x≤0時，f（x）＝sinπx﹣cosπx＝2sin（πx﹣），令πx﹣＝﹣，解得x＝﹣，當(dāng)x＝﹣時，f（﹣）＝2sin（﹣﹣）＝1，當(dāng)x＞0時，f（x）＝|log2x|，令f（x）＝2，解得x＝4或x＝，令f（x）＝1，解得x＝2或x＝，函數(shù)y＝f（x）的圖象如圖所示：因?yàn)榉匠蘤（x）＝a恰有四個不同的實(shí)數(shù)解，即y＝f（x）與y＝a恰有四個交點(diǎn)，所以1≤a＜2，不妨令x1＜x2＜x3＜x4，則x1＜x2＜0＜x3≤＜2≤x4＜4，且x1與x2關(guān)于x＝﹣對稱，所以x1+x2＝﹣，又|log2x3|＝|log2x4|，即﹣log2x3＝log2x4，所以log2x3+log2x4＝0，即x3x4＝1，所以x3＝，所以x1+x2+x3+x4＝﹣++x4，因?yàn)閥＝+x在[2，4）上單調(diào)遞增，所以≤+x4＜，所以﹣≤x1+x2+x3+x4＜，即x1+x2+x3+x4的取值范圍是[﹣，）．故答案為：[﹣，）．二十七．分段函數(shù)的應(yīng)用（共6小題）51．設(shè)函數(shù)，若實(shí)數(shù)a，b，c滿足0＜a＜b＜c，且f（a）＝f（b）＝f（c）．則下列結(jié)論不能恒成立的是（）A．a(chǎn)bc＞2 B． C． D．a(chǎn)+2b＞3【答案】B【解答】解：函數(shù)在（0，1]、[2，+∞）上單調(diào)遞減，在[1，2]上單調(diào)遞增，當(dāng)x＞2時，f（x）＞0恒成立，如圖所示：由0＜a＜b＜c，f（a）＝f（b）＝f（c），，得，且﹣log2a＝log2b，即ab＝1，對于A，由ab＝1，得abc＝c＞2，選項(xiàng)A正確；對于B，由1＜b＜2，得，又ab＝1，則，當(dāng)，即時，，所以函數(shù)f（x）在上單調(diào)遞減，此時，選項(xiàng)B錯誤；對于C，由ab＝1，得，因?yàn)閷春瘮?shù)在上單調(diào)遞減，所以，又因?yàn)楹瘮?shù)f（x）在（2，+∞）上單調(diào)遞減，所以，選項(xiàng)C正確；對于D，由ab＝1，得，由對勾函數(shù)在上單調(diào)遞減，得，選項(xiàng)D正確．故選：B．52．設(shè)函數(shù)若f（x）存在最小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：a＝0時，f（x）＝，所以f（x）的最小值為f（x）min＝f（）＝﹣+2＝﹣；a＜0時，若x＜a，則f（x）＝1﹣ax單調(diào)遞增，當(dāng)x→﹣∞時，f（x）→﹣∞，所以f（x）沒有最小值；a＞0時，若x＜a，則f（x）＝﹣ax+1單調(diào)遞減，f（x）＞f（a）＝1﹣a2，若x?a，則f（x）的最小值為，若函數(shù)f（x）有最小值，需或，解得0＜a，所以a的取值范圍是[0，]．故選：B．53．若函數(shù)的圖象上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線x＝﹣1對稱，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A．[﹣e﹣3，e3] B．[﹣e﹣3，+∞） C．[﹣ln3，+∞） D．[﹣e3，+∞）【答案】B【解答】解：要使函數(shù)的圖象上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線x＝﹣1對稱，只需y＝lnx（x≥1）的圖象關(guān)于x＝﹣1的對稱圖象與y＝ex+a在（﹣∞，﹣3）上有交點(diǎn)即可，作出它們的圖象如右：要使圖象滿足上述情況，只需e﹣3+a≥0即可，即a≥﹣e﹣3．故選：B．54．“空氣質(zhì)量指數(shù)（AQI）”是定量描述空氣質(zhì)量狀況的無量綱指數(shù)．當(dāng)AQI大于200時，表示空氣重度污染，不宜開展戶外活動．某地某天0～24時的空氣質(zhì)量指數(shù)y隨時間t變化的趨勢由函數(shù)y＝描述，則該天適宜開展戶外活動的時長至多為（）A．5小時 B．6小時 C．7小時 D．8小時【答案】C【解答】解：由題意知適于戶外活動的時間為：或，解得9≤t≤12或12＜t≤16，故適于戶外活動的時長為3+4＝7小時．故選：C．55．已知函數(shù)f（x）的最大值為m，f（x）的最小值為n，則m+n＝．【答案】．【解答】解：當(dāng)0≤x≤2時，，所以此時，當(dāng)﹣1≤x＜0時，，所以此時，綜上所述，，即，所以．故答案為：．56．函數(shù)g（x）＝|x﹣k|+|x﹣2|，若對任意的x1，x2∈R，都有f（x1）≤g（x2）成立．（1）求函數(shù)g（x）的最小值；（2）求k的取值范圍．【答案】（1）g（x）min＝|k﹣2|；（2）{k|k≤或k≥}．【解答】解：（1）根據(jù)絕對值不等式的性質(zhì)得g（x）＝|x﹣k|+|x﹣2|≥|（x﹣k）﹣（x﹣2）|＝|k﹣2|，當(dāng)（x﹣k）（x﹣2）≤0時取“＝”，所以g（x）的最小值為g（x）min＝|k﹣2|；（2）對任意的x1，x2∈R，都有f（x1）≤g（x2）成立，即f（x）的最大值f