2024年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識(shí)梳理與題型歸納第13講函數(shù)模型及其應(yīng)用學(xué)生版

第13講函數(shù)模型及其應(yīng)用思維導(dǎo)圖知識(shí)梳理1．幾種常見的函數(shù)模型函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)模型f(x)＝ax＋b(a，b為常數(shù)，a≠0)二次函數(shù)模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)指數(shù)函數(shù)模型f(x)＝bax＋c(a，b，c為常數(shù)，a>0且a≠1，b≠0)對(duì)數(shù)函數(shù)模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c為常數(shù)，a>0且a≠1，b≠0)冪函數(shù)模型f(x)＝axn＋b(a，b，n為常數(shù)，a≠0，n≠0)2.三種函數(shù)模型性質(zhì)比較y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的單調(diào)性增函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)增長(zhǎng)速度越來越快越來越慢相對(duì)平穩(wěn)圖象的變化隨x值增大，圖象與y軸接近平行隨x值增大，圖象與x軸接近平行隨n值變化而不同題型歸納題型1用函數(shù)圖象刻畫變化過程【例1-1】某地區(qū)的綠化面積每年平均比上一年增長(zhǎng)，經(jīng)過年，綠化面積與原綠化面積之比為，則的圖象大致為A． B． C． D．【例1-2】?jī)蓚€(gè)學(xué)校、開展節(jié)能活動(dòng)，活動(dòng)開始后兩學(xué)校的用電量、與時(shí)間（天的關(guān)系如圖所示，則一定有A．比節(jié)能效果好 B．的用電量在，上的平均變化率比的用電量在，上的平均變化率大 C．兩學(xué)校節(jié)能效果一樣好 D．與自節(jié)能以來用電量總是一樣大【跟蹤訓(xùn)練1-1】在內(nèi)將某種藥物注射進(jìn)患者的血液中．在注射期間，血液中的藥物含量呈線性增加；停止注射后，血液中的藥物含量呈指數(shù)衰減．能反映血液中藥物含量隨時(shí)間變化的圖象是A． B． C． D．【跟蹤訓(xùn)練1-2】近兩年為抑制房?jī)r(jià)過快上漲，政府出臺(tái)了系列以“限購、限外、限貸、限價(jià)”為主題的房地產(chǎn)調(diào)控政策．各地房產(chǎn)部門為盡快實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定房?jī)r(jià)，提出多種方案，其中之一就是在規(guī)定的時(shí)間內(nèi)完成房產(chǎn)供應(yīng)量任務(wù)．已知房產(chǎn)供應(yīng)量與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，則在以下四種房產(chǎn)供應(yīng)方案中，供應(yīng)效率（單位時(shí)間的供應(yīng)量）逐步提高的是A． B． C． D．【名師指導(dǎo)】判斷函數(shù)圖象與實(shí)際問題中兩變量變化過程相吻合的兩種方法(1)構(gòu)建函數(shù)模型法：當(dāng)根據(jù)題意易構(gòu)建函數(shù)模型時(shí)，先建立函數(shù)模型，再結(jié)合模型選圖象．(2)驗(yàn)證法：當(dāng)根據(jù)題意不易建立函數(shù)模型時(shí)，則根據(jù)實(shí)際問題中兩變量的變化特點(diǎn)，結(jié)合圖象的變化趨勢(shì)，驗(yàn)證是否吻合，從中排除不符合實(shí)際的情況，選擇出符合實(shí)際情況的答案．題型2應(yīng)用所給函數(shù)模型解決實(shí)際問題【例2-1】基本再生數(shù)與世代間隔是新冠肺炎的流行病學(xué)基本參數(shù)．基本再生數(shù)指一個(gè)感染者傳染的平均人數(shù)，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時(shí)間．在新冠肺炎疫情初始階段，可以用指數(shù)模型：描述累計(jì)感染病例數(shù)隨時(shí)間（單位：天）的變化規(guī)律，指數(shù)增長(zhǎng)率與，近似滿足．有學(xué)者基于已有數(shù)據(jù)估計(jì)出，．據(jù)此，在新冠肺炎疫情初始階段，累計(jì)感染病例數(shù)增加1倍需要的時(shí)間約為A．1.2天 B．1.8天 C．2.5天 D．3.5天【例2-2】模型是常用數(shù)學(xué)模型之一，可應(yīng)用于流行病學(xué)領(lǐng)域．有學(xué)者根據(jù)公布數(shù)據(jù)建立了某地區(qū)新冠肺炎累計(jì)確診病例數(shù)的單位：天）的模型：，其中為最大確診病例數(shù)．當(dāng)時(shí)，標(biāo)志著已初步遏制疫情，則約為A．60 B．63 C．66 D．69【跟蹤訓(xùn)練2-1】盡管目前人類還無法準(zhǔn)確預(yù)報(bào)地震，但科學(xué)家通過研究發(fā)現(xiàn)地震釋放出的能量（單位：焦耳）與地震里氏震級(jí)之間的關(guān)系為，1976年7月28日我國唐山發(fā)生的里氏7.8級(jí)地震與2008年5月12日我國汶川發(fā)生的里氏8.0級(jí)地震所釋放出來的能量的比值為A． B．0.3 C． D．【跟蹤訓(xùn)練2-2】某食品的保鮮時(shí)間（單位：小時(shí)）與儲(chǔ)存溫度（單位：滿足函數(shù)關(guān)系為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，，為常數(shù)），若該食品在的保鮮時(shí)間是384小時(shí)，在的保鮮時(shí)間是24小時(shí)，則該食品在的保鮮時(shí)間是．【名師指導(dǎo)】求解所給函數(shù)模型解決實(shí)際問題的關(guān)注點(diǎn)(1)認(rèn)清所給函數(shù)模型，弄清哪些量為待定系數(shù)．(2)根據(jù)已知利用待定系數(shù)法，確定模型中的待定系數(shù)．(3)利用該模型求解實(shí)際問題．題型3構(gòu)建函數(shù)模型解決實(shí)際問題【例3-1】某公司生產(chǎn)某種產(chǎn)品，其年產(chǎn)量為萬件時(shí)利潤(rùn)為萬元，當(dāng)時(shí)，年利潤(rùn)為，當(dāng)時(shí)，年利潤(rùn)為．（1）若公司生產(chǎn)量在且年利潤(rùn)不低于400萬時(shí)，求生產(chǎn)量的范圍；（2）求公司年利潤(rùn)的最大值．【例3-2】一片森林原來面積為a，計(jì)劃每年砍伐一些樹，且每年砍伐面積的百分比相等，當(dāng)砍伐到面積的一半時(shí)，所用時(shí)間是10年，為保護(hù)生態(tài)環(huán)境，森林面積至少要保留原面積的eq\f(1,4)，已知到今年為止，森林剩余面積為原來的eq\f(\r(2),2).(1)求每年砍伐面積的百分比；(2)到今年為止，該森林已砍伐了多少年？【例3-3】某地區(qū)要建造一條防洪堤，其橫斷面為等腰梯形，腰與底邊夾角為60°(如圖)，考慮防洪堤堅(jiān)固性及石塊用料等因素，設(shè)計(jì)其橫斷面要求面積為9eq\r(3)平方米，且高度不低于eq\r(3)米．記防洪堤橫斷面的腰長(zhǎng)為x米，外周長(zhǎng)(梯形的上底線段BC與兩腰長(zhǎng)的和)為y米．要使防洪堤的上面與兩側(cè)面的水泥用料最省(即橫斷面的外周長(zhǎng)最小)，則防洪堤的腰長(zhǎng)x＝________米．【例3-4】濟(jì)南新舊動(dòng)能轉(zhuǎn)換先行區(qū)，承載著濟(jì)南從“大明湖時(shí)代”邁向“黃河時(shí)代”的夢(mèng)想，肩負(fù)著山東省新舊動(dòng)能轉(zhuǎn)換先行先試的重任，是全國新舊動(dòng)能轉(zhuǎn)換的先行區(qū)．先行區(qū)將以“結(jié)構(gòu)優(yōu)化、質(zhì)量提升”為目標(biāo)，通過開放平臺(tái)匯聚創(chuàng)新要素，堅(jiān)持綠色循環(huán)保障持續(xù)發(fā)展，建設(shè)現(xiàn)代綠色智慧新城．2019年某智能機(jī)器人制造企業(yè)有意落戶先行區(qū)，對(duì)市場(chǎng)進(jìn)行了可行性分析，如果全年固定成本共需2000（萬元），每年生產(chǎn)機(jī)器人x（百個(gè)），需另投人成本C（x）（萬元），且C(x)=（1）求年利潤(rùn)L（x）（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量x（百個(gè)）的函數(shù)關(guān)系式；（利潤(rùn)＝銷售額﹣成本）（2）該企業(yè)決定：當(dāng)企業(yè)年最大利潤(rùn)超過2000（萬元）時(shí)，才選擇落戶新舊動(dòng)能轉(zhuǎn)換先行區(qū)．請(qǐng)問該企業(yè)能否落戶先行區(qū)，并說明理由．【跟蹤訓(xùn)練3-1】在天文學(xué)中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述．若兩顆星的星等與亮度滿足．其中星等為，星的亮度為．（1）若，則；（2）若太陽的星等是，天狼星的星等是，則太陽與天狼星的亮度的比值為．【跟蹤訓(xùn)練3-2】某餐廳經(jīng)營盒飯生意，每天的房租、人員工資等固定成本為200元，每盒盒飯的成本為15元，銷售單價(jià)與日均銷售量的關(guān)系如表：?jiǎn)蝺r(jià)/元16171819202122日銷售量/盒480440400360320280240根據(jù)以上數(shù)據(jù)，當(dāng)這個(gè)餐廳每盒盒飯定價(jià)______元時(shí)，利潤(rùn)最大（）A．16.5 B．19