浙江省四校聯(lián)盟高三下學(xué)期數(shù)學(xué)模擬試卷

2023年浙江省高考數(shù)學(xué)模擬卷命題：浙江省杭州第二中學(xué)一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，有一項是符合題目要求的.1.若復(fù)數(shù)z滿足，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算，化簡可得，然后根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念，即可得出答案.【詳解】由已知可得，，從而.故選：B.2.已知，集合，集合，若，則（）A. B. C.或1 D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)交運算結(jié)果，列出方程，求得對應(yīng)參數(shù)值；再驗證即可選擇.【詳解】因為，故可得且，或且；解得或；當(dāng)時，，滿足題意；當(dāng)時，，不滿足題意，舍去；綜上所述，.故選：D.3.已知等差數(shù)列的公差為d，前n項和為，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】利用等差數(shù)列的前項公式，分別從充分性和必要性兩個方面進(jìn)行判斷即可求解.【詳解】因為數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，所以，，所以，若等差數(shù)列的公差，則，所以，故充分性成立；若，則，所以，故必要性成立，所以“”是“”的充分必要條件，故選：C.4.已知，為異面直線，平面，平面，若直線滿足，，，.則下列說法正確的是（）A.， B.，C.與相交，且交線平行于 D.與相交，且交線垂直于【答案】C【解析】【分析】由已知條件，結(jié)合線面平行、線面垂直的判定與性質(zhì)和面面平行的性質(zhì)等對各個選項進(jìn)行分析，即可得出正確結(jié)論.【詳解】假設(shè)，因為平面平面，則，這與直線為異面直線矛盾，故A錯誤；假設(shè)，因為平面，所以，這與矛盾，故B錯誤；設(shè)，作，使得與相交，記與構(gòu)成平面，如圖，因為平面，，則，又，故，同理：，而與構(gòu)成平面，所以；因為，又，故，又，與構(gòu)成平面，所以，故而，即與的交線平行于l，故C正確，D錯誤；故選：C5.標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6的六張卡片，卡片的形狀、質(zhì)地都相同，從中有放回地隨機抽取兩次，每次抽取一張，表示事件“第一次取出的數(shù)字是3”，表示事件“第二次取出的數(shù)字是2”，表示事件“兩次取出的數(shù)字之和是6”，表示事件“兩次取出的數(shù)字之和是7”，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)已知條件，分別求出對應(yīng)事件的概率，再結(jié)合條件概率公式，相互獨立事件的概率公式判斷即可.【詳解】由題意，，，對于事件的可能組合有：，共種，，故A錯誤；對于事件的可能組合有：，共種，，對于事件的組合只有一種，對于事件的組合只有一種，對于事件的組合只有一種，則，B正確；，C錯；又，，則，D錯.故選：B6.已知函數(shù)（）在區(qū)間上單調(diào)遞增，若存在唯一的實數(shù)，使得，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用輔助角公式變形函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和取得最值的情況，利用整體代入法可求得參數(shù)范圍.【詳解】由題得：，且，因為，所以，若存在唯一的實數(shù)，使得，則，解得，當(dāng)時，，又區(qū)間上單調(diào)遞增，所以且，解得且，結(jié)合，可得，故選：B.7.已知雙曲線：（，）的左，右焦點分別為，，點與拋物線：（）的焦點重合，點為與的一個交點，若的內(nèi)切圓圓心在直線上，的準(zhǔn)線與交于，兩點，且，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】令，由題設(shè)知且求得，再由內(nèi)切圓中切線長性質(zhì)及雙曲線定義、性質(zhì)確定與的切點的位置，進(jìn)而求離心率.【詳解】由題設(shè)，又點與拋物線的焦點重合，即，由，則，故，即，如下圖示，內(nèi)切圓與△各邊的切點為，所以，又，則，所以為雙曲線右頂點，又的內(nèi)切圓圓心在直線上，即，故，則，所以離心率為.故選：D.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題解決的關(guān)鍵是利用切線長性質(zhì)推得，從而利用雙曲線的對稱性得到，進(jìn)而得解.8.已知，若點為曲線：與曲線：的交點，且兩條曲線在點處的切線重合，則實數(shù)的最大值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【詳解】設(shè)點的橫坐標(biāo)為，則由可得，，又可得，，所以，解得或（舍去），由點為曲線：與曲線：的交點，所以與為同一點，所以，即，令，則，令可得，由知，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，故實數(shù)的最大值為.故選：B二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知，過點作直線的垂線，垂足為，則（）A.直線過定點 B.點到直線的最大距離為C.的最大值為3 D.的最小值為2【答案】AC【解析】【分析】由點斜式確定定點，由點在以原點為圓心，直徑為的圓上，結(jié)合圓的性質(zhì)判斷即可.【詳解】可化為，則直線過定點，故A正確；因為直線的斜率存在，所以點與點不重合，因為，所以點在以原點為圓心，直徑為的圓上（去掉點B），點到直線的距離為，由圖可知，，故B錯誤；由圖可知，，即，故C正確，D錯誤；故選：AC10.年月日，工業(yè)和信息化部成功舉辦第十七屆“中國芯”集成電路產(chǎn)業(yè)大會．此次大會以“強芯固基以質(zhì)為本”為主題，旨在培育壯大我國集成電路產(chǎn)業(yè)，夯實產(chǎn)業(yè)基礎(chǔ)、營造良好產(chǎn)業(yè)生態(tài).某芯片研發(fā)單位用在“A芯片”上研發(fā)費用占本單位總研發(fā)費用的百分比如表所示.已知，于是分別用p＝和p＝得到了兩條回歸直線方程：，，對應(yīng)的相關(guān)系數(shù)分別為、，百分比y對應(yīng)的方差分別為、，則下列結(jié)論正確的是（

）（附：，）年份年份代碼xpqA. B. C. D.【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合方差、相關(guān)系數(shù)的定義，以及最小二乘法公式即可求解.【詳解】時，，變量、呈線性正相關(guān)，故，故A正確；方差反映數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性，顯然時更穩(wěn)定，故此時方差更小，即，故B正確；由于，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以，故C正確；因為，所以時，，故D錯誤.故選：ABC11.如圖，直線，點A是之間的一個定點，點A到的距離分別為1和2.點是直線上一個動點，過點A作，交直線于點，則（）A. B.面積的最小值是C. D.存在最小值【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)題意建立合適的直角坐標(biāo)系，設(shè)出，，，根據(jù)及，即可找到三個點的坐標(biāo)關(guān)系，分別寫出，，即可判斷A；取中點為，連接，根據(jù)，可得三點共線，且為靠近的三等分點，即可找到面積與面積之間比例關(guān)系，進(jìn)而建立面積等式，根據(jù)基本不等式即可判斷B；求出，再根據(jù)基本不等式可判斷C；寫出進(jìn)行化簡，根據(jù)的范圍即可得到的最值情況.【詳解】設(shè)中點為，連接，以為原點，方向分別為軸建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)，，，，且，所以，，因為，所以，即，故，即，所以，，，因為，所以，因為，故，A錯誤；因為，所以，即，所以三點共線，且為靠近三等分點，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等，故B正確；因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等，故，C正確；因為，所以，因為且，所以，記，，可知單調(diào)遞增，沒有最值，即沒有最值，故D錯誤.故選：BC【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查了平面向量數(shù)量積的性質(zhì)以及平面向量在平面幾何中的應(yīng)用，屬于較難題目.12.球面幾何是幾何學(xué)的一個重要分支，在航海、航空、衛(wèi)星定位等方面都有廣泛的應(yīng)用．如圖，A,B,C是球面上不在同一大圓（大圓是過球心的平面與球面的交線）上的三點，經(jīng)過這三點中任意兩點的大圓的劣弧分別為，由這三條劣弧圍成的球面部分稱為球面，定義為經(jīng)過兩點的大圓在這兩點間的劣弧的長度，已知地球半徑為，北極為點N，點P，Q是地球表面上的兩點，則（）A.B.若點在赤道上，且經(jīng)度分別為東經(jīng)30°和東經(jīng)60°，則C.若點在赤道上，且經(jīng)度分別為東經(jīng)40°和東經(jīng)80°，則球面的面積D.若，則球面的面積為【答案】BD【解析】【分析】當(dāng)時，求得，可判定A錯誤；求得，得出，可判定B正確；由球心角，結(jié)合球的表面積求得的面積，可判定C錯誤；由時，構(gòu)造正四面體，求得，結(jié)合對稱性，求得球面的面積，可判定D正確.【詳解】對于A中，當(dāng)時，可得，此時，可得，所以A不正確；對于B中，當(dāng)點在赤道上，且經(jīng)度分別為東經(jīng)30°和東經(jīng)60°，可得球心角，此時，所以B正確；對于C中，當(dāng)點在赤道上，且經(jīng)度分別為東經(jīng)40°和東經(jīng)80°，可得球心角，又由球的表面積為，所以的面積為，所以C錯誤；對于D中，如圖所示，當(dāng)時，可得為等邊三角形，構(gòu)造一個球內(nèi)接正四面體，其中心為，連接交于點，則，為正四面體內(nèi)切球得到半徑，設(shè)正四面體的表面積為，可得，即，可得，即為高的靠近的四等分點，則，由余弦定理可得，解得，根據(jù)對稱性，可得球面的面積為，所以D正確.故選：BD.三、填空題：本題共4小題，每題5分，共20分.13.已知，則實數(shù)的取值范圍___________.【答案】【解析】【分析】求解對數(shù)不等式和根式不等式，即可求得參數(shù)的范圍.【詳解】，即，解得；，即，當(dāng)時，不等式解集為；當(dāng)時，不等式解集為；綜上所述，.故答案為：.14.已知銳角滿足，，則_____.【答案】【解析】【分析】根據(jù)正切的和角公式，結(jié)合已知條件，求得；根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，求得，結(jié)合角度范圍，求得即可.【詳解】由可得：，則，解得，又，故為一元二次方程的兩個實數(shù)根，又，解得；若，又為銳角，也為銳角，故可得，則，不滿足為銳角，舍去；若，則，故，又，為銳角，故可得，則.故答案為：.15.函數(shù)在區(qū)間上存在零點，則的最小值為_________.【答案】##【解析】【分析】設(shè)為在上的零點，可得，轉(zhuǎn)化為點在直線上，根據(jù)的幾何意義，可得有解，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性和最值，即可得答案．【詳解】設(shè)為在上零點，可得，所以，即點在直線，又表示點到原點距離的平方，則有解，即有解，令，可得，因為，，所以恒成立，可得在上為單調(diào)遞增函數(shù)，所以當(dāng)時，，所以，即最小值為．故答案為：.16.考慮這樣的等腰三角形：它的三個頂點都在橢圓：上，且其中恰有兩個頂點為橢圓的頂點．這樣的等腰三角形有________個.【答案】20【解析】【分析】分別以橢圓頂點連線為等腰三角形的腰或底，進(jìn)行分類討論，得到答案.【詳解】不妨設(shè)，如圖1，連接，當(dāng)為等腰三角形的底時，作的垂直平分線交橢圓于兩點，連接，則為等腰三角形，滿足題意，同理當(dāng)為等腰三角形的底時，也可以各作出2個滿足要求的等腰三角形，共有8個；如圖2，當(dāng)為等腰三角形的腰時，以為圓心，為半徑作圓，則圓的方程為，聯(lián)立，解得或或或，即圓與橢圓相交于點，連接，其中滿足要求，三個頂點均為橢圓頂點，不合題意，同理當(dāng)為等腰三角形的腰時，也可以各作出2個滿足要求的等腰三角形，共有8個；如圖③，以為圓心，為半徑作圓，此時圓與橢圓相交于點，連接，此時為等腰三角形，滿足題意，共有2個，如圖4，以為圓心，為半徑作圓，此時圓與橢圓相交于點，連接，此時為等腰三角形，滿足題意，共有2個，由橢圓性質(zhì)可知，為橢圓中的最長弦，所以不能作為等腰三角形的腰，而作為底時，剛好等腰三角形的頂點為上頂點或下頂點，不合要求，綜上：滿足要求的等腰三角形個數(shù)為8+8+2+2=20.故答案為：20.【點睛】方法點睛：兩圓一線，是平面幾何中等腰三角形存在性問題的通用解法，這里以橢圓為背景進(jìn)行考察，基本思路沒有變化，但要注意兩圓一線所得到的等腰三角形有不滿足要求的，要舍去.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.在△中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．（1）求A；（2）線段上一點D滿足，，求的長度．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理及兩角和的正弦公式化簡即可得解；（2）根據(jù)角之間的關(guān)系及正弦定理求出，由同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出即可得解.【小問1詳解】由結(jié)合正弦定理可得，因為，所以，所以，即，因為，所以，因為，所以；【小問2詳解】如圖，由題設(shè)，令，則，，，在△中，即，所以，故，所以，又，，解得.在等腰中，取中點，連接，則，則.18.設(shè)正項數(shù)列的前項和為，且.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）能否從中選出以為首項，以原次序組成的等比數(shù)列.若能，請找出公比最小的一組，寫出此等比數(shù)列的通項公式，并求出數(shù)列的前項和；若不能，請說明理由.【答案】（1）（2）能，，.【解析】【分析】（1）對題干的遞推關(guān)系先平方，然后多寫一項作差，結(jié)合正項數(shù)列的性質(zhì)，可證明其是等差數(shù)列；（2）注意到的每一項是偶數(shù)，偶數(shù)數(shù)列是等比數(shù)列的很容易想到，然后證明其公比最小，最后在分組求和.【小問1詳解】，當(dāng)時，，即，得或（舍去）.當(dāng)時，由，……①得，……②得：，化簡得.因為，所以，，即數(shù)列是以4為首項，2為公差的等差數(shù)列，所以.【小問2詳解】存在.當(dāng)，時，會得到數(shù)列中原次序的一列等比數(shù)列，此時的公比，是最小的，此時該等比數(shù)列的項均為偶數(shù)，均在數(shù)列中；下面證明此時的公比最?。?，假若取，公比為，則為奇數(shù)，不可能在數(shù)列中.所以.又，所以，即的通項公式為：，故.19.已知四面體ABCD，D在面ABC上的射影為，為的外心，，.（1）證明：BC⊥AD；（2）若E為AD中點，OD=2，求平面與平面夾角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，連接并延長交于，連接，由線面垂直的判定定理可得面，即可證明BC⊥AD；（2）解法一：取中點，連接，作垂直交于點，連接，由題意可得即為平面與平面夾角的平面角.解法二：建立空間直角坐標(biāo)系，通過空間向量的坐標(biāo)運算，結(jié)合二面角的公式即可得到結(jié)果.【小問1詳解】連接并延長交于，連接，因為O恰好為△ABC的外心，所以，又，，所以，所以，即是的角平分線，又，所以由等腰三角形三線合一可得，因為D在面ABC上的投影為O，所以面ABC，又面ABC，所以，又面，所以面，又面，所以.【小問2詳解】解法一：在中，由（1）與等腰三角形三線合一可知是的中點，由（1）知，面ABC，取中點，連接，因為，,面ABC,作垂直交于點，連接，即為平面與平面夾角的平面角.由題可得，，，即平面與平面夾角的余弦值為.解法二：由（1）知，面ABC，過作軸平行于，則軸垂直于面ABC，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，在中，由（1）與等腰三角形三線合一可知是的中點，又，，則，設(shè)，則，又，所以，解得，故，則故，設(shè)為平面的一個法向量，則，取，則，故，易得是平面的一個法向量，設(shè)平面與平面夾角的平面角為，，所以平面與平面夾角的余弦值為.20.數(shù)軸上的一個質(zhì)點從原點出發(fā)，每次隨機向左或向右移動1個單位長度，其中向左移動的概率為，向右移動的概率為，記點移動次后所在的位置對應(yīng)的實數(shù)為.（1）求和的分布列和期望；（2）當(dāng)時，點在哪一個位置的可能性最大，并說明理由.【答案】（1）分布列見解析，，（2）對應(yīng)實數(shù)為4，理由見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)題意分別計算對應(yīng)的概率列出分布列，求期望；（2）設(shè)點向右移動次，向左移動次的概率為，作商與1比較可得出時最大即可得解.小問1詳解】當(dāng)時，，，.13.當(dāng)時，，，，.024.【小問2詳解】設(shè)點向右移動次，向左移動次的概率為，則，當(dāng)時，，隨的值的增加而增加，當(dāng)時，，隨的值的增加而減小，所以當(dāng)時，最大，此時點所在的位置對應(yīng)的實數(shù)應(yīng)為4.21.已知橢圓，是橢圓外一點，過作橢圓的兩條切線，切點分別為，直線與直線交于點，是直線與橢圓的兩個交點.（1）求直線與直線的斜率之積；（2）求面積的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)，，，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求得橢圓的切線方程，從而可得，再根據(jù)斜率公式即可求解；（2）分、、三種情況分別求解，根據(jù)弦長公式和點線距離可求得面積，再利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，從而求得最大值.【小問1詳解】設(shè)，，，由可得，對其求導(dǎo)可得，所以當(dāng)時，直線的斜率為，則直線的方程為，即.當(dāng)時，成立，所以直線的方程為.同理可得直線方程為，又因為是兩條切線的交點，所以有，，所以，則，又因為，所以.【小問2詳解】①當(dāng)時，聯(lián)立直線與橢圓方程，得，，，則，聯(lián)立直線與橢圓方程，解得點.則點到直線的距離，所以令，則，令，則，記，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)，，即時，.所以，所以面積的最大值是.②當(dāng)時，直線的方程為，聯(lián)立，可得，根據(jù)橢圓的對稱性，不妨令，則，則點到直線的距離，所以令，則，記，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)，時，.所以，所以面積的最大值是.根據(jù)對稱性可得當(dāng)時，面積的最大值是.所以當(dāng)時