線性方程組的表示消元法

關(guān)于線性方程組的表示消元法2定義1§1線性方程組的表示、消元法第2頁(yè),共37頁(yè)，2024年2月25日，星期天3讓第3頁(yè),共37頁(yè)，2024年2月25日，星期天4借助于矩陣乘法，線性方程組可表示為第4頁(yè),共37頁(yè)，2024年2月25日，星期天5第5頁(yè),共37頁(yè)，2024年2月25日，星期天6線性方程組研究的主要問(wèn)題為：（1）線性方程組是否有解？（2）線性方程組如有解，有多少個(gè)解?（3）線性方程組如有解，如何求解？如解有無(wú)窮多，如何表示所有的解？第6頁(yè),共37頁(yè)，2024年2月25日，星期天7引例求解線性方程組用消元法解下列方程組的過(guò)程．消元法解線性方程組第7頁(yè),共37頁(yè)，2024年2月25日，星期天8解第8頁(yè),共37頁(yè)，2024年2月25日，星期天9用“回代”的方法求出解：第9頁(yè),共37頁(yè)，2024年2月25日，星期天10解得(2)第10頁(yè),共37頁(yè)，2024年2月25日，星期天11

從上面的例子我們可以看出，用消元法解線性方程組，實(shí)際上是對(duì)線性方程組施行了以下三種變換：

(1)互換兩個(gè)方程的位置；

(2)用一非零數(shù)c乘某一方程；

(3)把其中一個(gè)方程的k倍加到另一個(gè)方程上我們稱(chēng)以上三種變換為線性方程組的初等變換

第11頁(yè),共37頁(yè)，2024年2月25日，星期天12

這三種初等變換只改變了線性方程組的系數(shù)和常數(shù)，而未知量保持不變。因此，如果將未知量與系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)分離開(kāi)來(lái)，實(shí)際上是對(duì)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)構(gòu)成的增廣矩陣作了三種初等行變換。因此解線性方程組時(shí)只需對(duì)由系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)所構(gòu)成的增廣矩陣作初等行變換。

第12頁(yè),共37頁(yè)，2024年2月25日，星期天13問(wèn)題：（1）為什么經(jīng)過(guò)一系列的初等行變換以后得到的新的方程組的解為原方程組的解。我們需要給出它的理論依據(jù)。(2)是否任意一個(gè)線性方程組都有解，在什么條件下方程組無(wú)解？

第13頁(yè),共37頁(yè)，2024年2月25日，星期天14第14頁(yè),共37頁(yè)，2024年2月25日，星期天15第15頁(yè),共37頁(yè)，2024年2月25日，星期天16階梯矩陣定義例第一，二，三行的首元所在的列依次為2，1，3，不是嚴(yán)格增的，故不是階梯行.第16頁(yè),共37頁(yè)，2024年2月25日，星期天17（1）可劃出一條階梯線，線的下方全為零；（2）每個(gè)臺(tái)階只有一行，臺(tái)階數(shù)即是非零行的行數(shù)，階梯線的豎線后面的第一個(gè)元素為非零元，即非零行的第一個(gè)非零元．行階梯形矩陣特點(diǎn)：第17頁(yè),共37頁(yè)，2024年2月25日，星期天18回顧:消元法解方程的過(guò)程實(shí)際上就是用一系列初等行變換把增廣矩陣化為階梯形矩陣(特別是若當(dāng)階梯形)的過(guò)程.現(xiàn)重新用初等行變換化增廣矩陣為Jordan階梯形的方法求解線性方程組第18頁(yè),共37頁(yè)，2024年2月25日，星期天19解第19頁(yè),共37頁(yè)，2024年2月25日，星期天20第20頁(yè),共37頁(yè)，2024年2月25日，星期天21第21頁(yè),共37頁(yè)，2024年2月25日，星期天22階梯形第22頁(yè),共37頁(yè)，2024年2月25日，星期天23若當(dāng)階梯形于是得到原方程組的同解方程組第23頁(yè),共37頁(yè)，2024年2月25日，星期天24例

解線性方程組第24頁(yè),共37頁(yè)，2024年2月25日，星期天25解：寫(xiě)出增廣矩陣，對(duì)其進(jìn)行初等行變換化簡(jiǎn)：以為增廣矩陣的線性方程組有一矛盾方程0=47，從而原方程組無(wú)解。

第25頁(yè),共37頁(yè)，2024年2月25日，星期天26注：若原方程組與同解方程組中出現(xiàn)矛盾方程，則原方程組無(wú)解。

第26頁(yè),共37頁(yè)，2024年2月25日，星期天27例

用消元法解線性方程組第27頁(yè),共37頁(yè)，2024年2月25日，星期天28解：第28頁(yè),共37頁(yè)，2024年2月25日，星期天29所以原方程組的解為，與用Gramer法則所得結(jié)果一樣。

第29頁(yè),共37頁(yè)，2024年2月25日，星期天30例

解齊次線性方程組AX=0，其中系數(shù)矩陣第30頁(yè),共37頁(yè)，2024年2月25日，星期天31解：

與原方程組同解的齊次線性方程組BX=0的一般形式為，

第31頁(yè),共37頁(yè)，2024年2月25日，星期天32很顯然對(duì)于任意的都能解出令，得

方程組的解為

第32頁(yè),共37頁(yè)，2024年2月25日，星期天33從上面的例子可以看出，求解線性方程組分為以下幾步：1.對(duì)增廣矩陣作初等行變換化為階梯形；2.若階梯形增廣矩陣對(duì)應(yīng)的最后一個(gè)不為零的方程為，則原方程組無(wú)解；否則方程組一定有解.3.有解的情況下:當(dāng)階梯形增廣矩陣非零數(shù)行等于未知數(shù)個(gè)數(shù)時(shí),則解唯一;否則非零行數(shù)就小于未知數(shù),這時(shí)候方程組有無(wú)窮多解.要解出方程組,就需要繼續(xù)對(duì)階梯形增廣矩陣進(jìn)行初等行變換,最終化為若當(dāng)階梯形.若當(dāng)階梯形增廣矩陣對(duì)應(yīng)的方程組實(shí)際上就是解(讓非首元對(duì)應(yīng)的未知數(shù)取任意數(shù)).第33頁(yè),共37頁(yè)，2024年2月25日，星期天34證明：必要性。設(shè)滿(mǎn)足。若，則

A可逆，有唯一解矛盾，故。

充分性。當(dāng)n=1時(shí)，有非零解，假設(shè)n-1時(shí)結(jié)論成立。

定理1

設(shè)A為n階方陣，則齊次線性方程組AX=0有非零解的充分必要條件是。

第34頁(yè),共37頁(yè)，2024年2月25日，星期天35當(dāng)為n時(shí)，設(shè)A經(jīng)初等變換化為階梯形矩陣B：，其中C為n-1階方陣，P為n階可逆矩陣。取行列式得。解同解方程組。若b=0，則是一個(gè)非零解；

第35頁(yè),共37頁(yè)，2024年2月25日，星期天36若，則，由歸納假設(shè)，齊次線性方程組有非零解