高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 函數(shù)的最值

第2.4章函數(shù)的概念與性質(zhì)

2.4.5函數(shù)的最值

鱉課程要求了修?求心中有敷

1理解函數(shù)最值的概念;

高中要求

2掌握求常見函數(shù)的最值的方法;

3基礎(chǔ)知識SKSM,■立完整知識體系

函數(shù)的最值

一般地，設(shè)函數(shù)y=/(久)的定義域?yàn)?,如果存在實(shí)數(shù)M滿足：

(1)VxeI,都有/(x)<M；(2)3x06I,使得f(%o)=M；

那么，我們稱M是函數(shù)y=f(x)的最大值.(最小值類似定義)

簡單來說，最大值和最小值分別是函數(shù)圖像中最高點(diǎn)和最低點(diǎn)的函數(shù)值.

【例1】下圖為函數(shù)y=/(%)，xe［—4,7］的圖象，指出它的最大值、最小值.

解析觀察函數(shù)圖象可以知道，圖象上最高點(diǎn)坐標(biāo)為(3,3),最低點(diǎn)坐標(biāo)為(-1.5,-2),所以當(dāng)x=3時(shí)，函

數(shù)丫=f(X)取得最大值=3；當(dāng)X=-1,5時(shí)，取得最小值ymin=-2.

【例2】求函數(shù)〃>)=2x+1在區(qū)間［3,6］上的最大值和最小值.

解析函數(shù)/(x)=2x4-1在區(qū)間［3,6］上遞增，則f(3)</(x)<f(6),

所以最大值=/(6)=13,最小值/(久)7n譏=/(3)=7.

腌^經(jīng)典例題從典例中見解建能力

【題型1】求函數(shù)最值

【典題1】已知函數(shù)/(x)=巖，其定義域是［-8,-4),則下列說法正確的是()

557

A./(%)有最大值］無最小值B./(%)有最大值w，最小值不

77

C./(%)有最大值？，無最小值D./(%)有最大值2,最小值1

解析函數(shù)"%)=答1=2+高

5

即有/(%)在［-8,-4)遞減，則久=-8處取得最大值，且為石，

由X=-4取不到，即最小值取不到.

故選：A.

【典題2】已知函數(shù)/(%)=x2+lx—af+1,xeR,aeR.

(1)當(dāng)a=l時(shí)，求函數(shù)/(%)的最小值；(2)求函數(shù)/(%)的最小值為g(a).

解析(1)/0)=/+比一1|+1=,r+：’：221，

1片一1+2,%V1

由/(%)=/+%n/(%)=(%+[)-1(%>1),可知/(%)22;

由/(%)=/-%+2=/(%)=(%—；)+：(、<1)，可知/(汽)>

所以/(%)zn譏=/Q)=彳

c、e、f%2+x—a+1,%>a

⑵/(%)=%,「/，

—%+a+L%Va

1)當(dāng)a>f(x)min=fG)=3+。；

2

2)當(dāng)-1<a<pf(.x)min=/(a)=a+1；

_=-a；

3)當(dāng)aW-1,f(x)min=/(I)|

、

-3+.a,a>-1

11

所以9(a)=ct9+1,—<aV一

22

變式練習(xí)

1.函數(shù)“久)=X2+3X+2在區(qū)間［—5,5］上的最大值、最小值分別是()

A.12,B.2,12C.42,-iD.最小值是一；，無最大值

444

答案c

解析y=/+3%+2=(%+')拋物線的開口向上，對稱軸為％=-j，

??.在區(qū)間［—5,5］上，當(dāng)％=-|時(shí)，y有最小值/x=5時(shí)，y有最大值42,

函數(shù)/(久)=/+3支+2在區(qū)間［—5,5］上的最大值、最小值分別是：42,

故選：C.

2.y=%-(在［1,2］上的最小值為.

答案0

解析根據(jù)題意丫=尤-：在［1,2］上為增函數(shù)，

則y=x在［1,2］上的最小值為y=0.

3.函數(shù)“久)=自在區(qū)間［2,4］上的最小值為.

答案!

解析/(%)=囁=1一^^八人嗎在已句上為增函數(shù)，

.,.當(dāng)x=2時(shí)，/(%)=W在區(qū)間24］上的最小值為f(2)=

4.求函數(shù)f(%)=2x-Vx-1的值域.

解析設(shè)t=V%-1>0,則％=t2+1,

/(t)=2(t2+1)-t=2t2-t+2=2(t-i)2+(t>0)

.??值域?yàn)橐?8).

o

【題型2】參數(shù)問題

【典題1］已知函數(shù)=分的定義域和值域都是［2,b］(b>2),則實(shí)數(shù)b的值為

解析了(%)=岑=竺匕盧=一三+4,其圖象如圖，

x—1x-1x—1

由圖可知，函數(shù)/。)=昔在［2,句上為增函數(shù)，

又函數(shù)/(X)=詈的定義域和值域都是［2,b］(b>2),

；?f(匕)=TD—V1=b,解得6=3.

【典題2】若函數(shù)/(無)=/-2ax+1-a在［0,2］上的最小值為-1.則a=()

6

A.1或2B.1C.1或gD.-2

解析函數(shù)/(%)=x2-2ax+1-a圖象的對稱軸為第=a,圖象開口向上，

(1)當(dāng)a<0時(shí)，函數(shù)/(嗎在［0,2］上單調(diào)遞增.則/(%)加譏=/(0)=1-a,

由1-a=-1,得Q=2,不符合a<0；

(2)當(dāng)0<aV2時(shí).則譏=/(。)=CL2—2a24-1—a=—a2—a+1,

由一次―Q+I=—i,得。=一2或a=l,0<a<2,???a=1符合；

(3)當(dāng)a22時(shí)，函數(shù)/(%)=x2-2ax+1-Q在［0,2］上單調(diào)遞減，

6

f=/(2)=4—4a+1—a=5—5a,由5—5a=-1,=百，

va>2,a=5不符合，

綜上可得a=1.

故選：B.

【典題3]已知二次函數(shù)/(%)滿足條件:/(0)=1)(%+1)=/(x)+2x

⑴求/(%)；

(2)討論二次函數(shù)/(%)在閉區(qū)間比t+l](teR)上的最小值.

解析(1)設(shè)/(%)=ax2+b%+1,

???/(%+1)=/(%)4-2x,

???a(x+l)2+b(x+1)+1=ax2+b%+1+2x,

即2ax+a+b=2%,

a+b=O'解得a=l，b=T，

???/(x)=x2—X+1.

2

(2)由(1)知/(%)=x2-%+1,則/(%)=x2-%+1=+1,

???當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí),/(%)在也t+1］上是減函數(shù),

2

/Wmin=/?+1)=(t+{)+：=產(chǎn)+t+1;

2

當(dāng)t>決寸，/(乃在tt+1］上是增函數(shù)，f(X)min=/(t)=t-t+1；

當(dāng)t<g<t+l時(shí)，即當(dāng)-t時(shí)，f(X)mE=f0=；；

2

綜上可知，當(dāng)tW—|?時(shí)，f(X)min=t+t+1;

當(dāng)時(shí)，=*

2

當(dāng)t2次寸，f(x)min=t-t+1.

變式練習(xí)

1.已知函數(shù)。(x)=——+4x+a,xe［0,1］,若/。)有最小值-2,則己%)的最大值為()

A.-1B.0C.1D.2

答案C

解析/(%)=—(%2-4%+4)+a+4=—(%—2/+4+a.

???函數(shù)/(%)圖象的對稱軸為汽=2,/(%)在［0,1］上單調(diào)遞增.

又???/(%)加九二-2,/./(0)=-2,即a=-2.

f(%)m=f(l)=T+4-2=1.

2.若函數(shù)y=d一5%-1的定義域［0,zn］,值域?yàn)椋垡粋€(gè)，一1］,則租的取值范圍是__.

4

答案［|,5］

解析根據(jù)題意，函數(shù)丫=/一5刀一1=(久—，一三

函數(shù)的對稱軸為％=￡且有汽0)=/(5)=-1,

又由函數(shù)的定義域值域?yàn)椋邸?，?］,則有|wmW5；

即6的取值范圍6，5］.

3.已知函數(shù)/(%)=/一6%+8,久C［La］，并且函數(shù)/(%)的最小值為/(a),則實(shí)數(shù)Q的取值范圍是

答案(1,3］

解析函數(shù)/(%)=/一6%+8=(%-3)2-1,%E［1,幻，并且函數(shù)/(%)的最小值為f(a),

又???函數(shù)/(%)在區(qū)間口,3］上單調(diào)遞減，，1Va43,

故答案為：(1,3］.

4.已知函數(shù)/(%)=x\x-2\

⑴寫出"%)的單調(diào)區(qū)間；

(2)設(shè)a>0,求f(%)在［0,a］上的最大值.

a(2—a),0<a<1

l,l<a<l+V2

a(a—2),a>1+V2

x!2—2x,x>2(%-l)2-l,x>2

解析(1)f(x)=X\x-2|=

—x2+2x,x<2—(x—l)2+l,x<2

f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(一oo,l］和［2,+oo)；

單調(diào)遞減區(qū)間是［1,2］.

(2)i)當(dāng)0<a<1時(shí),

f(%)在［0,a］上是增函數(shù)，此時(shí)f(%)在［0,a］上的最大值是f(a)=a(2-a);

ii)當(dāng)1WaW2時(shí)，

/(x)在［0,1］上是增函數(shù)，在［1,a］上是減函數(shù)，

所以此時(shí)f(x)在［0,a］上的最大值是-1)=1

iii)當(dāng)2<aW1+迎時(shí)，

/(%)在［0,1］是增函數(shù)，在［1,2］上是減函數(shù)，在［2,a］上是增函數(shù)，

而((a)</(I+V2)=f(l),所以此時(shí)f(x)在［0,a］上的最大值是f(l)=1

iv)當(dāng)a>1+企時(shí)，

f(無)在［0,1］上是增函數(shù)，在［1,2］上是減函數(shù)，在［2,a］上是增函數(shù)，

而f(a)>/(I+V2)=/⑴,所以此時(shí)/(x)在［0,a］上的最大值是f(d)=a(a-2)

{a(2—a),0<a<1

1,1<a<1+V2

a(a—2),a>1+V2

1.函數(shù)f(久)(-2WxW2)的圖象如圖所示，則函數(shù)的最大值、最小值分別為()

?

A.f(2),f(-2)B.f(j),/(-l)C./(i),f(~l)D.f(l),f(0)

答案C

2.設(shè)函數(shù)〃X)的定義域?yàn)椋?,1］,則“/(x)在區(qū)間［0,1］上單調(diào)遞增受“/(x)在區(qū)間［0,1］上的最大值為f(l)”的

()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

答案A

解析若函數(shù)f(x)在［0,1］上單調(diào)遞增，

則函數(shù)在［0,1］上的最大值為/(I),

若f(x)=(x-Q2,則函數(shù)/Xx)在［0,1］上的最大值為f(l),

但函數(shù)在［0,1］上不單調(diào)，

故選：A.

3.函數(shù)f(x)=/-2ax+a+2在［0,可上取得最大值3,最小值2,則實(shí)數(shù)。為()

A.0或1B.1C.2D.以上都不對

答案B

解析因?yàn)楹瘮?shù)/(x)=d一2ax+a+2=(x-a)2-a?+a+2,對稱軸為％=a,開口方向向上，所以/(x)

在［0,a］上單調(diào)遞減，其最大值、最小值分別在兩個(gè)端點(diǎn)處取得，

即/(x)max=/(0)=a+2=3,=/(a)=一a?+a+2=2.故a=1.

4.已知函數(shù)/(x)=x+-2x,則函數(shù)/(%)有()

A.最小值:，無最大值B.最大值今無最小值

C.最小值1,無最大值D.最大值1,無最小值

答案D

解析由題意可得XW5設(shè)位工=如貝亞20,

1—M10

?1?g(t)=——Ft――-(t—l)2+1,t>o,

其對稱軸為t=i,且開口向下，

.,.當(dāng)t=i時(shí)，由最大值，最大值為1,無最小值.

故函數(shù)/■(%)有最大值1,無最小值，

故選：D.

5.函數(shù)f(久)=/-2x+2在區(qū)間［0,河上的最大值為2,最小值為1,則m的取值范圍是

答案［1,2)

解析/(%)-x2-2x+2,對稱軸x=1,；./(0)=2,/(I)=1,

/(%)=%2-2%+2在區(qū)間［0,m］上的最大值為2,最小值為1

\.Mn-.l<m<2

(m)<2-2m<0

故答案為：1<m<2

6.函數(shù)fO)=宗在區(qū)間［—5,—3］上的最小值為.

答案(

解析函數(shù)/0)=*%+2—1=1一點(diǎn)

%+2

由y=U是遞增函數(shù),

.??當(dāng)乂=—5時(shí)，取得最小值為去

4

-

那么函數(shù)3

7.求函數(shù)y=2%+-2x的最大值為.

5

暫

案-

4

析

解

令

a則

-一%>-

-，I15X

-

-

24

z-

2

.y-++1-l+

：-

-\

135

時(shí)

當(dāng)

--即X--y--

28ma4

8.已知二次函數(shù)/(x)的最小值為—1,且/(I)=0/(3)=0,

(I)求。,b,c的值；

(11)求丫=f(x)在［-1,4］上的單調(diào)區(qū)間與值域.

答案(1)a=l,6=-4,c=3;(2)［-1,8］

解析(I):為二次函數(shù)，/(I)=f(3)=0,???對稱軸為x=2

:二次函數(shù)f(X)的最小值為-1,

.?.設(shè)二次函數(shù)的解析式為/■(>)=a(x-2)2-1,a>0

/(I)=