北師大數(shù)學(xué)必修二同步配套課件：第二章-解析幾何初步231-232-

§3

空間直角坐標(biāo)系§3空間直角坐標(biāo)系3.1

空間直角坐標(biāo)系的建立

3.2

空間直角坐標(biāo)系中點的坐標(biāo)3.1空間直角坐標(biāo)系的建立

3.2空間直角坐標(biāo)系中點的坐北師大數(shù)學(xué)必修二同步配套課件：第二章-解析幾何初步21.空間直角坐標(biāo)系的建立(1)定義:在平面直角坐標(biāo)系的基礎(chǔ)上,通過原點O,再增加一條與xOy平面垂直的z軸,這樣就建立了三個維度的空間直角坐標(biāo)系,其中點O叫作原點,x,y,z軸統(tǒng)稱為坐標(biāo)軸,由坐標(biāo)軸確定的平面叫作坐標(biāo)平面.(2)畫法:在平面上畫空間直角坐標(biāo)系時,一般使∠xOy=135°(或45°),∠yOz=90°.(3)說明:本書建立的坐標(biāo)系都是右手直角坐標(biāo)系,即伸出右手,讓四指與大拇指垂直,并使四指先指向x軸正方向,再讓四指沿握拳方向旋轉(zhuǎn)90°指向y軸正方向,此時大拇指的指向即為z軸正向.也稱這個坐標(biāo)系為右手系.1.空間直角坐標(biāo)系的建立2.空間直角坐標(biāo)系中點的坐標(biāo)在空間直角坐標(biāo)系中,對于空間任意一點P,都可以用一個三元有序數(shù)組(x,y,z)來表示,其中第一個是x坐標(biāo),第二個是y坐標(biāo),第三個是z坐標(biāo);反之,任何一個三元有序數(shù)組(x,y,z),都可以確定空間中的一個點P.這樣,在空間直角坐標(biāo)系中,點與三元有序數(shù)組之間建立了一一對應(yīng)的關(guān)系.2.空間直角坐標(biāo)系中點的坐標(biāo)【做一做】

如圖,長方體OABC-D1A1B1C1的長、寬、高分別為4,3,5,以長方體的一個頂點為原點建立空間直角坐標(biāo)系,將長方體的各個頂點用坐標(biāo)表示出來.解:建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.因為|AB|=4,|BC|=3,|CC1|=5,所以各頂點的坐標(biāo)分別為O(0,0,0),A(3,0,0),B(3,4,0),C(0,4,0),A1(3,0,5),D1(0,0,5),B1(3,4,5),C1(0,4,5).答案不唯一.【做一做】如圖,長方體OABC-D1A1B1C1的長、寬、思考辨析判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內(nèi)打“√”,錯誤的打“×”.(1)在空間直角坐標(biāo)系中,在x軸上的點的坐標(biāo)一定是(0,b,c).(

)(2)在空間直角坐標(biāo)系中,在yOz平面上的點的坐標(biāo)一定是(0,b,c).(

)(3)在空間直角坐標(biāo)系中,在z軸上的點的坐標(biāo)可記作(0,0,c).(

)(4)在空間直角坐標(biāo)系中,在xOz平面上的點的坐標(biāo)是(a,0,c).(

)(5)在空間直角坐標(biāo)系中,點(x0,y0,z0)關(guān)于x軸對稱的點坐標(biāo)為(-x0,-y0,-z0).(

)×√√√×思考辨析×√√√×探究一探究二探究三思想方法探究一根據(jù)點的坐標(biāo)確定點的位置【例1】

在空間直角坐標(biāo)系中,作出點M(2,-6,4).分析:可以先確定點(2,-6,0)在xOy平面的位置,再由豎坐標(biāo)確定在空間直角坐標(biāo)系中的位置.解:(方法一)先確定點M'(2,-6,0)在xOy平面上的位置,因為點M的豎坐標(biāo)為4,則|MM'|=4,且點M和z軸的正半軸在xOy平面的同側(cè),這樣就可確定點M的位置(如圖所示).探究一探究二探究三思想方法探究一根據(jù)點的坐標(biāo)確定點的位置探究一探究二探究三思想方法方法二:以O(shè)為一個頂點,構(gòu)造三條棱長分別為2,6,4的長方體,使此長方體在點O處的三條棱分別在x軸正半軸、y軸負(fù)半軸、z軸正半軸上,則長方體中與頂點O相對的頂點即為所求的點(圖略).反思感悟1.根據(jù)點的坐標(biāo)確定點的位置,要先確定點(x0,y0)在xOy平面上的位置,再由豎坐標(biāo)確定點(x0,y0,z0)在空間直角坐標(biāo)系中的位置.2.以原點O為一個頂點,構(gòu)造棱長分別為|x0|,|y0|,|z0|的長方體(三條棱的位置要與x0,y0,z0的符號一致),則長方體中與O相對的頂點即為所求的點.探究一探究二探究三思想方法方法二:以O(shè)為一個頂點,構(gòu)造三條棱探究一探究二探究三思想方法變式訓(xùn)練1點(-2,-1,0)在空間直角坐標(biāo)系中的位置是(

)A.在z軸上

B.在xOy平面上C.在xOz平面上

D.在yOz平面上解析:因為點(-2,-1,0)的z軸坐標(biāo)為0,所以點(-2,-1,0)在xOy平面上.答案:B探究一探究二探究三思想方法變式訓(xùn)練1點(-2,-1,0)在空探究一探究二探究三思想方法探究二已知點的位置寫出它的坐標(biāo)

【例2】

M-OAB是棱長為a的正四面體,頂點M在底面OAB上的射影為H,請建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系,并分別寫出點O,A,B,H,M的坐標(biāo).分析:以O(shè)為原點,射線OA為y軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系,點B在平面xOy內(nèi).探究一探究二探究三思想方法探究二已知點的位置寫出它的坐標(biāo)

探究一探究二探究三思想方法解:以△AOB的頂點O為坐標(biāo)原點,射線OA為y軸正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,點B在平面xOy內(nèi).由題意知|MO|=|MA|=|MB|=|OA|=|OB|=|AB|=a,本題答案不唯一.反思感悟選擇一個合適的點作為空間直角坐標(biāo)系的原點,是求解空間點的坐標(biāo)問題的關(guān)鍵,本題還可以建立以H點為原點的空間直角坐標(biāo)系.探究一探究二探究三思想方法解:以△AOB的頂點O為坐標(biāo)原點,探究一探究二探究三思想方法變式訓(xùn)練2如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,棱長為8,E是A1C1的中點,且|BF|=3|FB1|.建立空間直角坐標(biāo)系,并求點A,C1,B1,E,F的坐標(biāo).探究一探究二探究三思想方法變式訓(xùn)練2如圖,在正方體ABCD-探究一探究二探究三思想方法解:如圖,以點D為坐標(biāo)原點,以DA,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.易得A(8,0,0),C1(0,8,8),B1(8,8,8).由于點E在xOy平面上的投影為AC的中點,所以H(4,4,0),又|EH|=8,所以點E的z坐標(biāo)為8.因此點E的坐標(biāo)為(4,4,8).點F在平面xOy上的投影為B(8,8,0),因為|BB1|=8,|BF|=3|FB1|,所以|BF|=6,即點F的z坐標(biāo)為6.所以點F的坐標(biāo)為(8,8,6).探究一探究二探究三思想方法解:如圖,以點D為坐標(biāo)原點,以DA探究一探究二探究三思想方法探究三空間中的對稱點問題

【例3】在長方體OABC-D'A'B'C'中,|OA|=3,|OC|=4,|OD'|=2,以O(shè)為原點,以O(shè)A,OC,OD'所在的直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示.(1)求線段A'C的中點M的坐標(biāo);(2)求點B'關(guān)于y軸對稱點的坐標(biāo),關(guān)于yOz平面對稱點的坐標(biāo);(3)求點B'關(guān)于點P(2,-1,-4)對稱點的坐標(biāo).探究一探究二探究三思想方法探究三空間中的對稱點問題

【例3探究一探究二探究三思想方法分析:類比平面直角坐標(biāo)系中點的對稱問題,根據(jù)對稱點的變化規(guī)律結(jié)合中點坐標(biāo)公式即可求解.解:(1)由于|OA|=3,|OC|=4,|OD'|=2,(2)易知B'的坐標(biāo)為(3,4,2).所以B'關(guān)于y軸對稱點的坐標(biāo)為(-3,4,-2);B'關(guān)于yOz平面對稱點的坐標(biāo)為(-3,4,2).(3)設(shè)B'關(guān)于P(2,-1,-4)對稱的點為B1(x0,y0,z0),則P是線段B'B1的中點,解得x0=1,y0=-6,z0=-10,于是B1(1,-6,-10),即點B'關(guān)于點P(2,-1,-4)對稱點的坐標(biāo)為(1,-6,-10).探究一探究二探究三思想方法分析:類比平面直角坐標(biāo)系中點的對稱探究一探究二探究三思想方法反思感悟空間直角坐標(biāo)系中點的對稱1.關(guān)于坐標(biāo)平面、坐標(biāo)軸及坐標(biāo)原點對稱的點有以下特點:2.求對稱點的問題可以用“關(guān)于誰對稱,誰保持不變,其余坐標(biāo)相反”的口訣來記憶.如關(guān)于x軸對稱的點的坐標(biāo)就是橫坐標(biāo)不變,其余的兩個變成相反數(shù);關(guān)于坐標(biāo)平面xOy的對稱點,橫、縱坐標(biāo)不變,豎坐標(biāo)變成原來的相反數(shù).探究一探究二探究三思想方法反思感悟空間直角坐標(biāo)系中點的對稱2探究一探究二探究三思想方法變式訓(xùn)練3在空間直角坐標(biāo)系中,給定點M(1,-2,3),求它分別關(guān)于坐標(biāo)平面、坐標(biāo)軸和原點對稱的點的坐標(biāo).解:點M(1,-2,3)關(guān)于坐標(biāo)平面xOy對稱的點是(1,-2,-3),關(guān)于坐標(biāo)平面xOz對稱的點是(1,2,3),關(guān)于坐標(biāo)平面yOz對稱的點是(-1,-2,3).點M(1,-2,3)關(guān)于x軸對稱的點是(1,2,-3),關(guān)于y軸對稱的點是(-1,-2,-3),關(guān)于z軸對稱的點是(-1,2,3).點M(1,-2,3)關(guān)于原點對稱的點是(-1,2,-3).探究一探究二探究三思想方法變式訓(xùn)練3在空間直角坐標(biāo)系中,給定探究一探究二探究三思想方法空間直角坐標(biāo)系的應(yīng)用【典例】

如圖,點A的坐標(biāo)是(1,1,0),對于z軸正半軸上任意一點P,在y軸正半軸上是否存在一點B,使得PA⊥AB恒成立?若存在,求出B點的坐標(biāo);若不存在,說明理由.思路點撥:由立體幾何知識可知欲使PA⊥AB,只需使OA⊥AB,空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題.欲證OA⊥AB,只需證明|OA|2+|AB|2=|OB|2,從而將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)計算問題.探究一探究二探究三思想方法空間直角坐標(biāo)系的應(yīng)用探究一探究二探究三思想方法設(shè)P(0,0,c),B(0,b,0),對于z軸正半軸上任意一點P,假設(shè)在y軸正半軸上存在一點B,使得PA⊥AB恒成立,連接OA,則由線面垂直可知只需證OA⊥AB,即只需證|OA|2+|AB|2=|OB|2.在平面xOy內(nèi)的點的坐標(biāo)為A(1,1),B(0,b),O(0,0),令(1-0)2+(1-0)2+(1-0)2+(1-b)2=(0-0)2+(0-b)2,解得b=2.所以存在這樣的點B,當(dāng)點B為(0,2,0)時,PA⊥AB恒成立.方法點睛空間直角坐標(biāo)系是解決幾何問題的有利工具,利用它往往能將一個復(fù)雜的立體幾何問題簡單化,把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題,可降低解題的難度.解:存在點B,使得PA⊥AB恒成立.理由如下:探究一探究二探究三思想方法設(shè)P(0,0,c),B(0,b,0123451.點P(3,0,4)位于(

)A.x軸上

B.y軸上C.xOz平面內(nèi) D.xOy平面內(nèi)答案:C123451.點P(3,0,4)位于()123452.在空間直角坐標(biāo)系中,點M(1,2,3)關(guān)于x軸對稱的點N的坐標(biāo)是(

)A.N(-1,2,3) B.N(1,-2,3)C.N(1,2,-3) D.N(1,-2,-3)答案:D123452.在空間直角坐標(biāo)系中,點M(1,2,3)關(guān)于x軸123453.在空間直角坐標(biāo)系中,下列各點位于yOz平面內(nèi)的是

(

)A.(3,2,1) B.(2,0,0) C.(5,0,2) D.(0,-1,-3)解析:位于yOz平面內(nèi)的點,其x坐標(biāo)為0,其余坐標(biāo)任意,故(0,-1,-3)在yOz平面內(nèi).答案:D123453.在空間直角坐標(biāo)系中,下列各點位于yOz平面內(nèi)的123454.在空間直角坐標(biāo)系中,過點P(2,3,7)且與y軸垂直的平面與y軸的交點坐標(biāo)為

,點P在xOy平面上的投影坐標(biāo)為

,在yOz平面上的投影坐標(biāo)是

.

答案:(0,3,0)

(2,3,0)

(0,3,7)123454.在空間直角坐標(biāo)系中,過點P(2,3,7)且與y123455.已知棱長為1的正方體ABCD-A'B'C'D',建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,試寫出正方體各頂點的坐標(biāo).123455.已知棱長為1的正方體ABCD-A'B'C'D'12345解:因為正方體ABCD-A'B'C'D'的棱長為1,12345解:因為正方體ABCD-A'B'C'D'的棱長為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