重難點突破：專題02 平行線及其判定（解析版）

專題02平行線及其判定重點平行線的基本事實及其推論，平行線的判定方法難點平行線的判定的應用易錯對平行公理理解不透徹，不能準確識別截線和被截線，從而誤判兩直線平行一、平行線的基本事實及其推論的應用強調(diào)“經(jīng)過直線外一點”，而非直線上的點；“有且只有”強調(diào)直線的存在性和唯一性．【例1】下列說法正確的是（

）A．兩點確定一條直線B．不相交的兩條直線叫做平行線C．過一點有且只有一條直線與已知直線平行D．兩點間的距離是指連接兩點間的線段【答案】A【解析】A、兩點確定一條直線，本選項正確；B、在同一平面內(nèi)不相交的兩條直線叫做平行線，本選項錯誤；C、過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行，本選項錯誤；D、兩點間的距離是指連接兩點間的線段的長度，本選項錯誤；故選A．【例2】如圖，已知A，B，C三點及直線EF，過B點作AB∥EF，過B點作BC∥EF，那么A，B，C三點一定在同一條直線上，依據(jù)是__________．【答案】過直線外一點，有且只有一條直線與已知直線平行【解析】∵AB∥EF，BC∥EF，∴A、B，C三點在同一條直線上（過直線外一點，有且只有一條直線與已知直線平行），故答案為：過直線外一點，有且只有一條直線與已知直線平行．二、平行線的判定方法的綜合應用判定兩直線平行的一般思路是先看題中存在同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角中的哪一類角，然后說明同位角或內(nèi)錯角相等，或說明同旁內(nèi)角互補，從而得出兩直線平行．【例3】如圖，下列說法錯誤的是（

）A．∵，∴B．∵，∴C．∵，∴D．∵，∴【答案】C【解析】解：A：∵∠1和∠2是直線l3與l4被直線l2所截形成的內(nèi)錯角，由內(nèi)錯角相等，兩直線平行，得出l3∥l4；B：∵∠2和∠5是直線l3與l4被直線l2所截形成的同旁內(nèi)角，且∠2+∠5=180°，由同旁內(nèi)角互補，兩直線平行，得出l3∥l4；C：∠1和∠3不符合“三線八角”不能構(gòu)成平行的條件，所以選項C錯誤；D：∵∠1和∠4是直線l1與l2被直線l3所截形成的內(nèi)錯角，由內(nèi)錯角相等，兩直線平行，得出l1∥l2．【例4】如圖，下列推理中正確的是（

）A．∵，∴ B．∵，∴C．∵，∴ D．∵，∴【答案】B【解析】解：A、∵∠1=∠4，∴AB∥CD，故選項錯誤；B、∵∠BCD+∠ADC=180°，∴AD∥BC，故選項正確；D、∵∠2=∠3，∴BC∥AD，故選項錯誤；C、∵∠CBA+∠C=180°，∴AB∥CD，故選項錯誤．故選：B．三、平行線的判定的實際應用解決幾何證明或計算問題時，通常把已知的數(shù)量關(guān)系標注在圖形上，并結(jié)合圖形中的位置關(guān)系及相關(guān)的性質(zhì)確定解法，這種“數(shù)形結(jié)合”的方法在解決幾何問題時具有非常重要的作用．【例5】如圖，由兩個完全相同的三角板拼成一個四邊形，則下列條件能直接判斷的是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】解：A、，，故本選項正確，符合題意；B、，，故本選項錯誤，不符合題意；C、由，無法得到，故本選項錯誤，不符合題意；D、，，故本選項錯誤，不符合題意；故選A．【例6】小穎學習了平行線的相關(guān)知識后，利用如圖所示的方法，折出了“過已知直線AB外一點P和已知直線AB平行的直線MN”，下列關(guān)于MN∥AB的依據(jù)描述正確的是（

）A．同位角相等，兩直線平行 B．內(nèi)錯角相等，兩直線平行C．同旁內(nèi)角互補，兩直線平行 D．以上選項均正確【答案】D【解析】解：如下圖，作以下標記E：第一步的操作可知PE⊥AB，所以∠PEA=∠PEB=90°，第二步的操作可知MN⊥PE，所以∠MPE=∠NPE=90°，所以∠PEA=∠PEB=∠MPE=∠NPE=90°，所以可依據(jù)A.同位角相等，兩直線平行、B.內(nèi)錯角相等，兩直線平行、C.同旁內(nèi)角互補，兩直線平行判斷MN∥AB，故A、B、C三個選項都對，故選D．一、單選題1．在同一平面內(nèi)，兩直線的位置關(guān)系必是（）A．垂直 B．平行 C．垂直或平行 D．相交或平行【答案】D【解析】解：在同一個平面內(nèi)，兩條直線只有兩種位置關(guān)系，即平行或相交．故選：D．2．如圖，下列條件中能判定ABCE的是（）A．∠B＝∠ACE B．∠B＝∠ACB C．∠A＝∠ECD D．∠A＝∠ACE【答案】D【解析】解：A、由∠B＝∠ACE不能判斷ABCE，故此選項不符合題意；B、由∠B＝∠ACB不能判斷ABCE，故此選項不符合題意；C、由∠A＝∠ECD不能判斷ABCE，故此選項不符合題意；D、∵∠A＝∠ACE，∴ABCE，故此選項符合題意．故選：D．3．如圖，點在的延長線上，下列條件中不能判定的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】A.根據(jù)同旁內(nèi)角互補，兩直線平行判定正確；B.根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行判定正確；C.根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行判定正確；D.∠1和∠2是AC和BD被AD所截形成的內(nèi)錯角，故只能判定AC∥BD，因此錯誤；故選擇D.4．如圖，已知A、B、C三點，過點A可畫直線BC的平行線的條數(shù)是（

）A．0條 B．1條 C．2條 D．無數(shù)條【答案】B【解析】解：如圖，根據(jù)過直線外一點有且只有1條直線與已知直線平行，故選：B．5．下列事實中，利用“垂線段最短”依據(jù)的是（）A．把一根木條固定在墻上至少需要兩個釘子B．把彎曲的公路改直，就能縮短路程C．體育課上，老師測量同學們腳后跟到起跑線的垂直距離作為跳遠成績D．火車運行的鐵軌永遠不會相交【答案】C【解析】解：A、用兩個釘子就可以把木條固定在墻上，利用的是兩點確定一條直線，故此選項不符合題意；B、把彎曲的公路改直，就能縮短路程，利用的是“兩點之間，線段最短”，故此選項不符合題意；C、體育課上，老師測量同學們腳后跟到起跑線的垂直距離作為跳遠成績，利用的是“垂線段最短”，故此選項符合題意；D、火車運行的鐵軌永遠不會相交，利用的是兩直線平行，沒有交點，故此選項不符合題意；故選：C．6．如圖，∠1＝∠2，由此推出的正確結(jié)論是（

）A．∠3＝∠4 B．∠1＋∠3＝∠2＋∠4C．AB∥CD D．AD∥BC【答案】C【解析】解：∵∠1＝∠2，∴故選C二、填空題7．數(shù)學課上，老師要求同學們利用三角板畫兩條平行線．如圖，小華的畫法；①將含角三角尺的最長邊與直線重合，用虛線作出一條最短邊所在直線；②再次將含角三角尺的最短邊與虛線重合，畫出最長邊所在直線，則．你認為他畫圖的依據(jù)是__．【答案】內(nèi)錯角相等，兩直線平行【解析】解：畫圖的依據(jù)是內(nèi)錯角，相等兩直線平行．故答案為：內(nèi)錯角相等，兩直線平行8．如圖，下列不正確的是__________（填序號）①如果，那么；②如果，那么；③如果，那么；④如果，那么；⑤如果，那么．【答案】③⑤【解析】解：①∵，∴（同位角相等，兩直線平行），故正確；②∵，∴（同位角相等，兩直線平行），故正確；③和不屬于三線八角中的其中一類，故無法判斷，故錯誤；④∵，∴（同位角相等，兩直線平行），故正確；⑤和不屬于三線八角中的其中一類，故無法判斷，故錯誤．故答案為：③⑤三、解答題9．如圖，點G在上，已知，平分，平分請說明的理由．解：因為（已知），（鄰補角的性質(zhì)），所以（________________）因為平分，所以（________________）．因為平分，所以______________，得（等量代換），所以_________________（________________）．【答案】同角的補角相等，角平分線的定義，∠AGC，，內(nèi)錯角相等兩直線平行【解析】解：因為（已知），（鄰補角的性質(zhì)），所以（同角的補角相等）因為平分，所以（角平分線的定義）．因為平分，所以∠AGC，得（等量代換），所以（內(nèi)錯角相等兩直線平行），故答案為：同角的補角相等，角平分線的定義，∠AGC，，內(nèi)錯角相等兩直線平行．10．如圖，已知GH、MN分別平分∠AGE、∠DMF，且∠AGH＝∠DMN，試說明ABCD的理由．【答案】見解析【解析】∵GH平分∠AGE，∴∠AGE＝2∠AGH同理∠DMF＝2∠DMN∵∠AGH＝∠DMN∴∠AGE＝∠DMF又∵∠AGE＝∠FGB∴∠DMF＝∠FGB∴ABCD（同位角相等，兩直線平行）．一、單選題1．已知直線，在同一平面內(nèi)，給定一點，過點作直線的平行線，可作平行線的條數(shù)有（）A．0條 B．1條 C．0條或1條 D．無數(shù)條【答案】C【解析】解：①當點在直線上時，這樣的直線為0條；②當點在直線外時，這樣的直線有一條．故選：C．2．如圖，和分別為直線與直線和相交所成角．如果，那么添加下列哪個條件后，可判定．（

）．A． B． C． D．【答案】A【解析】A.∵，∴∠3=180o-∠2=62o=∠1，∴能判定，此選項正確；B.∵，∴∠3=180o-∠4=52o≠∠1，∴不能判定，此選項錯誤；C.∵，∴∠3≠∠1，∴不能判定，此選項錯誤；D.∵，∴∠3=∠28o≠∠1，∴不能判定，此選項錯誤；故選：A3．如圖，若∥，則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】A.∠EDC＝∠EFC不是兩直線被第三條直線所截得到的，因而不能判定兩直線平行，故本選項不符合題意；B.∠AFE＝∠ACD，是EF和BC被AC所截得到的同位角可以判定EF∥BC，但不能判定DE∥AC，故本選項不符合題意；C.∠3＝∠4這兩個角是AC與DE被EC所截得到的內(nèi)錯角，可以判定DE∥AC，符合題意；D.∠1＝∠2是EF和BC被EC所截得到的同位角和內(nèi)錯角，可以判定EF∥BC，但不能判定DE∥AC，故本選項不符合題意；故選：C．4．如圖，點A，B，E在同一條直線上，不能判定ADBC的條件是（）A．∠A＝∠CBE B．∠C+∠D＝180°C．∠C＝∠CBE D．∠A+∠ABC＝180°【答案】C【解析】解：A、∠A＝∠CBE可利用同位角相等，兩直線平行判定ADBC，故此選項不符合題意；B、∠C+∠D＝180°可利用同旁內(nèi)角互補，兩直線平行判定ADBC，故此選項不符合題意；C、∠C＝∠CBE可利用內(nèi)錯角相等，兩直線平行判定CDBA，不能判定ADBC，故此選項符合題意；D、∠A+∠ABC＝180°可利用同旁內(nèi)角互補，兩直線平行判定ADBC，故此選項不符合題意；故選：C．5．如圖，下列條件中，不能判斷AB∥CD的是（

）A．∠3＝∠2 B．∠1＝∠4 C．∠B＝∠5 D．∠D＋∠BAD＝180°【答案】B【解析】解：A、∠3和∠2是直線AB、CD被直線AC所截形成的內(nèi)錯角，內(nèi)錯角相等，可以判斷AB∥CD，不符合題意；B、∠1和∠4是直線AD、BC被直線AC所截形成的內(nèi)錯角，內(nèi)錯角相等，可以判斷AD∥BC，不能判斷AB∥CD，符合題意；C、∠B和∠5是直線AB、CD被直線BE所截形成的同位角，同位角相等，可以判斷AB∥CD，不符合題意；D、∠D和∠BAD直線AB、CD被直線AD所截形成的同旁內(nèi)角，同旁內(nèi)角互補，可以判斷AB∥CD，不符合題意；故選：B．6．如圖，在下列給出的條件中，可以判定的有（

）①；②；③；④；⑤．A．①②③ B．①②④ C．①④⑤ D．②③⑤【答案】D【解析】解：①∠1=∠2不能判定AB∥CD，不符合題意；②∵∠1=∠3，∴AB∥CD，符合題意；③∵∠2=∠4，∴AB∥CD，符合題意；④∠DAB+∠ABC=180°；不能判定AB∥CD，不符合題意；⑤∵∠BAD+∠ADC=180°，∴AB∥CD，符合題意．故選：D．二、填空題7．如圖，直線a，b與直線c相交，給出下列條件：①∠1=∠2；②∠3=∠6；③∠4＋∠7=180°；④∠5＋∠3=180°，其中能判斷ab的是________（填序號）．【答案】①③④【解析】解：①∵∠1=∠2，∴ab，故①正確；②由∠3=∠6無法得出ab，故②錯誤；③∵∠4＋∠7=180°，∴ab，故③正確；④∵∠5＋∠3=180°，∠2=∠3，∴∠2＋∠5=180°，∴ab，故此選項正確；故答案為：①③④．8．下列說法中錯誤的是___________（填序號）①過一點有且只有一條直線與已知直線平行②在同一平面內(nèi)，兩條不相交的線段是平行線段③兩條直線沒有交點，則這兩條直線平行④在同一平面內(nèi)，若直線AB∥CD，直線AB與EF相交，則CD與EF相交⑤過點A作直線l的垂線，垂足為B，則線段AB是點A到直線l的距離【答案】①②③⑤【解析】過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行，故①錯誤；在同一平面內(nèi)，兩條不相交的線段可能是平行線段，也可能不是平行線段，故②錯誤；在同一平面內(nèi)，兩條直線沒有交點，則這兩條直線平行，故③錯誤；在同一平面內(nèi)，若直線AB∥CD，直線AB與EF相交，則CD與EF相交，故④正確；過點A作直線l的垂線，垂足為B，則線段AB的長是點A到直線l的距離，故⑤錯誤；故答案為：①②③⑤．三、解答題9．在下列解題過程的空白處填上恰當?shù)膬?nèi)容（推理的理由或數(shù)學表達式）已知：如圖，∠1＋∠2＝180°，∠3＝∠4．求證：EFGH．證明：∵∠1＋∠2＝180°（已知），∠AEG＝∠1（______）∴∠AEG＋∠______＝180°，∴ABCD（______），∴∠AEG＝∠EGD（______），∵∠3＝∠4（已知），∴∠3＋∠AEG＝∠4＋∠______（等式的性質(zhì)），即∠FEG＝∠______，∴EFGH（______）．【答案