高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第9章 雙曲線講義文（全國版）

§9.7雙曲線

【考試要求】1.了解雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程.2.掌握雙曲線的幾何性質(zhì)(范圍、對(duì)

稱性、頂點(diǎn)、離心率、漸近線).3.了解雙曲線的簡(jiǎn)單應(yīng)用.

■落實(shí)主干知識(shí)

【知識(shí)梳理】

1.雙曲線的定義

把平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)￡,手的距離的差的絕對(duì)值等于非零常數(shù)(小于"KD的點(diǎn)的軌跡叫做雙

曲線.兩個(gè)定點(diǎn)回叫做雙曲線的焦點(diǎn),兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的焦距.

2.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)

,X

標(biāo)準(zhǔn)方程尸尸30,/;>0)了一歹=1(H>0,b>0)

圖形

焦點(diǎn)E(-c,0),4(c,0)E(0,—c),"(0,c)

焦距亜=2c

范圍xW—a或yGRZ-a或介&x￡R

對(duì)稱性對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸;對(duì)稱中心：原點(diǎn)

頂點(diǎn)4(—a,0),4(a,0)4(0,1a),4(0,a)

性質(zhì)

實(shí)軸：線段.，長(zhǎng)：2a；虛軸：線段為心，長(zhǎng)：2b,實(shí)半軸

軸

長(zhǎng)：旦,虛半軸長(zhǎng)：b

離心率+0°)

a

丄a

漸近線y=±-xy=±v

a

a,b,c的關(guān)系c=—+?(c>a>0,c>6>0)

【常用結(jié)論】

(1)雙曲線的焦點(diǎn)到其漸近線的距離為b.

(2)若戶是雙曲線右支上一點(diǎn),R,K分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，則|闋『a+c,|附-

9A2

（3）同支的焦點(diǎn)弦中最短的為通徑（過焦點(diǎn)且垂直于實(shí)軸的弦），其長(zhǎng)為絲.

a

（4）若〃是雙曲線上不同于實(shí)軸兩端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，R,K分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，則

=一吃，其中0為NFFR.

tany

2222

（5）與雙曲線當(dāng)一￡=1（a>0,力0）有共同漸近線的方程可表示為當(dāng)一看=貿(mào)—0）.

abab

【思考辨析】

判斷下列結(jié)論是否正確（請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“J”或“X”）

（1）到兩定點(diǎn)的距離差的絕對(duì)值等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是雙曲線.（X）

22

（2）方程工一2=1（即〉0）表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線.（X）

mn

22

⑶雙曲線勺-4=1（勿>0,力>0）的漸近線方程是乙±1=0.（V）

mnmn

（4）等軸雙曲線的漸近線互相垂直，離心率等于qi（v）

【教材改編題】

22

1.若雙曲線勺一￡=1（a>0,力0）的焦點(diǎn)到其漸近線的距離等于實(shí)軸長(zhǎng)，則該雙曲線的離心

ab

率為（）

A.mB.5C.V2D.2

答案A

解析由題意知焦點(diǎn)到其漸近線的距離等于實(shí)軸長(zhǎng)，即b=2a,

又a+6=c,.*.5a=c.

:.e=/=5,e=y[5.

2.設(shè)戶是雙曲線會(huì)一言=1上一點(diǎn)，F(xiàn)、,用分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，若|依丨=9,則|格|

等于（）

A.1B.17

C.1或17D.以上均不對(duì)

答案B

解析根據(jù)雙曲線的定義得I丨冏I一丨例I1=8=|"|等于1或17.又|你|2c-a=2,

故|冏1=17.

3.（2022?汕頭模擬）寫一個(gè)焦點(diǎn)在y軸上且離心率為十的雙曲線方程.

答案/一日=1（答案不唯一，符合要求就可以）

解析取c=小,則e=/=/，

可得a=1,，b=y]c-a=y[2,

因此，符合條件的雙曲線方程為了-5=1(答案不唯一，符合要求就可以).

■探究核心題型

題型一雙曲線的定義及應(yīng)用

例1(1)已知定點(diǎn)￡(-2,0),K(2,0),N是圓。：f+/=i上任意一點(diǎn)，點(diǎn)內(nèi)關(guān)于點(diǎn)力的

對(duì)稱點(diǎn)為M線段內(nèi)"的中垂線與直線相交于點(diǎn)戶，則點(diǎn)產(chǎn)的軌跡是()

A.橢圓B.雙曲線

C.拋物線D.圓

答案B

解析如圖，連接〃M由題意可得丨〃八1=1,且N為,昉的中點(diǎn)，又。為的中點(diǎn)，

所以I，陰人關(guān)于點(diǎn)兒的對(duì)稱點(diǎn)為M,線段片"的中垂線與直線相交于點(diǎn)P,由垂直平分線

的性質(zhì)可得I齒=1用I，

所以I|所|一匹丨丨=丨I網(wǎng)一I掰|

=|圾|=2<出用|,

所以由雙曲線的定義可得，點(diǎn)卩的軌跡是以￡,用為焦點(diǎn)的雙曲線.

(2)已知E,K為雙曲線Gf-7=2的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)-在C上，NRP360：則△￡%

的面積為.

答案2小

解析不妨設(shè)點(diǎn)尸在雙曲線的右支上，

則丨小丨一丨松|=2a=2啦，

在例中，由余弦定理，得

丨用「+1-「一由421

cosZRPFL2jpFx|.而~2>

丨陽丨?丨松|=8,

?\PF>\-sin60°=2帀

延伸探究在本例（2）中，若將9=60°”改為“兩?方'=0"，則△￡圖的面積

為.

答案2

解析不妨設(shè)點(diǎn)戶在雙曲線的右支上,

則丨陽|一|）|=2a=2/，

,福?京=0,.,.萬T丄/，

.?.在中,有|歷

即丨歷「+|朋|2=16,

丨陽丨?|你|=4,

s4F\PF,=也尸川?I尸KI=2.

虹教師備選】

1.已知圓G：(%+3)2+y2=l,G：（x—3）'+/=9,動(dòng)圓材同時(shí)與圓G和圓G相外切，則

動(dòng)圓圓心材的軌跡方程為（）

X2

B?-y=l

2

y

C.V一卷=l(xW—1)D.V—7=1(x21)

Oo

答案c

解析設(shè)圓"的半徑為r,由動(dòng)圓M同時(shí)與圓G和圓&相外切，

得丨制|=l+r,|MC|=3+r,

丨,必丨一丨閱丨=2<6,

所以點(diǎn)〃的軌跡是以點(diǎn)G（—3,0）和C⑶0）為焦點(diǎn)的雙曲線的左支，

且2a=2,a—l,又c=3,

則lf=c—ai=8,

2

所以點(diǎn)”的軌跡方程為f一5=1（后一1）.

O

2.（2022?長(zhǎng)春模擬）雙曲線。的漸近線方程為尸土羋x,一個(gè)焦點(diǎn)為戶（0,一帀），點(diǎn)力（乖,

0）,點(diǎn)戶為雙曲線第一象限內(nèi)的點(diǎn)，則當(dāng)點(diǎn)。的位置變化時(shí)，△陽尸周長(zhǎng)的最小值為（）

A.8B.10

C.4+3帀D.3+3如

答案B

22

解析由已知得雙曲線方程為?一±=1,設(shè)雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn)為廣，則1加1=1兩丨+4,

△為b的周長(zhǎng)為1M+|陽|+|"1=丨方丨+4+1川+3,當(dāng)X,凡1三點(diǎn)共線時(shí)，

|小丨+|川有最小值,為I-|=3,

故△胡尸的周長(zhǎng)的最小值為10.

思維升華在“焦點(diǎn)三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，結(jié)合丨I用丨一丨"||=2a,

運(yùn)用平方的方法，建立與丨用丨?I陽I的聯(lián)系.

22

跟蹤訓(xùn)練1⑴雙曲線今一方=1（0〈猿叭②上一點(diǎn)卩到右焦點(diǎn)的距離為8,則點(diǎn)尸到左焦點(diǎn)

的距離為（）

A.12或6B.2或4

C.6或4D.12或4

答案D

解析設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為A,

由題意知丨第1=8,

所以I|依|一|用|丨=4,

解得丨陽丨=12或|小丨=4,

故點(diǎn)。到左焦點(diǎn)的距離為4或12.

（2）已知廠是雙曲線?一*=1的左焦點(diǎn)，履1,4）,〃是雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)，貝iJI/Fl+l力|

的最小值為一.

答案9

解析設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為“，則由雙曲線的定義，可知I件|=4+|所，

所以當(dāng)|陽|+|川最小時(shí)滿足|陰+|朗最小.

由雙曲線的圖象，可知當(dāng)點(diǎn)4P,￡共線時(shí)，

滿足I陽|+|川最小，

|幽|+4即|例+|川的最小值.

又|4川=5,故所求的最小值為9.

題型二雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

22

例2⑴（2021?北京）雙曲線C：宏一方=1過點(diǎn)（電，?。?且離心率為2,則該雙曲線的

標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

yx

A.x9-T=1B.——y2=1

oo

八2A/3y

C.--y2=l

答案A

解析?.％=￡=2,

a

則c=2a,b=\j（^一扌=事a,

則雙曲線的方程為卷=1,

2Q1

將點(diǎn)（也,黃）的坐標(biāo)代入雙曲線的方程可得了一彳=1=1,解得a=l,故6=小,因此,

雙曲線的方程為fg=l.

（2）若雙曲線經(jīng)過點(diǎn)（3,F，且漸近線方程是了=土;x,則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是

答案/一§=1

解析設(shè)雙曲線的方程是/一9=4（4^0）.

因?yàn)殡p曲線過點(diǎn)（3,帀）

9

所以^=2--=1,

故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為/一§=L

工教師備選】

22

1.過雙曲線a?1（於楊。）的右頂點(diǎn)作x軸的垂線，與c的一條漸近線相交于點(diǎn)4若

以C的右焦點(diǎn)Q為圓心、半徑為4的圓經(jīng)過4。兩點(diǎn)（。為坐標(biāo)原點(diǎn)），則雙曲線。的標(biāo)準(zhǔn)方

程為（）

2222

XV

A-f-T2=1B———=1

79

22

xyXV

C———=：1F)-----------=1

88124

答案A

解析因?yàn)闈u近線尸3X與直線x=a交于點(diǎn)力（a,b）,c=4且N_4—a一"2+t）=4,解得才

22

=4,"⑵因此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為＞*=1.

2.經(jīng)過點(diǎn)“3,2帀），0（—6啦，7）的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

答案為G=1

解析設(shè)雙曲線方程為/7〃一〃=1(初＞0).

[9^7—28/7=1,|//；75'

???bn解得丄

C25,

22

...雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為冬一條=1.

Zbr0

思維升華求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法

⑴定義法：由題目條件判斷出動(dòng)點(diǎn)軌跡是雙曲線，確定2a,26或2c,從而求出才，及

22

(2)待定系數(shù)法：”先定型，再定量”，如果焦點(diǎn)位置不好確定，可將雙曲線方程設(shè)為2一5

mn

=A(H#0),再根據(jù)條件求H的值.

跟蹤訓(xùn)練2(1)已知雙曲線過點(diǎn)⑵3),漸近線方程為y=土木X,則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是

()

O乙O乙Q

答案c

2

解析因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為尸土小X,所以可設(shè)雙曲線的方程為f一5=A(A^O),

?J

將點(diǎn)⑵3)代入其中，得辻=1,所以該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為六一々=1.

(2)(2022?佛山調(diào)研)已知￡,內(nèi)分別為雙曲線F—上=1(a0,力0)的左、右焦點(diǎn)，戶為雙曲

clD

線上一點(diǎn)，傷與入軸垂直，/陽氏=30°,且虛軸長(zhǎng)為242,則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()

xyxy

A———=1B———=1

4232

222

XV2V

C-7-I=1D.*_萬=1

答案D

解析由題意可知丨%|=半，

苗邛,

26=2隹

由雙曲線的定義可得半一半=2a,

即c=y[3a.

又力=/，,

2

；.a=l,雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為/一《=1.

題型三雙曲線的幾何性質(zhì)

命題點(diǎn)1漸近線

例3由倫敦著名建筑事務(wù)所SteynStudio設(shè)計(jì)的南非雙曲線大教堂驚艷世界，該建筑是數(shù)

學(xué)與建筑完美結(jié)合造就的藝術(shù)品.若將如圖所示的大教堂外形弧線的一段近似看成雙曲線4

a

2

-；=l（a〉0,?0）下支的一部分，且此雙曲線的下焦點(diǎn)到漸近線的距離為2,離心率為2,

則該雙曲線的方程為（）

答案B

解析由題意知，6=2,

又因?yàn)?=5=4l+（g）=2,

4

解得才=§,

q22

所以雙曲線的方程為子一〃=L

2222

思維升華⑴漸近線的求法：求雙曲線/63>。,力。）的漸近線的方法是令:2。,

即得兩漸近線方程亠±日=。（了=±芻）

ao\a）

XV

（）在雙曲線的幾何性質(zhì)中重點(diǎn)是漸近線方程和離心率，在雙曲線F—友（於）中,

2ab=10,8>0

離心率e與雙曲線的漸近線的斜率k=±《,滿足關(guān)系式￥=1+疋

命題點(diǎn)2離心率

例4（1）（2021?全國甲卷）已知￡,凡是雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)，/為C上一點(diǎn)，且/￡格=

60°,丨陽|=3］也則。的離心率為（）

答案A

解析設(shè)\PF）=m,則|⑶：=3卬,

在△￡期中,

IF\Fi|="序+9"-2X3=XmXcos60°二帀銀，

2c_|^|

所以,的離心率

2a~\PF,\-\PF2\

一2)一2.

【高考改編】

已知雙曲線E了一1=l（a>0,於0）的左、右焦點(diǎn)分別為A,握,點(diǎn)力在雙曲線K的左支上,

且NA/K=120°,|4K|=2|/￡|,則雙曲線〃的離心率為（）

A.#B.乖

C.A/7D.7

答案C

解析點(diǎn)/在雙曲線￡1的左支上，左、右焦點(diǎn)分別為A,殳

設(shè)|陽|=山,

由|/用|=2|附|知|幽|=2必,

由雙曲線定義得

\AFi\—\AF\\—2m—m—m—2a,

在△力￡4中，

|陽|=2a,丨/川=4a,NA4K=120°,

由余弦定理知，

iii

\FxF2\=\AFi\+\AF2\-2\AFi\|A^|cosl20°

=4a°+16a2+8a2=28a2,

:.出R\=2巾a,

又=2c,

：?2帀a=2c,6=/=巾.

⑵若雙曲線「一9=13。，力。）的漸近線的斜率大于平

則雙曲線離心率的取值范圍是

22o/7

解析因?yàn)殡p曲線點(diǎn)一會(huì)=1（90,垃0）的漸近線的斜率大于+,

所以會(huì)半，

即3a〉24b,也即3a2>44,

所以3az>4屹2—才）,

所以7才>41

所以e<>

又因?yàn)殡p曲線的離心率e>l,

所以1<水平，

雙曲線離心率的取值范圍是（1,亭）

【教師備選】

22

1.（2022?濟(jì)南模擬）已知雙曲線47一二=1（卬>0）的漸近線方程為x土my=0,則勿等于

十1mv

()

1

A-2B.，5-I

r>+1

L2D.2

答案A

由漸近線方程y=±~x=土*x,

解析

所以二挙則了=扌

22

2.設(shè)尸為雙曲線C："方=l（a>0,核0）的右焦點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，以分,為直徑的圓與圓

V+7=a2交于只0兩點(diǎn).若|闋=丨如，貝IJC的離心率為（）

A.^/2B.45

C.2D.乖

答案A

解析令雙曲線C：*一S=l（a>0,6>0）的右焦點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（c,0）,則c=y/a'+汽

如圖所示，由圓的對(duì)稱性及條件丨戶0=丨冰|可知，氣是以〃為直徑的圓的直徑,

且倒丄如設(shè)垂足為機(jī)連接砒

則丨如=a,|朗=|網(wǎng)=*

由丨關(guān)?+［網(wǎng)2=］陰2,

；”=也,即離心率e=帀.

思維升華求雙曲線的離心率時(shí)，將提供的雙曲線的幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為關(guān)于雙曲線基本量a,6,

c的方程或不等式，利用。2=才+庁和e=￡轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程（或不等式），通過解方程（或

a

不等式）求得離心率的值（或范圍）.

22

跟蹤訓(xùn)練3⑴已知雙曲線之一方=l（a>0,6>0）的兩條漸近線互相垂直，則該雙曲線的離心

ab

率是（）

A.2B.V3C.A/2D.I

答案C

解析由題意可知直線尸2x與y=-互相垂直，

aa

可得一厶?2=-1,則a=b.

aa

由離心率的計(jì)算公式,

孑O2-kA2L

可得宀=了=丁=2,所以e=/.

2

(2)己知廠為雙曲線機(jī)/一方=1(?0)的左焦點(diǎn)，圓。：5—3)2+/=6與雙曲線”的漸近線

有且僅有2個(gè)不同的公共點(diǎn)，則下列說法正確的是()

A.點(diǎn)b到漸近線的距離為十

B.雙曲線〃的漸近線方程為42y=0

C.雙曲線."的虛軸長(zhǎng)為2

D.雙曲線〃的離心率為小

答案D

解析因?yàn)閳A0與雙曲線"的漸近線有且僅有2個(gè)不同的公共點(diǎn),

所以圓0與漸近線bx±y=Q相切，

則有雋=/,

解得b=yf2f

2

則雙曲線材的方程為

所以a=l,b=y[2,c=4,

其漸近線方程為4x±y=0,故B選項(xiàng)錯(cuò)誤:

左焦點(diǎn)尸(一小，o)到漸近線的距離為‘薩」=低故A選項(xiàng)錯(cuò)誤;

雙曲線"的虛軸長(zhǎng)為23=2啦，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

雙曲線,"的離心率為e=!=^=/,故口選項(xiàng)正確.

課時(shí)精練

應(yīng)基礎(chǔ)保分練

1.雙曲線9*2—16/=1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為()

A.(±*0)B.(0,±與

C.(±5,0)D.(0,±5)

答案A

解析將雙曲線的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式為:一（=1,

916

所以7+得磊，

5

所以c=Ii'

所以兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為（±。，0）.

22

2.己知雙曲線上--￡7=1E>0）的虛軸長(zhǎng)是實(shí)軸長(zhǎng)的2倍，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

m〃7十6

X2V2

A----------1

24

2?x2y2

C.八卜1D———=1

28

答案D

解析由題意，得2g=固0+6,解得勿=2,

所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為今一￡=1.

乙O

22

xy

3.若雙曲線A§一而=1的左、右焦點(diǎn)分別為A,K,點(diǎn)一在雙曲線￡上，且1如丨=3,則

I網(wǎng)等于（）

A.11B.9C.5D.3

答案B

解析方法一依題意知，點(diǎn)產(chǎn)在雙曲線的左支上，根據(jù)雙曲線的定義，得I陽1一|陽丨=2X3

=6,所以丨月初=6+3=9.

方法二根據(jù)雙曲線的定義，

得丨丨網(wǎng)一|闋|=2X3=6,

所以丨I兩|一3|=6,

所以I房1=9或|依|=一3（舍去）.

4.（2022?大連模擬）若雙曲線a?一￡=1的右焦點(diǎn)到它的一條漸近線的距離是3斕，則。

的離心率為（

A.2B.

答案A

22________

解析雙曲線G］一方=1的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為（正”，0）,

漸近線方程為y=±gx,即。x±3y=0,

22

?雙曲線G寸一方=1的右焦點(diǎn)到它的一條漸近線的距離是3朮，

解得6=3帀,

c=yj9+庁=79+~3小~%=6,

Q6

???離心率e=—=彳=2.

a3

22

5.已知雙曲線C的方程為白一春=1,則下列說法不正確的是（）

169

A.雙曲線C的實(shí)軸長(zhǎng)為8

B.雙曲線。的漸近線方程為尸土］x

C.雙曲線，的焦點(diǎn)到漸近線的距離為3

9

D.雙曲線C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最小值為j

答案D

解析因?yàn)锧2=16,

所以a=4,2a=8,故A正確；

因?yàn)閍=4,6=3,所以雙曲線C的漸近線方程為

b3

y=+-x=±^x,故B正確；

a4

因?yàn)閏=-\/a2+J=/16+9=5,

所以兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為（-5,0）,（5,0）,焦點(diǎn)（5,0）到漸近線3x―4y=0的距離為

|15|

I,=3,

、3-+—42

故C正確；

雙曲線。上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最小值為c—a=l,故D錯(cuò)誤.

22

6.己知雙曲線C：2一￡=l（a>0,力0）的左、右焦點(diǎn)分別為￡,&直線x—c=0與雙曲線

ab

I2

C的一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)戶，與雙曲線C的一條漸近線交于點(diǎn)0,。為坐標(biāo)原點(diǎn)，若分=可灰+可血,

OO

則雙曲線。的離心率為（)

A.

答案B

解析因?yàn)槠旖?/p>

2

所以蘇-存=可(而一赤),

O

所以下戶=]址,

gF2be

所以:=?二,

得2c=3b,

3b

xV

7.(2021?新高考全國H)已知雙曲線G1一方=1(a0,6>0)的離心率e=2,則該雙曲線。

的漸近線方程為.

答案y=±y[ix

解析因?yàn)殡p曲線F殳—,￡=1(@>0,力0)的離心率為2,

ab

所以e=yJ^="\J'\"=2’所以亨=3,

所以該雙曲線的漸近線方程為y=±gr=±/x

22

8.設(shè)雙曲嘴味=1的右頂點(diǎn)為4右焦點(diǎn)為E過點(diǎn)下且平行于雙曲線的一條漸近線的直

線與雙曲線交于點(diǎn)8,則△/處的面積為一

答案i

解析因?yàn)椴?9,爐=16,所以c=5.

所以4(3,0),6(5,0),

4

不妨設(shè)直線跖的方程為了=55—5),

O

代入雙曲線方程解得痔，一號(hào)

…1...,13232

所以加月明=$14rl?|%|=-X2X—=—

LL1010

VV

9.已知雙曲線左一力=1的左、右焦點(diǎn)分別為￡,凡

164

（1）若點(diǎn)"在雙曲線上，且礪?麗=0,求M點(diǎn)到X軸的距離；

（2）若雙曲線C與已知雙曲線有相同的焦點(diǎn)，且過點(diǎn)（3、P，2）,求雙曲線。的方程.

解（1）不妨設(shè)“在雙曲線的右支上，材點(diǎn)到x軸的距離為瓦

?.?旃?礪=0,:.MF、丄*

設(shè)|炳|=m,\MF2,\=n,

由雙曲線的定義知/n—n=2a=8.①

在Rt△加幽中，

由勾股定理得君+//=（2C）2=80,②

由①②得m?n=8.

S

^MFIF2=$/n=4=：X2c/i,

即也點(diǎn)到x軸的距離為摩.

5

22

（2）設(shè)雙曲線。的方程為*1（-4</<16）.

16—44十人

??,雙曲線。過點(diǎn)（3鏡，2）,

184

**16-A4+A丄'

解得久=4或4=一14（舍去），

22

.,.雙曲線C的方程為高一卷=1.

1Zo

22

10.已知雙曲線C-."方=l（a>0,核0）的其中一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0）,一條漸近線方程

為2x—y=0.

（D求雙曲線。的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）已知傾斜角為等的直線/與雙曲線C交于46兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4,

求直線1的方程.

解（1）由焦點(diǎn)坐標(biāo)可知。=十，

又一條漸近線方程為2x-y=0,

所以纟=2,

a

由/=才+。2可得5=4+4#,

解得才=1,3=4,

故雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為六一3=1.

⑵設(shè)/(汨，％),以如㈤，18中點(diǎn)的坐標(biāo)為(m4),直線46的斜率為A,

2

則#一j=1,①

2

■一戸1,②

22

②一①得算一#=寧一不

即4=牛=*),

又a=tan十-=-L所以照=-1,

所以直線/的方程為y—4=—(x+1),

即x+y—3=0.

笠技能提升練

22

11.已知戶是雙曲線G會(huì)一3=1右支上一點(diǎn)，R,R分別是雙曲線。的左、右焦點(diǎn)，。為

—__>9

坐標(biāo)原點(diǎn)，丨從+(歷丨=?則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是()

5

A.雙曲線C的離心率為］

3

B.雙曲線C的漸近線方程為了=±疝丫

23

C.點(diǎn)P到雙曲線C的左焦點(diǎn)距離是了

45

1).△陽內(nèi)的面積為彳

答案C

22

解析在雙曲線G2一《=1中，

169

a=4,6=3,c=5,

該雙曲線的左焦點(diǎn)為￡(-5,0).

設(shè)戶(x,y),則蘇+存=(x-5,y),

由丨"I■而|=*

可得(X—5”+/=%，

10

fI?+/或，

lo

所以〈

169-i,

、x24,

卜=5,

解得j尸+2即點(diǎn)《5,±1)

對(duì)于A選項(xiàng)，雙曲線。的離心率為6=-=不A對(duì)；

a4

3

對(duì)于B選項(xiàng)，雙曲線。的漸近線方程為y=土丁，B對(duì)；

對(duì)于C選項(xiàng)，點(diǎn)產(chǎn)到雙曲線C的左焦點(diǎn)距離是|PF\丨=、y1()2+,=￥，c錯(cuò)；

對(duì)于D選項(xiàng)，△小K的面積為

1945亠

S=-X2X5X-=—D對(duì).

244f

22

12.(2022?湖南師大附中模擬)已知雙曲線C;1一6=1(6>0),以。的焦點(diǎn)為圓心，3為半

4b

徑的圓與。的漸近線相交，則雙曲線C的離心率的取值范圍是()

A.(l,B(1，唱

C.(a啕D.(l,仃)

答案B

解析由題意可知雙曲線的其中一條漸近線為尸方，即『2尸0,

又該圓的圓心為(G0)，

be

故圓心到漸近線的距離為N方+4,

be

則由題意可得近京<3,即成九93+4),

又6—6—a=c—4,

貝！J(1—4)c<9c2,

解得02<13,即"J於，

則e=5=^^,又e>l,

a厶厶

故離心率的取值范圍是（1,鳴.

13.已知兒8是雙曲線C孑一方=1（於。，力0）實(shí)軸的兩個(gè)端點(diǎn)，加力是雙曲線上關(guān)于x

軸對(duì)稱的兩點(diǎn)，直線4帆斜的斜率分別為4,k式k、k詁O）.若雙曲線的離心率為2,則等十

I知的最小值為（）

A.1B.1C.^2D，A/6

答案D

解析由題意可設(shè)財(cái)（xi,珀，N（x\,—yi）,J（—a,0）,0）,

.~y\

則ki-----

X\—a

因?yàn)殡p曲線的離心率為2,

故1=1+（5=4,故左左=—3,

由基本不等式可得等+I&I22$=乖,

當(dāng)且僅當(dāng)|&丨=/，|初=平時(shí)等號(hào)成立，

故等+1叫的最小值為函.

22

14.已知雙曲線C-.今一方=l（a>0,力0）的左、右焦點(diǎn)分別為&K,。為原點(diǎn)，若以F、B

為直徑的圓與。的漸近線的一個(gè)交點(diǎn)為只且，/|=/丨帆I(xiàn)，則。的漸近線方程為一.

答案y=±小x

解析根據(jù)雙曲線a

/一方=l（a>0,垃0）的左、右焦點(diǎn)為序用。為