人教版數(shù)學(xué)九年級上冊第二十一章《一元二次方程》解題指導(dǎo)

/抓特征,巧解一元二次方程解一元二次方程的常用方法有:直接開方法,配方法,公式法,因式分解法.到底選擇哪種方法更適宜些呢?這應(yīng)由方程的特征來確定.因此,解方程之前我們應(yīng)仔細(xì)觀察方程的系數(shù)特點和方程的結(jié)構(gòu)特征,并根據(jù)它們來靈活選擇解題的方法,從而到達(dá)迅速、簡便、準(zhǔn)確解題的目的.試看以下幾例:例1解方程.析此題方程的特征為左右兩邊均是一個完全平方式的形式,可嘗試用直接開方法來求解.解方程兩邊直接開方,得,即,或,解得例2解方程.析注意到方程右邊可因式分解為,左、右兩邊有相同的公因式,可嘗試用因式分解法來求解.解原方程可化為,移項,得,提取公因式,得,即,解得評注注意解方程時,不能把方程兩邊的先約去,再求解.這樣做的后果是把其中一個解漏掉了,深層原因是無視了有可能等于0不能作為除數(shù)的情況.對于這一類型的題目,一般要先移項,再提取公因式法進(jìn)行因式分解后求解.例3解方程.析此題方程的二次項系數(shù)為3的平方數(shù),一次項系數(shù)又是3的偶數(shù)倍,可嘗試用配方法來求解.解原方程可配方為,兩邊同時開方,得,解得例4解方程.析方程左邊的兩個因式具有相同的項、,可嘗試把＋當(dāng)一個“整體〞先對方程進(jìn)行化簡.解原方程可化為,即,兩邊同時開方,得,解得評注本例假設(shè)直接利用多項式乘法法那么將左邊展開,這樣解題過程將會復(fù)雜許多.通過本例再次讓我們感覺到抓住方程的特征,才有利于選擇適當(dāng)方法,才能給我們解題帶來簡捷與準(zhǔn)確.一元二次方程中的思維之魂新課標(biāo)要求“人人做有價值的數(shù)學(xué)〞?！坝袃r值的數(shù)學(xué)〞就是數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí),它是數(shù)學(xué)思維的靈魂。現(xiàn)將一元二次方程中主要數(shù)學(xué)思想做一個簡要的說明。一、轉(zhuǎn)化思想所謂轉(zhuǎn)化思想就是將復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單的問題,將生疏的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題,將難以解決的問題轉(zhuǎn)化為容易解決的問題,將待解決的問題轉(zhuǎn)化為已解決的問題．本章中“轉(zhuǎn)化〞的數(shù)學(xué)思想方法,如同一條線貫穿始終。如一元二次方程的解法：直接開平方法利用平方根的定義將一元二次方程轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程；用配方法求解,是把方程化為的形式,表達(dá)了數(shù)學(xué)形式的轉(zhuǎn)化,然后利用直接開平方的方法把“二次〞轉(zhuǎn)化為“一次〞,把“未知〞轉(zhuǎn)化為“〞；因式分解法是利用因式分解的方法把“二次〞轉(zhuǎn)化為“一次〞；公式法求解直接用公式把“未知〞轉(zhuǎn)化為“〞。這些都表達(dá)了轉(zhuǎn)化的思想方法。二．方程思想方程思想是本章中反映的主要數(shù)學(xué)思想方法,并在本章中有廣泛的應(yīng)用。如方程和方程的根,求方程中字母的值時,運用了方程思想；又如列方程解應(yīng)用問題充分表達(dá)了方程思想。先找出應(yīng)用問題中的一個或幾個相等關(guān)系,設(shè)出未知數(shù),把應(yīng)用題中的“〞和“未知〞統(tǒng)一在方程中,通過列解方程求得問題的解。三．整體思想所謂整體思想就是從整體著眼,把一些看似毫不相干而實質(zhì)上又緊密相聯(lián)的數(shù)、式看作一個整體去處理．在用直接開平方法解一元二次方程時,就涉及到了整體思想．例1解方程：。分析此題的方法比擬多,不過如果利用整體的思想的方法可大大地減少運算量。把作為一個整體,然后利用因式分解的方法進(jìn)行解答。解：移項,得,因式分解,得,所以＝0,＝0,解得,。四．分類討論思想分類討論思想是指研究某些數(shù)學(xué)問題,就其可能出現(xiàn)的各種情況一一加以分類。分類討論可以把一個復(fù)雜的問題分成假設(shè)干個較簡單的問題加以解決。在利用配方法推導(dǎo)一元二次方程求根公式的過程中運用了分類討論的思想。分類的對象是、分類的標(biāo)準(zhǔn)是與0的關(guān)系、分類的結(jié)果是＞0、＜0、＝0,這樣分類的結(jié)果就十清楚確。又如：在涉及到含有字母系數(shù)的一元二次方程時,經(jīng)常要用到分類討論思想。例2解方程：。分析：此題分兩種情況進(jìn)行討論：當(dāng)和。解：當(dāng)時,原方程可化為：,解得。當(dāng)時,原方程可化為,解得。故原方程的解有四個：,。整體性思維在解題中的應(yīng)用有許多數(shù)學(xué)題,假設(shè)單獨求解很困難,或者很繁瑣。假設(shè)認(rèn)真分析題意、仔細(xì)觀察結(jié)構(gòu),研究問題的整體形式、整體結(jié)構(gòu),運用整體性思維,往往能順利而又簡潔地解決問題?，F(xiàn)舉幾例如下：1、整體求值m是一元二次方程x2－2x－1=0的根,求m2－2m的值。分析此題假設(shè)把m代入方程,求出兩個無理根,再把m的值代入m2－2m求值,顯然麻煩且容易出錯。我們把m2－2m看做一個整體,由m2－2m－1=0,可直接求得m2－2m=12、整體代入例2、x2－5x－1=0,求x2+－11的值.分析：如果從方程x2－5x－1=0中解出兩個無理根,再代入求值,計算復(fù)雜,現(xiàn)把x2=5x+1視作整體代入,那么使求值簡便。解：由x2－5x－1=0,得x2=5x+1,所以x2+—11=5x+1+－11==16.3、整體求積例3、在Rt⊿ABC中,∠C=90°,AC+BC=,AB=.求S⊿ABC.分析假設(shè)求出AC和BC的值,再計算S⊿ABC,那么很麻煩。由于S⊿ABC=AC·BC,所以我們只要能求出AC·BC的值就可以了。解由AC+BC=,得〔AC+BC〕2=6,所以,AC2+BC2+2AC·BC=6,由勾股定理得,AC2+BC2=AB2=5,所以,AC·BC=,因此,S⊿ABC=AC·BC=。4、變0代入例4、當(dāng)x=時,求式子(4x3-2019x-2009)2009的值。分析假設(shè)直接代入x的值,計算將很難進(jìn)行下去。解由x=,得2x-1=,兩邊平方整理得：4x2-4x-2019=0。4