重難點(diǎn)突破：專題01 相交線（解析版）

專題01相交線重點(diǎn)鄰補(bǔ)角與對(duì)頂角的有關(guān)概念和計(jì)算難點(diǎn)同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的判斷易錯(cuò)垂線的畫(huà)法，識(shí)別同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角一、對(duì)頂角和鄰補(bǔ)角的有關(guān)計(jì)算1．補(bǔ)角是補(bǔ)角的一種特殊情況：鄰補(bǔ)角既包含位置關(guān)系，又包含數(shù)量關(guān)系，數(shù)量上兩角的和是180°，位置上有一條公共邊．互為鄰補(bǔ)角的兩個(gè)角一定互補(bǔ)，但互補(bǔ)的兩個(gè)角不一定是鄰補(bǔ)角；一個(gè)角的鄰補(bǔ)角有兩個(gè)，但一個(gè)角的補(bǔ)角可以有很多個(gè)．2．識(shí)別對(duì)頂角時(shí)，要抓住兩個(gè)關(guān)鍵要素：一是頂點(diǎn)，二是邊．先看兩個(gè)角是否有公共頂點(diǎn)，再看兩個(gè)角的兩邊是否分別互為反向延長(zhǎng)線．兩條直線相交形成兩對(duì)對(duì)頂角．【例1】如圖，直線，相交于點(diǎn)，，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵直線AB，CD相交于點(diǎn)O，∠BOC與∠BOD是鄰補(bǔ)角，∴∠BOC+∠BOD=180°.∵OM⊥AB，∴∠BOM=∠BOD+∠MOD=90°，∴∠BOD=90°-∠MOD=90°-30°=60°，∴∠BOC=180°-∠BOD=180°-60°=120°.故選：C【例2】如圖，直線，相交于點(diǎn)，，，平分，給出下列結(jié)論：①當(dāng)時(shí)，；②為的平分線；③若時(shí)，；④．其中正確的結(jié)論有（

）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【答案】B【解析】解：∵∠AOE=90°，∠DOF=90°，∴∠BOE=90°=∠AOE=∠DOF，∴∠AOF+∠EOF=90°，∠EOF+∠EOD=90°，∠EOD+∠BOD=90°，∴∠EOF=∠BOD，∠AOF=∠DOE，∴當(dāng)∠AOF=50°時(shí)，∠DOE=50°；故①正確；∵OB平分∠DOG，∴∠BOD=∠BOG，∴∠BOD=∠BOG=∠EOF=∠AOC，故④正確；∵，∴∠BOD=180°-150°=30°，∴故③正確；若為的平分線，則∠DOE=∠DOG，∴∠BOG+∠BOD=90°-∠EOE，∴∠EOF=30°，而無(wú)法確定，∴無(wú)法說(shuō)明②的正確性；故選：B．二、垂線的定義與垂線段的性質(zhì)1．垂線的定義具有判定和性質(zhì)的雙重作用，即：知直角得線垂直；反之，知線垂直得直角．2．線段是一條線段，可以度量長(zhǎng)度，“一點(diǎn)”必須在直線外，若這點(diǎn)在直線上，就構(gòu)不成垂線段，故這一點(diǎn)不能在直線上．3．垂線段和點(diǎn)到直線的距離是兩個(gè)不同的概念，垂線段是一條線段，是圖形；而點(diǎn)到直線的距離是垂線段的長(zhǎng)度，是一個(gè)數(shù)量．【例3】如圖所示，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足為D，則下列結(jié)論中，正確的個(gè)數(shù)為（）①AB⊥AC；②AD與AC互相垂直；③點(diǎn)C到AB的垂線段是線段AB；④點(diǎn)A到BC的距離是線段AD；⑤線段AB的長(zhǎng)度是點(diǎn)B到AC的距離；⑥線段AB是點(diǎn)B到AC的距離．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【解析】①，AB⊥AC，①正確；②∠DAC≠90°，AD與AC不互相垂直，②錯(cuò)誤；③點(diǎn)C到AB的垂線段是線段AC，③錯(cuò)誤；④點(diǎn)A到BC的距離是線段AD的長(zhǎng)度，④錯(cuò)誤；⑤線段AB的長(zhǎng)度是點(diǎn)B到AC的距離，⑤正確；⑥線段AB的長(zhǎng)度是點(diǎn)B到AC的距離，⑥錯(cuò)誤．綜上所述：①⑤正確，共計(jì)2個(gè)．故選B．【例4】如圖，直線AB與CD相交于點(diǎn)O，∠BOD=40°，OE⊥AB，則∠COE的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵OE⊥AB，∴∠AOE=90°，∵∠BOD=40°，∴∠AOC=∠BOD=40°，∴∠EOC=∠AOE+∠AOC=130°．故選：B．三、同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的識(shí)別1．識(shí)別同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角時(shí)，先在圖形上標(biāo)出兩個(gè)角的邊，然后抽取圖形，并觀察圖形屬于“F”“Z”還是“U”形，進(jìn)而根據(jù)所屬的形狀確定角的類型．2．在“三線八角”圖形中，由兩角判別截線和被截線的方法是看角的兩邊的位置；共線的一邊所在的直線為截線，另兩邊所在的直線為被截線．3．這三種角講的都是位置關(guān)系，而不是大小關(guān)系，通常情況下，大小是不確定的；同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角都是成對(duì)出現(xiàn)的，沒(méi)有公共頂點(diǎn)，但有一條邊共線，且在截線上，另一邊分別在兩條被截線上；兩條直線被第三條直線截成的8個(gè)角中共有4對(duì)同位角，2對(duì)內(nèi)錯(cuò)角，2對(duì)同旁內(nèi)角．【例5】下列四幅圖中，和是同位角的是（

）A．（1）、（2） B．（3）、（4） C．（1）、（2）、（4） D．（2）、（3）、（4）【答案】C【解析】解：（1）、（2）、（4）的兩個(gè)角都在截線的同旁，又分別處在被截的兩條直線同側(cè)的位置的角，故選：C．【例6】如圖，與∠B互為同旁內(nèi)角的有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【解析】解：∠B的同旁內(nèi)角有：∠BDE、∠BCE、∠BAC共3個(gè)．故選C．【例7】如圖，圖形中不是同位角的是（）?A．∠3與∠6 B．∠4與∠7 C．∠1與∠5 D．∠2與∠5【答案】C【解析】解：A、∠3與∠6符合同位角定義，正確；B、∠4與∠7符合同位角定義，正確；C、∠1與∠5是同旁內(nèi)角，錯(cuò)誤；D、∠2與∠5符合同位角定義，正確；故選C．一、單選題1．下列各圖中，與是對(duì)頂角的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】解：A．根據(jù)對(duì)頂角的定義，∠1與∠2不是對(duì)頂角，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；B．根據(jù)對(duì)頂角的定義，∠1與∠2是對(duì)頂角，故選項(xiàng)正確，符合題意；C．根據(jù)對(duì)頂角的定義，∠1與∠2不是對(duì)頂角，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；D．根據(jù)對(duì)頂角的定義，∠1與∠2不是對(duì)頂角，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；故選：B．2．（2021·重慶市第九十五初級(jí)中學(xué)校七年級(jí)階段練習(xí)）下列圖中，∠1與∠2是同位角的是（

）A． B． C．D．【答案】B【解析】解：選項(xiàng)A中的兩個(gè)角是同旁內(nèi)角，因此不符合題意；選項(xiàng)C中的兩個(gè)角既不是同位角、也不是內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角，因此不符合題意；選項(xiàng)D不是兩條直線被一條直線所截出現(xiàn)的角，不符合題意；只有選項(xiàng)B中的兩個(gè)角符合同位角的意義，符合題意；故選：B．3．如圖，河道的同側(cè)有、兩地，現(xiàn)要鋪設(shè)一條引水管道，從地把河水引向、兩地．下列四種方案中，最節(jié)省材料的是（

）A．B．C． D．【答案】D【解析】解：依據(jù)垂線段最短，以及兩點(diǎn)之間，線段最短，可得最節(jié)省材料的是：故選：D．4．如圖所示，直線AB與CD相交于點(diǎn)O，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．和互為余角 B．和是對(duì)頂角C． D．【答案】D【解析】解：A．和互為鄰補(bǔ)角，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；B．和互為鄰補(bǔ)角，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；C．不一定成立，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；D．和互為鄰補(bǔ)角，，故此選項(xiàng)正確，符合題意；故選：D．5．兩條直線相交構(gòu)成四個(gè)角，給出下列條件：①有一個(gè)角是直角；②有一對(duì)對(duì)頂角互補(bǔ)；③有三個(gè)角都相等；④有一組鄰補(bǔ)角相等．其中能判定這兩條直線互相垂直的有（

）A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)【答案】A【解析】解：①如圖，若∠AOC=90°，∴AB⊥CD，所以此選項(xiàng)能判定這兩條直線垂直；②如圖，若∠AOC+∠BOD=180°，∵∠AOC=∠BOD，∴∠AOC=∠BOD=90°，∴AB⊥CD；所以此選項(xiàng)能判定這兩條直線垂直；③如圖，若∠AOC=∠COB=∠BOD，∵∠AOD=∠COB，∴∠AOC=∠COB=∠BOD=∠AOD，∵∠AOC+∠COB+∠BOD+∠AOD=360°，∴∠AOC=∠COB=∠BOD=∠AOD=90°，∴AB⊥CD；所以此選項(xiàng)能判定這兩條直線垂直；④如圖，若∠AOC=∠AOD，∵∠AOC+∠AOD=180°，∴∠AOC=∠BOD=90°，所以此選項(xiàng)能判定這兩條直線垂直；故能判定這兩條直線垂直的有：①②③④；故選：A．6．如圖，小明手持手電筒照向地面，手電筒發(fā)出的光線CO與地面AB形成了兩個(gè)角，∠BOC＝8∠AOC，則∠BOC的度數(shù)是（）A．160° B．150° C．120° D．20°【答案】A【解析】解：，，，，，故選：A．二、填空題7．如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，OE平分∠BOD，∠AOC＝72°，過(guò)點(diǎn)O作OF⊥CD，則∠EOF＝_____度．【答案】54【解析】解：∵∠AOC＝72°，∴∠DOB＝72°，∵OE平分∠BOD，∴∠DOE＝∠DOB＝36°，∵OF⊥CD，∴∠DOF＝90°，∴∠EOF＝90°﹣36°＝54°．故答案為：548．射線OA表示的方位角是南偏東，射線OB與射線OA構(gòu)成平角，那么射線OB所表示的方位角是___．【答案】北偏西25°【解析】解：如圖，∵射線OB與射線OA構(gòu)成平角，∴∠BOD=∠AOC=25°，即射線OB所表示的方位角是北偏西25°．故答案為：北偏西25°三、解答題9．如圖，直線AB，CD，EF交于點(diǎn)O，OB平分∠DOG，且CD⊥EF，∠AOE＝65°，求∠DOG的度數(shù)．【答案】∠DOG＝50°．【解析】解：∵CD⊥EF，∴∠DOE＝90°，∵∠AOE＝65°，∴∠DOB＝180°﹣∠AOE﹣∠EOD＝25°，∵OB平分∠DOG，∴∠DOG＝2∠DOB＝50°．10．如圖，直線AB，CD交于點(diǎn)O，OE平分∠COB，OF是∠EOD的角平分線．(1)證明：∠AOD＝2∠COE；(2)若∠AOC＝50°，求∠EOF的度數(shù)；(3)若∠BOF＝15°，求∠AOC的度數(shù)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)57.5°(3)40°【解析】(1)解：∵OE平分∠COB，∴∠COE=∠COB，∵∠AOD=∠COB，∴∠AOD=2∠COE；(2)解：∵∠AOC=50°，∴∠BOC=180°-50°=130°，∴∠EOC=∠BOC=65°，∴∠DOE=180°-∠EOC=180°-65°=115°，∵OF平分∠DOE，∴∠EOF=∠DOE=57.5°；(3)解：設(shè)∠AOC=∠BOD=α，則∠DOF=α+15°，∴∠EOF=∠DOF=α+15°，∴∠EOB=∠EOF+∠BOF=α+30°，∴∠COB=2∠EOB=2α+60°，而∠COB+∠BOD=180°，即，3α+60°=180°，解得，α=40°，即，∠AOC=40°．一、單選題1．下列圖形中，與是同旁內(nèi)角的是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】∵A選項(xiàng)中的兩個(gè)角，符合同旁內(nèi)角的定義，∴選項(xiàng)A正確；∵B選項(xiàng)中的兩個(gè)角，不符合同旁內(nèi)角的定義，∴選項(xiàng)B錯(cuò)誤；∵C選項(xiàng)中的兩個(gè)角，不符合同旁內(nèi)角的定義，∴選項(xiàng)C錯(cuò)誤；∵D選項(xiàng)中的兩個(gè)角，不符合同旁內(nèi)角的定義，∴選項(xiàng)D錯(cuò)誤；故選A．2．如圖，兩條直線CD，EF相交于點(diǎn)O，OM平分∠EOD，若∠COF＝120°，則∠EOM的度數(shù)是（

）A．50° B．60° C．70° D．80°【答案】B【解析】解：∵∠COF＝120°，∴∠EOD＝∠COF＝120°，∵OM平分∠EOD，∴∠EOM∠EOD＝60°．故選：B．3．如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，于點(diǎn)O，若，則的度數(shù)為（

）A．30° B．25° C．20° D．10°【答案】D【解析】解：∵，∴，∵，∴，∴，∴．故選：D．4．下列說(shuō)法中，正確的是（）A．從直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段，叫做這個(gè)點(diǎn)到這條直線的距離B．互相垂直的兩條直線不一定相交C．直線AB外一點(diǎn)P與直線上各點(diǎn)連接而成的所有線段中最短線段的長(zhǎng)是7cm，則點(diǎn)P到直線AB的距離是7cmD．過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線垂直于已知直線【答案】C【解析】從直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度，叫做這個(gè)點(diǎn)到這條直線的距離，即選項(xiàng)A錯(cuò)誤；在同一平面內(nèi)，互相垂直的兩條直線一定相交，即選項(xiàng)B錯(cuò)誤；直線AB外一點(diǎn)P與直線上各點(diǎn)連接而成的所有線段中最短線段的長(zhǎng)是7cm，則點(diǎn)P到直線AB的距離是7cm，即選項(xiàng)C正確；在同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線垂直于已知直線，即選項(xiàng)D錯(cuò)誤；故選：C．5．、、是直線上的三點(diǎn)，是直線外一點(diǎn)，且，，．由此可知，點(diǎn)到直線的距離是（

）A． B．不小于 C．不大于 D．在與之間【答案】C【解析】解：∵直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連接的所有線段中，垂線段最短，∴點(diǎn)P到直線l的距離≤PA，即點(diǎn)P到直線l的距離不大于5cm，∴點(diǎn)P到直線l的距離不可能是在6cm與8cm之間．故選：C．6．如圖所示，∠BAC＝90°，AD⊥BC，則下列結(jié)論中，正確的個(gè)數(shù)為（）①AB⊥AC；②AD與AC互相垂直；③點(diǎn)C到AB的垂線段是線段AB；④點(diǎn)A到BC的距離是線段AD的長(zhǎng)度；⑤線段AB的長(zhǎng)度是點(diǎn)B到AC的距離；⑥AD+BD＞AB．A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【答案】C【解析】解：由∠BAC＝90°，AD⊥BC，得AB⊥AC，故①正確；AD與AC不垂直，故②錯(cuò)誤；點(diǎn)C到AB的垂線段是線段AC的長(zhǎng)，故③錯(cuò)誤；點(diǎn)A到BC的距離是線段AD的長(zhǎng)度，故④正確；線段AB的長(zhǎng)度是點(diǎn)B到AC的距離，故⑤正確；AD+BD＞AB，故⑥正確；故選：C．二、填空題7．如下圖，想在河堤兩岸搭建一座橋，圖中搭建方式中，最短的是，理由是______．【答案】垂線段最短【解析】解：根據(jù)垂線段定理，連接直線外一點(diǎn)與直線上所有點(diǎn)的連線中，垂線段最短，∵PB⊥AD，∴PB最短．故答案為：垂線段最短．8．如圖，已知平面內(nèi)，，若平分，，則____________°．【答案】或【解析】解：如圖，，，平分，，如圖，同理可得：故答案為：或三、解答題9．如圖，已知直線AB、CD相交于點(diǎn)O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE，∠2：∠1=4：1，求∠AOF．【答案】【解析】解：設(shè)，則，∵平分，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵平分，∴，∵，∴．10．如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，